专题12 一元二次不等式的解法
一、知识点精讲
【引例】二次函数y =x 2-x -6的对应值表与图象如下:
由对应值表及函数图象(如图2.3-1)可知
当x =-2,或x =3时,y =0,即x 2-x =6=0;
当x <-2,或x >3时,y >0,即x 2-x -6>0;
当-2<x <3时,y <0,即x 2-x -6<0.
这就是说,如果抛物线y = x 2-x -6与x 轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么一元二次方程
x 2-x -6=0的解就是x 1=-2,x 2=3;同样,结合抛物线与x 轴的相关位置,可以得到
一元二次不等式x 2-x -6>0的解是 x <-2,或x >3;
一元二次不等式
x 2-x -6<0的解是-2<x <3.
上例表明:由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)呢?
我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0).
为了方便起见,我们先来研究二次项系数a >0时的一元二次不等式的解.我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a >0),设△=b 2-4ac ,它的解的情形按照△>0,△=0,△<0分别为下列三种情况——有图2.3-1
两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3-2所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解.
(1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1和x2(x1<x2),由图2.3-2①可知
不等式ax2+bx+c>0的解为x<x1,或x>x2;
不等式ax2+bx+c<0的解为x1<x<x2.
(2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且仅有一个公共点,方程ax2+bx+c=0有两个
相等的实数根x1=x2=-b
2a,由图2.3-2②可知
不等式ax2+bx+c>0的解为x≠-b
2a;
不等式ax2+bx+c<0无解.
(3)如果△<0,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有公共点,方程ax2+bx+c=0没有实数根,由图2.3-2③可知
不等式ax2+bx+c>0的解为一切实数;
不等式ax2+bx+c<0无解.
今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式.
二、典例精析
【典例1】解下列不等式:
(1)x2+2x-3≤0;(2)x-x2+6<0;
(3)4x2+4x+1≥0;(4)x2-6x+9≤0;
(5)-4+x -x 2<0.
【典例2】已知不等式2
0(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解.
【说明】:本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.
【典例3】解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数). 【典例4】已知函数y =x 2-2ax +1(a 为常数)在-2≤x ≤1上的最小值为n ,试将n 用a 表示出来.
三、对点精练
1.解下列不等式:
(1)3x 2-x -4>0; (2)x 2-x -12≤0;
(3)x 2+3x -4>0; (4)16-8x +x 2≤0.
2.解关于x 的不等式x 2+2x +1-a 2≤0(a 为常数).
3. 解下列不等式:
(1) 260x x +-> (2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+
【说明】:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解.
4. 求关于x 的不等式222m x mx m +>+的解.
5.解下列不等式:
(1) 2280x x --< (2) 2440x x -+≤ (3) 220x x -+<
6. 已知对于任意实数x ,22kx x k -+恒为正数,求实数k 的取值范围.
7. 解下列不等式:
(1) 2301x x -<+ (2) 132
x ≤+ 【说明】:
(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为0.
(2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号:2020133(2)13(2)12x x x x x +>+?≤???+≥+≤+??
或
一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax>b(a≠0)的形式. 当a>0时,解集为;当a<0时,解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解: (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 f(x) g(x) 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如: f(x) g(x) >0?f(x)g(x)>0; f(x) g(x) <0 ?f(x)g(x)<0; f(x) g(x) ≥0 ? ?? ? ??f(x)g(x)≥0, g(x)≠0; f(x) g(x) ≤0 ? ?? ? ??f(x)g(x)≤0, g(x)≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2)
解:∵A ={x |x ≥3或x ≤-1},B ={x |-2≤x <2},∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}=[-2,-1].故选A . 设f (x )=x 2 +bx +1且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1,x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解:f (-1)=1-b +1=2-b ,f (3)=9+3b +1=10+3b , 由f (-1)=f (3),得2-b =10+3b , 解出b =-2,代入原函数,f (x )>0即x 2 -2x +1>0,x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知-12<1 x <2,则x 的取值围是( ) A.-2
一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念: 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集: 一般地,几个不等式的解集的 公共部分 ,叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表: 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式组的概念 1. (2017春雁塔区校级月考)下列不等式组:①???<->32x x ,②???>+>420 x x ,③???>+<+4 2122x x x , ④???-<>+703x x ,⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
题型2:考察一元一次不等式组的解法 2.(2018春天心区校级期末)不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是( ) 3.解下列不等式组,并在数轴上表示解集: ! (1)?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x (2)?????≥-+->-154245 3312x x x x (3)?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x (4)?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —
(5)?????-<+-<-2322125.05.7x x x x (6)?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ! 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \
常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元) 如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结: 如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ?? ? ?=∈≠-?? ???>-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?
一元二次方程练习题 1. 解下列方程:(1)2(1) 9x -=; (2)2(21)3x +=; (3)2(61)250x --=. (4)281(2)16x -=. 2. 用直接开平方法解下列方程: (1)25(21) 180y -=; (2)21(31)644x +=; (3)26(2) 1x +=; (4)2()(00)ax c b b a -=≠,≥ 3. 填空 (1)28x x ++( )=(x + )2.(2)223x x -+( )=(x - )2. (3)2b y y a -+( )=(y - )2. 4. 用适当的数(式)填空: 23x x -+ (x =- 2);2x px -+ =(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ . 5. 用配方法解方程. 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ,2x = . 7. 用适当的方法解方程(1)23(1) 12x +=; (2)2410y y ++=; (3)2884x x -=; (4)2310y y ++=. (5) ()9322=-x ; (6)162=-x x ; 一元二次不等式 2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0 二次函数c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) 2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根) 3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 一、解下列一元二次不等式:
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范.
一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数,且未知数的次数是1且系数不为0的不等式,称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项: ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数,去分母后分子是多项式时,分子要加括号。 ②系数化为1时,注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式的概念 1. (2017春昭通期末)下列各式:①5≥-x ;②03<-x y ;③05<+πx ;④ 32≠+x x ; ⑤x x 333≤+;⑥02<+x 是一元一次不等式的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.(2017春启东市校级月考)下列不等式是一元一次不等式的是( ) A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.(2017春寿光市期中)若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为( ) A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2:考察一元一次不等式的解法 4. (2016秋太仓市校级期末)解不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1))21(3)35(2x x x --≤+ (2)2 2531-->+ x x
5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.(2016秋相城区期末)若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时,求x 的取值范围。 7. (2017春开江县期末)请阅读求绝对值不等式3
一元二次不等式及其解法 1.形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式. 2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0 二次函数c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) 2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根) 3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 不等式的解法---穿根法 一.方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2 (2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1
《一元二次方程》单元测试及答案
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周周清3 一、选择题(每小题3分,共30分) 姓名 1、下列方程是一元二次方程的是( ) A 、 ax 2+bx+c=0 B 、 x 2-y+1=0 C 、 x 2=0 D 、21 2=+x x 2、 把方程)2(5)2(-=+x x x 化成一般形式,则a 、b 、c 的值分别是( ) A 、10,3,1- B 、 10,7,1- C 、 12,5,1- D 、 2,3,1 3、已知3是关于x 的方程0123 42=+-a x 的一个解,则2a 的值是( ) A 、11 B 、12 C 、13 D 、14 4、一元二次方程x 2-1=0的根是( ) A 、 x=1 B 、x=-1 C 、x 1=0, x 2=1 D 、x 1=1 ,x 2= -1 5、将方程2x 2-4x-3=0配方后所得的方程正确的是( ) A 、(2x-1)2=0 B 、(2x-1)2-4=0 C 、2(x-1)2-1=0 D 、2(x-1)2-5=0 6、已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数,则这个直角三角形的斜边长是 A 、 ±5 B 、 5 C 、 4 D 、 不能确定 ( ) 7、方程3x 2+4x-2=0的根的情况是( ) A 、两个不相等的实数根 B 、两个相等的实数根 C 、没有实数根 D 、无法确定根的个数 8、设—元二次方程x 2-2x -4=0的两个实根为x 1和x 2,则下列结论正确的是( ) A 、x 1+x 2=2 B 、x 1+x 2=-4 C 、x 1·x 2=-2 D 、x 1·x 2=4 9、已知x 1 、x 2是方程x 2-2mx+3m=0的两根,且满足(x 1+2) (x 2+2)=22-m 2则m 等于( ) A 、2 B —9 C 、—9 或2 D 9 或2 10、某商品降价20%后欲恢复原价,则提价的百分数为( ) A 、18% B 、20% C 、25%、 D 、 30% 二、填空题 (每小题3分,共24分) 11、已知一元二次方程有一个根是2,那么这个方程可以是 (填上 你认为正确的一个方程即可) 12、填空 x 2-3x + = (x- )2 13、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根,则这个三角形的周长是 14、在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a ﹡b=a 2-b 2,根据这个规则,方 程(x+2) ﹡5=0的解为 15、已知x 2+3x+5的值为11,则代数式3x 2+9x+12的值为 16、在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,若a-b+c=0则方程必有一根为 17、已知α,β是方程0522=-+x x 的两个实数根,则α2+β2+2α+2β的值为_________。
4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法:数轴标根法(奇穿偶切) 典型例题 例 1 解下列不等式 x - 3 2 (1) x + 7 <0 (2)3+ x <0 3) x -3 2-x > 3-x -3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式: (1)2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 (1) 2 (2) 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 (-2,3), 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时,不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立?
一元二次方程测试 姓名学号 一、选择题(每题 3 分,共 30 分): 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2 =8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3x2 3 x 2 0 57 2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ; C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3. 一元二次方程2x2 -3x+1=0 化为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是( ) 2 2 1 ;C. 2 1 ; A. x 3 16; B. 2 x 3 x 3 2 4 16 4 16 D.以上都不对 4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0,则 a 值为() A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、1 2 5.已知三角形两边长分别为2 和 9, 第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根 , 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个根,则这个直角三角形的斜边长是() A、 3 B 、3 C 、6 D 、9 7. 使分式 x 2 5x 6 的值等于零的 x 是( ) x 1 A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值 范围是 ( ) A.k>- 7 B.k ≥ - 7 且 k ≠ 0 C.k ≥ - 7 D.k> 7 4 4 4 且 k≠ 0 4 9. 已知方程x2 x 2 ,则下列说中,正确的是() (A)方程两根和是 1 (B)方程两根积是 2 (C)方程两根和是 1 (D)方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200 万元, 已知第一季度的总营业 额共 1000 万元 , 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应 为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+ (1+x) 2]=1000 1
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x --<050x x >???- 或0 50x x ?->? 解得05x x >?? 或 0 5 x x ?>?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<.
因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =,
常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法:标根法: 其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意 奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如(1)解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。(答:{}|12x x x ≥=-或); (2)不等式(0x -的解集是____(答:{}|31x x x ≥=-或); (3)设函数()()f x x ,g 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<, ()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ (答:()[),12,-∞+∞U ; (4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是______. (答:81[7,)8 ) 二、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子 分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式 不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如(1)解不等式25123 x x x -<---(答:()()1,12,3-U ); (2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞,则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________(答:()(),12,-∞-+∞U ). 三、绝对值不等式的解法: (1)零点分段讨论法(最后结果应取各段的并集): 如解不等式312242 x x -++≥(答:x R ∈); (2)利用绝对值的定义;(3)数形结合; 如解不等式13x x +->(答:()(),12,-∞-+∞U ) (4)两边平方:如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围
不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③