数值计算方法论文

计算方法课程论文周伟00904012042 计本二班1、课程介绍随着计算机的飞速发展，数值计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域，并在航天航空、地质勘探、桥梁设计、天气预报和字形字样设计等实际问题领域得到广泛的应用。

同时随着计算机在科学和工程设计中应用日益广泛，它已经成为工程师、大学生和各类管理人员极为有用的工具。

因此将数值计算与计算机相结合解决实际应用中的数学问题的数值近似是一种显而易见的趋势。

计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法。

本课程主要介绍了近代计算机常用的计算方法及其基础理论。

内容包括插值法、曲线拟合的最小二乘法、数值积分、非线性方程的数值解法、方程组的数值解法、常微分方程的数值解法等，除此之外，很重要的就是如何通过编程实现这些方法，培养我们的动手能力及工程计算能力。

1、主要内容以及重点难点首先我们学习的是数值计算中的误差，在这部分内容中我们要了解误差的四种类型：模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。

重点学习绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限。

另外还需重点掌握的是有效数字及其与误差的关系。

掌握了以上内容后，就可以利用以上知识进行误差的估计了，针对一些问题进行误差分析，但在此，我们需要注意误差在算数运算中的传播，需要掌握的有对加、减、乘、除、开方等算术运算中数据误差的传播规律的分析。

之后我们便正式进入了数值计算的学习。

首先学习的是插值法，主要学习了两种：（1）拉格朗日插值法我们需要掌握插值基函数、拉格朗日插值多项式、插值余项等概念，最重要的是要掌握利用朗格朗日插值法解决实际问题。

（2）牛顿插值在此部分内容中，我们首先学习的是差商的概念及其性质，在理解了差商的基础上学习了牛顿插值基本多项式及其插值余项，插值余项与拉格朗日相同。

之后又学习了差分的概念和牛顿向前插值公式。

重点掌握如何利用牛顿插值法进行运算解决问题。

固体力学的数值计算方法研究第一章：引言固体力学是一门研究物体在外力作用下破坏和变形规律的学科。

它在工程领域中扮演着至关重要的角色，例如在研究汽车、飞机、建筑物等结构的性能、设计和优化中。

在固体力学的研究中，数值计算方法已经成为一种非常重要的工具。

数值计算方法能够帮助研究者获取更精确的研究结果，并且加快了研究速度，提高了效率。

因此，在固体力学研究中，数值计算方法的研究也越来越受到重视。

第二章：数值计算方法的基础在固体力学的数值计算中，其基础主要有以下三个方面：数值逼近、数值积分和初值问题。

2.1 数值逼近数值逼近是指用有限的次数的运算来求出某个函数的近似值。

在固体力学研究中，经常需要求出物体在受力作用下的变形和应力状态，而这些求解都离不开函数的逼近。

常见的逼近方法有拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。

2.2 数值积分数值积分是指通过有限次数的运算来求出定积分的近似值。

在固体力学研究中，经常需要求解应力分布或变形分布的总量，而这些求解又都离不开定积分。

常见的积分方法有梯形积分、辛普森积分、高斯积分等。

2.3 初值问题初值问题是指为了求解微分方程而需要知道初始条件的问题。

在固体力学研究中，经常需要用微分方程来描述物体受力作用下的变形和应力分布情况。

因此，初值问题也是固体力学数值计算的基础之一。

第三章：固体力学数值计算方法的发展固体力学数值计算方法主要是在计算机技术不断发展的过程中得到了快速发展。

在计算机技术尚不完善的早期，固体力学研究者只能采用一些基本的数学方法和手算的方式来处理问题。

不过，随着计算机技术的不断提升，人们开始尝试更加复杂的数值计算方法。

3.1 有限元法有限元法是一种在固体力学领域广泛使用的数值计算方法。

它能够将物体划分成一个个小的有限元，然后利用相应的数学方法对每一个有限元进行分析。

与其他数值计算方法相比，有限元法具有更高的计算精度和更广泛的适用范围。

3.2 边界元法边界元法是一种基于物理量在界面上的积分方程来求解问题的数值计算方法。

计算数学中的数值计算方法研究计算数学作为数学的分支领域之一，主要研究计算科学中的数学方法、算法和计算计算机软件等方面。

在当前数字化和信息化的时代，计算数学无疑成为了一门非常重要的学科。

其中数值计算方法作为计算数学的重要组成部分，更是备受研究者重视。

本文主要就计算数学中的数值计算方法进行分析研究。

一、数值计算方法数值计算方法是计算数学中的一门重要的研究领域，它主要研究如何用电子计算机求解数学问题。

在这个领域中，研究的问题一般可以分为两个部分：一是数值计算方法的分类、特点、原理和理论分析等方面；二是数值计算算法的设计、实现、计算精度、稳定性、效率、适用范围和应用等方面。

二、常见数值计算方法1.插值法插值法是利用一组数据中的有限数据，在其中插入一个新的数据的方法。

这是一个常用的数值计算方法，在物理学、工程学、统计学、经济学等各种学科中都有广泛的应用。

在计算机制作图形、控制系统设计、光学、信号处理以及图像处理等领域中，插值法也都有把握应用。

2.数值微积分数值微积分主要研究微积分理论的数值计算方法，把函数积分和微分的不定、定积分、曲线面积等问题化为有限项或者逼近求和问题。

在现代工业计算、经济学、统计学以及科学计算中都有广泛应用。

3.线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法主要研究线性方程组的计算方法和算法，包括高斯消元法、列主消元法、克拉默法则和对称正定方阵的Cholesky分解等。

这些方法在物理、工程、金融、经济学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。

4.数值逼近法数值逼近法是指用一个简单的函数逼近另一个复杂的函数的方法。

这种方法在现代工业计算、经济学、统计学以及科学计算中有广泛的应用。

三、数值计算方法的应用在现代社会中，计算机技术的不断发展和完善，为数值计算方法的应用提供了很好的机会。

数值计算方法在各个领域中都得到了广泛的应用和推广。

例如，在物理学、化学、化工、电力、金融、经济学、计算机科学等很多相关领域中，数值计算方法都有广泛的应用。

数值计算在期权定价中的应用摘方程是一些特殊的微分方程(如:线性方程、可分离变量方程等)，则可以通过解析法求出其通解，再根据初始条件确定通解中的任意常数，得到初值问题解的解析表达式．然而在实际问题和科学研究中所遇到的微分方程往往比较复杂，很多情况下不可能求出它的解析解．鉴于上述情况，数值解法就是十分必要的．在现实中已有许多利用数值解法解决复杂问题的例子．本文以期权定价为例，采用传统方法和数值解法中的有限差分法求解并加以比较．关键词：有限差分法；可分离变量方程；期权定价Abstractengineering and scientific research. If the equations are special ones (such as linear equations, detachable variable equations etc). We can obtain its general solution through its analytical method, then according to its initial conditions, the general solution of arbitrary constants can be identified, at last, we can get the analytical expression of the initial problem. However, the differential equations that we meet in the practical problems and scientific research are very complex, and we can’t obtain its analytical solution in such cases. According to the above, the numerical solution is necessary. In reality, there are many examples that solve the complex problems by using the numerical solution. Take the Option Pricing for example, we can solve it by using the traditional method and the finite difference in the numerical solution, and then compared.Key words:finite difference method；detachable variable equations；option pricing1.1有限差分法微分方程和积分微分方程数值解的方法．续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解．然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解．有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组]1[．此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性．对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求．另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念．此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性．因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关．前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的．只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解．关于差分格式的构造一般有以下3种方法．最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等．另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示．此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式．1.2 现代金融理论金融市场经济在现代社会经济中扮演了极其重要的角色，而现代金融理论又是支撑这一庞大市场有效运行的基础．现代金融理论是指在金融经济学中大量运用数学工具来研究金融风险的防范与控制、资本市场的运营、资本资产的结构和衍生证券的定价等理论所取得的成果．在现代金融市场中，金融衍生工具扮演了极其重要的角色．金融衍生工具（derivative instruments，以下简称衍生工具）又称为金融衍生品或金融衍生证券，它是一类新型的金融工具．其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产的价格]2[．金融衍生工具的价值是由其标的资产价值衍生而成的．其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币等原生金融工具，可以是其他实物资产，也可以是金融衍生工具本身．远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生工具．金融市场上还存在着各种各样的金融衍生工具，那些以各种形式对资产所有权进行重新包装的金融工具都可归入其中，如金融互换、按揭抵押证券、资产抵押证券、结构化债券、可转换证券等．金融衍生工具的基本功能在于实现风险的转移，为投资者提供套期保值的有效工具．各种风险的价格可以得到量化，从而使风险与投资收益相分离，成为一种特殊的商品．通过一定的价格，投资者可以将自己不愿意承担的风险，转交给那些对特定风险有深入研究的专家，或者是那些追求风险收益的投机者．套期保值就是衍生工具风险转移功能的直接体现．金融衍生市场，作为金融衍生产品交易的市场，由于具有风险规避以及效率促进的经济功能，现已成为现代金融市场体系中最有活力、最具潜力的市场形态．期权定价理论是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题．以B-S模型为核心的期权定价理论是现代金融领域最杰出的成就之一，二十多年来一直是金融理论探索的源泉．不过，B-S模型对市场作了许多不切实际的假设．例如在现实当中利率是时间的函数或随机变量；波动率也是随机变量；存在交易费用；标的资产价格运动不遵循随机游动模型〔Random Walk〕等等]3[．文章在深入研究了期权特性及其价格影响因素的基础上，首先从著名的布莱克—斯科尔斯期权定价公式（B—S定价公式）入手，详细地描述了衍生证券所服从的B—S偏微分方程的推导过程，以及由B—S方程推出B—S定价公式的方法，并分析了这个定价公式的不足之处．针对这个不足，本文在改变B--S定价公式中一个基本假设的基础上，采用数值差分算法推导出另一种期权定价模型．1.3 现代金融理论的发展趋势主要表现随机最优控制理论，鞅理论，脉冲最优控制理论，智能优化等[4]．八十年代以前的期权定价研究一般都假设期权所依赖的标的资产价格为一个连续随机过程，市场也是“完善”的，在这些比较理想化假设条件下，导出了各种期权定价模型．近十多年来，由于计算机技术的快速发展，期权定价理论研究在以下几个方面得到深化，而取得了大量的研究成果：一是在不完善市场条件下，如何确定期权价格问题；二是认为期权所依赖的标的资产的价格是一个连续随机过程假设条件过于理想化，将这个假设条件进行改进来研究期权的定价问题．1.4 本文的创新点本文主要运用差分算法，在B-S模型基础上将有关参数离散化，用数值计算预期期权价格．第二章Black—Scholes期权定价模型2.1 期权简介金融衍生产品包括远期合约、互换、期货、期权等[5]．其中，期权无论是从在衍生市场上所占的份额，还是从其普及程度来讲，都可以说是最重要的衍生产品．期权是指在未来一定时期可以买卖的权力，是买方向卖方支付一定数量的金额后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以履约价格向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力，但不负有必须买进或卖出的义务．从形式上看，期权是一种由交易双方签订的，按约定价格，约定时间来买卖约定数量标的物的合约，与一般的合约有本质的区别，即卖方在规定的交割时间有权选择是否执行这一期权，而卖方只能被动的接受．在合约签订之时买方要赋予卖方一定数量的金钱作为获得这项权利的代价，这部分金钱就是期权的价格，也叫期权费．期权按权利划分包括看涨期权、看跌期权和双向期权三种．[6]看涨期权是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务．看跌期权是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须卖出的义务．双向期权是指期权的买方既享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，又享有在商定的有效期限内按同一敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利．按期权执行期限的不同可以分为欧式期权和美式期权，欧式期权只能在合约到期日才能执行，而美式期权可以在期权有效期内的任何一天执行．美式期权在设计方面比欧式期权简单，并且美式期权的执行日期并不确定．因此，在理论研究方面，欧式期权要比美式期权简单得多，著名的B—S期权定价模型的研究对象就是欧式股票期权．2.2 Black—Scholes期权定价模型2.2.1 模型简介1973年，美国芝加哥大学学者f ·布莱克与m ·肖莱斯提出了布莱克－肖莱斯期权定价模型，对股票期权的定价作了详细的讨论．为了构建其期权定价模型，布莱克与肖莱斯提出了如下假设：第一，作为基础商品的股票价格是随机波动的，且满足几何维纳过程(geometric wiener process)．这意味着：(1) 基础商品价格波动是独立的，将来的价格水平只与现在的价格相关，与过去的价格无关．(2) 基础商品价格不能停止变动，且这种波动是连续的．(3) 在极短时间内，基础商品价格只能有微小的波动，不会出现跳跃． 用数学公式来表示，即为[][][][][]ds t ms t d t s t d z σ=+，（2.1）其中[]s t 表示股票价格，m 为瞬时期望收益．σ为无风险连续收益率的标准差，dz 为标准维纳过程，是期望值为0，标准差为1的标准正态分布变量．第二，股价服从于对数正态分布，这是几何维纳过程所隐含的一个条件，表示股价的对数满足正态分布．这一分布具有两个特点：(1) 非对称性．即变量对均值上升与下跌相同幅度的概率不一样，一般股价上升100％的概率与下降50％的概率相当．正因为如此，保证了股价的非负性．(2) 从概率分布图向两翼，特别是向右的扩展可以看出，股票价格较大幅度地偏离均值的概率也是不容忽视的，但总体上股票价格在均值附近窄幅波动的情况更普遍．第三，资本市场完善．即不存在交易手续费、税收及保证金等因素． 第四，市场提供了连续交易机会．即假定所有的股票都是无限可分的，交易者能在无交易成本情况下，不断调整股票与期权的头寸状况，得到无风险组合．第五，存在一无风险利率．在期权有效期内，投资者可以此利率无限制地存款或贷款．第六，股票不派发股息，期权为欧洲期权． 第七，基础商品价格波动的离散度为一常数．在上述假设条件下，Black 和Scholes 推导出了看涨期权的定价模型，以股票为基础资产[7]．对看涨期权而言，其在到期日的价值为⎩⎨⎧>-≤=-=XS XS X S X S C T T T T T ,,0)0,m a x ( （2.2）其中T S 代表对应资产到期日的价格，X 代表期权的交割价格．()0()()()()() X T T T T T T XT T T T TXXE C f S dS S X f S dS S f S dS Xf S dS A XB ∞-∞∞∞=⋅+-=-=-⎰⎰⎰⎰（2.3）令0()t n S Y l S =，可知20~(,),YT Y N t t S S eμδ=，从而有2222212222112100ln()()20ln()()220ln()0ln()01()()()((YYT X T T T XS Y t YtX S Y t t t t tX S t t X t trtS A S f S dS S e f Y S e dYYS edYS edY S ed Se N d μσμσμσσμσξμσξξ∞∞---∞---∞+∞+---∂==⋅∂=====⎰⎰⎰⎰⎰令) (2.4)其中220111,{()()}22n S r d l r t Xμσσσ=+=++。

摘 要 随着计算机的迅速发展和普及，利用数值法分析和计算电磁场问题成为可能，在目前所使用的数值法中，有限元法因其通用性和对特殊问题的适应性为工作者所接受。由于电磁场有限元分析可为产品的设计和优化提供最为可靠的依据，它极大地提高了产品质量和经济性。我系统地了解有限元理论及基础方法的运用，着重熟悉有关算法及编程方法，并能具体的解决问题。

ANSYS是一种通用的有限元工程分析及设计软件。包含有多种分析功能，该软件广泛应用于电子及通信等专业领域中。在学习的过程中我熟悉ANSYS基本操作方法的同时，还掌握实体模型的建立，加载，求解等各种软件功能及其强大的图形处理能力。

本课题中运用ANSYS软件分析高频谐振腔问题，并显示其图形结构和程序操作。学会用有限元法分析问题，完成了可视化ANSYS的操作。

关键词：有限元的分析 可视化ANSYS 高频谐振腔 Abstract With the rapid development and popularization of computer, using numerical analysis and calculation of electromagnetic field problems as possible in the current use of numerical method, finite element method because of its versatility and adaptability to special problem for the Gong Zuozhe acceptable. As the finite element analysis for product design and optimization to provide the most reliable basis, which greatly improved product quality and economy. I understand the system based on finite element theory and application of the method, focusing familiar with the algorithm and programming, and to specific problems.

数值计算基于物理研究摘要：本文首先简单地介绍了数值积分的基本思想,然后阐述了复合梯形公式､Richardson外推算法及Romberg算法,最后给出了实现Romberg算法的通用函数｡Rombe求积方法是以复合梯形公式为基础,将Richardson外推法与Euler-Maclauri 求和公式相结合而导出的数值积分公式｡Romberg求积方法的优点是计算有规律,只要计算梯形公式,然后线性组合,即可构造高精度的公式｡关键词：数值积分；复合梯形公式；Richardson外推算法；Romberg算法；复合梯形公式abstract In this paper, the basic idea of numerical integration is briefly introduced, then the composite Trapezoidal rule Richardson extrapolation algorithm and ｡Romberg algorithm are elaborated. At last, the universal function Rombe integration method for Romberg algorithm is given, which is based on composite Trapezoidal rule and combines Richardson extrapolation with Euler-Maclauri summation formula. Romberg integration method has the advantage of regular calculation, and high precision formula can be constructed only by calculating Trapezoidal rule and then linear combination.Key words: numerical integration; Compound Trapezoidal rule; Richardson extrapolation algorithm; Romberg algorithm; Composite Trapezoidal rule目录引言 ..............................................................................................................................................- 3 - 1.Romberg求积方法的基本原理及思想方法 ............................................................................- 3 -1.1复合梯形公式.................................................................................................................- 3 -1.2Euler-Maclaurin求和公式...............................................................................................- 5 -1.3Richardson外推定理.......................................................................................................- 5 -1.4 Romberg求积方法 .........................................................................................................- 6 -2.数值积分的基本思想................................................................................................................- 6 -2.1定积分的几何意义.........................................................................................................- 6 -2.2Romberg方法数值积分的相关原理 ..............................................................................- 6 - 4.用数值积分方法求解电磁学问题......................................................................................... - 10 -4.1数值积分的计算.......................................................................................................... - 10 -4.2圆形载流导线所产生的磁场...................................................................................... - 10 -4.3均匀带电圆环所产生的电流的电势.......................................................................... - 10 -5.研究步骤及方法措施:............................................................................................................ - 11 - 5.1研究步骤 ............................................................................................................................. - 11 -5.2方法措施 ............................................................................................................................. - 11 -6.结语 ........................................................................................................................................ - 12 -7.谢辞 ........................................................................................................................................ - 12 - 参考文献.................................................................................................................................... - 13 -引言在实际计算中,经常需要计算定积分｡如果我们知道f(x)的原函数f(x)的话,用牛顿-莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题｡将问题转化为求函数f(b)-f(a)的值｡然而,实际上,可积函数的许多原函数都不能使用初等函数｡数字可以用初等函数来表示,也可以用初等函数来表示｡该表达式更为复杂,在实际应用中有时是可积的｡函数以表格或图形的形式给出,因此这些问题需要通过建立数值积分方法来解决｡解决这个问题｡1.Romberg求积方法的基本原理及思想方法1.1复合梯形公式积分中值定理告诉我们,在积分区间[a,b]内存在一点ξ,I=b!af(x)dx=(b-a)f(ξ),问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的,因而难以准确算出f(ξ)的值.我们将f(ξ)称为区间[a,b]上的平均高度｡这样,只要对平均高度f(ξ)提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法｡如果我们用两端点的“高度”f(a)与f(b)取算术平均作为平均高度f(ξ)的近似值,这样导出的求积公式T=b-a2%f"a#+"b$&便是梯形公式,其误差为R"f$=-"b-a$312f""η$,"a<η复合梯形公式由于梯形公式,误差较大,一般无法使用｡下面讨论改进的梯形公式即复合梯形公式,在这里为了说明问题的方便,将积分区间[a,b]n等分,节点,对每一个小区间[xi,xi+1]采用梯形公式,就得到如下的复合梯形公式:,h表示把积分区间[a,b]n等分,这样就可表示把积分区间[a,b]2n等分,则可以推导出这个关系给出了把积分区间的分点增加后的计算公式与原计算公式之间的关系,即当节点增加一倍计算复合梯形公式时,只需把原来复合梯形公式T(h)的值除以2,再加上新节点上的函数值之和与新步长的乘积｡这样既可使计算结果更精确而且节约计算量,也可由此来判断是否达到要求的精度｡2.2Richardson外推算法在高等数学中,一般只考虑收敛性,并不考虑收敛速度问题,但在实际的数值计算中,收敛的快慢显得特别重要,因此要研究加速收敛的技巧｡2.2.1加速收敛技巧的基本思想在实际的数值计算中,常常用一系列数{Fk}去逼近准确值F*,若固定k,则Fk固定,随之误差F*-Fk也就固定｡因此要提高计算的精确度,就必须计算Fk+1,Fk+2,Fk+3,…,现在需要的是不去计算新值Fk+1,Fk+2,Fk+3,…,而是由已知信息F1,F2,F3,…,Fk-1,Fk的线性组合,得出新的序列,而使的误差较小,亦即比{Fk}更快地收敛于F*,这是加速收敛技巧的基本思想｡2.2.2Richardson外推算法假设有一命题F*,用一个步长为h的函数F(h)去逼近(这里F*与h无关),则Richardson外推算法由如下的递推关系来实现m=1,2,3...,Pm 是与h无关的常数,q为满足的适当正数｡Richardson外推算法流程图如下2.3Romberg算法该算法是在计算梯形和序列的基础上应用了线性外推的加速方法,由此构成的一种具有超线性收敛的数值积分法,即把代入Richardson外推算法的递推公式得到一个更快地收敛于的新序列,记为,称为Romberg序列,其中k表示将积分区间2k等分,m表示外推m1次,即m=1时表示不外推,如T1(0)表示在[a,b]上的梯形公式,T1(k)表示把区间2k等分的复合梯形公式,而T2(k)表示对T1(k)与T1(k+1)外推所得的公式｡这样Romberg算法的具体描述如下:(1)先求出按梯形公式所得的积分值(2)把区间2等分,求出两个小梯形的面积之和,记为T1(1),即再由外推法可得(3)把区间再等分(即22等分),得复合梯形公式T1(2),由T1(1)与T1(2)外推可得,如此若已计算出2k等分的复合梯形公式T1(k),则由Richardson外推算法就可构造出新序列,最后求得｡(4)当或,(为给定的任意小的正数)就停止计算,否则返回(3),计算T1(p+1)｡根据上算法可以得到如下的具体流程:3Romberg算法的实现程序根据上面对Romberg算法原理的分析与描述,不难得到只要把Tm(k)用二维数组来表示基本上就完成了该算法到程序的实现｡下面给出,只要知道被积函数及其下限a､上限b和要达到的精度,都可以计算数值积分的通用函数(其实该函数的返回值就是要求的数值积分值),具体函数如下:double Romberg(double (*f)(double), double a,double b, double ) {int p,i,k,m; double T[N][N],x; T[1][0]=((b-a)/2)*((*f)(a)+(*f)(b));// 初始化T[1][0] p=1; while (1) { x=0;for(i=1;i<=pow(2,p-1);i++) // 计算T[1][p] x=x+f(a+(2*i-1)*((b-a)/pow(2,p))); x=(x*((b-a)/pow(2,p-1))+T[1][p1])/2;T[1][p]=x; k=p; for(m=1;m<=p;m++) // 利用Richardson 外推法计算T[m+1][k-1] {T[m+1][k-1]=(pow(4,m)*T[m][k]-T [m][k-1])/(pow(4,m)-1); k--; } if(fabs(T[p+1][0]-T[p][0]) .求精度的计算结果T[p+1][0] break; } else p++; }}1.2Euler-Maclaurin求和公式定理1(Euler-Maclaurin求和公式)若f(x)∈C(2m+2)则有I-T0(h)=a2h2+a4h4+a6h6+…+a2m-2h2m-2+O(h2m)(1)其中系数ai与h无关,仅依赖于函数f及积分限,而T0(h)为将[a,b]等分,采用复合梯形公式得到的积分值,即T0(h)=Tn=h2∑k=0n-1%f)xk$+f"xk+1$&,h=b-an｡由定理1可以看出,它提供了复合梯形求积公式的误差展开式｡若将h缩小一半,即将[a,b]2n等分,用复合梯形公式求得的积分值记为T0=(h2),按(1)式I-T0h"2$=a2h"2$2+a4h"2$4+a6h"2$6+…+a2m-2h"2$2m-2+Oh"2m$(2)其中T0(h2)=h4∑k=0n-1f"xk$+f(xk+12%)+f"xk+1$&=12T0(h)+h2∑k=0n-1f(xk+12)令T1(h)=43T0(h2)-13T0(h)(3)那么有I-T1(h)=*a4h4+*a6h6+…*a2m-2h2m-2+O(h2m)(4)其中*a2l+2=1-(12)2l3a2l+2,1≤l≤m-2由(3)和(4)看出,利用T0(h)和T0(h2)的线性组合得到T1(h),使得误差从O(h2)提高到O(h4),这种办法称为Richardson外推算法,更一般地有下面定理｡1.3Richardson外推定理若F(h)逼近F*(F*与h无关)的余项能写成渐近形式F*-F(h)=∑k=1∞akhpk,0<P1<P2<q从而有F*-F1)qh$-qp1F1)h$1-qp1=∑k=2∞akqpk-qp11-qp1hpk,于是F*-F2)h$=∑k=1∞a)2$1+khp1+k,其中a)2$1+k=ak+1qp1+k-qp11-qp1｡假定m=l-1时(7)成立,则有F*%-Fl)qh$&-qp1F*%-Fl)h$&=∑k=1∞a)l$(l-1)+k)qh$pl-1+k-qp1h%pl-1+k&=∑k=2∞a)l$(l-1)+kqpl-1+k-qp1h%pk&hpl-1+k从而得出F*-Fl+1)h$=∑k=2∞a)l$(l-1)+kqp1-1+k-qp11-qp1hpl-1+k=∑k=1∞a)l+1$l+khpl+k 其中a)l+1$l+k=a)l$l+kqp1+k-qp11-qp11.4 Romberg求积方法把Richardson外推算法与Euler-Maclaurin求和公式相结合,可以得到求积公式的外推算法,特别地在外推算法中取q=12,pk=2k则得到著名的Romberg求积方法,T0)h$=12∑k=0n-1%f)xk$+f)xk+1$&,Tm)h$=4mih)2$-Tm-1)h$4m-1,m=1,2,3.00000/ 000001…(8)根据定理2知,I-Tm(h)=0(h2m),即逼近阶为0(h2m)｡2.数值积分的基本思想2.1定积分的几何意义是曲边梯形的面积,而在高等数学上,定积分的定义是求和式的极限,和式中每一项则是小曲边梯形面积的近似值——小矩形的面积｡计算中并不能取极限这个无限过程,这就需用有限个小矩形面积之和来近似代替曲边梯形面积,这实际上是用阶梯函数来近似代替被积函数｡例如构造一个简单函数(如多项式)Pn(x)来近似代替被积分函数f(x),然后通过求求得的近似值｡为了精确计算,往往把积分区间细分,然后再在每个小区间内用这个简单函数代替被积函数并积分以求得积分的近似值,这就是数值积分的基本思想｡2.2Romberg方法数值积分的相关原理关键代码:defulopcheckl: //超声波检测函数和time,slee(0.05 /将循环探测的间隔时间设置为0.05s4GPIO.outpt(38,GPIO.HIGH //向38号引脚发送高电平启动超声波发射操作+ GPlO.utput38,GPl0.L0 /向38号引脚发送低电平结束本次超声波发射操作+whilenotGPlO.input(40): //检测40号引脚是否返回高电平信号pa5s+#include<stdio.h>intmain(void){inta,b,c;//定义abcfloatdelta,Gdelta;//定义Delta和根号Deltafloatx1,x2;//定义x1x2printf("**********一元二次方程计算器***********\n"); goto_OPEN://goto语句,操作结束会自动跳转回到这里printf(“一元二次方程格式:aX2+bX+c=0\n");printf("请输入a,b,c\n");//输入abc三个数值scanf("%d",&a);scanf("%d",&b);sacnf("%d",&c);delta=b*b+4*a*c;//Delta表达式Gdelta=sqrt(delta);//根号Delta表达式if(Gdelta>=0){//if语句,判断根号Delta的取值范围if(Gdelta>0){x1=((-b)+Gdelta)/2*a;x2=((-b)-Gdelta)/2*a;printf("x1=%d,x2=%d\n",x1,x2);}elseif{x1=((-b)+Gdelta)/2*a;printf("x=%d",x1);}}elseif{printf("次方程无解\n");gotogoto_OPEN;/回到开头return0; 1、G00与G01G00运动轨迹有直线和折线两种，该指令只是用于点定位，不能用于切削加工G01按指定进给速度以直线运动方式运动到指令指定的目标点，一般用于切削加工2、G02与G03G02:顺时针圆弧插补G03:逆时针圆弧插补3、G04(延时或暂停指令）一般用于正反转切换、加工盲孔、阶梯孔、车削切槽4、G17、G18、G19 平面选择指令，指定平面加工，一般用于铣床和加工中心G17:X-Y平面，可省略，也可以是与X-Y平面相平行的平面G18:X-Z平面或与之平行的平面，数控车床中只有X-Z平面，不用专门指定G19:Y-Z平面或与之平行的平面5、G27、G28、G29 参考点指令G27:返回参考点，检查、确认参考点位置G28:自动返回参考点（经过中间点）G29:从参考点返回，与G28配合使用6、G40、G41、G42 半径补偿G40：取消刀具半径补偿先给这么多，晚上整理好了再给7、G43、G44、G49 长度补偿G43：长度正补偿G44：长度负补偿G49：取消刀具长度补偿8、G32、G92、G76G32：螺纹切削G92：螺纹切削固定循环G76：螺纹切削复合循环9、车削加工：G70、G71、72、G73G71：轴向粗车复合循环指令G70：精加工复合循环G72：端面车削，径向粗车循环G73：仿形粗车循环10、铣床、加工中心：G73：高速深孔啄钻G83：深孔啄钻G81：钻孔循环G82：深孔钻削循环G74：左旋螺纹加工G84:右旋螺纹加工G76：精镗孔循环G86：镗孔加工循环G85：铰孔G80：取消循环指令11、编程方式G90、G91G90：绝对坐标编程G91：增量坐标编程12、主轴设定指令G50：主轴最高转速的设定G96：恒线速度控制G97：主轴转速控制（取消恒线速度控制指令）G99：返回到R点（中间孔）G98：返回到参考点（最后孔）13、主轴正反转停止指令M03、M04、M05M03：主轴正传M04：主轴反转M05：主轴停止14、切削液开关M07、M08、M09M07：雾状切削液开M08：液状切削液开M09：切削液关15、运动停止M00、M01、M02、M30M00：程序暂停M01：计划停止M02：机床复位M30:程序结束，指针返回到开头16、M98：调用子程序17、M99：返回主程序G00 迅速定位G01 直线插补G02 圆弧插补G03 圆弧插补G04 暂停G13 刀架选择:刀架AG14 刀架选择:刀架BG17 刃具半径补偿:X-Y最简单的面G18 刃具半径补偿:Z-X最简单的面G19 刃具半径补偿:Y-Z最简单的面G20 原始位置指令G21 ATC原始位置指令G22 扭距跳过指令G24 ATC原始位置移动指令(不带直线插补) G25 节点位置移动指令(不带直线插补)G28 扭距极限指令取消G29 扭距极限指令G30 跳步轮回G31 固定螺纹车削轮回:轴向G32 固定螺纹车削轮回:端面G33 固定螺纹车削轮回G34 变螺距螺纹车削轮回:增加螺距G35 变螺距螺纹车削轮回:减少螺距G36 动力刃具轴-进给轴同步进给(正转)G37 动力刃具轴-进给轴同步进给(反转) G40 刀尖圆狐半径补偿: 取消G41 刀尖圆狐半径补偿: 左G42 刀尖圆狐半径补偿: 右G50 零点位移,主轴无上转速指令G52 六角刀架转位位置偏差补偿G62 镜像指令G64 到位节制关G65 到位节制开G71 复合固定螺纹车削轮回: 轴向G72 复合固定螺纹车削轮回: 径向G73 轴向铣槽复合固定轮回G74 径向铣槽复合固定轮回G75 自己主动倒角G76 自己主动倒圆角G77 攻丝复合固定轮回G78 反向螺纹攻丝轮回G80 外形定义结束(LAP)G81 轴向外形定义起头(LAP)G82 径向外形定义起头(LAP)G83 坯材外形定义起头(LAP)G84 棒料车削轮回中改变切削前提(LAP)G85 调用棒料粗车轮回(LAP)G86 调用重复粗车轮回(LAP)G87 调用精车轮回(LAP)G88 调用连续螺纹车削轮回(LAP)G90 绝对值编程G91 增量编程G94 每分进给模式(mm/min)G95 每转进给模式(mm/rev)G96 恒周速切削开G97 G96取消G100 刀架A或刀架B零丁切削的优先指令G101 创成加工中直线插补3.信息化建设中的挖坑现象自己特有的处理问题的思维和方法;企业也如此,总在有形或无形中,习惯按照以前形成的思路和方法处理新事物｡信息化建设中,关于逻辑的问题,也经常出现,我们暂且称之为“挖坑现象”｡所谓“挖坑”现象就是在解决问题时,接受了第一信号后,就对其他信号进行封闭,然后局限与初始信息,用自己的思考模式解决问题｡形象地说,就像挖坑一样!在埋头挖坑时,忽视了可能出现的更先进的理念,忘记重审挖坑的必要性｡原本可以看到更广阔的天空,原本可以看到地面上的其他场景……这就是想当然的逻辑｡这看起来很对,而且也客观存在｡但实际上,这是逻辑和大家开的一个玩笑,也使不少企业在“挖坑”时忘了抬头看看｡按照经验行事,摸着石头过河,这是思维习惯｡企业已经关注到这样一个事实,很多企业在进行信息化改造,而成功的并不多｡因此,很多信息化建设企业,在没有成功案例的情况下,下不了决心,不敢把向前的步伐迈的太快:害怕走回头路!因此,通常先保持一种观望的态度｡其实,这是一种经常存在的逻辑“挖坑”现象｡IT技术设备甚至应用系统可以用钱买来,即可以“拷贝”,但企业信息化过程却单纯靠钱买不来,信息化项目的成功也无法轻易“克隆”｡就目前而言,企业信息化还是快速发展的新事物,其他企业的经验只能提供参考和启迪,并不能保证项目的成功｡与其临池慕鱼,不如归而结网｡企业信息化过程,也是认识企业的过程,通过企业的现状调研,业务流和数据流的梳理,重新审视企业的管理,发现企业发展的瓶颈｡踏踏实实的作好每一阶段的工作,过程决定结果IT项目建设,建设企业即是项目的决策主体,也是实施主体｡但是信息化项目建设,强调资源的横向整合,范围非常广泛｡所以,在信息化项目建设中,决策和实施发生了分离｡作为实施主体,如果按照项目的要求运作,问题就简单多了｡但是,按照以往的行事逻辑,自觉不自觉在意识上进行“挖坑”:方案是否合理,是否先进?!但由于站位不同,判断结果当然和决策者不同｡抑或,改变站位同时分离责任,服务咨询单位是实施主体服务咨询单位作为产品和技术的提供者,提供的只是也只能是产品和技术｡但是信息化实施的基础-现状和需求,却只有实施单位知道｡因此,信息化建设工作要按照项目要求的运作框架进行,准确定位项目组角色,避免跨位､缺位､错位现象发生｡企业信息化工作通常由信息部门组织｡因此,容易造成一种错觉:信息化建设是一个建库工作,是信息部门的事情!按照这种思维逻辑,项目实施企业,常将注意力集中在信息技术产品上｡这就是信息化建设中常见的产品“挖坑”现象｡企业要透过信息产品和技术,洞察固化在其中的最新管理思想和管理方法,重新审视企业的生产和管理流程,提升企业管理理念｡用体现当今科技最新潮流的管理思想和方法管理企业,增强企业的综合竞争能力.IT项目建设的发起和实施通常在部门之内,其管理沿用企业管理模式｡信息化建设项目由于资源横向整合特征,其项目管理模式和企业管理模式存在很大的差别｡特别是人力资源方面,企业组织相对稳定;而项目团队临时､不固定,且来源广泛｡如果按照以往的管理逻辑,企业又会不自觉的进入一种“挖坑”状态:在单一部门内部开展信息化建设中的“挖坑”现象。

毕业论文文献综述信息与计算科学定积分的数值计算方法一、 前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如411dx C x =++⎰， （1．3） 采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、 主题部分2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =L ． 对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =L 上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x L 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n kk j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn kk j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1） 在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可 得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑， （2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计()n E f ()()n I f I f =-，由下面定理给出 定理2．1 (1) 如果n 为偶数，(2)n f +在[],a b 上连续，则有[]3(2)()(),,n n n n E f c hf a b ηη++=∈， （2．5）其中 201(1)(2)()(2)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． (2) 如果n 为奇数，(1)n f+在[],a b 上连续，则有[]2(1)()(),,n n n n E f c h f a b ηη++=∈， （2．6）其中 01(1)(2)()(1)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． 定义2．1 如果求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰对所有次数不高于n 的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n 次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n 次，而当n 是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．7） 公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ． 定理 2．2 若[]2,f Ca b ∈，则梯形公式（2．7）的误差为[]3111()()()()''(),,.12E f I f I f b a f a b ηη=-=--∈ 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰221014(2),26c t t dt =--=⎰ 222011(1),46c t t dt =-=⎰有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．8） 其中1()2h b a =-．式（2．8）称为辛普森公式． 定理2．3 若[]4,f Ca b ∈，则辛普森公式（2．8）的误差为[]5(4)221()()()(),,.90E f I f I f h f a b ηη=-=-∈2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=L ，于是 11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰L (2．9)整体积分误差等于n 个小区间上的积分误差之和：整体误差= []312''()''()''()12n h f f f ξξξ-+++L ，其中i ξ是第i 个小区间上的某一点．如果''()f x 在区间[],a b 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间[],a b 上存在点ξ使得''()i f ξ的平均值等于()f ξ．于是由于nh b a =-,有整体误差= 322''()''()()1212nh b a f h f O h ξξ--=-=， 局部误差是3()O h ，整体误差是2()O h ．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=L ，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=L ．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．10）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑， （2．11） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ， （2．12） 对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M L ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41m R n m R n m R n m R n m =-+-----， （2．13）对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．定理 2．4（龙贝格算法收敛性定理）[10]若[],f C a b ∈，则龙贝格阵列中每一列都收敛于f 的积分．因此，对每个m ，lim (,)()baR n m f x dx =⎰．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰L 则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2． 区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．定理2．5[12] 以01,,,n x x x L 为高斯点的插值型求积公式具有21n +次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式101()()()()n n x x x x x x x ω+=---L与任意次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ均在区间[],a b 上正交，即1()()()0bn ax p x x dx ρω+=⎰． （2．14）定理2．6 高斯公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（2．15）的求积系数k A 全为正，且 2()(),0,1,,bbk k k aaA l x dx l x dx k n ===⎰⎰L ． （2．16）定理2．7 对于高斯公式（2．14），其余项为 (22)211()()()()(22)!b n n a R f f x x dx n ξρω++=+⎰ ， （2．17） 其中[]101,,()()()().n n a b x x x x x x x ξω+∈=---L2．4．2 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式[13] 对于任意求积区间[],a b ，通过变换22a b b ax t +-=+，可化为区间[]1,1-，这时11()()222bab a a b b af x dx f t dt --+-=+⎰⎰． 因此，不失一般性，可取1,1a b =-=，考查区间[]1,1-上的高斯公式 11()()ni i i f x dx A f x -==∑⎰． （4．5）我们知道，勒让德多项式1211111()(1)2(1)!n n n n n d L x x n dx+++++⎡⎤=-⎣⎦+， （4．6） 是区间[]1,1-上的正交多项式，因此，1()n L x +的n+1个零点就是高斯公式（4．5）的n+1个节点．特别地，称1()n L x +的零点为高斯点，形如（4．5）的高斯公式称为高斯—勒让德公式．以上这些公式中的节点和求积系数可查表得到． 2．4．3 高斯—哈米特求积公式（Gauss-Hermite ）[14] Gauss-Hermite 求积公式2()0()()nx n k k k ef x dx f x ω∞--∞=≈∑⎰， （4．7）其余项为(22)1(().2(22)!n n n n R f f n ξ+++=+ （4．8）2．4．4 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式[15] 区间为[]1,1-，权函数()x ρ=Gauss 型求积公式，其节点k x 是Chebyshev多项式1()n T x +的零点，即21cos (0,1,,)2(1)k k x k n n π⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦L ，而(0,1,,)1k A k n n π==+L于是得到1021cos 12(1)nk k f n n ππ-=⎡⎤+≈⎢⎥++⎣⎦∑⎰（4．9） 称为Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为 (22)2(1)2()(),(1,1)2(22)!n n n R f f n πηη++=∈-+ ， （4．10） 这种求积公式可用于计算奇异积分．2．5 递推型高斯求积[10]高斯求积公式不具有递推性：当节点个数一定时，如果自由选择所有的节点和权以达到最高的阶数，则节点个数不同的公式一般没有公共节点，这意味着与一组节点对应的积分值，在用另外一组节点计算积分值时不能被利用．Kronrod 求积公式避免了这种工作量的增加，这类公式是对称的，n 点高斯公式n G 与2n+1个点Kronrod 公式21n K +对应．21n K +节点的约束条件为：以n G 的节点作为21n K +的节点，按求积公式达到最高阶数的要求确定21n K +中剩下的n+1个节点及2n+1个权（其中包括n G 的节点的权）．这样，求积公式的阶数可达到3n+1，而真正2n+1个点高斯公式应该是4n+1阶的，所以精度和效率是一对矛盾．使用两个节点个数不同的求积公式的主要原因是可以用它们的差估计积分近似值的误差．使用Gauss-Kronrod 公式对时，若以21n K +的值作为积分的近似值，则一半基于理论，一半基于经验，可以得到关于误差的保守估计： 1.521(200)n n G K +-．Gauss-Kronrod 公式不仅有效地提供了较高的精度，还给出了可靠误差估计，所以它被认为是最有效的求积公式之一，并且构成了主要软件库中求积程序的基础，特别地，公式715(,)G K 已被普遍使用．三、 总结部分因为一些定积分的求解比较复杂，所以数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题．各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．以上主要介绍了各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式等．每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当的采取．相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼．四、参考文献[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009,(2)： 128~129．[2]Micheal T ．Heath ． 张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)： 396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会． 现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]． 北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森． 数值计算方法（上）[M]． 北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F ．杰拉尔德 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《数值分析与科学计算概述》研究第一章对象描述一、数值分析与科学计算的概念科学计算即数值计算，科学计算是指应用计算机处理科学研究和工程技术中所遇到的数学计算。

在现代科学和工程技术中，经常会遇到大量复杂的数学计算问题，这些问题用一般的计算工具来解决非常困难，而用计算机来处理却非常容易。

科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的学科，发展迅速，它与理论研究和科学实验成为现代科学发展的三种主要手段，它们相辅相成又互相独立，在实际应用中导出的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型求其数值解，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为可以求出精确解的线性模型，但这样做往往不能满足近似程度的要求，因此使用数值方法直接求解做较少简化的模型，可以得到满足近似程度要求的结果，使科学计算发挥更大的作用。

自然科学规律通常用各种类型的数学方程式表达，科学计算的目的就是寻找这些方程式的数值解。

这种计算涉及庞大的运算量，简单的计算工具难以胜任。

在计算机出现之前，科学研究和工程设计主要依靠实验或试验提供数据，计算仅处于辅助地位。

计算机的迅速发展，使越来越多的复杂计算成为可能。

利用计算机进行科学计算带来了巨大的经济效益，同时也使科学技术本身发生了根本变化：传统的科学技术只包括理论和试验两个组成部分，使用计算机后，计算已成为同等重要的第三个组成部分。

数值分析也称计算方法，它与计算工具发展密切相关。

是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。

为计算数学的主体部分。

在电子计算机出现以前，计算工具只有算盘，算图，算表和手摇及电动计算机。

计算方法只能计算规模较小的问题。

数值分析的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科。

数值分析的过程为构造算法、使用算法、分析算法。

数值分析是研究数值问题的算法，概括起来有四点：第一，面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的计算方法。

机械工程中的数值计算方法及应用问题研究在机械工程领域，数值计算方法是一种常用的工具，用于解决各种与机械系统相关的数学问题。

通过应用数值计算方法，我们可以更好地理解和预测机械系统的行为，优化设计，提高效率和性能。

本文将探讨机械工程中数值计算方法的原理和应用，并讨论其中的一些常见问题。

一、数值计算方法的原理数值计算方法是一种通过近似计算数学问题的方法。

相对于解析解，数值计算方法可以更灵活地处理复杂的机械系统问题。

其基本原理包括以下几个方面：1.数值离散化：机械系统通常由一系列的微分方程或积分方程描述。

为了进行计算，我们需要将连续的物理量转化为离散的数值。

这可以通过将系统分割成一系列小的部分来实现。

2.数值逼近：数值方法通过使用逼近技术，将实际问题转化为一系列代数方程的求解。

逼近技术可以是插值、拟合或优化等数学方法。

通过选择适当的逼近技术，我们可以准确地近似原始物理问题。

3.数值求解：一旦问题被转化为代数方程，我们可以使用各种数值求解方法来获得近似解。

常见的数值求解方法包括迭代法、高斯消元法和牛顿法等。

这些方法用于求解线性和非线性方程组，以及求解积分和微分方程。

二、数值计算方法的应用数值计算方法在机械工程中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1.结构分析：数值计算方法可以用于分析和优化机械结构的强度、刚度和振动特性。

通过使用有限元分析法（Finite Element Analysis, FEA），我们可以对结构进行离散化，并通过求解代数方程获得结构的应力、应变和模态等信息。

2.流体力学：数值计算方法在流体力学中起着重要作用。

通过采用有限体积法（Finite Volume Method, FVM）或有限差分法（Finite Difference Method, FDM），我们可以模拟流体的流动、传热和传质等过程。

这在液压机械、风力涡轮机和喷气发动机等领域具有广泛的应用。

3.优化设计：数值计算方法可以与优化算法结合，用于优化机械系统的设计参数。

数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。

随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。

本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。

第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。

它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。

数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。

第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。

2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。

3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。