第三章 稳恒电流
一、判断题
1、若导体内部有电流，则导体内部电荷体密度一定不等于零
2、通过某一截面的,截面上的电流密度必为零
3、通过某一截面上的电流密度,通过该截面的电流强度必为零 √
4、如果电流是由几种载流子的定向运动形成的，则每一种载流子的定向运动对电流都有贡献 √
5、一个给定的一段导体（材料、几何尺寸已知）其电阻唯一确定
6、静电平衡时，导体表面的场强与表面垂直，若导体中有稳电流，导体表面的场强仍然与导体表面垂直
7、金属导体中，电流线永远与电场线重合 √
8、在全电路中，电流的方向总是沿着电势降落的方向
9、一个15W,12V 的灯泡接在一电源上时，能正常发光。若将另一500W ，24V 的灯泡接在同一电源上时也能正常发光
10、电源的电动势一定大于电源的路端电压
11、两只完全相同的电流表，各改装成10mV 和1000V 的电压表，一只并联在5mV 的负载两端，另一只并联在500V 的负载两端，通过两只表的电流一样大 √
12、基尔霍夫方程对非稳恒电流也适用
13、有A 、B 两种金属，设逸出功W A >W B ，其余的差异可忽略，则接触后，A 带正电，B 带负电
14、接触电势差仅来自两金属逸出功的不同
二、选择题
1、描写材料的导电性能的物理量是：
（A ）电导率 （B ）电阻R （C ）电流强度I （D ）电压U A
2、在如图所示的测量电路中，准确测量的条件是：
（A ） （B ）>>R
（C ）< C 3、如图所示，为一块内半径为R 1，外半径为R 2，厚为h 的金属板，它对曲率中心所张的圆 心角为,假定电导率为,两端面间所加直流电压为U ，则金属板内的电流密度为： （A ） （B ） ?0=I ?0=j ????????γR R A =A R A R A R θγθγ 1R U θγ2R U A R A R εr U =0 = （C ） （D ） D 4、如图所示，为一块内半径为R 1，外半径为R 2，厚为h 的金属板，它对曲率中心所张的圆心角为,假定电导率为,两端面间所加直流电压为U ，则金属板的电阻是： （A ） （B ） （C ） （D ） A 5、一半径为R （为常数，是介质中一点到球心的距离），若使导体球的电压维持在U ，则媒介质中的电场强度为： （A ） （B ） （C ） （D ） B 6、一个功率为45w 的电烙铁，额定电压是220/110V ，其电阻 丝有中心抽头[如图（a ）所示]，当电源是220V 时，用A 、 B 两点接电源；当电源是110V 时，则将电阻丝并联后接 电源 [如图（b ）所示]在这两种接法中： （A ）通过电阻丝的电流相同，电源供应的电流相同 （B ）通过电阻丝的电流相同，电源供应的电流不相同 （C ）通过电阻丝的电流不相同，电源供应的电流不相同 （D ）通过电阻丝的电流不相同，电源供应的电流相同 B 7、如图所示的由电阻组成的回路为： （A ） （B ） （C ） （D ） A 8、如图所示，图中各电阻值均为 R ，为 （A ） （B ） （C ） （D ） D 9、由一对铜—康铜线所组成的热电偶，其温差电动势 在测量温度差时，势电偶与一电流计G 相联，当热电偶及连接导线的电阻R 1=40，电流计的电阻R 2=320, 电流计中的电流时，热电偶两接头处的温度差是： θγh U θγr U θv 12ln R R hv R θ = θ= hv R R R 1 2 ln )(12R R hv r R -θ=2 12)(R R v h R -θ=k r 20r U R E =32 02r UR E = R U E = 0=E AB R AB AB Ω=25.1AB R Ω=1AB R AB R Ω=4AB R Ω=2AB R R R AB 43= R R AB 23= ΩΩA I 8 108.7-?=A B ) (a Ω=1R Ω=5.1R Ω=25R Ω=3R A B A B （A ） （B ） （C ） （D ） A 10、一个二维的无限延展的正方形电阻网络，如图所示，设相邻两个格点之间的电阻都是1,则A 、B 间的等效电阻是： （A ） （B ） （C ） （D ） C 11、已知一系列相同电阻R ，按图所示连接，则AB 间等效电阻 （A ） （B ） （C ） B 12、一电源电动势为,内阻为r ，与外电阻R 连接，则 （A ）在任何情况下，电源端电压都小于 （B ）断路时，端电压等于 （C ）短路时，端电压等于 （D ）在任何情况下，端电压都不等于 B 13在如图所示的电路中， 的值分别是： （A ）-7V ，-18V （B ）33V ，22V （C ）19V ，8V （D ）7V ，18V D 三、填空题 1、设通过铜导线的电流密度， 向运动速度( ). 2、在（ ）条件下P=UI ，成立在（ ）条件下，P=I 2 R 成立. 任意导电介质 欧姆介质 3、电流的稳恒条件的数学表达式是（ ）. 4、如图所示，为了测量电阻两端电压，必须将电压表并联在电阻上，准确测量的条件是（ ）。 R V >>R 5、环形分流器的线路如图所示。 、 、、、各电流的关系是 οC 7.0οC 5.0οC 3.0ο C 1.0Ω4r r 2r ∞R R AB 2=()R R AB 2 51+= R R AB 3= ∞=R εεεε1ε 2ε2 /4.2mm A j = s m /108.14 -?0 =?? S S d j ρρ I g I 1I 2I 3I ΛA B 1A 2 ( ) 。 6、有三个一段含源电路如图所示， 在图（a ）中 =( )。 在图（b ）中 =( )。 在图（C ）中 =( )。 图（a ）： 图（b ）： 图（c ） 7、在范德格喇夫静电起电机里，一宽为30cm 的橡皮带以20m/s 速度运动，在下边的滚轴处给橡皮带表面输电，橡皮带上的电荷密度可以产生40v/cm 的静电场。则运动的橡皮带所产生的相应电流是（ ）。mA 4.2 8、导线中的电流随时间变化关系是i =4+2试中i 的单位为A ，t 的单位为s ，（1）从t=5s 的时间间隔内，通过此导线横截面的电荷是（ ）C ，（2）在相同的时间内输运相同的电荷量所需的恒定电流为（ ）A 。 603.3 120.7 9、两个同心的导体薄球壳，半径分别为,其间充满电阻率为的均匀介质（1）两球壳之间的电阻（ ）。（2）若两球壳之间的电压是U ，其电流密度（ ）。 10、图中两边为电导率极大的良性导体，中间两层是电导率分别为的均匀导电介质，其厚度分别为,导体的截面积为s ，通过导体的稳恒电流的强度为I ，电流方向如图所 示，A 、B 、C 三个界面的面电荷密度分别是（ ）、（ )。 11、铜电阻的温度系数为,若，直径为 5.00m,长为160km 铜电话线在的电阻( )。 144.5 12、一铂电阻温度计，在时的电阻值为200.0，当把它浸入已在熔解的三氯化锑（SbCl 3） 中后，阻值变为257. 6,则三氯化锑的熔点t 是（ ）（已知铂电阻的温度系数为 ） 73.5 13、蓄电池在充电时通过的电流为3A ，此时其端电压为4.25V ，当这蓄电池放电时，流出的电流为4A ，此时端电压为3.9V ，此蓄电池的电动势是（ ）和内阻是（ ）。 3322110R I R I R I R I S ===AB U AB U AB U ε-+=）（r R I U AB ）（r R I U AB +-ε=）（r R R I U AB +++ε=214 10 -?2 t b a r r 和ρb a a b r r r r -πρ42 r r r r r U a b b a ）（-ρ21μμ、21d d 、s I 10γεs I 20γε- ）（1 2011γ-γεs I 23 /10 3.4C -?οC 0ο C 25ΩC ο0ΩΩC ο /1092.33-?=α12 B ) (a A R B )(c A A B r ()b 4.1V 0.05 14、如图所示，在一立方体框架上，每一边 有一个电阻，阻值均为R=1.R AB =( )。 15、 一电路如图所示，已知 则U ab =（ ） 1V 16、在如图所示的电路中， ，电流表A 的读数为0.5A 。（1）电源电动势 的大小为（ ）（2）电源的输出功率为（ ）（设是该电源的内阻）。（3）B 、F 两点间的电势差为（ ）。 11V 5J 12V 17,使热电偶与内阻为R 的电流计相联，当热电偶的第二接头的温度T 2=15分格，则炉内的温度T 1=（ ）。 1015 18、如图所示的电路中，如果R 0是已知的，为了使电路的总电阻恰等于R 0，则R 1的值 是（ ）。 19、为了找出电缆在某处损坏而通地的地方，可用如图所示装置：AB 是一条长为100cm 的 均匀电阻线，接触点S 可在它上面滑动，已知电缆长 7.8km 。设当S 滑到B 端的距离x=41cm 时，通过电流计G 的电流为零，则电缆损坏处到B 的距离是( ) 。 6.4km 20、给你电动势为内阻为r 在电阻R 中建立电流，如果R>r （ ）连接产生的电流较大；如果R 产生的电流较大。 串联 并联 四、问答题 1、在稳恒电路中，激发稳恒电场的电荷是怎样分布的？ 答：在稳恒电路中，导体内外的稳恒电场是由导体表面分布的电荷、以及由于导线的不均匀等原因引起导线内的体电荷共同激发的，在稳恒条件下，这些电荷分布不随时间改变。 ΩΩΩ127V 121=εV 92=εV 83=εΩ ===1321r r r Ω ====25431R R R R Ω=32R V 41=εV 122=εΩ=233 ε22R οC V a /105.06-?=A 810-οC ο C 30 R εB A R R 3 3r ε5 4B 1εεε1 ??0 R 1R 1 R 1 R B 2、断丝后的白炽灯泡，若设法将灯丝重新上后，通常灯泡总要比原来亮，但寿命一般不长，试解释此现象？ 答:灯泡丝烧断重新接上后，灯丝的长度L 比原来小些，又根据 ，R 比原来小些， 又因为灯泡上的电压U 不变，由 知R 减小，P 便增大。所以灯泡的实际功率大于额定功率，从而比原来亮些。根据 知，当Q 不变时，P 与t 成反比，故P 增大，t 减小，灯泡寿命降低。 3、把一恒定不变的电势差加于一导线的两端，使导线中产生一稳恒电流，若突然改变导线的形状（若折屈导线），在此瞬间会发生什么现象？是什么因素保持电流稳恒？ 答:电荷的分布的最终要求是导线内部各点的场强沿着导线的方向，如果导线形状发生变化， 原来的电荷分布将不再能保证导线中各点的仍沿导线方向，于是电荷分布将自动调整， 通过一个短暂的不稳定调整过程（秒左右）使导体内的与变化后导体的表面平行， 电荷分布不发生变化进入新的稳恒状态。 4、一个电池内的电流是否会超过其短路电流？电池的路端电压是否可以超过电动势？ 答:电池在充电时，由电路端电压知， U?。所以路端电压可以超过电动势。 由知， 当 U?时,通过电池内的电流I 就会超过其短路电流,因为U?,则有I? 5、一分压电路，如图所示。其作用是把电源两端电压的一部分加于负载R 两端。图中a 、b 是变阻器的两个固定头，c 为滑动接头，调节c 的位置，就可以调节加于负载R 两端的 电压，试讨论：（1）负载R 两端的电压与滑动接头a 的距离是否成正比；（2）在什么条件下，负载R 两端电压与成正比。 答:当C 滑动到某一位置时，回路总电流为 当电阻R 两端电压为 设 ，则有 由上式知,R 两端电压与x 不成正比.当即时,U 与x 成正比. 6、补偿器原理如图6-1所示，其中是标准电池的电动势，它的值已准确知道，是被 测电源的电动势，G 是检流计， 是标准电阻，它的大小是根据补偿器的工作原理来选定。 也是标准电阻其上有滑动触头。测量时先把电键K 打向a ，改变电阻 ，直到电流计G S L R ρ =R U P 2= t Q P = E ρ 19 10-E ρIr U +ε=εr U I ε-= ε2r I ε = 'ε2' 2I r r =ε =ε-ε0R x x r R R R RR I bc ac ac +++ε = ac ac bc ac ac RR RR r R R R RR U ? +++ε = ) )((ac bc ac ac R R r R RR RR +++= εkx R ac =[])()(Kx R r x l K RKx RKx U ++-+= ε)()(2Kx Kr l K x r Kl R RKx -+++= ε02=-+Kx Kr l K r Kl x +=s εx εs R x R 1R a b 中的读数为零，然后把K 打到b ，在保持不变的情况下，调节上的活动触头，直到检 流计G 中的电流为零，根据此测量，试求出 值。这种测量与电压表测电动势有何不同？ 答:由图6-1知当K 合向a 时,调使G 为零有 ……① 当K 合向b 时不变,调 使G 为零 ……② ①式÷②式得 ……③ 当用电压表直接测电源电动势，如图6-2所示有 电压表的示值为 图6-2 所以 ……④ 通过比较可知:补偿法测电动势时, 只与 、 、 有关.只要检流计的灵敏度、 、 准确度，就可以准确测量出值。而用电压测电动势时不仅与电压内阻 有关，而 且还与自身内阻有关，测量值比实际值小，只有当 ??时，才比较准确。 7、两只刻度都是50、内阻是3K Ω的电流表，一只改装成10mA 的毫安表，另一只改装成100A 的安培表，当两只表分别接在电路中测量电流，表头指示都是满格时，问这两只表两端的电压哪个大？为什么？ 答: 当将50表改装成10mA 表时，如图7-1所示，有 当将50表改装成100A 表时，如图7-2所示，有 这两只表两端电压分别是 图7-2 通过计算知：10mA 的毫安表两端电压大 五、证明题 1、已知一段电路的欧姆定律，试导出欧姆定律的微分形式 . 1R x R x ε1R S S S R I =ε1R x R x S x R I =εx S S x R R ε= εr R I +ε= V V V R r R r R U +ε=+ε = 1)1(V R r U + =εx εS εS R x R S R x R r εεV R r V R r U =εA μA μΩ≈?-?=???---15)10501010(103105011 6336R R A μΩ ?≈?-=???---4 226361015)1050100(1031050R R V U 15153000153000101031≈+?? ?=-V U 44 4 210151015300010153000100---?≈?+???=E j ρρ γ=V V R εr 2 证明： 设想在导体的电流场中取一小电流管，设其长度为,垂直截面为，由欧姆定律有 其中，， ，将其代入上式得 所以 证毕 2、证明在稳恒电流的情况下均匀导线内部各点的电荷体密度为零。 证明：在导线内部任取一个很小的闭合面S ，对它使用稳恒条件，有 因为 所以 根据高斯定理，上式表明闭合面的S 内的电量为零，可见流过稳恒电流的均匀导线内任一点的电荷体密度为零。 3、当一稳恒电流通过由两种电导率不同的均匀材料组成的导体时，证明界面两侧沿轴方向电流密度相等。 证明：在界面上作一个垂直界面扁圆柱形高斯面，如图3-1所示根据稳恒条件有 所以 证毕 4、试证明：在A 、B 两种金属构成的温差电偶回路中串接金属C ，只要C 两端温度相同，就不会影响回路的温差电动势 证明：A 、B 两种金属之间插入第三种金属C 成一闭合回路，则回路的温差电动势为 l ?S ?R U I ?= ?S j I ?=?l E U ?=?S l R ?γ?= S l l E S j ?γ??= ?E j γ=E j ρρ γ=0 =?? S S d j ρρE j ρρ γ=0=??S S d E ρργ0 =??S S d E ρρS j dS j dS j dS j dS ?=?+?+??? ? ?r r r r r r r ?21上底 下底 侧 0012=+?-?=S j S j 21j j ρρ=ρρ 从而证明了当中间导体两端温度相等时，它不影响总的温差电动势 5、试证：在一个均匀导体做成的柱体中，若沿轴向流过稳恒电流，则导体内电流密度矢量必处处相等。 证明：要证明导体内的电流密度处处相等，需要分三步证明：第一步，沿轴向方向处处相等；第二步，沿径向方向处处相等；第三步，任意两点均相等。现分别证明如下： （1）电流，密度沿轴向方向处处相等 设离轴线距离相同的两点1、2，如图5-1所示其电流密度分别为根据稳恒电流条件 所以 （2）电流密度沿径向方向处处相等 在任一垂直于轴的矢径上有3、4两点，如图5-2所示其电流密度分别为根据稳恒电 场条件 所以 （3）在导体中，任意两点的电流密度均相等 如图5-3所示，因为 所以 6、在如图6-1所示电路中，和是两个电源的电动势，它们的内阻皆为零，试证明检 [][] [][][]AB B B A A B A A B B B A A B C C A A B C B A B C CA AB ABC T T T T b a T T T T b a T W T W e T W T W e T T b T T a T T b T T a T W T W e T W T W e T W T W e εεεεεεεε=-?? ? ???-++-??? ???-++-+-=-+-+-+-+-+-+-= +++++=) ()(21)()(21)()(1)()(1)(2 1 )()(21)()()(1)()(1)()(1 1212121222112 12122121222221121,j j ρρ0 =??S d j s ρρ0 2121=?-?=?+?+?=?? ? ? ?s j s j S d j S d j S d j S d J S 上底 下底 侧 ρρρρρρρ?21j j ρ ρ=4 3,j j ρρ?=?L l d E 0ρρ0 1=?γ=???l d J l d E L L ρρρρl j l j l d j l d j l d j l d j l d j L ab bc cd da ?-?=?+?+?+?=??????3434ρ ρρρρρρρρρ4 3j j ρρ=2 331p p p p j j j j ρρρρ==2 1p p j j ρρ=1ε2εA B 流计G 的电流为零的充分必要条件是： 证明：必要条件的证明：因为当 所以由一段含源电路欧姆定律知 图6-1 ……① ……② ①式÷②式得 充要条件的证明： 取如图图6-2所示的两个回路，由基尔霍夫方程有 回路： ……③ 回路：……④ 图6-2 ……⑤ 由③④⑤式联立得 当 时 ，即 7、如图所示是一个可以测量电容的电桥，试证明：当电桥平衡时，待测电容 证明：当电桥平衡时，检流计示零，由电 容器的隔直作用得通过和 的电流为 由于与，与并联，所以 又因为 所以 2 1 21R R =εεB A g U U I ==时0 B A U IR U =ε-+11011=-εIR B A U IR U =-ε+22022=-IR ε21 21R R = εεI )()(111g g R I R I -+-=ε-II 2 22R I R I g g +=ε-g I I I +=212 2111 221R R R R R R R R I g g g ++ε-ε= 1221=ε-εR R 0=g I 2 1 21R R =εε12 1 C R R C x = 1R 2R 21R R I +ε= 1R 1C 2R x C 1 11121Q U R R R C ε ==+x x C Q R R R U = +22 12 ε x Q Q =1G 1 R 2 R 1 ε2 εG 1 R 2 R 1 C x C 六、计算题 1、两同轴铜质圆柱套管，长为L ，内圆柱的半径为a ，外圆柱半径为b ，两圆柱间充以电阻率为ρ的石墨，如图所示，若从内圆筒作为一电极，外圆筒作为另一电极，求石墨的电阻。 解法1：由欧姆定律求电阻 由于铜的电阻率非常小，两个饿铜管可以分别作为一个等势面，电流沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒。根据对称性，石墨中电流密度 是离轴距离r 的函数，通过半径为r 、长度L 的圆拄的电流 根据稳恒电流的闭合性，通过各柱面的电流是相等的，由此得 两极间的电势差为 于是电阻为 解法2：由电阻定律求电阻 当截面不均匀时有 所以内外筒间的电阻为 2、试求电源向负载输出功率为最大的条件。 解：设一闭合电路，电源的电动势为，内电阻为R ，如图所示，电路中的电流为： 可以看出，当，即所谓开路或短路时，；当R=0，即短路时 当R 很大时或很小时，输出功率都不很大，只有R 取适当值时，才能输出功率为最大。根据求极值的方法， 由此得到向负载输出功率为最大是的条件是 此式称为匹配条件，应注意，一般的化学电源的电阻r 都很小，当满足匹配条件时，电路总 x x C R R C 1 = εR →∞0I =j ρrL j S d j I S π2?=?=? ρρrL I j π2=r L I j E 12πρρ==dr r L I l d E U b a 1221?=?=-=?? πρ??ρρb a L I U R ln 2πρ== ? =S dl R ρb a L rL dr R b a ln 22πρπρ==? I R r ε =+22 2 ()P I R R R r ε==+23 0()dP r R dR R r ε-==+R r =R I 电磁学第二版习题答案2 电磁学 第二版 习题解答 电磁学 第二版 习题解答 (2) 第一章 .............................................................. 2 第二章 ............................................................ 18 第三章 ............................................................ 27 第四章 ............................................................ 36 第五章 ............................................................ 40 第六章 ............................................................ 48 第七章 (54) 第一章 1．2．2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答： 设一个点电荷的电荷量为1q q =，另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-，两者距离为r ，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零，即 20()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 即取 122 Q q q == 时力F 为极值，而 22 2 02 204Q q d F dq r πε== < 故当122 Q q q ==时，F 取最大值。 1．2．3 两个相距为L 的点电荷所带电荷量分别为2q 和q ，将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零？ 解答： 要求第三个电荷Q 所受的合力为零，只可能放在两个电荷的连线中间，设它与电荷q 的距离为了x ，如图1.2.3所示。电荷Q 所受的两个电场力方向相反，但大小相等，即 22 00204()4qQ qQ L x x πεπε-=- 得 22 20x Lx L +-= 舍去0x <的解，得 21)x L =- L x L -q Q 2 物理与电子工程学院 方 法 作 业 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 总结： 1、E P χε0= （1）极化率χ各点相同，为均匀介质 （2）τ ?=∑i p P 各点相同，为均匀极化 2、极化电荷体密度 ()τ ρ??- ='? ?-='?='????S S S d P S d P q d S d P q （1）对均匀极化的介质：0='='ρq （2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ρρ''===，则：， （第5节小字部分给出证明） 3、极化电荷面密度 ()n P P ?12?-=' σ 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n ?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： n P n P =?='? σ n P ：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空 或金属的法向单位矢。 例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极 化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P 。 - -z 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P 平行的球极 坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则： A n P ??=' σ 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷σ'的分布情况由A n ?与P 的夹角而定，即σ'是θ的函数（任一点的n ?都是球面的径向r ?） A A A P n P θσcos ?=?=' 任一点有： θσcos P =' 所以极化电荷分布： ()()()140230030 22P θσθσθθπσππθθσ?'>? ?' 第一章思考题 1． 1一个点电荷受到另一个点电荷的静电力是否会因其它电荷的移近而改变？当“另一个点电荷”被一个带电导体代替时，情况又如何？ 答：根据静电力的叠加原理，一个点电荷受到另一个点电荷的作用力，不论周围是否存在其它电荷，总是符合库仑定律的，如果这两个点电荷都是静止的固定的，则它们间距不发生变化，其相互作用力不会因其它电荷的移近而改变（反之若这两个点电荷是可动的，则当其它电荷移近，此二点电荷因受其它电荷作用而发生移动，其间距离变化，则相互作用力也变） 1． 2有一带电的导体，为测得其附近P 点的场强，在P 点放一试探电荷0q （0q >0），测得它所受的电场力为F 。如果0q 很大，F/0q 是 否等于P 点的场强E ？比E 大还是比E 小？ 答：若0q 很大，受它影响，带正电的导体的电荷分布，由于静电感应，导体上的正电荷受到排斥要远离P 点，因此在P 点放上0q 后，场强要比原来小，而测得的F/0q 是导体上电荷重新分布后测得的P 点的场强，故F/0q 要比P 点原来的场强E 小 1、 3场强的定义式为E=F/0q ，可否认为场强E 与F 成正比，与0q 成反比？当0 q →0时，场强是无限大还是为零？还是与0q 无关？ 答：不能，电场中某点的场强，它是由产生电场的电荷决定的，电场中某点的电场强度是客观存在的，是具有确定的值，当某点放上0q 后，所受的力F 与0q 成正比，比值F/0q 是个确定的值，其大小与F ，0q 均无关系，成以当0q →0时，其所受的力F →0，其比值→确定 值，与0q 无关 1． 4判断对错。（1）闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷；（2）闭合曲面内电量为零时，面上各点场强必为零；（3）闭合曲面 的电通量为零时，面上各点的场强必为零；（4）通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷；（5）闭合曲面上各点的场强是仅由面内电荷产生的；（6）应用高斯定理求场强的条件是电荷分布具有一定的对称性；（7）如果库仑定律中r 的幂不是-2，则高斯定理不成立 答：（1）（2）（3）（5）（6）不对；（4）（7）对‘ 1． 5一个点电荷放在球形高斯面的球心，试问下列情况下电通量是否改变（1）如果这球面被任意体积的立方体表面所代替，而点电荷仍 位于立方体中心；（2）如果此点电荷被移离原来的球心，但仍在球内；（3）如果此点电荷被放到高斯球面之外；（4）如果把第二个点电荷放到高斯球面外的某个地方；（5）如果把第二个电荷放在高斯球面内 答：（1）与曲面形状无关，所以电通量不改变；（2）与面内电荷所在位置无关，所以电通量不改变；（3）面内电荷改变（减少）所以电通量改变→0；（4）面内电荷不变，所以电通量不改变；（5）面内电荷改变（增加），所以电通量改变→增加 1． 6图中已知S 1面上的电通量为1 S Φ，问S 2面，S 3面及S 4面上的电通量2 S Φ，3 S Φ，4 S Φ各等于多少？ 答：S 1面与S 3面组成闭合曲面1 S Φ+3 S Φ= 1 εq ，3 S Φ= 1 εq -1 S Φ； S 4与S 3组成闭合曲面3 S Φ+4 S Φ=0，4 S Φ=-3 S Φ=1 S Φ-0 1 εq ； S 2与S 3组成闭合曲面2 S Φ+3 S Φ= 2 1εq q +；2 S Φ=-3 S Φ+ 2 1εq q +=1 S Φ-0 1 εq + 2 1εq q +=1 S Φ+ 2 εq 1． 7（1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电位高处运动，还是向电位低处运动？为什么？（2）说明 无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高的地方移向电位能低的地方。 答：（1）总是向高电位处运动，受力方向逆着电力线，在初速为零，逆着电力线方向运动，电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。（2）仅在电场力作用下移动时，电场力方向与正负电荷位移方向一致，电场力作正功，使电荷的电位能减小,所以电荷总是从电位能高处向低处移动 1． 8可否任意将地球的电位规定为100伏，而不规定为零？这样规定后，对测量电位，电位差的数值有什么影响？ 答：可以，对电位差的数值无影响，对电位的数值有影响，提高了 1． 9判断对错（1）场强大的地方，电位一定高。（2）电位高的地方，场强一定大。（3）带正电的物体的电位一定是正的。（4 ）电位等于 第五章 静 电 场 5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202， 利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +=' 统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 第三章 总结一、电磁感应 （1）法拉第电磁感应定律： dt d 共同特征是面积变化或磁场变化 产生感应电动势的条件是：穿过回路的磁通量发生变化 对于多匝回路（2）楞次定律 第一种表述：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的 磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化． 第二种表述：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因 感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。 楞次定律本质上是能量守恒定律的反映 二、电动势 （1）动生电动势 磁场不变导体在磁场中运动s s d B dt d k dt d N dt d B V K （2）感生电动势涡旋电场 导体不动，磁场变化而产生的电动势 涡旋电场（感生电场） 法拉第电磁感应定律 比较这是麦克斯韦方程组的一个， 核心是变化的磁场激发涡旋电场 感应加速器 电磁感应和相对运动 存在电场或存在磁场与观察者有关 动生电动势和感生电动势也是相对的 电磁场力是相对论不变的 三、互感和自感 1．互感、互感系数 自感、自感系数 全磁通与回路的电流成正比： 称L 为自感系数,简称自感或电感 物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通过线圈自身的磁通链数，S d t B l d E S L S L S d j l d B 0S d t B l d E S L i B F V E Li 等于该线圈的自感系数。 由电磁感应定律，自感电动势 自感和互感的关系 2．电感的连接 顺接 反接3．自感磁能和互感磁能: （1）自感磁能 同理自感为L 的线圈,通有电流I 所储存的磁能应该等于这电流消失时自感电动势所做的功 （2）互感磁能 同理，先合开关k2使线圈2充电至I2，然后再合开关k1保持I2不变，给线圈 1 充电，得到储存在磁场中的总能量为：这两种通电方式的最后状态相同，dt di L dt d L 21L L k M M L L L 221M L L L 221L I L L W LI idt dt di L dq A 2021 L o I L L W LI di Li idt A 2212 1122 222 1112212121I I M I L I L W W W W m 1 2212 112 2221122121'I I M I L I L W W W W m M M M 2112 电子信息学院电磁场与电磁波第一章复习题练习 姓名 学号 班级 分数 1-7题，每题5分；8-15题，每题5分，16题10分，17题15分。 8: 解：不总等于，讨论合理即可 9. 已知直角坐标系中的点P 1(-3，1，4)和P 2（2，-2,3）： (1) 在直角坐标系中写出点P 1、P 2的位置矢量r 1和r 2； (2) 求点P 1到P 2的距离矢量的大小和方向； (3) 求矢量r 1在r 2的投影； 解：（1）r1=-3a x +a y +4a z ; r2=2a x -2a y +3a z (2)R=5a x -3a y -a z (3) [（r1?r2）/ │r2│] =（17）? 10.用球坐标表示的场E =a r 25/r 2，求： （1） 在直角坐标系中的点（-3,4，-5）处的|E |和E z ； （2） E 与矢量B =2a x -2a y +a z 之间的夹角。 解：（1）0.5；2?/4; (2)153.6 11.试计算∮s r ·d S 的值，式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体，r 为 空间任一点的位置矢量。 解：学习指导书第13页 12.从P （0,0,0）到Q （1,1,0）计算∫c A ·d l ，其中矢量场A 的表达式为 A =a x 4x-a y 14y 2.曲线C 沿下列路径： （1） x=t ，y=t 2； （2） 从（0,0,0）沿x 轴到（1,0,0），再沿x=1到（1,1,0）； （3） 此矢量场为保守场吗？ 解：学习指导书第14页 13.求矢量场A =a x yz+a y xz+a z xy 的旋度。 A ??=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 14.求标量场u=4x 2y+y 2z-4xz 的梯度。 u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x) 物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 总结： 1、E P 0 （1）极化率 各点相同，为均匀介质 （2） i p P 各点相同，为均匀极化 2、极化电荷体密度 S S S d P S d P q d S d P q （1）对均匀极化的介质：0 q （2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ，则：， （第5节小字部分给出证明） 3、极化电荷面密度 n P P ?12 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n ?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： n P n P ? n P ：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空或 金属的法向单位矢。 例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极 化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P 。 - -z 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P 平行的球极 坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则： 学习资料 A n P ? 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷 的分布情况由A n ?与P 的夹角而定，即 是θ的函数（任一点的n ?都是球面的径向r ?） A A A P n P cos ? 任一点有： cos P 所以极化电荷分布： 140230030 22P 右半球在、象限，左半球在、象限，左右两极处，，最大上下两极处，，最小 （2）求极化电荷在球心处产生的场强 由以上分析知 以z 为轴对称地分布在球表面上，因此 在球心处产 生的E 只有z 轴的分量，且方向为z 轴负方向。 在球表面上任意选取一面元S d ，面元所带电荷量dS q d ，其在球心O 处产生场强为： R R dS E d ?42 其z 分量为： cos 4cos 2 0R dS E d E d z （方向为z 轴负方向） 全部极化电荷在O 处所产生的场强为： 2 0222 0cos 4cos sin cos 4z S dS E dE R P R d d R 乙 程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题 1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律： 由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有： 算得 1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ： 这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T： 解得 1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消： 解得： （2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消： 解得： 1-4 设向上位移为x，则有： 结合牛顿第二定律以及略去高次项有： 1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间： 先由库仑定律写出静电力标量式： 有几何关系： 联立解得 由库仑定律矢量式得： 解得 1-6（1）对一个正电荷，受力平衡： 解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡 （2）对一个负电荷，合外力提供向心力： 解得 1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势 能： 对势能求导得到受力： 小量近似，略去高阶量： 当q＞0时，；当q＜0时， （2）由上知 1-8设q位移x，势能： 对势能求导得到受力： 小量展开有：，知 1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得 设它在平衡位置移动一个小位移x，有： 小量展开化简有： 受力指向平衡位置，微小谐振周期 （2） 1-10 1-11 先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ. 有： 显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等. 利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0. 1-12（1） 电磁学 第二版 习题解答 电磁学 第二版 习题解答 (1) 第一章 ................................................................................................................................................................ 1 第二章 .............................................................................................................................................................. 16 第三章 .............................................................................................................................................................. 25 第四章 .............................................................................................................................................................. 34 第五章 .............................................................................................................................................................. 38 第六章 .............................................................................................................................................................. 46 第七章 .. (52) 第一章 1．2．2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答： 设一个点电荷的电荷量为1q q =，另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-，两者距离为r ，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零，即 20()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同 1 第一章基本概念 一.Maxwell 场方程组的表示形式及各方程的物理意义： Maxwell 的贡献在于以静电场与稳恒电磁场为基础，考虑了随时间变化的因素，提出科学的分析与假设，并引入了位移电流概念，从数学上进行高度概括和总结，最终获得时变电磁场的基本方程。揭示了电场与磁场之间以及场与流之间相互联系的规律。它预言了电磁波的存在，是一切 宏观电磁理论的基础。 本章要求：掌握研究电磁场的基本方程、表示形式、物理意义等。 其中，前二个方程为其核心，它显示了场量之间相互制约和相互联系。 2.微分形式和积分形式： 对连续媒质，各场量为连续并有连续导数（即为良态），一般采用微分形式的场方程，求解场分布较容易；积分形式的场方程更具一般性，它对媒质无任何要求，故在出现介质不连续（有介质分界面）时，必须采用积分形式，并用以确定边界条件。 3 4 3.场方程是在已有的电磁定律和大量实验结果的基础上，从数学上对电磁场规律所作的高度概括和总结，并由此断言：任何电磁扰动都将以有限速度向空间传播——即有电磁波存在。这一预言后来为实验所验证，并成功地应用于无线电通信，奠定了无线电技术的基础。 方程是电磁理论的基本规律，具有普遍性，不仅适用于高频（微波与光波）；也适用于低频和直流，从中可推出低频电路中的克希霍夫定律。 Maxwell Maxwell 4.时变场：随时间变化的场，即场既为空间坐 标的函数亦为时间的函数。 对于时变场，有： 1）电、磁场是统一的、不可分割的； 2）变化的磁场产生电场；变化的电场产生磁场，相互交连，从而产生电磁波的传播。 5.电磁场特性：电磁场是一种特殊形式的物质，具有电磁能，并遵循能量守恒的普遍规律。这包括电场能与磁场能的相互转换及电磁能与其它形式能量（如热能、机械能等）之间的相互转换。 5 第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=； (3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。 解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?和2 0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+ 0202εερA -=Φ?-= (2) () x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++ 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++?? 20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ???? =-?=-+ -=-+ ? ???? ? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+- 200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ?? =-?=-+ - ?? ? 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。 试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为 22001111100()()22S S d R d R d ρρ Φεε= +-=- 下顶面在球心产生的电位为 22 002222200 ()()22S S d R d R d ρρΦεε= +-=- 侧面在球心产生的电位为 030 014π4πS S S S R R ρρΦεε= = ? 式中2 12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为 1230 S R ρΦΦΦΦε=++= 3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时， 201050x y z E e e e =-+V /m 。试求0z <时的D 。 解：由电场切向分量连续的边界条件可得 1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n D D =? 050z z D <= 于是有 0001005050x y z z D e e e εε<=-+ 3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为 ()0πcos x x d ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层 之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。 第五章 静 电 场 5 －9若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2)在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2 204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 20d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1)若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2)若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d 证 (1)延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202， 利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +='统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ?B ⑷A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； ⑸A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：⑴A a =A A （x a +2y a -3z a ） ⑵cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o ⑶A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 ⑸A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c 1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。 解：⑴??s d A = A d S ?? 曲+A dS ?? xoz +A d S ?? yoz +A d S ?? 上+A d S ?? 下 A d S ?? 曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz =(3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =-23x dydz ?yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 ⑵dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2y 1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ，坐标为()c b a ,,，写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。 解：画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,，则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,? ，由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量 为 ()()()[] 2 3 2 2204c z b y a x a x Q E x -+-+--?=πε ()()() []2 3 2 2 2 04c z b y a x b y Q E y -+-+--? = πε () ()() [] 2 3 2 2 2 4c z b y a x c z Q E z -+-+--? = πε 该场强的方向沿r ? 方向：()()()k c z j b y i a x r )))?-+-+-=。 在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。 2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ? ?=，P 点到偶极子中心的距离为r ， r ?与l ? 的夹角为θ，在l r >>时，求P 点的电场强度E ?在P O r ρ?=方 向的分量r E 和垂直于r ? 方向的分量θE 。 解：在极坐标系下，设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ?，-r ?，它们与r ?的夹角分别为α和β，由点电荷的场强公式有 2041 ++?=r q E πε，2041- -?=r q E πε， -++=E E E ? ?? 在极坐标下，E ? 可以分解为： βαcos cos -+-=E E E r ， βαθsin sin -++=E E E 其中，+-=r l r θαcos 2cos ，-+=r l r θβcos 2cos ， +=r l θ αsin 2sin ， -=r l θβsin 2sin 又因为l r >>，在此近似下有 2r r r ≈?-+，r r r 2≈+-+，θcos l r r ≈-+-， 带入以上各式，化简得 3 0cos 241 r P E r θπε?=，30sin 41r P E θ πεθ?=。 此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。 以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,，由点电荷的电势叠加可得： ()???? ? ? ? ?????? ? ++??? ??+-+ ++??? ??-?=+=-+222 2 220 2241z y l x q z y l x q U U P U πε 三章习题解答 3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。 解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为 33[]4q R R π+- +- = -=R R D 22322232() (){}4[()][()] r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 d d z z S S S Φ====??D S D e 22322232 ()[]2d 4()()a q a a r r r a r a π π--=++? 2212 1)0.293()a qa q q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r a Ze r r r π?? =- ??? D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12 4r Ze r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33 3434a a Ze Ze r r ρππ=- =- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3223 4344r r a r Ze r r r ρπππ==-D e e 题3.1 图 题3. 3图()a 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π??=+=- ??? D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3 0C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在b r >区域中，由高斯定律0 d S q ε= ?E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生 的电场分别为 2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 220012 0022r a a r r πρρπεε' -''==-''r E e 点P 处总的电场为 2211 220()2b a r r ρε''=+=-' r r E E E 在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为 220022r r r πρρπεε==r E e 2222 0022r a a r r πρρπεε' -''==-''r E e 点P 处总的电场为 2022 20()2a r ρε''=+=-' r E E E r 在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为 20030022r r r πρρπεε==r E e 2003 00 22r r r πρρπεε'' -''==-'r E e 点P 处总的电场为 0033 00 ()22ρρεε''=+=-=E E E r r c 3.4 半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为 3254 2 ()() r r Ar r a D a Aa r a r ?+≤? =?+≥? ? 其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。 题3. 3图()b ＝ ＋电磁学第二版习题答案2
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