第一章 矢量分析与场论基础
内容提要
1） 正交曲线坐标系：
设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：
在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为
式中i 、j 、k 代表循环量1、2、3，k j i q q q
????=，1???=??k j i q q q ，2
22???? ????+???? ????+???? ????=i i i i q z q y q x h 称拉梅系数。
三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：
柱坐标与直角坐标
球坐标与柱坐标
球坐标与直角坐标
2） 矢量及其运算：
直角坐标中算符?的定义：
一个标量函数u 的梯度为：
梯度给出了一点上函数u 随距离变化的最大速率，它指向u 增大的方向。 一个矢量F
穿过一个曲面S 的通量ψ为 对一个闭合曲面而言，向外为正。 直角坐标系中F 的散度
表示在这一点上每单位体积向外发散的F 的通量。
散度定理：
其中v 是由s 所包围的体积。
斯托克斯定理：
其中s 是由l 所包围的面积。
直角坐标系中F 的旋度
拉普拉辛是梯度的散度
在直角坐标系中：
一个矢量的拉普拉辛定义为：
其它坐标也可写成：
柱坐标系中
球坐标系中
3） 亥姆霍兹定理：
矢量场F
可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和
其中
因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究
4） δ函数
定义： ???∞=-0)'(r r δ)
'()'(r r r r =≠ 性质 a ）偶函数：)()(x x -=δδ
b ）取样性：?∞
∞-=-)()()(a f dx a x x f δ
有机会用到的表达式：
1-1. 证明：
=18+6-24
=0
说明B A 与相互垂直
1-2. 空白
1-3. 证明：
说明B A 与相互垂直
1-4. 解：
当坐标变量沿坐标轴由i u 增至i i du u +时，相应的线元矢量i dl 为： =i i
du u ??γ =i i
i du u u ??γ ? 其中弧长
i i
i du u dl ??==γ 其中 ∑==++=31
?????332211j j j y x x x x x x x γ 令2
31∑-???? ????=j i j u x h i 则i du h dl i i =
1-5. 解：
(1) 据?算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
其中c A 、c B
暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式
将上式右端项的常矢轮换到?的前面，使变矢都留在?的后面 则
除去下标c 即可
(2) 利用(1)式的结果即可。
(3) 据?算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有 再?算子的矢量性，并据公式
将常矢轮换到?的前面
代入得：
(1) 证：z
A y A x A A z y x ??+??+??=?? (2) 证： )(?)(?)(?)(y
A x A e x A z A e z A y A e u A x y z z x y y z x ??-??+??-??+??-??=?? 右边第一项的x 分量x y z x e du
A d u z u du dA y u du dA e ?)()(? ??=??-??= 同理 y z x y e du
A d u x u du dA z u du dA e ?)()(? ??=??-?? 则 证：z y x e z
R e y R e x R R ?????+??+??=? 所以 R
R R R =-?=?' 据公式u du
df u f ?=
?)( 所以 31'1R R R R -=-?=? 013=??-?=??R R
R （梯度的旋度等于零） 同理
1-6. 解：[])sin()sin(E 00r k E r k ??=????
1-7. 证： 用常矢量c 点乘式子两边得
上式左边：?????=???v v
f c dv f dv c )( 利用矢量恒等式： 因为c 为任意常矢量，则
设c 为任意常矢量，令c F ?=,代入Stokes 定理
上式左边
上面用到：)()(a c b c b a
??=??
右边 则得：???
=???L
s c c ?? 因为c 是任意的，所以
1-8. 证：
据矢量场的散度定理 令ψφ?=F ，φ和ψ为空间区域中两个任意的标量函数 则
上式左边 所以?
???=??+?s v dv ψφψφψφ][2 1-9. 函数F
在M 点的散度从它的定义推出
如图，考虑c u =2的两个端面
左端面位于2u ，右端面位于22du u +
取曲面外法向为正，两个端面对
向外的通量的净贡献是
同理其余两对面分别是 即3212133
31223211)]()()([du du du h h F u h h F u h h F u ds F s ??+??+??=?? 上式除以321du du du g dv V ==?
并取极限0,0,0321→→→du du du
则矢量F 的散度是
其中 F f
??=
1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场
1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直， 另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的 ()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点
安捷伦矢量信号分析基础应用指南
目录矢量信号分析 (3) VSA 测量优势 (4) VSA 测量概念和操作理论 (6) 数据窗口—泄漏和分辨率带宽 (12) 快速傅立叶变换 (FFT) 分析 (14) 时域显示 (16) 总结 (17) 矢量调制分析 (18) 简介 (18) 矢量调制和数字调制概况 (19) 数字射频通信系统概念 (23) VSA 数字调制分析概念和操作理论 (26) 灵活定制的或用户定义的解调 (27) 解调分析 (31) 测量概念 (32) 模拟调制分析 (36) 总结 (38) 其他资源 (39) 下载 89600B 软件并免费试用 14 天，与您的分析硬件结合使 用 ; 或通过选择软件工具栏上的File> Recall> Recall Demo> QPSK>，使用我们记录的演示信号进行测量。立即申请您的 免费试用许可: https://www.doczj.com/doc/f84090659.html,/?nd/89600B_trial
矢量信号分析本应用指南是关于矢量信号分析(Vector Signal Aanlysis) 的入门读物。本 节将讨论 VSA 的测量概念和操作理论 ; 下一节将讨论矢量调制分析，特别是 数字调制分析。 模拟扫描调谐式频谱分析仪使用超外差技术覆盖广泛的频率范围 ; 从音 频、微波直到毫米波频率。快速傅立叶变换 (FFT) 分析仪使用数字信号处理 (DSP) 提供高分辨率的频谱和网络分析。如今宽带的矢量调制 ( 又称为复调制 或数字调制 ) 的时变信号从 FFT 分析和其他 D SP 技术上受益匪浅。VSA 提供快 速高分辨率的频谱测量、解调以及高级时域分析功能，特别适用于表征复杂 信号，如通信、视频、广播、雷达和软件无线电应用中的脉冲、瞬时或调制 信号。 图 1 显示了一个简化的 VSA 方框图。VSA 采用了与传统扫描分析截然不 同的测量方法 ; 融入 FFT 和数字信号处理算法的数字中频部分替代了模拟中频 部分。传统的扫描调谐式频谱分析是一个模拟系统 ; 而 VSA 基本上是一个使 用数字数据和数学算法来进行数据分析的数字系统。VSA 软件可以接收并分 析来自许多测量前端的数字化数据，使您的故障诊断可以贯穿整个系统框图。 图 1. 矢量信号分析过程要求输入信号是一个被数字化的模拟信号，然后使用 D SP 技术处理 并提供数据输出 ; FFT 算法计算出频域结果，解调算法计算出调制和码域结果。
1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新
1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了该物理量的场
1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t
1.2.1 场的概念
14 16
18
20
?35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
?10
?20
4
?30
?40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18
中国科学院大学硕士研究生入学考试 《信号与系统》考试大纲 一、考试科目基本要求及适用范围 本《信号与系统》考试大纲适用于中国科学院大学信号与信息处理等专业的硕士研究生入学考试。信号与系统是电子通信、控制科学与工程等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信号进行求解与分析，对所得结果给以物理解释、赋予物理意义。要求考生熟练掌握《信号与系统》课程的基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。 二、考试形式和试卷结构 考试采取闭卷笔试形式，考试时间180分钟，总分150分。试卷分为填空、选择及计算题几个部分。 三、考试内容 （一）概论 1.信号的定义及其分类； 2.信号的运算； 3.系统的定义与分类； 4.线性时不变系统的定义及特征； 5.系统分析方法。 （二）连续时间系统的时域分析 1.微分方程的建立与求解； 2.零输入响应与零状态响应的定义和求解； 3.冲激响应与阶跃响应； 4.卷积的定义，性质，计算等。 （三）傅里叶变换 1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱； 2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数； 3.傅里叶变换的性质与运算； 4.周期信号的傅里叶变换； 5.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换； 6.能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。
（四）拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换及逆变换； 2.拉普拉斯变换的性质与运算； 3.线性系统拉普拉斯变换求解； 4.系统函数与冲激响应； 5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换。 （五）S域分析、极点与零点 1.系统零、极点分布与其时域特征的关系； 2.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系； 3.系统零、极点分布与系统的频率响应； 4.系统稳定性的定义与判断。 （六）连续时间系统的傅里叶分析 1.周期、非周期信号激励下的系统响应； 2.无失真传输； 3.理想低通滤波器； 4.佩利－维纳准则； 5.希尔伯特变换； 6.调制与解调。 （七）离散时间系统的时域分析 1.离散时间信号的分类与运算； 2.离散时间系统的数学模型及求解； 3.单位样值响应； 4.离散卷积和的定义，性质与运算等。 （八）离散时间信号与系统的Z变换分析 1.Z变换的定义与收敛域； 2.典型序列的Z变换；逆Z变换； 3.Z变换的性质； 4.Z变换与拉普拉斯变换的关系； 5.差分方程的Z变换求解； 6.离散系统的系统函数； 7.离散系统的频率响应； 8.数字滤波器的基本原理与构成。 （九）系统的状态方程分析 1.系统状态方程的建立与求解； 2.S域流图的建立、求解与性能分析； 3. Z域流图的建立、求解与性能分析； 四、考试要求 2
矢量网络分析仪基础知识及S参数测量 §1 基本知识 1.1 射频网络 这里所指的网络是指一个盒子，不管大小如何，中间装的什么，我们并不一定知道，它只要是对外接有一个同轴连接器，我们就称其为单端口网络，它上面若装有两个同轴连接器则称为两端口网络。注意：这儿的网络与计算机网络并不是一回事，计算机网络是比较复杂的多端（口）网络，这儿主要是指各种各样简单的射频器件（射频网络），而不是互连成网的网络。 。因为只有一个口，总是接在最后又称 1．单端口网络习惯上又叫负载Z L 终端负载。最常见的有负载、短路器等，复杂一点的有滑动负载、滑动短路器等。 2单端口网络的电参数通常用阻抗或导纳表示，在射频范畴用反射系数Γ（回损、驻波比、S ）更方便些。 11 2．两端口网络最常见、最简单的两端口网络就是一根两端装有连接器的射频电缆。 2匹配特性两端口网络一端接精密负载（标阻）后，在另一端测得的反射系数，可用来表征匹配特性。 2传输系数与插损对于一个两端口网络除匹配特性（反射系数）外, 还有一个传输特性，即经过网络与不经过网络的电压之比叫作传输系数T。 插损（IL）= 20Log│T│dB ，一般为负值，但有时也不记负号，Φ即相移。
2两端口的四个散射参量测量 两端口网络的电参数，一般用上述的插损与回 损已足，但对考究的场合会用到散射参量。两端口网络的散射参量有4个，即 S 11、S 21、S 12、S 22。这里仅简单的（但不严格）带上一笔。 S 11与网络输出端接上匹配负载后的输入反射系数Г相当。注意：它是网络 的失配，不是负载的失配。负载不好测出的Γ，要经过修正才能得到S 11 。 S 21与网络输出端匹配时的电压和输入端电压比值相当，对于无源网络即传 输系数T 或插损，对放大器即增益。 上述两项是最常用的。 S 12即网络输出端对输入端的影响，对不可逆器件常称隔离度。 S 22即由输出端向网络看的网络本身引入的反射系数。 中高档矢网可以交替或同时显示经过全端口校正的四个参数，普及型矢网不具备这种能 力，只有插头重新连接才能测得4个参数，而且没有作全端口校正。 1.2 传输线 传输射频信号的线缆泛称传输线。常用的有两种：双线与同轴线，频率更高则会用到 微带线与波导，虽然结构不同，用途各异，但其基本特性都可由传输线公式所表征。 2特性阻抗Z 0 它是一种由结构尺寸决定的电参数，对于同轴线： 式中εr 为相对介电系数，D 为同轴线外导体内径，d 为内导体外径。 2反射系数、返回损失、驻波比 这三个参数采用了不同术语来描述匹 配特性，人们希望传输线上只有入射电压, 没有反射电压, 这时线上各处电
矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 §1.1 矢函数 与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念 定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作 A =A )(t （1.1.1） 并称D 为矢函数A 的定义域。 在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个 有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢 函数相当于三个数性函数。 本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O 也称为矢端曲线的极。 由于终点为),,(z y x M 的矢量对于原点O 的矢径为 zk yj xi r ++== 当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即 )(),(),(t A z t A y t A x z y x === （1.1.3） 此式就是曲线l 的参数方程。 只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。 2、矢函数的极限和连续性 定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义（但在o t 处可以无定义），A 0为一常矢。若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，
矢量分析与场论 第一章 矢理分析 1.1 矢性函数 1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其 对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t = 2． 矢性函数的极限和连续性 （1） 矢性函数极限的定义：()A t 在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢 量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极 限，记作：0 0lim ()t t A t A →= ； 极限的性质：（有界性）若0 0lim ()t t A t A →= ,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有 ()A t M < 。 证明： 0lim ()1,0,..(;) t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈ 都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-< ， 0()1A t A ∴<+ ，取M=01A + 极限的则运算：0 lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=? 000l i m (()())l i m ()l i m () t t t t t t A t B t A t B t →→→±=± lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? 其中()u t ，()A t ，()B t 当0t t →时极限均存在。 证明：设0 0lim ()t t A t A →= ，0 0lim ()t t u t u →=，0 0lim ()t t B t B →= ； 000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+- ，
矢量信号分析仪计量中的EVM 指标研究 周峰，郭隆庆，张睿，张小雨 信息产业部通信计量中心 矢量调制信号是现代通信的基础，矢量信号分析仪(VSA)是信号分析的重要仪表，目前，我国技术监督部门还没有制定VSA 的校准和鉴定规程，相关研究也并不完善。所谓对VSA 的鉴定，就是通过测试测量来确定VSA 测量结果的残留误差。而误差矢量幅度EVM ，是VSA 测量的核心指标之一，从EVM 入手进行研究，是比较合理的。本研究报告以QPSK 信号为典型，建立了数学模型并且使用Matlab 语言编程搭建了简单算法平台，并且使用了PSA 频谱分析仪（包括VSA 选件）和SMU200矢量信号源进行了实验研究。报告主要包含三个部分。 第一部分 EVM 计算中参考信号幅度输出算法研究 VSA 可以分为两个模块：变频器、滤波器和放大器序列构成的模拟部分，和由数字处理芯片及其算法构成的数字模块。本部分主要研究数字模块中的参考信号幅度生成算法。 图 1 VSA 的模块化构成 中频信号被抽样量化后成为数字信号，N 个码片的抽样信号进入数字信号处理模块后， 其幅度和相位就确定了，经过判决，重新生成了码字序列，然后计算EVM 指标。EVM 指标是抽样信号和“标准参考信号”的矢量做差得出的结果。而这个“标准参考信号”的幅度，则是N 个码片的抽样值决定的。传统上我们定义参考信号幅度s M 为： 我们假设一个码片的归一化幅度误差是M ?，而相位误差是P ?，根据三角关系，矢量幅度误差可以表示为：
在调制方式确定后，星座图基本点的相位是确定的，所以是不依赖于参考信号幅度的，所以P ?是确定的，但是M ?是依赖参考信号幅度的，进而EVM 也是依赖参考信号幅度的。经典理论指出：参考信号幅度s M 的选择算法，应当使EVM 尽可能小。但是我们的研究显示，从理论上讲，（1）式的算法不是使EVM 最小化的最优算法，以下我们将简要说明我们对最优算法的研究： VSA 输出的EVM 值，并不是单个码片的EVM 值，而是N 个码片EVM 的均方根值，即： rms EVM = = （3） 前文已经说明，i P ?是不可选择的，而 1i i s M M M ?=- (4) 而这个标准的s M 就是我们要求取的量。设定函数 ()()2 2221141sin 411sin 122N N i i i i s i i i i s s P M P M f M M M M M ==???? ??????=+?+?=+-+- ? ? ? ? ???????? ? ∑∑ (5) ()s f M 越小,则rms EVM 越小,通过偏导法来求函数()s f M 的极值,通过分析,认为一定存在 这样一个极小值存在在可导区间上:
矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 32 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处，t r ai a k t π τ4 d 2d 2 = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2 -=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=
4 习题 1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 x acost, y bsint 2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost 解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。 2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面 222 x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。 2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚 动， 所描曲线的矢量方程。 uuuur 解：设 M 点的矢径为 OM r xi yj ， AOC 与 x 轴的夹角为 uuuur uuur ；因 OM OC uuuur CM 有 r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 asin 2 则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j 4．求曲线 x t,y 2 ,z 2 t 3 的一个切向单位矢 量 解：曲线的矢量方程为 ti t dr 则其切向矢量为 dt 2t j 模为| d d r t | 1 4t 2 4t 4 dr 于是切向单位矢量为 dt / | d d r t 6．求曲线 x asin 2 t,y 23 t 3 k 2t 2 k 2t 2tj 2t 2 k 2 1 2t 2 asin 2t,z acost,在 t 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r asin 2 ti asin2tj acostk 求动圆上一定点 M
矢量网络分析仪的误差分析和处理 一、矢量网络分析仪的误差来源 矢量网络分析仪的测量的误差主要有漂移误差、随机误差、系统误差这三大种类。 1、漂移误差 漂移误差是由于进行校准之后仪器或测试系统性能发生变化所引起，主要由测试装置内部互连电缆的热膨胀特性以及微波变频器的变换稳定性引起，且可以通过重新校准来消除。校准维持精确的时间范围取决于在测试环境下测试系统所经受到的漂移速率。通常，提供稳定的环境温度便能将漂移减至最小。 2、随机误差 随机误差是不可预测的且不能通过误差予以消除，然而，有若干可以将其对测量精度的影响减至最小的方法，以下是随机误差的三个主要来源： （1）仪器噪声误差 噪声是分析仪元件中产生的不希望的电扰动。这些扰动包括：接收机的宽带本底噪声引起的低电平噪声；测试装置内部本振源的本底噪声和相位噪声引起的高电平噪声或迹线数据抖动。 可以通过采取以下一种或多种措施来减小噪声误差：提高馈至被测装置的源功率；减小中频带宽；应用多次测量扫描平均。
（2）开关重复性误差 分析仪中使用了用来转换源衰减器设置的机械射频开关。有时，机械射频开关动作时，触点的闭合不同于其上次动作的闭合。在分析仪内部出现这种情况时，便会严重影响测量的精度。 在关键性测量期间，避免转换衰减器设置，可以减小开关重复性误差的影响。 （3）连接器重复性误差 连接器的磨损会改变电性能。可以通过实施良好的连接器维护方法来减小连接器的重复性误差。 3、系统误差 系统误差是由分析仪和测试装置中的不完善性所引起。系统误差是重复误差（因而可预测），且假定不随时间变化，可以在校准过程中加以确定，且可以在测量期间用数学方法减小。系统误差决不能完全消除，由于校准过程的局限性而总是存在某些残余误差，残余（测量校准后的）系统误差来自下列因素：校准标准的不完善性、连接器界面、互连电缆、仪表。 反射测量产生下列三项系统误差：方向性、源匹配、频率响应反射跟踪。 传输测量产生下列三项系统误差：隔离、负载匹配、频率响应传输跟踪。 下面分别介绍这六项系统误差，其中提到的通道A为反射接收机，通道B为传输接收机，通道R为参考接收机。 （1）方向性误差 所有网络分析仪都利用定向耦合器或电桥来进行反射测量。对理想的耦合器，只有来自被测件（DUT）的反射信号出现在通道A上。实际上，有少量入射信号经耦合器的正向路径泄漏并进入通道A（如
Keysight E8267D PSG 矢量信号发生器
??????????? E8267D PSG ??????????????㈨????≠????????? (CD-ROM)??㈨??????????????????????(?? 1EU) ??????(?? 1E1) ? E8267D ?????????㈨??? Keysight PSG 矢量信号发生器选件 第 1 步. 选择频率范围(必选) 所有的频率范围选件均支持 100 kHz 以下的频率，但是不提供 100 kHz~250 kHz 频率范围内的性能指标。 E8267D-532频率范围: 250 kHz~31.8 GHz选择信号发生器的最高频率 E8267D-544频率范围: 250 kHz~44 GHz选择信号发生器的最高频率 第 2 步. 选择频谱纯度 标配标配频谱纯度提供低相位噪声 E8267D-UNX1超低相位噪声改进近载波相位噪声性能 E8267D-UNY1增强的超低相位噪声改进1Hz~300kHz载波频偏时的相位噪声 E8267D-1EH改善2GHz以下的谐波性能改进2GHz以下载波频率的谐波性能 第 3 步. 选择调制类型 标配连续波信号生成、矢量 (IQ) 调制功能生成连续波 (CW) 信号, 可以调制由可选的内置基带 发生器(选件 602) 或外部基带信号源提供的 IQ 波形 E8267D-UNT AM、FM、相位调制和低频输出生成模拟调制信号 E8267D-UNU 2脉冲调制生成脉冲调制信号 (150 ns 最小脉冲宽度) E8267D-UNW 2窄脉冲调制生成脉冲调制信号 (20 ns 最小脉冲宽度) 第 4 步. 选择斜坡扫描 第 5 步. 选择内置基带发生器 (射频调制带宽为 80 MHz) E8267D-009移动闪存提供 8 GB 移动闪存卡; 用户可访问的所有文件均保存在此卡中 1.E8267D-UNX ? E8267D-UNY ?╱??; ????????????? 2. ?? E8267D-UNU ? E8267D-UNW ?╱??; ??????????????? E8267D-UNU ???? E8267D-UNW? 2
矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函
第02讲 本节内容 1，方向导数 2，梯度 3，散度 4，旋度 1 / 38
2 / 38 5， 正交坐标系 第一章 矢量分析与场论（2） 1，数量场的方向导数 1.1方向导数 由上节可知，数量场)(M u u 的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u 的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u 在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。
3 / 38 设0M 是数量场 )(M u u =中的一点，从 0M 出发沿某一方向引一 条射线l ，在l 上0M 的邻 近取一动点M ，ρ=M M 0， 若当 M M →时（即 0→ρ）： 的极限存在，则称此极限为函数)(M u 在点0M 处沿l 方向的方向导数。记为 M l u ??，即： 可见，方向导数0 M l u ??是函数)(M u 在点0M 处沿l 方向对距离的变化率。 M 0 l
4 / 38 当0>??l u 时，表示在0M 处 u 沿l 方向是增加的，反之就是减小的。 在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式： [定理] 若函数),,(z y x u u =在点),,(0000z y x M 处可微，αcos ，βcos ，γ cos 为l 方向的方向余弦。则u 在0M 处沿l 方向的方向导数必存在，且： 证：M 坐标为),,(000z z y y x x ?+?+?+ ∵u 在点0M 可微，故： ω是比ρ高阶的无穷小。两边除以ρ得 两边取0→ρ时的极限得 例 求数量场z y x u 2 2+=在点)2,1,1(M 处沿z y x l ?2?2?++= 方向的方向导数。
矢量网络分析（Vector Network Analyzer ，VNA）是通过测量元件对频率扫描和功率扫描测试信号的幅度和相位的影响来精确表征元件特征的一种方法。网络分析是指对较复杂系统中所用元件和电路的电器性能进行测量的过程。这些系统传送具有信息内容的信号时，我们最关心的是如何以最高效率和最小失真使信号从一处传到另一处。矢量网络分析仪是微波毫米波测试仪器领域中最为重要、应用最为广泛的一种高精度智能化测试仪器，在业界享有“微波/毫米波测试仪器之王”的美誉，主要用于被测网络散射参量双向S参数的幅频、相频及群时延等特性信息的测量，广泛应用于以相控阵雷达为代表的新一代军用电子装备研制、生产、维修和计量等领域，还可以应用于精确制导、隐身及反隐身、航空航天、卫星通信、雷达侦测和监视、教学实验以及天线与RCS测试、元器件测试、材料测试等诸多领域。 国内生产矢量网络分析仪的厂家主要有：中国电子科技集团41所、天津德力、成都天大仪器等单位。国产矢量网络分析仪中，仅41所有与国外同类先进产品相对应的频率上限覆盖至170GHz的系列化产品。在世界范围内矢量网络分析仪生产厂商主要有美国安捷伦、日本安立和德国罗德施瓦茨等，其中以美国安捷伦代表着最高水平，其推出产品最高频率上限已达500GHz。 矢量网络分析仪可测量的器件： 无源器件（滤波器） 有源器件（放大器） 单端口器件（天线） 双端口器件（衰减器） 多端口器件（混频器，耦合器，功分器） 平衡器件（平衡滤波器等） 网络分析仪有标量网络分析仪和矢量网络分析仪之分。 标量网络分析仪：只测量幅度信息，不支持相位的测量。接收机采用二极管检波，没有选频特性，动态范围小。 矢量网络分析仪：可同时测量被测网络的幅度信息和相位信息。接收机采用调谐接收，具有选频特性，能够有效抑制干扰和杂散，动态范围大。通过测量被测网络（被测件）对频率扫描和功率扫描测试信号的幅度与相位的影响，来表征被测网络的特性。 网络分析的基本原理
一、判断题 1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场 三、填空题 1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直，
另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是 ______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的方向导数M u n ??。 4、求矢量场()2322(32)()3x yz y yz xyz xz =-+++-A i j k 所产生的散度场通过点 (2,1,1)M -的等值面方程及其在点M 处沿x 轴正向的变化率。 五、证明题 1、设n 为闭合曲面S 的向外单位法矢，证明 （1）dV u u dS u S )(A A n A ??+??=??????Ω 2、在球面坐标系中，证明2 1r r = A e 为有势场，并求其势函数v 。
矢量分析与场论 第一章矢量分析 一内容概要 1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数 A t ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A x,y或者A x, y,z，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢A't的几何意义，即 A' t是位于A t的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = A s，则 A' s =d A不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4矢量A t保持定长的充分必要条件是 A t与其导矢A' t互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 e t = cost i si nt j为单 位矢量，故有e t _e't，此外又由于e' t = ei t，故e t — & t。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为： A B'dt 二AB— B A'dt
A B'dt 二 A B B A'dt 前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者有两两项变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成 对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7矢性函数极限的基本运算公式（14）、导数运算公式（p11）、不定积分 的基本运算公式（p16）典型例题： 教材p6 例2、p10 例4、p12 例6、p13 例7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。补充： 1 2 TT 1）设r 二a0］亠b k，求S 二-i ir r' d^ 2）一质点以常角加速度沿圆周r = ae「运动，试证明其加速度 2 八-￡r，其中v为速度v的模。 a 3）已知矢量 A =t i -2t j l nt k , B = e t i si nt j - 3t k ,计算积分.A B' dt。 4）已知矢量 A = t i 2t j , B = cost i sint j ? e，k，计算积分A B'dt。 第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量uM或矢量A M在场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值
习题1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为 2θπ-；因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2++= 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。
矢量分析与场论习题解答 习题1解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2 2 2 3x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在π r d 2