课时分层作业(一) 集合的含义
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．拥有手机的人 B ．2019年高考数学难题 C ．所有有理数
D ．小于π的正整数
B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]
2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A ．5∈M B ．0?M C ．1∈M
D ．－π2
∈M
D [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π
2<1，故D 正确．]
3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．3
7
D ．7
D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]
4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]
5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )
A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合
B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合
C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合
D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2
＝1的解集
A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而
B ，
C ，
D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.]
二、填空题
6．已知①5∈R ；②1
3
∈Q ；③0?N ；④π∈Q ；⑤－3∈Z .其中正确的个数为________．
3 [①②⑤是正确的，③④是错误的．]
7．设集合A 是由1，k 2
为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．
k ≠±1 [∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.]
8．用符号“∈”或“?”填空：
(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ； (2)设集合C 是满足方程x ＝n 2
＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；
(3)若集合A 有3个元素1，a 和a －2，且3∈A ，则实数a ＝________. (1)? ∈ (2)? ∈ (3)5
[(1)∵23＝12>11，∴23?B ；∵(1＋2)2
＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .
(2)∵n 是正整数，∴n 2
＋1≠3，∴3?C ；当n ＝2时，n 2
＋1＝5，∴5∈C . (3)由3∈A 知，a ＝3或a －2＝3.
当a ＝3时，a －2＝1，不满足元素的互异性，故a ≠3；当a －2＝3时，a ＝5符合题意． 综上知a ＝5.] 三、解答题
9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． [解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，
∴?
??
??
a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，
∴a ＝0或1.
10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2
，若A ＝B ，求实数
x ，y 的值．
[解] 因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.
(1)当x ＝0时，x 2
＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1. 由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.
1．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( ) A ．1∈M B ．0∈M C ．－1∈M D ．－2∈M
C [由2∈M 知2为方程x 2
－x ＋m ＝0的一个解，所以22
－2＋m ＝0，解得m ＝－2. 所以方程为x 2
－x －2＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝2. 故方程的另一根为－1.选C.]
2．由实数x ，－x ，|x |，x 2
，－3x 3所组成的集合，最多含元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个
D ．5个
A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2
，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素， 当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2
＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素，
当x <0时，x 2
＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，
故选A.]
3．设集合D 是满足方程y ＝x 2
的有序实数对为(x ，y )的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .
? ∈ [∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1?D ；又(－1)2
＝1，∴(－1,1)∈D .]
4．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b
的可能取值所组成的集合中元素的个数为
________．
3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b
b ＝1＋1＝2.
当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a
＋－b
b
＝－1－1＝－2.
当a ，b 异号时，|a |a
＋|b |
b
＝0. ∴
|a |a ＋|b |
b
的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]
5．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则1
1－a
∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．
[解] 根据题意，由2∈A 可知，1
1－2＝－1∈A ；
由－1∈A 可知，11－－1＝1
2
∈A ；
由1 2
∈A可知，
1
1－
1
2
＝2∈A.
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，
1
2
，2.
课时分层作业(二) 集合的表示
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( )
A．0∈A B．1.5?A
C．－1?A D．6∈A
D[∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，
∴6?A，故选D.]
2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
D[解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]
3．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
B[{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．]
4．集合{－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示为( )
A．{－1≤x≤8}B．{x|－1≤x≤8}
C．{x∈Z|－1≤x≤8}D．{x∈N|－1≤x≤8}
C[观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，故选C.]
5．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C ．{全体整数}
D ．实数集可表示为R
D [选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．]
二、填空题
6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________． {x |x ＝2n ，n ∈N *
} [正整数中所有的偶数均能被2整除．]
7．设集合A ＝{1，－2，a 2
－1}，B ＝{1，a 2
－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________. 1 [由集合相等的概念得
?
????
a 2
－1＝0，a 2
－3a ＝－2，解得a ＝1.]
8．设－5∈{x |x 2
－ax －5＝0}，则集合{x |x 2
＋ax ＋3＝0}＝________. {1,3} [由题意知，－5是方程x 2
－ax －5＝0的一个根， 所以(－5)2
＋5a －5＝0，得a ＝－4， 则方程x 2
＋ax ＋3＝0，即x 2
－4x ＋3＝0，
解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2
－4x ＋3＝0}＝{1,3}．] 三、解答题
9．选择适当的方法表示下列集合．
(1)由方程x (x 2
－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2且小于6的有理数；
(3)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
[解] (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x |x (x 2－2x －3)＝0}．
(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2 (3)用描述法表示该集合为 M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }； 或用列举法表示该集合为 {(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}． 10．已知集合A ＝? ????? ??? ?x ∈Z ?? ? 43－x ∈Z ， (1)用列举法表示集合A ； (2)求集合A 的所有元素之和． [解] (1)由4 3－x ∈Z ，得3－x ＝±1，±2，±4. 解得x ＝－1,1,2,4,5,7. 又∵x ∈Z ，∴A ＝{－1,1,2,4,5,7}． (2)由(1)得集合A 中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18. 1．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，若a ＝5，则有( ) A ．a ∈A B ．－a ?A C ．{a }∈A D ．{a }?A A [由题意，当k ＝2时，x ＝5，所以a ∈A .当k ＝－3时，x ＝－5，所以－a ∈A .故选A.] 2．设集合A ＝{1,2,3}， B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 B [当a ＝1，b ＝4时，x ＝5；当a ＝1，b ＝5时，x ＝6；当a ＝2，b ＝4时，x ＝6；当a ＝2，b ＝5时，x ＝7；当a ＝3，b ＝4时，x ＝7；当a ＝3，b ＝5时，x ＝8.由集合元素的互异性知M 中共有4个元素．] 3．有下面六种表示方法 ①{x ＝－1，y ＝2}；②(x ，y )??? ? ?? ????x ＝－1，y ＝2；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x ， y |x ＝－1或y ＝2}． 其中，能正确表示方程组? ?? ?? 2x ＋y ＝0， x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号)． ②⑤ [ 序号 判断 原因分析 ① 否 ①中含两个元素，且都是方程，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点 ② 能 ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同 ③ 否 ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素 ④ 否 ④没有用花括号“{ }”括起来，不表示集合 ⑤ 能 ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等 ⑥ 否 ⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号( )，条件中“或”也要改为“且” 4．已知集合A ＝{a －2,2a 2 ＋5a,10}，若－3∈A ，则a ＝________. －32 [因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2 ＋5a ＝－3，当a －2＝－3时，a ＝－1， 此时2a 2 ＋5a ＝－3，与元素的互异性不符，所以a ≠－1. 当2a 2 ＋5a ＝－3时，即2a 2 ＋5a ＋3＝0， 解得a ＝－1或a ＝－3 2.显然a ＝－1不合题意． 当a ＝－32时，a －2＝－7 2，满足互异性． 综上，a ＝－3 2 .] 5．已知集合A ＝{x |ax 2 －3x ＋2＝0}． (1)若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值； (2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围； (3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝2 3，符合题意．当a ≠0时，方 程ax 2 －3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时， 集合A 中只有一个元素． (2)由题意得，当? ?? ?? a ≠0， Δ＝9－8a >0， 即a <9 8 且a ≠0时方程有两个实根， 又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是a ≤9 8. (3)由(1)知，当a ＝0或a ＝9 8时，集合A 中只有一个元素． 当集合A 中没有元素，即A ＝?时， 由题意得? ?? ?? a ≠0， Δ＝9－8a <0，解得a >9 8 . 综上得，当a ≥9 8或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素. 课时分层作业(三) 集合间的基本关系 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 B [根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．] 2．已知集合B ＝{－1,1,4}，满足条件?M ?B 的集合M 的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．7 D ．8 C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.] 3．①0∈{0}；②?{0}；③{0,1}?{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上面关系中正确 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 B [①正确，0是集合{0}的元素；②正确，?是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a ，b )}含一个元素(a ，b )，集合{(b ，a )}含一个元素(b ，a )，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.] 4．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝? ?? ? ?? ????x ，y ??? y x ＝1 ，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ?B B [∵B ＝? ?? ? ?? ??? ?x ，y ??? y x ＝1 ＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴B A .] 5．已知A ＝{1,3，m ＋2}，B ＝{3，m 2 }，若B ?A ，则m ＝( ) A ．±1 B ．－1或2 C ．1 D ．2 D [由B ?A 知，m 2 ＝1或m 2 ＝m ＋2. 当m 2 ＝1时， m ＝±1，此时不满足集合元素的互异性； 当m 2 ＝m ＋2时，m ＝－1或m ＝2， 当m ＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m ＝2时成立．] 二、填空题 6．设A ＝{x |1 {a |a ≥2} [如图，因为A B ，所以a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}． ] 7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________． {(1,2)}，{(－3,4)} [{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有?，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．] 8．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________， b ＝________. 0 1 [A ＝{1，a }，解方程x (x －a )(x －b )＝0， 得x ＝0或a 或b ，若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1.] 三、解答题 9．设A ＝{x |x 2 －8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝1 5，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ?A ，求实数a 组成的集合C . [解] (1)因为B ＝{5}，元素5是集合A ＝{5,3}中的元素， 集合A ＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合B 中没有，所以B A . (2)当a ＝0时，由题意B ＝?，又A ＝{3,5}，故B ?A ； 当a ≠0时，B ＝???? ?? 1a ，又A ＝{3,5}，B ?A ， 此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15 . 所以C ＝? ?????0，13，15. 10．已知集合A ＝{x |x <－1，或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ?A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当B ＝?时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意． (2)当B ≠?时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得??? ?? a ＋3≥2a ， a ＋3<－1 或????? a ＋3≥2a ， 2a >4， 解得a <－4或2 综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4，或a >2}． 1．集合? ??? ??1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 C [∵? ??? ??1，a ，b a ＝{0，a 2 ，a ＋b }，又a ≠0， ∴b a ＝0，∴b ＝0.∴a 2 ＝1，∴a ＝±1. 又a ≠1，∴a ＝－1， ∴a 2 017 ＋b 2 018 ＝(－1) 2 017 ＋0 2 018 ＝－1.] 2．若集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k 4＋1 2 ，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．N ?M C ．M N D ．以上均不对 C [M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }＝{x |x ＝2k ＋1 4，k ∈Z }． N ＝{x |x ＝k 4＋12 ，k ∈Z }＝{x |x ＝k ＋2 4 ，k ∈Z }． 又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以M N .] 3．已知集合P ＝{x |x 2 ＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ?P ，那么a 的取值是________． 0或±1 [由题意得P ＝{－1,1}， 又因为Q ?P ， ①若Q ＝?，则a ＝0，此时满足Q ?P ； ②若Q ≠?，则Q ＝?????? ????x ? ?? x ＝ 1a ，由题意知，1a ＝1或1 a ＝－1，解得a ＝±1. 综上可知，a 的取值是0或±1.] 4．集合A ＝{x |(a －1)x 2 ＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a 的取值为________． 1或－1 8 [由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a ＝1时，满足题意．当a ≠1 时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0可得a ＝－1 8 .] 5．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1 [解] 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ， ∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A 中含有8个元素， ∴A 的非空真子集个数为28 －2＝254(个)． (2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝??A ； ②当m >－2时， B ＝{x |m －1 因此，要B ?A ， 则只要? ?? ?? m －1≥－2，2m ＋1≤5?－1≤m ≤2. 综上所述，知m 的取值范围是 {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}. 课时分层作业(四) 并集、交集及其应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4} A [∵A ＝{1,2,3}， B ＝{2,3,4}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4}． 故选A.] 2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 B [∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，∴A ∩B ＝{2,4}． ∴A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.] 3．已知集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合A ∪B 等于( ) A ．{x |－1≤x <3} B ．{x |x <3} C ．{x |x <－1} D ．{x |x >3} B [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}， B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}． ∴A ∪B ＝{x |x <3}，选B.] 4．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ∩B ＝{1,3}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2} B ．{1,3} C ．{1,2,3} D ．{2,3} C [∵A ∩B ＝{1,3}，∴3∈B ，∴m ＝3， ∴B ＝{1,2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．] 5．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( ) A ．a ＝3，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝－3，b ＝－2 D ．a ＝－2，b ＝－3 B [∵A ∩B ＝{(2,5)}， ∴? ?? ?? 5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝3，故选B.] 二、填空题 6．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________. {1,3} [A ∩B ＝{1,2,3}∩{y |y ＝2x －1，x ∈A } ＝{1,2,3}∩{1,3,5} ＝{1,3}．] 7．若集合A ＝{x |－1 A ∪ B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1 8．设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，则a 的取值范围为________． {a |1＜a ≤3} [如图所示， 由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3.] 三、解答题 9．已知集合A ＝? ????? ??? ?x ??? ??? ?? 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{x |2x －1<3}，求A ∩B ，A ∪B . [解] 解不等式组? ?? ?? 3－x >0， 3x ＋6>0，得－2 即A ＝{x |－2 解不等式2x －1<3，得x <2，即B ＝{x |x <2}， 在数轴上分别表示集合A ，B ，如图所示． 则A ∩B ＝{x |－2 (2)∵A ＝{x |－2 1．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2 }，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 B [∵A ∪B ＝A ，∴B ?A .∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2 }，∴x 2 ＝0或x 2 ＝2或x 2 ＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验，当x ＝2或－2时满足题意，故选B.] 2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为( ) A.?????? 1，12 B.?????? －1，12 C.? ????? 1，0，12 D.? ????? 1，－12 C [当m ＝0时，B ＝?，A ∩B ＝B ； 当m ≠0时，x ＝1m ，要使A ∩B ＝B ，则1m ＝1或1m ＝2，即m ＝1或m ＝1 2 .] 3．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 6 [用数轴表示集合A 、B 如图所示．由A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.] 4.设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a －3 ?? ?? a <－1， a ＋8>5，解得－3 ] 5．已知A ＝{x |x >a }，B ＝{x |－2 当a <－2时，A ∪B ＝{x |x >a }，A ∩B ＝{x |－2 课时分层作业(五) 补集及综合应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．若全集U ＝{0,1,2,3}且?U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 C [A ＝{0,1,3}，真子集有23 －1＝7.] 2．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合?U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0 D [由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，所以?U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．] 3．若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( ) A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P C [由题意知?R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x ＞－1}，则?R P ?Q ，故选C.] 4．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(?R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} A[由A＝{x|x＋1＞0}得?R A＝{x|x≤－1}，又B＝{－2，－1,0,1}所以(?R A)∩B＝{－2，－1}，故选A.] 5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( ) A．A∪B B．A∩B C．?U(A∩B) D．?U(A∪B) D[∵A∪B＝{1,3,4,5,6}，∴?U(A∪B)＝{2,7}．] 二、填空题 6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若?U A?B，则实数m的取值范围是________．{m|m<1}[∵?U A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}， ∴由?U A?B可知m<1.] 7．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(?R B)＝________. {x|－1≤x<3}[∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}， ∴?R B＝{x|x≥－1}， ∴A∩(?R B)＝{x|－1≤x<3}．] 8．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是______．(填序号) ①Z∪?U N；②N∩?U N；③?U(?U?)；④?U Q. ①[结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪?U N＝R，故填①.] 三、解答题 9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(?U A)∩(? U B)，A∩(?U B)，(?U A)∪B. [解] 法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，?U A＝{1,2,6,7,8}， ?U B＝{1,2,3,5,6}， ∴(?U A)∩(?U B)＝{1,2,6}，A∩(?U B)＝{3,5}， (?U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(?U A)∩(?U B)＝{1,2,6}，A∩(?U B)＝{3,5}，(?U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2 [解] 如图所示． ∵A＝{x|－2 ∴?U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ?U B＝{x|x<－3，或2 A∩B＝{x|－2 A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(?U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(?U B)＝{x|2 ?U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 1.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1 A[阴影部分表示的集合为N∩(?U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.] 2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?R B)＝R，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a≤1}B．{a|a<1} C．{a|a≥2}D．{a|a>2} C[由于A∪(?R B)＝R，则B?A，可知a≥2.故选C.] 3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________． {x|－2≤x<1}[阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)＝(?U M)∩(?U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．] 4．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则?U A＝________. {2}[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)． 故U ＝{1,2，－1}，A ＝{1，－1}，则?U A ＝{2}．] 5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪(?U A )＝R ，B ∩(?U A )＝{x |0 [解] ∵A ＝{x |1≤x ≤2}， ∴?U A ＝{x |x <1或x >2}． 又B ∪(?U A )＝R ，A ∪(?U A )＝R ，可得A ?B . 而B ∩(?U A )＝{x |0 可得B ＝A ∪{x |0 课时分层作业(六) 函数的概念 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．已知函数f (x )＝3x ，则f ? ?? ??1a ＝( ) A ．1 a B ．3a C ．a D ．3a D [f ? ?? ??1a ＝3a ，故选D.] 2．下列表示y 关于x 的函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y 2 ＝x C ．|y |＝x D ．|y |＝|x | A [结合函数的定义可知A 正确，选A.] 3．函数y ＝x 2 －2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3} A [当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2 －2x 的值域为{－1,0,3}．] 4．函数y ＝ x ＋1 x －1 的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D ．[－1,1)∪(1，＋∞) D [由题意可得? ?? ?? x ＋1≥0， x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1， 故函数y ＝ x ＋1 x －1 的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．故选D.] 5．下列四组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2 ，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x | D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x C [∵f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2 (x ≥0)两个函数的定义域不一致，∴A 中两个函数不表示同一函数； ∵f (x )＝x 2 ，g (x )＝(x ＋1)2 两个函数的对应法则不一致，∴B 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∴C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∴D 中两个函数不表示同一函数，故选C.] 二、填空题 6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． ? ?? ??12，＋∞ [由题意知3a －1>a ，则a >12.] 7．已知函数f (x )＝ 1 1＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝________. －56 [由f (t )＝6，得11＋t ＝6， 即t ＝－56 .] 8．设函数f (x )＝2x －1，g (x )＝3x ＋2，则f (2)＝________，g (2)＝________，f (g (2))＝________. 3 8 15 [f (2)＝2×2－1＝3，g (2)＝3×2＋2＝8， f ( g (2))＝f (8)＝2×8－1＝15.] 三、解答题 9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； (2)f (x )＝x ＋30 |x |－x . [解] (1)要使函数式有意义，必须满足??? ? ? 3x －1≥0，1－2x ≥0， 即???? ? x ≥13 ， x ≤1 2 .所以13≤x ≤12 ， 即函数的定义域为???? ??13，12. (2)要使函数式有意义，必须满足??? ?? x ＋3≠0， |x |－x >0，即? ?? ?? x ≠－3， |x |>x ， 解得? ?? ?? x ≠－3， x <0.所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1 x ＋2 . (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f ? ?? ??23的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值． [解] (1)由??? ? ? x ＋3≥0，x ＋2≠0， 得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)． (2)f (－3)＝－1，f ? ????23＝3 8＋333. (3)当a >0时，f (a )＝a ＋3＋ 1a ＋2，a －1∈(－1，＋∞)，f (a －1)＝a ＋2＋1a ＋1 . 1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( ) A B C D D [A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．] 2．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝－x 2 C ．f (x )＝1 x D ．y ＝|x | A [对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立． 对于 B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2 ≠f (x )＋1，不成立． 对于C 选项，f (x ＋1)＝ 1x ＋1，f (x )＋1＝1 x ＋1，不成立． 对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．] 3．若函数f (x )＝ax 2 －1，a ＞0，且f (f (－1))＝－1，则a ＝________，f (x )的值域为________． 1 [－1，＋∞) [由f (x )＝ax 2 －1得f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a (a －1)2 －1， 由f (f (－1))＝－1得a (a －1)2－1＝－1， ∴a (a －1)2 ＝0. 又a ＞0，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2 －1≥－1，即f (x )的值域为[－1，＋∞)．] 4．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ? ???? x 2＋f (x －1)的定义域是________． (0,2) [由题意知 ????? －1 即????? －2 0 解得0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0,2)．] 5．已知函数f (x )＝ x 2 1＋x 2 . (1)求f (2)＋f ? ????12，f (3)＋f ? ????13的值； (2)求证：f (x )＋f ? ?? ??1x 是定值． [解] (1)∵f (x )＝ x 2 1＋x 2 ， ∴f (2)＋f ? ????12＝22 1＋22＋ ? ????1221＋? ?? ??122＝1. 第1章集合 1.1集合的含义及其表示 第1课时集合的含义 创新练习（1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1.方程：x2-2x+l=0的解集为. 2.若a是小于9的自然数，且a是集合A={x｜x=2n，n是整数}中的一个元素，则a的值可以是， 3.若集合A={x｜ax2-2x+l=0，x，a∈R}仅有一个元素，则a= . 4.若x，y是非零实数，则的取值集合为. 5.将集合{（x，y）｜x2-y2=5，x，y是整数}用列举法表示为. 6.对于集合：①{（1，2）}；②{（2，1）}；③{1，2}；④{2，1}.其中表示同一集合的两个集合是（用序号表示）. 7.对于集合：①{x｜x=l}；②{y｜（y-1）2=0}；③x =l}；④{1}.其中不同于另外三个集合的是（用序号表示）. 8.给出下列集合： ，其中是有限集的是. 9.给出下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{2，3，1}；③方程（x-1）2（x-2）=0的所有解构成的集合可表示为1{l，1，2}；④集合{x｜y=x2}与集合{（x，y）｜y =x2}是同一集合.其中正确的有（用序号表示）. *10.若集合A由三个元素2，x，x2-x构成，则实数x的取值范围是. 11.已知集合A={1,2}，B={a+2,2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x=x1·x2,x1是A中元素，x2是B中元素}记为集合A×B.若集合A×B中的最大元素是2a＋4，求实数a的取值集合. 12.已知集合A={x|（x－1）（x－a）（x－a2+2）=0，a∈R}. （1）若2∈A，求实数a的值； （2）若集合A中所有元素的和为0，求实数a的值. 第2课时元素与集合的关系 创新练习（1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1.已知集合A={1,2，a2}，B={1，a＋2}，若4∈A且4?B，则a= . 2.若集合A={1,2，3,4,5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的 个数为 . 3.给出下列叙述：①集合N中最小的数是1；②若a∈N， b∈N*，则a＋b的最小值是2；③方程x2－2x＋1=0的解得是{1,1}；④{x|x2－x－2=0, x∈N*}={-1,2}.其中正确的个数是 . 4.已知P和Q是两个集合，定义集合P－Q={x|x∈P且x?Q}. 若P={1,2,3,4,5}，Q={2,4,5}，则P－Q= . 高中数学分层作业的设计思路探索 随着时代的发展，我国各行各业都取得了巨大成就，最为提高我国国民基本素养的教育领域也进行了较为深刻的改革。自我国在教育领域实施新课改以来，我国高中数学教师就积极地响应新课改的号召，在高中数学教学中，充分体现了“以人为本”的原则，尊重每个学生个体的差异，能根据学生的不同的基础设计出差异性作业的布置，使得学生在整体上取得了进步，为学生自身的发展提供了保证。本文就将对高中数学分层作业的设计思路进行探索，希望能对我国的高中数学教育的进行有所帮助。 标签：高中数学；分层作业；设计思路；探索 自我国在教育领域实施新课程改革方案以来，我国就在强调素质教育，而“以人为本”是素质教育的基本教育理念，这个理念的主要意义就是要教师在进行教育的过程中，承认学生之间存在差异性，促进学生的个性发展，全面提高学生的素质，这在很大程度上给高中数学教师的教学带来了挑战，为适应新课程改革带来的挑战，需要采取积极有效的措施对学生实施教育，需要对学生进行分层作业的布置，这是一种比较有效的教学模式，具有较强的实践性与灵活性，能做到因材施教。[1] 一、分层作业含义 其实早在我国的春秋战国时期，我国就已经出现了分层作业理论，也就是我国最伟大的教育家之一孔子所强调的“因材施教”的教育方法。具体而言，就是教师在从事教学活动过程中，要承认学生之间的差异性，并且会充分尊重他们之间的这种差异性。在新课改的号召之下，教师对学生进行针对性的作业布置，这样就可以使得处于不同基础水平的学生都能够在学习与能力上有所提升，进而不断提高自身能力，挖掘自身的潜力。由于分层教学实现了学生自己对作业的选择，这就在一定程度上实现了学生对自身能力的认可，使其对自己有准确的定位，正确认识自身的能力，对其在未来事业发展中具有重要的意义。 二、高中数学分层作业设计 随着时代的进步，高考作为许多学生步入大学校门的基本途径，高中教学任重而道远。高中数学教育作为一门基础性的教学学科，对于学生进行其他学科的学习具有一定辅助作用。但是，现在的高中生每个人的基础与能力不同，这就给高中数学教师的教学带来了挑战，因此，教师要在新课改的号召之下，对学生进行分层作业的教学设计。 1.对学生进行分层 在高中数学分层作业设计的工作中，在设计之初，教师就要对班级内的所有学生的学习状况有所了解，了解到学生之间数学基础存在的差异，只有这样，才 高中数学分层教学教学设计 一意义与价值 现代课程理论的观点——教学设计是应用系统方法对各种课程资源进行有机整合，对教学过程中相互联系的各部分作出科学合理安排的一种构想。教学设计直接反映出教师的业务水平，反映教师对教材的理解程度和对新课标的把握尺寸，它直接影响课堂教学效果，尤其在全面推进素质教育的同时，更要注重培养学生的个性品质。所以我们在本课题的研究中把“高中数学分层教学设计”作为一个子课题研究，通过对本课题的研究，能彻底改变教师的教学观念，在提高教师业务水平的同时，是教师在教学方法有新的突破，在教学艺术出具特色，在教学风格上有自己的独特之处，为培养特色教师奠定基础，在全面提高教学质量的同时，更注重培养学生的个性品质及非智力因素。 二研究目的 1、教学设计科学合理，教学目标明确，教学设计环节齐全，教学过程中的其他环节紧扣教学目标，教学设计要科学严谨，不能有形式无内容，也不能有内容不注重形式，所有的教学设计都是围绕教学目标所设定，教学目标的实现是通过测试而实现的。 2、教学设计中要体现新课标的核心理念，新课标是教学的指导思想，深入理解新课程标准是对教学内容的定位，是确定教学内容三维目标的主要依据，同时在教学设计中，要贯穿分层教学思想，在备、讲、改、辅、作业等诸多环节中体现分层教学思想。 3 、通过对本课题的研究，教学设计要在科学合理可行的基础上，又要体现教学艺术和教学风格。 三研究内容 1、学生情况分层分析： 对学生学习改内容时，要分析各层学生原有的知识背景，学习该内容的生活经验和学习经验，对各层学生进行测试和访谈，学习该内容可能存在的困难对各层学生进行访谈，对学生的学习兴趣、学习积极性、学习方法、学习习惯对学生进行分层方法。 2 、教学内容分层分析： 讷河市职教中心学校2015 至 2016 学年度上学期 教 案 课程名称： __数学 ____ 任课班级： _15_会计 __ 任课教师：__ __ __ 课程概况 课程概况 任课教师赵忠娟班级15 会计总学时 95 课程名称 5 数学周课时 使用教材高等教育出版社数学基础模块 本目标适合高一新同学的教学使用。前两周主要复习和职业高中相关 的初中课程。在以后的教学周中，主要讲解基础模块的前三章内容。 课程教学 讲解主要突出基础性和职业性，教学中主要体现分层教学的思想。初目标 步掌握各章节的基础知识；锻炼学生逻辑思维、理解记忆及反应能力； 培养学生的细心、耐心和自信心的意志品质。 章/ 节授课内容学时周次 学时分配附录 1 附录 1 第一章 第一章 第一章 第一章 第二章 第二章 数及数的运算， 代数式及其运算 方程与方程组、 不等式及不等式组 集合的概念 集合之间的关系 集合的运算 充要条件、处理习题 机动 不等式的基本性质 区间 9第一周 9第二周 5第三周 5第四周 5第五周 5第六周 5第七周 5第八周 5第九周 第二章 章 / 节 第二章 第二章 学第三章 第三章 时 第三章 分第三章 第三章 第一章、第二章配 第三章 第一章、第二章 第三章一元二次不等式 授课内容 一元二次不等式 含绝对值的不等式 函数的概念及表示法 函数的性质 函数的性质 函数的实际应用举例 函数的实际应用举例 综合复习 复习考试 5第十周 学时周次 5 第十一周 5 第十二周 5 第十三周 5 第十四周 5 第十五周 5 第十六周 5 第十七周 5 第十八周 5 第十九周 高中数学课时分层作业1集合的含义（含解析）新人教A 版必修1 课时分层作业(一) 集合的含义 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．拥有手机的人 B ．2019年高考数学难题 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数 B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.] 2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A.5∈M B ．0M C ．1∈M D ．－π2 ∈M D [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2 <1，故D 正确．] 3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37 D ．7 D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.] 4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.] 5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合 B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合 C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合 D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2 ＝1的解集 A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而 B ， C ， D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.] 二、填空题 6．若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”或“”)． 课时作业38 基本不等式 一、选择题 1．下列不等式一定成立的是( C ) A ．lg ? ?? ?? x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1 sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1 x 2＋1 >1(x ∈R ) 解析:对选项A,当x >0时,x 2 ＋1 4－x ＝? ????x －122≥0,所以lg ? ?? ??x 2＋14≥lg x ；对选项 B,当sin x <0时显然不成立；对选项C,x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |,一定成立；对选项D,因为x 2＋1≥1,所以0<1 x 2＋1 ≤1.故选C. 2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞) D ．(－∞,－2] 解析:∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ? ????当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立, ∴2x ＋y ≤12,∴2x ＋y ≤1 4,得x ＋y ≤－2. 3．已知a ＋b ＝t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t ＝( C ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．2 5 解析:∵a >0,b >0,∴ab ≤(a ＋b )24＝t 24,当且仅当a ＝b ＝t 2时取等号．∵ab 的最大值为2,∴t 2 4＝2,t 2＝8.又t ＝a ＋b >0,∴t ＝8＝2 2. 4．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ,则f (x )在? ??? ?? 12，3上的最小值为( D ) A.1 2 B.4 3 C ．－1 D ．0 解析:f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0,当且仅当x ＝1 x ,即x ＝1时取等 号．又1∈??????12，3,所以f (x )在???? ?? 12，3上的最小值是0. 5．已知x ,y 为正实数,且x ＋y ＋1x ＋1 y ＝5,则x ＋y 的最大值是( C ) A ．3 B.72 C ．4 D.92 解析:∵x ＋y ＋1x ＋1y ＝5,∴(x ＋y )[5－(x ＋y )]＝(x ＋y )·? ?? ??1x ＋1y ＝2＋y x ＋x y ≥2＋2＝4,∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0,∴1≤x ＋y ≤4, ∴x ＋y 的最大值是4,当且仅当x ＝y ＝2时取得． 6．(吉林长春外国语学校质检)已知x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,若2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,则实数t 的取值范围是( B ) A ．(－∞,－8)∪(3,＋∞) B ．(－8,3) C ．(－∞,－8) D ．(3,＋∞) 解析:∵x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,可得3y ＋2x ＝1,∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )3y ＋2 x ＝13＋6x y ＋6y x ≥13＋2 6x y ·6y x ＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．∵2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,∴t 2＋5t ＋1<(2x ＋3y )min ,∴t 2＋5t ＋1<25,解得－8 职业高中数学课的“分层”教学 摘要：《数学》课是中等职业学校各类专业学生的必修课。但是进入职高的学生数学基础总体较差，学习数学的习惯、能力等不相同，为了使不同程度的学生都能在数学上有所发展，在具体的教学实践中采用“分层”教学的方法，为直接就业学生的专业课学习提供足够的数学知识，为继续深造的学生打下坚实的数学基础，使所有的学生真正学到有价值的数学。 关键词：职高数学教学；分层教学 《数学》是中等职业学校各类专业学生必修的文化基础课，为职校生学好专业理论课，实践技能和谋职就业准备必须的数学知识和数学思想方法。但是职校生普遍数学基础差,感到数学是最不想学、最难学的课程之一。许多职校的数学老师也认为职高数学很难教。究其原因，固然有学生基础差的原因，但更多的是我们教师的教学方法较少考虑学生的差异性和特殊性。通过多年的教学实践我认为,职高的数学教学更要体现学生的主体地位，教法要服务与学法,真正体现因材施教的原则,所以在教学中采用“分层”的教学方法。 一、分层教学的指导思想 “人人学有价值的数学，人人都获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，这一理念在义务教育阶段就已经提出，在高中职业教育阶段更应作为一个最基本的教育理念。经过初中的学习，学生的数学能力以初步分化，进入职校的学生, 绝大部分学生是为了来职业学校学一技之长，以后能顺利就业。所以对职高学生的数学课要按照学生的要求分层教学，对于准备继续深造的学生,不仅要求掌握知识的形成过程,还要培养学生的数学思维；对于直接就业的学生，数学课的功能就是为专业课的学习作好知识储备，不需过多的数学理论知识，只要学以够用、学以致用即可。 二、分层教学的实施 1、分层前的准备。由于分层教学需将一个班的学生分成不同的等级，所以分层前必须作好学生和家长的思想工作。给他们讲清道理，学习成绩的差异是客 课后作业（二十） 一、选择题 1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心 2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3 D.56 π 3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1，3] C ．[－3，1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 4．过点(－4，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则直线l 的方程为( ) A ．5x ＋12y ＋20＝0 B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0 C ．5x －12y ＋20＝0 D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0 5．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝( ) A.33 B.33或－33 C. 3 D.3或－ 3 6．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 二、填空题 7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 高中数学的作业设计 数学作业设置是巩固学生课堂学习的有效手段，不仅是检查学生学习情况的载体，也是教师教学情况的反馈。 数学作业 数学作业设置是巩固学生课堂学习的有效手段，不仅是检查学生学习情况的载体，也是教师教学情况的反馈。那么，如何设计高中数学的作业呢？ 一、高中数学作业的特点 现在教师在布置作业时，有五留五不留的要求，坚持“精选、先做、全批、讲评”原则，做到“五留五不留”：即留适时适量作业，留自主型作业，留分层型作业，留实践型作业，留养成型作业；不留超时超量作业，不留节日作业，不留机械重复作业，不留随意性作业，不留惩罚性作业。 对于高中数学学科的作业也有其自身的特点： 1、抽象性：高度的抽象概括性是高中数学作业的一大特点。高中数学知识较其他学科的知识更抽象、更概括，使高中数学完全脱离了具体的事实，仅考虑形式的数量关系和空间关系。高中数学作业中有很多习题使用了高度概括的形式化数学语言、给出的是抽象的数量关系和空间关系。解应用题或解决问题也是具体—抽象—具体的过程。 2、严谨性：由于高中数学的严谨性，所以高中数学作业同样具有严谨性。汉斯·弗赖登塔尔曾经说过：“只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，从而不仅可以确定结果是否正确，还可以确定是否已经正确的建立起来。”可见高中数学的严谨性。 3、独立性：高中数学中，除了立体几何、解析几何有相对明确的系统（与平面几何相比也不成体统），代数、三角的内容具有相对的独立性。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点，否则，综合运用知识的能力必然会欠缺。 4、频繁性：由于年龄的增长，接受能力、理解能力也在提高。同时高中数学教材的内容多而杂，这就决定了高中数学每节课的内容较初中时要多。且高中课程中数学课在一周中几乎天天都有，因此高中数学作业的布置是极其频繁的。课堂上往往“将问题作为教学的出发点”和“变式训练”。每堂课后都有课外作业，学生在校期间天天都有数学作业。 二、高中数学作业设计的策略 高中数学课堂的分层教学 【摘要】新课改以促进学生的全面发展为目标，但是学生所掌握的基础知识不同、个体之间存在差异，课堂教学就不能一概而论，特别是高中数学逻辑学、抽象性较强，学生基础与能力对知识的领悟影响甚大，因此课堂教学一定要做到因材施教、因人而异，而分层教学恰能满足学生个体差异，促进学生共同发展。 【关键词】高中数学；分层教学 随着高中招生规模的日益扩大，进入普通高中的学生数学能力参差不齐，对知识的理解和掌握能力差距较大，这给高中数学教学带来挑战。为了满足课改要求，为了促进学生发展，提高数学课堂效率，使优生更优、差生渐优，走出课堂教学的恶性局面，使高中数学教学改革取得成效，这就要求我们教师要灵活施教，课堂教学中实施分层教学。这种教学方式既兼顾了学生的个体差异，又满足了学生的学习需求。对此本文以分层教学的内涵入手，结合自身教学实践详细剖析了分层教学的实施方法，以期为课改尽点绵薄之力。 1. 分层教学的内涵 1.1 激发兴趣，全员参与。兴趣是最好的老师，中学生具有强烈的好奇心和求知欲，好奇才能产生兴趣，而浓厚的学习兴趣又能激发求知欲。因此在课堂教学中，教师要充分了解学生的个体差异和认知水平、情感态度等，创设一定的学习情境，使所有学生集中精力，情绪高昂，对数学课堂充满激情，学生好学转化为乐学，这是开展教学的活动的前提。 1.2 以新代旧，梯度发展。“以旧引新，以新代旧”是数学课堂的重要原则。课堂初始，确定有效的课堂切入点，能激发学生的学习兴趣和热情，促进不同层次的学生都积极参与。选用生活事例和学生身边案例，导入就自然流畅，配合会主动默契。分层教学中实施“以旧引新，以新代旧”，以学生认知结构中的旧知识去接受新问题，由于学生的基础不同，教师应适当引导，启发学生寻找新旧知识的结点，鼓励学生大胆尝试，通过问题的设置分析，学生就可温故知新，达到对数学知识的全面整合。 2. 分层教学的的实施 2.1 合理分组。开展分层教学，教师首先要摸清每个学生的学习状况，这样才能对症下药。高中阶段，学校一般按照学生的综合成绩将全年级学生设置各层班级，教师要选用一套难易适中的题目对所教班级的学生进行测验，然后按照学生的成绩将其分为a、b、c三个学习小组，其中a组为优秀组，b组为中等组，c 组为基础组，为了顾及学生的自尊，在分组中要用语恰当，避免c组学生背上心理包袱，而且这个分组要机动设置，每次测验后根据学生成绩灵活调换，这样学生之间就会形成竞争格局，都在争先恐后跨越高层小组。 高中数学课时分层作业5综合法及其应用（含解析）新人教B 版 选修12 课时分层作业(五) (建议用时：40分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a ≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0 C ．a >0，b <0 D ．a >0，b >0 [解析] ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2. ∵a 2＋b 2>0， ∴ab <0，则a ，b 异号，故选C. [答案] C 2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形 [解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形． [答案] D 3．若实数a ，b 满足02ab ， ∴2ab <12. 而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12， 又∵0 ∴a <12 ，∴a 2＋b 2最大，故选B. [答案] B 4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] 若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝b sin B ，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . [答案] C 5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A ．若m ?β，α⊥β，则m ⊥α B ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β D ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ [解析] 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直． [答案] C 二、填空题 6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则 k ＝________. [解析] 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2， ∴? ???? λ＝2，3λ＝k ， ∴????? λ＝2，k ＝6. [答案] 6 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] ∵a 2－c 2 ＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， §3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律． 1．半角公式 (1)S α2：sin α 2＝____________________； (2)C α2：cos α 2＝____________________________； (3)T α2：tan α 2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理 形式)． 2．辅助角公式 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定． 一、选择题 1．已知180°<α<360°，则cos α 2的值等于( ) A ．－1－cos α 2 B. 1－cos α 2 C ．－ 1＋cos α2 D. 1＋cos α 2 2．函数y ＝sin ? ????x ＋π3＋sin ? ????x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.1 2 D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈? ?????0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－1 4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.??????－π，－5π6 B.??????－5π 6 ，－π6 C.??????－π3，0 D.???? ??－π6，0 6．若cos α＝－4 5，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α 2 等于( ) A ．－12 B.1 2 C ．2 D ．－2 中学数学作业分层设计案例 寿县迎河中学龙如山 学生随着年龄的增加，年级的升高，数学学科的难度及知识量也相应增大了，我们发现部分学生开始感到学数学很吃力，学习劲头明显没有以前足了，两极分化的现象开始萌芽。中学数学作业普遍存在：一是作业机械重复性较多；二是作业形式单调，缺乏思维问题；三是作业量分布不均；四是忽视学生间差距和潜能，形成“一刀切”的局面等。学生对这样的数学作业非常反感。大量的作业占去学生的课余大部分时间，抑制了他们自身兴趣爱好的发展，抑制了学生个性的发展，严重影响了学生身心健康的发展。 本案例拟通过对作业分层设计的研究与探讨，从影响中学生作业低效原因的分析出发，实现从原先所谓的“任务”转化成学生自身学习的一种需求。我们尝试从改变作业的形式、内容、以及考虑学生的个体差异等方面进行思考，实行分层作业模式，从而帮助不同层次的学生都能通过合理、有效的完成作业，达到良好的课后巩固的效果。设计不同层次的作业，能让教师从不同的角度了解学生掌握知识、发展能力的综合信息，从这些信息中，教师不但可以比较准确地了解学生“学”的情况，还能及时发现教师“教”所存在的问题，从而为教师进一步改进教学方法，调节教学结构提供了有力的科学依据。 教学案例1： 整式加减是在学习了“有理数运算”基础上的提高。在布置做教科书“整式加减”课后的“综合运用”和“拓展探究”题时，笔者在教室内进行巡视和个别指导，大半节课后，基础好的同学已经做完了所有的题，开始没有事干了；而基础差的同学一节课就在一个题上磨蹭，丝毫没有进展。我看了很着急，问他们是怎么回事，他们说：“不会做”。原来是他们不会分析，时 间一分一秒的过去，可他们却完全没有收获。他们每天的作业不是抄别人的就是不做，我也知道他们没办法，因为问题欠得太多了。 教学案例2： 我们利用课堂时间来检测“整式的加减”的掌握情况。我把练习试卷分发给学生，学生拿着试卷后便：八仙过海，各显神通地做开了。一节课很快过去了，做得好的同学有得满分或九十多分的，做得差的有近十个人在四十分以下。他们一节课做题完全没有进展，因为这些同学数学基础差，再加上每天都跟着“大部队”走，天天“坐飞机”，作业不是抄就是欠，所以练习更不会有什么好效果了。这些同学在练习时也很累，他们心理很着急，一节课咬着笔杆，心急如焚。成绩下来后更是“伤口上撒盐”，学困生就是这样多次受伤而造成的。 1、案例分析： 在义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。在数学教学中，学困生的得来，除了很少部分是智力因素外，大部分就是无效学习造成的。的确，我们在教学中没有承认学生中存在的个体差异，教学中教师总想让学生多学一点东西，怕学生因为少做题而影响成绩，因此就喜欢用一个标准或一个尺码去衡量学生。然而，这样做的效果恰好适得其反。他们在学习中不仅没有尝到成功的快乐，反而还被一次次失败所打击。他们学习上失去了信心，也就没有战胜困难的勇气。因此可见，教学中的“吃大锅饭”和“一把尺子”量到底，使学生在学习上产生恶性循环。为了解决这部分学生的学习问题，首先要解决他们的信心问题。教学中不但要关注他们的课堂表现，更要关注他们知识的掌握和巩固即作业完成的情况。作为教师应该从作业布置中承认他们的差异，努力减轻他们学习上的压力，学困生“吃得了”，中等生“吃得好”，优等生“吃得饱”。给他们尝试成功的机会，让他们树立自信心，给他们学习上的快乐，才能 高中数学分层教学的研究实施方案 一、课题研究背景 传统的高中数学教学片面强调数学的严谨性、逻辑推理的形式 化，忽视数学的创造性;传统教学模式下的学习效果评价，只注重教 师对学生学习的评价，习惯于单凭考试成绩衡量学生的学习情况。这种单一的评价方式不能全面、综合的反映学生的发展程度，它是典型的“应试教育”评价方式，对学生的素质教育极为不利。分层教学是“着眼于学生的可持续性的、良性的发展”的教育观念指导下的一种教学实施策略。所谓“班内分层教学”就是在不打乱原班级的情况下，通过对学生分层、教学内容分层，对不同层次的学生区别施教，进行 分层递进教学。 二、理论依据 1、布鲁姆的“掌握学习理论”。布鲁姆认为。教学中应克服学生成绩呈正态分布曲线的偏见，即认为优中差学生各占班级学生人数的三分之一，甚至认为优等生只能是少数，多数是中等生和差等生。他 认为这种固定化的预想，是最浪费、最有破坏性的观念。它不仅遏制 了教师为提高学生学业成绩的努力与创造精神，而且也极大地挫伤了学生的学习积极性，容易导致老师将主要精力放在尖子学生身上而不 去注意后进生的现象。布鲁姆还认为：学生在学习能力和学习速度上有一定差异，但注意后进生的现象。布鲁姆还认为：学生在学习能力 和学习速度上有一定差异，但是，我们如果提供适当的学习条件，特 别是能为中等生和后进生提供更多的学习条件，90%以上学生的学习 效果会变得十分相似。布鲁姆的理论使我们认识到绝大多数学生的学 习没有学得会与学不会的区别，只有学得比较快和比较慢的区别。只要有充足的学习条件和学习时间，加上科学的指导，90%以上的学生都能对应学会的知识理解和掌握。 2、我国古代的教育教学理论为进行分层推进提供了传统经验。 孔子教学各因其材。孔子之后的墨子也主张教学要照顾学生的实际水平，做到“深其深，浅其浅，益其益，尊其尊”。这些宝贵的传统经验提示我们在教学中要做到因能归类、因人而异、因材施教。 三、课题研究目标 1、通过近几年的调查研究，通钢一中学习成绩方面优等生约20%，差等生约48%；学习习惯方面，优等生约15%，差等生约39%，学生普遍心理素质较差，平行班差生数偏多等。为了在教学中实施素质教育，全面提高学生的学习质量，提高课堂教学的效率。我们结合学习 外地先进经验，准备探索一条“班内分层教学”的新路，将会提高学 生的整体成绩。 2、有利于发展学校的办学特色。特色是一个学校的办学优势所 在，是一个学校教师队伍的优势所在。在开展课题研究活动时，首先 要分析我校的情况，使分层教学既依托学校现有的优势，又有利于促进学校特色的进一步发展。 四、研究方法 经验总结法、比较分析法 五、课题的实施计划 2012.No4 关键词 层次 分层教学 因材施教 有效 近年来，随着普高热的升温，职业教育的市场日渐萧条，人们对于职业教育的认识存在着严重的偏差性，以至于职高的生源素质逐年下降，学生的入学成绩相差很大。以2010年新生入学成绩为例，有500多分的，也有100多分的。学生的学习基础参差不齐，整体差异加大，学生难教已是不争的事实。面对这样的学生群体，教学中，若不兼顾各个层次学生的学习情况，不大面积提高学生的整体水平，职业教育教学质量的提高就成为一句空话。 职业学校学生数学知识、学习习惯、非智力因素等方面的个性差异是客观存在的，若教师无视学生个体差异，仍然采取传统的同一教材、同一教学目标、同一教学手段、同一教学评价的“一刀切”的教学模式，势必影响学生的个性发展能力培养，这就要求我们实施分层教学，即要面向全体学生进行因材施教，促使人人成功。其中数学分层教学法就是我校教学改革的切入点。 职高数学分层教学是因材施教原则在教学中的具体运用，教师在教学实施过程中，首先根据数学课程教学目标要求，设立二至三个层次，学生可根据自身的数学基础、认知水平和能力发展的意愿，自愿选择不同的学习层次，再则根据不同条件特点和专业需要，认真研究各层次相应的有针对性的人性化的分层教学目标、教学方法、教学手段以及多方面地评价教学效果等。 1 正确制定明确的分层教学目标 布卢姆强调“有效的教学始于知道希望达到的目标是什么！”，“目标是预期教学效果”。在现有的以课堂教学为主的形式下，怎样在统一教学的前提下，辅以个别教学，使尽可能多的学生达到教学目标的要求。这就要求教师要依据教学大纲，反复钻研教材,深入了解学生的实际情况，了解学生的智商、情商，在此基础上，根据各层次学生的学习水平制定相应的分层教学目标和选择相应的教学内容，并在教学之前提出每个层次的目标，目标的制定不能过高也不能过低，要让学生跳一跳就能摘到“桃子”，能够刺激学生的成功欲望。这样可以使各层次的学生学习目标明确。 2 合理的教学方法 在教学方法上可对高层次学生施以总目标教学，讲授内容可以更深入，着力培养他们自我学习、自我提高能力，采用“小综合、多变化、主动走、促能力”；对中层次的学生施以具体目标教学，放慢一些进度着重于启发诱导和学习方法的指导与培养，采用“慢变化、多练习、小步走、抓反馈”；对底层次学生施以基本目标教学，要特别注意发挥他们的长处优势，培养他们的自信心和自觉性，采用“低起点、补台阶、拉着走。多鼓励”。 3 丰富多样的教学手段 在教学手段上，改变传统的“一支粉笔、一块黑板、一本 浅析职业高中数学分层教学 周 林 （重庆市开县职业教育中心） 书、一张嘴”的教学方式，可选用多媒体教学技术、以图文并茂、动静结合、声情融汇、视听并用的现代教学手段、为不同层次的学生提供全新的认知和把握发展环境。 （1）课前预习。课前预习的内容，应结合不同层次学生的实际，对不同层次的学生提出不同层次的任务和要求。如对“正弦函数”的教学，A层学生的预习任务是掌握正弦函数的定义、图象及性质，并能应用性质解决较复杂的问题；B层学生的任务是掌握正弦函数的图象及性质，并能利用图象分析性质；C 层学生则要求绘制正弦函数的图象，记住正弦函数的性质。 （2）课堂提问。课堂提问要区别不同层次的学生，提出不同难度、不同深度的问题。如同角三角函数的基本关系内容一节的提问，C层学生回答两个最基本的关系式；B层学生要求回答包括倒数关系在内的五个基本关系式；C层学生则要求回答包括平方关系在内的八个基本关系式。 （3）课堂讲授。课堂讲授的内容，要结合不同层次学生的实际，制定不同的重点、难点，准备不同层次的例题。讲课时，应先照顾A、B层学生，如要求掌握公式、并能直接套用公式解决问题。再讲授难度较大和变形应用的问题，让C层学生进一步提高。 （4）课堂练习。分层教学对课堂练习的要求是，既要让全体学生在掌握基本理论的基础上利用基本方法解决问题，又要使A、B层学生通过积极思考，会解决一定难度的问题。具体为A层学生要求掌握直接套用公式的有关习题；B层学生要求掌握一定难度的习题；c层学生则要求除掌握课本知识外，能涉及一些课外的相关知识。 （5）课后作业。课后作业的选择应做到难易有度。为了区别不同层次学生的要求，作业题分两部分，一部分为必做题，即A、B、C层次学生都必须完成，另一部分为选做题，要求学生尽量完成，主要为c层学生设计。 4 多方面地评价教学效果 传统的课程评价就是考试，以考试成绩来判断学生对这门课程的掌握情况。而分层教学则可以运用多种评价方法。分层评价是对学生学业成绩的评价目的不是鉴定和选拔，而是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生全面发展，让不同水平、不同智能、不同个性的学生都在原有基础上发展。因此，教师对学生学业成绩的评价，一则要转变传统的单一书面考试方式、内容、尺度统一的“一把尺子”标准及重学生结果轻过程的评价模式。二则要实施分层评价。分层评价是指在以课程标准为依据的前提下，针对不同学生采用不同标准对学生学业成绩进行评价。不同标准包含标准的内容不同、标准的尺度不同，即对不同学生用不同的参照标准，对水平较高学生用目标参照标准，对水平较低学生用自我参照标准；还有情感态度标准，即学生的学习情感态度价值观。用分层标准评价学生，一是评价学习内容，学生哪方面成绩最好，就评哪方面内容；二是看发展进步，现在与过去成绩比，有进步有提 2017-2018学年高一数学必修1 全册同步课时作业 目录 1.1.1-1集合与函数概念 1.1.1-2集合的含义与表示 1.1.1-3集合的含义与表示 1.1.2集合间的包含关系 1.1.3-1集合的基本运算（第1课时）1.1.3-2集合的基本运算（第2课时）1.1习题课 1.2.1函数及其表示 1.2.2-1函数的表示法（第1课时）1.2.2-2函数的表示法（第2课时）1.2.2-3函数的表示法（第3课时）1.2习题课 1.3.1-1单调性与最大（小）值（第1课时） 1.3.1-2单调性与最大（小）值（第2课时） 1.3.1-3单调性与最大（小）值（第3课时） 1.3.1-4单调性与最大（小）值（第4课时） 1.3.2-1函数的奇偶性（第1课时）1.3.2-2函数的奇偶性（第2课时）函数的值域专题研究 第一章单元检测试卷A 第一章单元检测试卷B 2.1.1-1基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1-2指数与指数幂的运算（第2课时） 2.1.2-1指数函数及其性质（第1课时）2.1.2-2指数函数及其性质（第2课时）2.1.2-3对数与对数运算（第3课时）2.2.1-1对数与对数运算（第1课时）2.2.1-2对数与对数运算（第2课时）2.2.1-3对数与对数运算（第3课时）2.2.2-1对数函数及其性质（第1课时）2.2.2-2对数函数的图像与性质（第2课时） 2.2.2-3对数函数的图像与性质 2.3 幂函数 图像变换专题研究 第二章单元检测试卷A 第二章单元检测试卷B 3.1.1函数的应用 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2.1函数模型及其应用 3.2.2函数模型的应用实例 第三章单元检测试卷A 第三章单元检测试卷B 全册综合检测试题模块A 全册综合检测试题模块B 1.1.1-1集合与函数概念课时作业 1.下列说法中正确的是() A.联合国所有常任理事国组成一个集合 B.衡水中学年龄较小的学生组成一个集合 C.{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合 D.由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 答案 A 解析根据集合中元素的性质判断. 高中数学作业分层设计的实效性案例学生随着年龄的增加，年级的升高，数学学科的难度及知识量也相应增大了，我们发现部分学生开始感到学数学很吃力，学习劲头明显没有以前足了，两极分化的现象开始萌芽。中学数学作业普遍存在：一是作业机械重复性较多；二是作业形式单调，缺乏思维问题；三是作业量分布不均；四是忽视学生间差距和潜能，形成“一刀切”的局面等。学生对这样的数学作业非常反感。大量的作业占去学生的课余大部分时间，抑制了他们自身兴趣爱好的发展，抑制了学生个性的发展，严重影响了学生身心健康的发展。本案例通过对作业分层设计的实效性，从影响中学生作业低效原因的分析出发，实现从原先所谓的“任务”转化成学生自身学习的一种需求。我们尝试从改变作业的形式、内容、以及考虑学生的个体差异等方面进行思考，实行分层作业模式，从而帮助不同层次的学生都能通过合理、有效的完成作业，达到良好的课后巩固的效果。设计不同层次的作业，能让教师从不同的角度了解学生掌握知识、发展能力的综合信息，从这些信息中，教师不但可以比较准确地了解学生“学”的情况，还能及时发现教师“教”所存在的问题，从而为教师进一步改进教学方法，调节教学结构提供了有力的科学依据。 教学案列： 三角函数中的计算是为学习三角函数奠定基础。所以老师特别注重学生在计算这一内容上掌握的程度。在布置做教科书的“课后习题”大半节课后，我在教室内进行巡视和个别指导，时，“拓展探究题”和 基础好的同学已经做完了所有的题，开始没有事干了；而基础差的同学一节课就在一个题上磨蹭，丝毫没有进展。我看了很着急，问他们是怎么回事，他们说：“不会做”。原来是他们不会分析，时间一分一秒的过去，可他们却完全没有收获。他们每天的作业不是抄别人的就是不做，我也知道他们没办法，因为问题欠得太多了。案列分析：（一）分析问题 我们在教学中没有承认学生中存在的个体差异，教学中教师总想让学生多学一点东西，怕学生因为少做题而影响成绩，因此就喜欢用一个标准或一个尺码去衡量学生。然而，这样做的效果恰好适得其反。他们在学习中不仅没有尝到成功的快乐，反而还被一次次失败所打击。他们学习上失去了信心，也就没有战胜困难的勇气。因此可见，教学中的“吃大锅饭”和“一把尺子”量到底，使学生在学习上产生恶性循环。为了解决这部分学生的学习问题，首先要解决他们的信心问题。教学中不但要关注他们的课堂表现，更要关注他们知识的掌握和巩固即作业完成的情况。作为教师应该从作业布置中承认他们的差异，努力减轻他们学习上的压力，学困生“吃得了”，中等生“吃得好”，优等生“吃得饱”。给他们尝试成功的机会，让他们树立自信心，给他们学习上的快乐，才能收到良好的教学效果。（二）解决问题 针对学生的实际，把学生分成三个组。其中成绩好的为C层，成绩中等的为B层，学困生的为A层。在分组时便给学生讲清分组的目让他们积极配合我的工以消除学生思想中的消极心理，的和重要性，功到自然成课时作业本高中数学必修第章集合
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