中考内容
中考要求
A B C
圆的有关概念理解圆及其有关概
念
会过不在同一直线
上的三点作圆；能利
用圆的有关概念解
决简单问题
圆的性质知道圆的对称性，了
解弧、弦、圆心角的
关系
能用弧、弦、圆心角
的关系解决简单问
题
能运用圆的性质解
决有关问题
圆周角了解圆周角与圆心
角的关系；知道直径
所对的圆周角是直
角
会求圆周角的度数，
能用圆周角的知识
解决与角有关的简
单问题
能综合运用几何知
识解决与圆周角有
关的问题
垂径定理会在相应的图形中
确定垂径定理的条
件和结论
能用垂径定理解决
有关问题
点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系了解直线与圆的位
置关系；了解切线的
概念，理解切线与过
切点的半径之间的
关系；会过圆上一点
画圆的切线；了解切
线长的概念
能判定直线和圆的
位置关系；会根据切
线长的知识解决简
单的问题；能利用直
线和圆的位置关系
解决简单问题
能解决与切线有关
的问题
圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置
关系
能利用圆与圆的位
置关系解决简单问
题
中考内容与要求正多边形和圆与圆中的计算
弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题
扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积
和全面积
能解决与圆锥有关
的简单实际问题
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年
题号11，20 20，25 8，20，25
分值9分13分17分
考点垂径定理的应用；
切线判定、圆与解
直角三角形综合
圆的有关证明，计
算（圆周角定理、
切线、等腰三角形、
相似、解直角三角
形）；直线与圆的
位置关系
圆的基本性质，圆
的切线证明，圆同
相似和三角函数的
结合；直线与圆的
位置关系
中考考点分析
定义示例剖析
正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角
也都相等的多边形叫做正多边形．
正方形正六边形正八边形正多边形的相关概念：
⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的
圆心叫做这个正多边形的中心．
⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
H
O
F
E
D
C
B
A
边心距中心角
半径
中心
正多边形的性质：
⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；
⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；
⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心. 正偶数边正多边形有两类对称轴；正奇数边正多边形只有一类对称轴．
知识互联网
模块一正多边形和圆知识导航
T 2
T 1O
【例1】 ⑴ 小亮从A 点出发前进10m ，向右转15?，再前进10m ，
又向右转15?……这样一直走下去，他第一次回到出发 点A 时，一共走了_________m ．
⑵ 如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中 阴影部分的面积为（ ）
A.23π-
B. 323π-
C. 232π
-
D. 3
232π-
（2012咸宁）
⑶ 正八边形的一个内角等于_________，它的中心角等于___________． ⑷ 若正ABC △外接圆的半径为R ，则ABC △的面积为_____________．
⑸ 半径为2cm 的圆内接正方形的对角线长为__________cm ，面积为____________2cm ．
⑹ 正六边形的边长为a ，半径为R ，边心距r 的比::a R r =__________________．
（西城区教研）
【解析】 ⑴ 240；⑵ A ；⑶ 135?，45?；⑷ 2
33R ；⑸ 4，8；⑹ 2:2:3.
【例2】 如图，有一个圆O 和两个正六边形12T T ，．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和
圆O 相切（我们称12T T ，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）
． ⑴ 设12T T ，的边长分别为a b ，
，圆O 的半径为r ，求:r a 及:r b 的值； ⑵ 求正六边形12T T ，的面积比12:S S 的值．
【解析】 ⑴ 3
:1:r a r b ==
，； ⑵ 2222
1233333366S a a S b b =?==?=，
由⑴:3:2a b =，∴22123
::4
S S a b ==．
能力提升
夯实基础
模块二 圆中的计算
15°
15°
A
F O
D
E
定 义
示例剖析
设O ⊙的半径为R ，n ?圆心角所对弧长为l ，
1. 弧长公式：π180
n R
l =
2. 扇形面积公式：21
π3602
n S R lR ==扇形
3. 圆柱体表面积公式：2
2π2πS R Rh =+
4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）
R n°
h
R
h l
R
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法
【例3】 ⑴ 一圆弧的圆心角为300?，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆周长，该圆弧所在圆
的半径为________．
（北大附中单元练习）
⑵ 半径为9cm 的圆中，长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为_________．
（北大附中月考）
⑶从纸上剪下一个圆和一个扇形的纸片（如图），圆的半径为2，扇形的圆心角等于?120.若用它们恰好围成一个圆锥模型，则此扇形的半径为 ． （2012广西河池）
⑷ 图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发， 以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、
3A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确
的是（ ）
A. 甲先到B 点
B. 乙先到B 点
C. 甲、乙同时到B 点
D. 无法确定
（北大附中单元练习）
【解析】 ⑴
36cm 5；⑵ 6；⑶ 5
π103
+；⑷ C 夯实基础
知识导航
3
2
1
G
F
E D C
B
A
【例4】 ⑴ 一个扇形的弧长为20πcm ，面积为2240πcm ，则该扇形的圆心角为_________度．
（北大附中单元练习）
⑵ 如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（ ）
A ．2周
B ．3周
C ．4周
D ．5周
（2012北海）
⑶ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°.把△ABC 绕 点A 按顺时针方向旋转60°后得到△''C AB ，若AB =4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
（2012辽宁锦州） A.
32π B. 3
5
π C. 2π D. 4π
⑶C ．
【例5】 ⑴ 现有30%圆周的一个扇形纸片，该扇形的
半径为40cm ，小红同学打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为______．
（清华附中月考）
⑵ 用半径为9，圆心角为?120的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．
（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西）
⑶ 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）
A. 4π
B. 42π
C. 8π
D. 82π
（2011浙江宁波）
→
40cm
B D
O
A
B C
A
⑷ 如图，已知圆锥的底面圆半径为1，母线长OA 为3，C 为母线OB 的中点， 在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A 爬到点C 的最短路线长为___________．
（北大附中月考）
【解析】 ⑴ 18?；⑵26；⑶ D ；⑷
33
【例6】 ⑴ 如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、
OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
（2012贵州遵义）
⑵ 如图，PA PB 、分别与O ⊙相切，切点分别为A B 、，3PA =，60P ∠=?， 若AC 为O ⊙的直径，则图中阴影部分的面积为__________．
（清华附中月考）
⑶ 如图，半圆的半径为2cm ，点C D 、三等分半圆，则阴影部分的面 积为_______________．
（二中分校月考）
⑷ 如图，在平面直角坐标系中，已知D ⊙经过原点O ，与x 轴、y 轴分 别交于A B 、两点，B 点坐标为()
023，，OC 与D ⊙相交于点C ，30OCA ∠=?，则图中阴影部分的面积为___________．
（北大附中月考）
⑸ 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，分 别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． （2012青海省）
【解析】 ⑴ 如图， 22
1
cm S S AOB ==?阴影，故选C.
⑵
1π2
；⑶ 22
πcm 3；⑷ 2π23-
⑸ 如图，设各个部分的面积为：54321S S S S S 、、、、，
能力提升
D
C O
C A
O
x
y O
B
A
C
D
C
B
B
C
A
F O
D
C
B
A
E F O D
C
B
A A
B C D
O F
F O
D
C
B
A
∵两个半圆的面积和是：432451S S S S S S +++++， △ABC 的面积是543S S S ++， 阴影部分的面积是：421S S S ++
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积， 即阴影部分的面积为42
52242124-=
÷?-÷?+÷?πππ
【例7】 如图，已知在O ⊙中，43AB =，AC 是O ⊙的直径，AC BD ⊥于F ，
30A ∠=°．
⑴ 求图中阴影部分的面积；
⑵ 若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的
半径．
【解析】 ⑴ 法一：过O 作OE AB ⊥于E ，则1
232AE AB =
=． 在Rt AEO △中，30BAC ∠=°，cos30=°AE
OA
．
∴cos30AE
OA ==
?2343
=． 又∵OA OB =，∴30ABO ∠=°．∴60BOC ∠=°．
∵AC BD ⊥，∴BC CD =．
∴60COD BOC ∠=∠=°．∴120BOD ∠=°．
∴2π360n OA S ?==阴影212016
π4π3603
?=．
法二：连结AD ．
∵AC BD ⊥，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD ．
∴AB AD =，BF FD =，BC CD =．
∴260BAD BAC ∠=∠=°，∴120BOD ∠=°． ∵1232BF AB ==，sin60AF AB °=
3
sin 60436AF AB =?=?=°．
∴222OB BF OF =+．即222(23)(6)OB OB +-=，解得4OB =．
∴13S S ==圆阴影16
π3
．
法三：连结BC ．
∵AC 为O ⊙的直径，∴90ABC ∠=°．
探索创新
S 5
S 4
S 32
S 1
B
∵43AB =，∴43
8cos303
2
AB AC =
==?．
∵30A ∠=°，AC BD ⊥，∴60BOC ∠=°， ∴120BOD ∠=°．
∴221201π4π=3603S OA =?=??阴影16
π3
．
⑵ 设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ，
∴120
2ππ4180r =?．
∴43
r =．
⑴如图，把1O ⊙向右平移8个单位长度得2O ⊙，两圆相交于A B 、，且
12O A O A ⊥，则图中阴影部分的面积是____________． ⑵ 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此
时点B 到了点B '，则图中阴影部分的面积是（ ） A.6π B .5π C.4π D.3π
【解析】
⑴8π16-；⑵A. .
B '
第09讲精讲：阴影部分面积的求解方法总结； 【探究一】作差法；
【变式1】如图所示，正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割成四个弓形，其中一个弓形的面积是 .
【解析】弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积差的四分之一，为
()2
22
r -π.
【探究二】等积变换法；
【变式2】如图，ABCD 为⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，且CD 为直径.如果⊙O 的半径等于r ，∠ACB =15°，那么图中阴影部分的面积等于 .
C
【解析】12
2r π
【探究三】重叠法；
【变式3】如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，以每边为直径向形内作半圆，求中间阴影部分的面积
.
【解析】阴影部分的面积可以看成四个同样的半圆重叠面积减去正方形的面积，为
()2
22
a -π
【探究四】割补法；
【变式4】如图所示，ABCD 是面积为1的正方形，△PBC 为正三角形，求△PBD 的面积
.
【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，则△PBD 被分割为两部分：△PBO 与△POD ，且
POC POD PBO S S S ???==，所以4
1
3-=
-=???BOC PBC PBD S S S . 【探究五】移位法；
【变式5】如图所示，两个半圆，大半圆的弦CD 平行于直径AB ，且与小半圆相切.已知CD =24，试求大半圆中，挖去小半圆后剩余部分的面积
.
【解析】为了方便计算，我们讲小半圆移动，使它与大半圆是同心圆，此时，有MD =12，则S =72π
【探究六】方程组法；
【变式6】已知正方形ABCD 的边长为1，分别以A 、B 、C 、D 四点为圆心，以1为半径画弧，求所得四个扇形的公共部分的面积.
【解析】由对称性，用x 、y 、z 分别表示曲边形的面积，如图所示，则有
???
?
?
????-+=++-
=+=
++43662412423ππππz y x z y z y x ， 解得3
31π
+
-=x
O
B
A
D
C
E
训练1. 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面
积．
【解析】 如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边
形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．
∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，
∴290AB OA OB AOB ==∠=?，
，， ∴1OA OB ==．
∵CD 是外切正三角形的边长， ∴60OA CD AOC ⊥∠=?，，
∴22OC OA ==．
∵EF 是外切正六边形的边长， ∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=?==，，， ∴323
CE OC =
=
， ∴43
EF =，
∴2
63436683EOF
S S ??
==??= ? ???
△．
训练2. 如图，等腰三角形ABC 的顶角36A ∠=?．O ⊙和底边BC 相切于
BC 的中点D ，
并与两腰相交于E F G H ，，，四点，其中点G F ，分别是两腰AB AC ，的中点．求证：五边形DEFGH 是正五边形．
【解析】 连接GD ，FD
∵D F G ，，分别是BC AC AB ，，的中点，
∴DG AC ∥，DF AB ∥，
∴36BGD FDG CFD A ∠=∠=∠=∠=?， ∴72B C ∠=∠=?，
∴72DGF DFG BDG CDF ∠=∠=∠=∠=?， ∴72BHD CED ∠=∠=?， ∴36BDH CDE ∠=∠=?， ∴36HDG EDF ∠=∠=?，
∴108HDE DEF EFG FGH GHD ∠=∠=∠=∠=∠=?， 且DE EF FG GH HD ====， ∴五边形DEFGH 是正五边形．
思维拓展训练(选讲)
O H G
F
E B
A
A
B
D
E F
G
H O
训练3. ⑴ 如图，ABC △是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边
AB 是半圆1O 的直径，半圆2O 过C 点且与半圆1O 相切，
则图中阴影部分的面积是______________．
⑵ 如图，四边形ABCD 是菱形．10cm AB =，60ABC ∠=°， 分别以ABCD 的四条边为直径作半圆，则图中阴影部分的
面积为_____________． 【解析】 ⑴ 2
536
a ；⑵ 50π-
训练4. 请阅读下列材料：
问题：如图⑴，一圆柱的底面半径为5，高AB 为5，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC ．如下图⑵所示：
设路线1的长度为1l ，则()2
2222221552525l AC AB BC ==+=+π=+π．
路线2：高线AB +底面直径BC ．如上图⑴所示：
设路线2的长度为2l ，则()()22
22510225l AB BC =+=+= ∵222221225252252520025(8)0l l -=+π-=π-=π-> ∴2212l l >，∴12l l >
所以要选择路线2较短．
⑴ 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB 为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：221l AC ==___________________； 路线2：()2
22l AB BC =+=__________． ∵2212_____l l ，∴ 12_____l l （填>或<）
所以应选择路线____________（填1或2）较短．
⑵ 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线较短．
【解析】 ⑴ 22222221525l AC AB BC ==+=+π=+π，()()22
225249l AB BC =+=+=
∴2212l l < ∴12l l <
所以要选择路线1较短．
⑵ 2222221(π)l AC AB BC h r ==+=+，()()22
222l AB BC h r =+=+
∴()()()()2
2
22222
12π2π44π44l l h r h r r r r h r r h ??-=+-+=--=--??
O 1
∴当
2
4
4
h
r=
π-
时，22
12
l l=；当
2
4
4
h
r>
π-
时，22
12
l l>；当
2
4
4
h
r<
π-
时，22
12
l l<．
知识模块一正多边形和圆课后演练
【演练
正多边形边
数
内角中心角半径边长边心距周长面积
3 60?23
4 1
6 3
正多边形边
数
内角中心角半径边长边心距周长面积
3 60?120? 2 23 1 6333
4 90?90?2 2 1 8 4
6 120?60? 2 2 312 63【演练2】O
⊙的内接多边形周长为3，O
⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）
A．6B．8C．10D．17
【解析】C
实战演练
知识模块二 圆中的计算 课后演练
【演练3】 一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150?，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥
的底面半径为__________．
【解析】 扇形的弧长150
60π50π180
l =?=，它作为圆锥的底面周长
∴2π50πR =，∴25cm R =．
【演练4】如果矩形纸片的两条邻边分别为18cm 和30cm ，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱底
面半径．
【解析】 如果将长为18cm 的边转化成圆柱的底面周长，设底面半径为cm r ，则2π18r =，
所以底面半径9
π
r =；
如果将长为30cm 的边转化成圆柱的底面周长，设底面半径为cm R ，则230R π=，
所以底面半径15
π
R =．
故这个圆柱的底面半径为9cm π
或15
cm π．
【演练5】如图1，在O ⊙中，AB 为O ⊙的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=?．
⑴ 求AOC ∠的度数；
⑵ 在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与O ⊙相切时，求PO 的长； ⑶ 如图2，一动点M 从A 点出发，在O ⊙上按逆时针方向运动一周，当MAO CAO
S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．
图2
图1
【解析】 ⑴ ∵OA OC =，60OAC ∠=?，∴AOC △是等边三角形，
∴60AOC ∠=?．
⑵ ∵CP 与O ⊙相切，∴90OCP ∠=?，
∵60AOC ∠=?，∴28PO AO ==． ⑶ 如图，
① 作点C 关于直径AB 的对称点1M ．
易得1M AO CAO S S =△△，160AOM ∠=? ∴14π4
60π1803
AM =
?=， ∴当点M 运动到1M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为4
π3
．
② 过点1M 作12M M AB ∥交O ⊙于点2M ，易得2M AO CAO S S =△△．
∴112260AOM M OM BOM ∠=∠=∠=?，
∴248π2π33AM =?=或24π8
120π1803
AM =?=，
∴当点M 运动到2M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为8
π3
．
③ 过点C 作3CM AB ∥交O ⊙于点3M ，易得3M AO CAO S S =△△，
∴360BOM ∠=?，
∴234π16240π1803AM M =?=或23816
π2π33
AM M =?=，
∴当点M 运动到3M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为16
π3
． ④ 当点M 运动到C 时，M 与C 重合，MAO CAO S S =△△，
此时点M 经过的弧长为4π20300π1803?=或16420
πππ333
+=．
O
D
B
A
测试1. 已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长． 【解析】 如图，设CD 是内接正六边形的一边，AB 为外切正方形的一边，
C 是切点，连结OA OB OC O
D 、、、． ∵CD 是内接正六边形的一边，∴60COD ∠=?，COD △是正三角形，
∴263
66COD S S CO ==?△ 设O ⊙的半径为r ，则2
3333r =，
∴2r =，
∵AB 是外切正方形的一边，∴90AOB ∠=?，OA OB =， ∴2222AB OC r ===．
测试2. ⑴ 半径为5的弧长等于半径为2的圆周长，则这条弧所对的圆心角的度数是
______________．
⑵ 若一扇形的弧长为12π，圆心角为120?，则扇形的面积为_____________．
【解析】 ⑴ 设弧所对圆心角的度数为n ，则5π22π180
n
=?， ∴144n =?．
⑵ 设扇形的半径为R ，则120π12π180
R
=，∴18R =
∴212018π
108π360S ?==扇形．
测试3. 如图，有六个等圆按图()()()a b c 、、三种样式摆放，使相邻两圆互相外切，圆心连线分
别构成正六边形、平行四边形、正三角形，圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面
积之和依次记为S P Q ，，，则（ ）
(c )
(b )(a )
A. S P Q >>
B. S Q P >>
C. S P Q >=
D. S P Q ==
【解析】 D
课后测
初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识 一. 本周教学内容： 正多边形和圆、弧长公式及有关计算 ［学习目标］ 1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质： （1）半径（或边心距）的比等于相似比。 （2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。 4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。 （1）画正n边形的步骤： 将一个圆n等分，顺次连接各分点。 （2）用量角器等分圆 先用量角器画一个等于360? n 的圆心角，这个角所对的弧就是圆的 1 n ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧， 就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。 5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式：C R =2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。 7. n°的圆心角所对的弧的弧长：l n R = π180 n表示1°的圆心角的度数，不带单位。 8. 正n边形的每个内角都等于() n n -? 2180 ，每个外角为 360? n ，等于中心角。 二. 重点、难点： 1. 学习重点： 正多边形和圆关系，弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点： 解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。 例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（） A. 3 3 B. 23 3 C. 2 3 D. 22 3 解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1
1.计算：22 ﹣1|﹣． 2计算：( )0 - ( )-2 + 45° 3.计算：2×(－5)＋23－3÷． 4. 计算：22＋(－1)4＋(－2)0－|－3|； 5.计算：30 82 145+-Sin 6.计算：?+-+-30sin 2)2(20． 7.计算， 8.计算：a(3)+(2)(2) 9.计算： 10. 计算：()()03 32011422 - --+÷- 11.解方程x 2 ﹣41=0． 12.解分式方程 2 3 22-= +x x
13．解方程：＝．14.已知﹣1=0，求方裎1的解． 15.解方程：x2+4x－2=0 16.解方程：-1)-x)= 2．17.（2011.苏州）解不等式：3﹣2（x﹣1）＜1．18.解不等式组： 19.解不等式组 () ()() ? ? ? + ≥ - - + - 1 4 6 1 5 3 6 2 x x x xπ 20.解不等式组 ?? ? ? ? < + > + .2 2 1 ,1 2 x x 答案 1.解: 原式=4+1﹣3=2 2.解：原式=1-4+12.
3.解：原式10+8-68 4.解：原式＝4＋1＋1－3＝3。 5.解：原式= 222222=+-． 6. 解：原式＝2＋1＋2×2 1＝3＋1＝4． 7. 解：原式=1+2﹣ +2× =1+2﹣ + =3． 8.解: ()()()22a a 32a 2a a 3a 4a =43a -+-+=-+-- 9. 解：原式=5+4-1=8 10. 解：原式3 1122 -- 0． 11. 解：（1）移项得，x 2 ﹣4﹣1， 配方得，x 2 ﹣44=﹣1+4，（x ﹣2）2 =3，由此可得x ﹣2=±，x 1=2+，x 2=2﹣； （2）1，﹣4，1．b 2 ﹣4=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0． 2±， x 1=2+，x 2=2﹣． 12.解：10 13.解：3 14. 解：∵﹣1=0，∴a﹣1=0，1；2=0，﹣2． ∴﹣21，得2x 2 ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=． 经检验：x 1=﹣1，x 2=是原方程的解．∴原方程的解为：x 1=﹣1，x 2=． 15.解: 4168426 26x -±+-±- 16. 解：去分母，得 3=2(1) . 解之，得5. 经检验，5是原方程的解. 17. 解：3﹣22＜1，得：﹣2x ＜﹣4，∴x＞2． 18.解：x ＜-5 19.解：15≥x 20. 解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为x ＋1＜4 x ＜3 故原不等式组的解集为－1＜x ＜3．
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 正多边形与圆 1.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到 三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三 角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 2.三角形的内切圆、外接圆 三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形______________相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到_________的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 3.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________． 4.正多边形与圆 在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有： 中考数学计算题专项训练 1.（1） 计算： () 32 22143-?? ? ??-?+ 2. 解分式方程： x x x -+--3132=1。 3.（1） 计算：0452005)-?-+ (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 12(3)3 322 x x x --≤?? ?--+??-?，≥ 11. 先化简再求值： 222141 2211 a a a a a a --÷+-+-g ，其中a 满足20a a -= 12.计算 13、计算 14、计算 15. 计算：－22 + (12－1 )0 + 2sin30o 16 ．计算： 1 31-??? ??+0232006???? ??-3-tan60°．17．解不等式组 3(2)451214x x x x x ????? -+<-+≥- 一、训练一（代数计算） 130 3)2(2514-÷-+?? ? ??+-22)145(sin 230tan 3121 -?+?--）＋（）－（＋－ab b a ]a b a b b a a [2÷2 2 32 214( )244 2x x x x x x x x x +--- ÷ --+- 1. 计算： （1）30 82 145+- Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷12 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0 －|－3|； （6）?+-+-30sin 2)2(20 （8）()()0 2 2161-+-- 2.计算：345tan 3231211 0-?-???? ??+??? ??-- 3.计算：( ) () () ??-+-+-+ ?? ? ??-30tan 3312120122010311001 2 4.计算：()( ) 1 1 2230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算：12010 0(60)(1) |2(301) cos tan -÷-+-o o 二、训练二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1 422---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2 11 1x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）? ?? ??1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． （2）2121 (1)1a a a a ++-?+，其中a -1. （3）)252(423--+÷--a a a a ， 1-=a （4）)1 2(1a a a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值. （5）221 21111 x x x x x -??+÷ ?+--??然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值 个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级： 上课时间：2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。 8错误！未指定书签。?如图，方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 （结果保留n ） 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误！未指定书签。?如图，在O O 中，已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心，C 是AB 上一点，0C 丄AB ，垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误！未指定书签。?如图，AB 为O O 的直径，点 C , D 在O O 上, BAC 50°，则 ADC 4错误！未指定书签。?如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上，则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误！未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图，AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径，延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点，贝y D 的度数为 7错误！未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6，点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ，则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?（结果保留 ） 晶，点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。 9错误！未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误！未指定书签。?如图，O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目， 她打算剪去部分扇形纸片后， 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片 的圆心角为（ ）. A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误！未指定书签。 .如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ，那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误！未指定书签。 ?如图，在直角坐标系中，O O 的半径为 1，则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误！未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm 小红同学 2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( ) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为． 4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ． 知识点2 与正多边形有关的计算 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3 6．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. 2 B．2 2 C. 2 2 D．1 8．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是． 9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )． 10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)． 知识点3 画正多边形 11．如图， 甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形． 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)． 中档题 13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 1、C列分数化小数的记法：分子乘5，小数点向左移动两位。 2、D、E两列分数化小数的记法：分子乘4，小数点向左移动两位 常见分数、小数互化表 常见的分数、小数及百分数的互化 常见立方数 错位相加/减 A×9型速算技巧：A×9= A×10-A； 例：743×9=743×10-743=7430-743=6687 A×型速算技巧：A×= A×10+A÷10； 例：743×=743×10-743÷10== A×11型速算技巧：A×11= A×10+A； 例：743×11=743×10+743=7430+743=8173 A×101型速算技巧：A×101= A×100+A； 例：743×101=743×100+743=75043 乘/除以5、25、125的速算技巧： A×5型速算技巧：A×5=10A÷2； 例：×5=×10÷2=÷2= A÷5型速算技巧：A÷5=×2； 例：÷5=××2=×2= A×25型速算技巧：A×25=100A÷4； 例：7234×25=7234×100÷4=723400÷4=180850 A÷25型速算技巧：A÷25=×4； 例：3714÷25=3714××4=×4= A×125型速算技巧：A×5=1000A÷8； 例：8736×125=8736×1000÷8=8736000÷8=1092000 A÷125型速算技巧：A÷1255=×8； 例：4115÷125=4115××8=×8= 减半相加： A×型速算技巧：A×=A+A÷2； 例：3406×=3406+3406÷2=3406+1703=5109 “首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧： 积的头=头×（头+1）；积的尾=尾×尾 例：23×27=首数均为2，尾数3与7的和是10，互补 所以乘积的首数为2×（2+1）=6，尾数为3×7=21，即23×27=621 本方法适合 11~99 所有平方的计算。 11X11=121 21X21=4141 31X31=961 41X41=1681 12X12=148 22X22=484 32X32=1024 42X42=1764 52X52=2704 从上面的计算我们可以得出公式： 个位=个位×个位所得数的个位，如果满几十就向前进几， 十位=个位×（十位上的数字×2）+进位所得数的末位，如果满几十就向前进几，百位=两个十位上的数字相乘+进位。 例：26×26= 个位=6×6=36，满 30 向前进 3； 十位=6×（2×2）+3=27，满 20 向前=进 2； 百位=2×2+2=6 由此可见 26×26=676 23×23 个位=3×3=9 十位=3×（2×2）=12，写 2 进 1 百位=2×2+进 1=5 所以 23×23=529 46×46 个位=6×6= 36，写6进3 十位=6×（4×2）+进 3= 5 1，写 1 进 5 百位=4×4+进 5= 21，写 1 进 2 x x x 中考数学历年各地市真题 关于圆的计算题 （2010哈尔滨）１．将一个底面半径为5cm ，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．150 （2010红河自治州）14. 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为 120° . （2010红河自治州）23.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA=312cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB=12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数. （2）以OB 为直径的⊙O ‘与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ‘相切？ （3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值. （4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的t 值，若不存在请说明理由. 解：（1）在Rt △AOB 中： tan ∠OAB= 3 3 31212= =OA OB ∴∠OAB=30° （2）如图10，连接O ‘P ，O ‘M. 当‘ =90°， △PM O ‘≌△PO O ‘ 由（1）知∠OBA=60° ∵O ‘M= O ‘B ∴△O ‘BM 是等边三角形 ∴∠B O ‘M=60° x 可得∠O O ‘P=∠M O ‘P=60° ∴OP= O O ‘·tan ∠O O ‘P =6×tan60°=36 又∵OP=32t ∴32t=36，t=3 即：t=3时，PM 与⊙O ‘相切. （3）如图9，过点Q 作QE ⊥x 于点E ∵∠BAO=30°，AQ=4t ∴QE= 2 1 AQ=2t AE=AQ ·cos ∠OAB=4t × t 322 3 = ∴OE=OA-AE=312-32t ∴Q 点的坐标为（312-32t ，2t ） S △PQR = S △OAB -S △OPR -S △APQ -S △BRQ = )32312(22 1 2)32312(21)212(32213121221t t t t t t -?-?---??-?? =372336362 +-t t =318)3(362 +-t （60＜＜t ） 当t=3时，S △PQR 最小=318 （4）分三种情况：如图11. ○ 1当AP=AQ 1=4t 时， ∵OP+AP=312 ∴32t+4t=312 ∴t= 2 336+ 或化简为t=312-18 ○ 2当PQ 2=AQ 2=4t 时 过Q 2点作Q 2D ⊥x 轴于点D ， 九年级数学圆一章正多边形和圆练习题及答案 一、课前预习 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.3 6 D.34 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( ) A.S 3>S 4>S 6 B.S 6>S 4>S 3 C.S 6>S 3>S 4 D.S 4>S 6>S 3 4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1). (1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； (2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边. 图24-3-1 三、课后巩固(30分钟训练) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.3 3 2.已知正多边形的边心距与边长的比为2 1，则此正多边形为( ) 《二次根式》 一、选择题： 1 、在二次根式x 的取值范围是（ ）。 A 、x ＜1 B 、x ＞1 C 、x ≥1 D 、x ≠1 2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2 112与 B ．2718与 C ．5445与 3 、若5 a b = = , 则（ ） A 、a 、b 互为相反数 B 、a 、b 互为倒数 C 、ab=5 D 、a=b 4、下列运算中，错误的是（ ） = 3 ÷ = C .= 16925=+= 二、填空题： 6、长方形长为cm 6 m ，则面积为 cm. 7、一张面积为72c m 的正方形纸片的边长为__________;cm 8、比较大小： 3 。 9、已知：10a -+ ，则2 2a b += 。 三、直接写出答案： = ， = ，= 。=416b ， = -2 ) 53( ，= 9 72 。=60 ， = ， = ?a a 62 ，= ? 2418 。 四、解答题：（70分） 1 、计算或化简：（每题4分，共40 分） （1） -+ （2）18- 2 2+2 1- +?? ? ??-211 （3）75204527+-- （4） )510(5- ? （5）1 1 2 --x x ÷ 2 122 +++x x x - 1 +x x （6） （7） （8）+- （9）+ -(22 2、（5分）如图,一块长方形绿地的长AB=60m ,宽BC=30m ,求A,C 两点间的距离. 3、（5分）实数a 在数轴上的位置如图所示， 化简： |1|a -+ 4、（6分）x 取什么实数，下列各式有意义? （ 1）（ 2 5、 （6分）已知1 x =，求 2 211 1 x x x - -+的值。 第15题 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 教学设计 课题：与圆有关的计算课型：复习课年级：九年级 教学目标： 1．会计算弧长及扇形的面积． 2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形． 教学重点与难点： 重点：掌握弧长及扇形的面积的面积公式． 难点：灵活运用弧长及扇形的面积的面积公式进行有关计算. 课前准备：课件、导学案 教学过程： 教学过程： 一、中考调研，考情播报 活动内容：（多媒体出示复习目标） 1．会计算弧长及扇形的面积． 2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形． 处理方式：利用多媒体出示复习目标． 设计意图：在这一环节中，通过目标的揭示，让学生明确了复习内容和要求，为本节课的复习指明了方向． 二、基础梳理，考点扫描 活动内容：（复习导学案出示回顾内容） 考点一正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2．正多边形与圆的关系可以这样表述：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形．利用这一关系可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形．这个圆是这个正多边形的外接圆；正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距． 3．对称性： ①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心． ②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心． ③正多边形的旋转对称性：正多边形都是旋转对称图形，最小的旋转角等于中心角． 考点二 弧长及扇形的面积 1. 弧长公式：（其中l 为n °的圆心角所对的弧长） 2. 扇形的面积公式：21 3602 n R S lR π== 考点三 求不规则图形和阴影部分图形面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法 ；(3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法； 考点四 图形的变换 在图形的翻（旋）转、滚动、翻折中求弧长或面积 考点五 圆的计算的综合应用 求弧长、求面积以及与函数有关的综合题 设计意图:这一节课的知识点较多，如果用课堂时间来看书梳理很占用时间，因此通过“导学案”形式让学生在上课之前回顾整理相关知识，这样既节省时间又培养了学生自主学习的习惯． 三、典例分析，导练结合 活动内容1：（多媒体出示） 考点一：正多边形 例1 如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的外接圆半径R 、边心距r 6、面积S 6． 处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考查知识点． 设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对正多边形的有关知识有更深层次的理解和认识，从而实现由理解到应用的质的跨越． 跟踪训练： 180 n R l π= 中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算 正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算. 一、基础知识及其说明： 1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形. 2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证. 判定定理:把圆几等分(3≥n ) ①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 ②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接n 边形ABCDEF ……是圆内接正n 边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切n 边形是圆外切正n 边形,只要证明各切点是圆的等分点即可 例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 已知:在⊙O 中,多边形ABCDE …… 是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=……. 求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE …… ∴OEB=AEC= BED=COE=…… ∴ΛΛ=∠=∠=∠=∠D C B A 又∵AB=BC=CD=DE=…… ∴n 边形ABCDE ……是正n 边形. 例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形. 已知:多边形F E D C B A ''''''……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,F E D C B A '∠='∠='∠='∠='∠='∠=……. 求证:n 边形F E D C B A ''''''……是正n 边形. 证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD C '和四边形BOC B '中 ∵D C C B B A '''''',,切⊙O 于B,C,D ∴ο90='∠='∠='∠='∠C OD C OC B OC B OB ∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B 而='∠='∠='∠C B A …… ' ∴COD BOC ∠=∠ 初三数学与圆有关的计算 考点回顾： 1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为； 2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为 （其中l表示扇形的弧长）； 3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形； 4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh； 5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为 S＝πr2＋πar． 考点精讲精练： 例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F．（1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数； （2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）． 变式练习1、如图，半径OA＝6cm，C为OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分面积． 例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（） 变式练习2、如图，AB为⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则劣 弧的长是__________． 例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（） A、1 变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥 的母线长为________． 例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）证明：△AFO≌△CEB； （2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积． 变式练习4、如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积． 例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回 到A点，它爬行的最短路线长是多少？ 九年级数学下册圆的知识点整理 圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家! 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.三点定圆定理 4.垂径定理及其推论 5.等对等定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴⑵ 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)
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