【真题】17年上海市闸北区风华中学高三(上)数学期中试卷含答案

2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三（上）期中数学试卷
一、填空题
1．（5分）等差数列{a n}中，a10=30，a20=50，则通项a n=．
2．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．
3．（5分）若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多有个．
4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=．
5．（5分）关于x的方程﹣3cos2x+5sinx+1=0的解集为．
6．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，
AB=3，AD=3，则BD的长为．
7．（5分）数列{b n}中，b1=1，b2=5且b n+2=b n+1﹣b n（n∈N*），则b2016=．8．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是．
9．（5分）已知各项为正数的等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n 使得，则+的最小值为．
10．（5分）定义：若m﹣＜x（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣，]；②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f （x）的最小正周期为1；④函数f（x）在（﹣，]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是．
二、选择题
11．（5分）如图，集合A，B是全集U的两个子集，则图中阴影部分可表示为（）
A．∁U A∪（A∩B）B．∁U A∩∁U B C．∁U A∪∁U B D．∁U（A∪B）∪（A∩B）12．（5分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
13．（5分）等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项为相等的正数，若a2n+1=b2n+1，
则a n
+1与b n
+1
的关系为（）
A．a n+1≥b n+1B．a n+1＞b n+1C．a n+1＜b n+1D．a n+1≤b n+1
14．（5分）已知函数f（x）=，若g（x）=f﹣1（），则g（x）（）A．在（﹣1，+∞）上是增函数B．在（﹣1，+∞）上是减函数
C．在（﹣∞，1）上是增函数D．在（﹣∞，1）上是减函数
15．（5分）设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值为（）
A．﹣1 B．C．1 D．
三、解答题（本大题共有5题，共75分）
16．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n+，则{a n}的通项公式为．
17．（14分）某市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P （元）和时间t（天）（t∈N）的关系如图所示
（1）写出销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；
（2）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t ∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；
（3）问该产品投放市场第几天时，日销售金额最高？最高值为多少元？
18．（15分）已知f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a（a∈R，a是常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若a=0，作出y=f（x）在[﹣π，π]上的图象；
（3）若x∈[﹣，]时，f（x）的最大值为1，求a的值．
19．（16分）设a∈R，f（x）=为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；
（2）设g（x）=2log2（），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的取值范围．
20．（16分）数列{a n}的各项均为正数，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，a n+a n+1+a n+2+…+a n+k=6•p n．
（1）当k=1，p=5时，若数列{a n}成等比数列，求t的值；
（2）设数列{a n}是一个等比数列，求{a n}的公比及t（用p、k的代数式表示）；（3）当k=1，t=1时，设T n=a1+++…++，参照教材上推导等比数列前n项和公式的推导方法，求证：{•T n﹣﹣6n}是一个常数．
2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（5分）等差数列{a n}中，a10=30，a20=50，则通项a n=2n+10．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a10=30，a20=50，
∴a1+9d=30，a1+19d=50，
联立解得a1=12，d=2．
则通项a n=12+2（n﹣1）=2n+10．
故答案为：a n=2n+10．
故答案为：2n+10．
2．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．
【解答】解：q：2x＞1⇔q：x＞0，
又p：1＜x＜2，
∴p是q充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
3．（5分）若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多有128个．
【解答】解：由集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，得
集合N={0，6，14，21，4，9，49}，
则集合N的子集有：2n=27=128个．
故答案是：128．
4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对
称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，
∴f（﹣x）=﹣f（x），，
∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），
∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0
故答案为：0
5．（5分）关于x的方程﹣3cos2x+5sinx+1=0的解集为{x|x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z} ．
【解答】解：方程﹣3cos2x+5sinx+1=0可化为：方程3sin2x+5sinx﹣2=0，
解得：sinx=，或sinx=﹣2（舍去），
∴x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z，
故答案为：{x|x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z}
6．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，
AB=3，AD=3，则BD的长为．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD=．
故答案为：
7．（5分）数列{b n}中，b1=1，b2=5且b n+2=b n+1﹣b n（n∈N*），则b2016=﹣6．【解答】解：∵b1=1，b2=5且b n+2=b n+1﹣b n（n∈N*），
∴b3=4，b4=﹣1，b5=﹣5，b6=﹣4，b7=1，b8=5，…，
∴b n
=b n．
+6
则b2016=b335×6+6=b6=﹣4．
故答案为：﹣6．
8．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是（1，] ．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，可得：sinB=cosA，sinC=1，
∴==sinA+cosA=sin（A+45°），
∵A∈（0°，90°），
∴A+45°∈（45°，135°），
∴sin（A+45°）∈（，1]，
∴=sin（A+45°）∈（1，]．
故答案为：（1，]．
9．（5分）已知各项为正数的等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n
使得，则+的最小值为．
【解答】解：设等比数列的公比为q，则由a7=a6+2a5 ，可得到a6q=a6+2，由于a n＞0，所以上式两边除以a6得到q=1+，解得q=2或q=﹣1．
因为各项全为正，所以q=2．
，a n使得，所以，a m•a n=8 ，
由于存在两项a
即•=8 ，∴q m+n﹣2=8，∴m+n=5．
当m=1，n=4时，+=2；当m=2，n=3时，+=；当m=3，n=2时，+=；
当m=4，n=1时，+=．
故当m=2，n=3时，+取得最小值为，
故答案为．
10．（5分）定义：若m﹣＜x（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣，]；②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f （x）的最小正周期为1；④函数f（x）在（﹣，]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是①③．
【解答】解：①中，令x=m+a，a∈（﹣，]
∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣，]
所以①正确；
②中，∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}=，
∴点（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=﹣时，m=﹣1，
f（﹣）=
x=时，m=0，
f（）=
所以f（﹣）=f（）
所以④错误．
故答案为：①③．
二、选择题
11．（5分）如图，集合A，B是全集U的两个子集，则图中阴影部分可表示为（）
A．∁U A∪（A∩B）B．∁U A∩∁U B C．∁U A∪∁U B D．∁U（A∪B）∪（A∩B）【解答】解：∵图中阴影部分所表示的集合中的元素为∁U（A∪B）∪（A∩B）故选：D．
12．（5分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：已知，
=cosα===．
故选：A．
13．（5分）等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项为相等的正数，若a2n+1=b2n+1，
则a n
+1与b n
+1
的关系为（）
A．a n+1≥b n+1B．a n+1＞b n+1C．a n+1＜b n+1D．a n+1≤b n+1【解答】解：设a1=b1=m＞0，a2n+1=b2n+1=t，
则，
，
∴t＞0，
则由基本不等式可得：a n
+1≥b n
+1
．
故选：A．
14．（5分）已知函数f（x）=，若g（x）=f﹣1（），则g（x）（）
A．在（﹣1，+∞）上是增函数B．在（﹣1，+∞）上是减函数
C．在（﹣∞，1）上是增函数D．在（﹣∞，1）上是减函数
【解答】解：∵f（x）=，
∴f﹣1（x）=，
∴g（x）=f﹣1（）==1+，
∴g（x）在（﹣∞，1）上是增函数．
故选：C．
15．（5分）设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值为（）
A．﹣1 B．C．1 D．
【解答】解：由题设可得f（x）=sin（x+θ）+1，f（x﹣c）=sin（x+θ﹣c）+1，其中cosθ=，sinθ=（0＜θ＜），
∴af（x）+bf（x﹣c）=1可化成asin（x+θ）+bsin（x+θ﹣c）+a+b=1，
即（a+bcosc）sin（x+θ）﹣bsinccos（x+θ）+（a+b﹣1）=0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若b=0，则式（1）与式（3）矛盾；
故此b≠0，由（2）式得到：sinc=0，
当cosc=1时，有矛盾，故cosc=﹣1，
由①③知a=b=，
则=﹣1．
故选：A．
三、解答题（本大题共有5题，共75分）
16．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n+，则
{a n}的通项公式为．
【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+，
∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，
即3a n=a n+1，
∴{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴．
故答案为：．
17．（14分）某市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P （元）和时间t（天）（t∈N）的关系如图所示
（1）写出销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；
（2）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t ∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；
（3）问该产品投放市场第几天时，日销售金额最高？最高值为多少元？
【解答】解：（1）由题意：根据图象可知该销售价格P（元）和时间t（天）分段的两条直线，
设P1=k1t+b1，图象过（0，19）和（25，44），
即得：19=k1×0+b1，44=k1×25+b1，
解得：b1=19，k1=1，
则P1=t+19，（0≤t＜25）
设P2=k2t+b2，图象过（25，75）和（30，70），
即得：，
解得：k2=﹣1，b2=100，
则P2=﹣t+100，（25≤t≤30）．
∴销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式为P=．
（2）日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），
则销售金额y=P•Q=；
（3）由（2）可知：当0≤t＜25时，日销售金额y=﹣t2+21t+760，
当t=10或11天时，日销售金额y最大为870元．
当25≤t≤30时，日销售金额y=t2﹣140t+4000，
当t=25天时，日销售金额y最大为1125元．
∴该产品投放市场第25天时，日销售金额最高，最高值1125元．
18．（15分）已知f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a（a∈R，a是常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若a=0，作出y=f（x）在[﹣π，π]上的图象；
（3）若x∈[﹣，]时，f（x）的最大值为1，求a的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a，
=sinxcos+cosxsin+sinxcos﹣cosxsin+cosx+a，
=sinx+cosx+a，
=2sin（x+）+a，
∴函数f（x）的最小正周期T==2π；
（2）当a=0时，y=f（x）=2sin（x+）
列表如下：
对应的图象如下：
（3）由x∈[﹣，]时，由（2）可知：当x+=，即x=时，f（x）取得最大值，最大值为2+a，
∴a+2=1，即a=﹣1，
∴a的值﹣1．
19．（16分）设a∈R，f（x）=为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；
（2）设g（x）=2log2（），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：∵f（x）是奇函数
∴f（0）=0
∴a=1，f（x）=
（1）F（x）==
由22x+2x﹣6=0=0，可得2x=2，所以，x=1，
即F（x）的零点为x=1．
（2）f﹣1（x）=，在区间[]上，由f﹣1（x）≤g（x）恒成立，
∴恒成立，即恒成立
即k2≤1﹣x2，x∈[]，
∴，k＞0，
所以0＜k≤．
20．（16分）数列{a n}的各项均为正数，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，a n+a n+1+a n+2+…+a n+k=6•p n．
（1）当k=1，p=5时，若数列{a n}成等比数列，求t的值；
（2）设数列{a n}是一个等比数列，求{a n}的公比及t（用p、k的代数式表示）；（3）当k=1，t=1时，设T n=a1+++…++，参照教材上推导等比数列前n项和公式的推导方法，求证：{•T n﹣﹣6n}是一个常数．
【解答】解：（1）a n+a n
+1
=6•5n，
a n+1+a n+2=6•5n+1，…（2分）
设等比数列（a n}的公比是q，
则a n+a n
+1
=6•5n•5，
∴q=5，…（4分）
n=1时，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）a n+a n
+1+a n
+2
+…+a n
+k
=6p n，
a n+1+a n+2+a n+3+…+a n+1+k=6p n+1，…（6分）
数列{a n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（7分）∴t（p n﹣1+p n+…+p n+k﹣1）=6p n，…（8分）
项数为n+k﹣1﹣（n﹣1）十1=k+1项，
当p=1时，t（k+1）=6，
∴t=，…（9分）
当p≠1，且p＞0时，
t =6p n，
∴t=．．…（10分）
（3）证明：∵n是任意的正整数，当n=1时，=6P1=6，依此类推，当n取n﹣1项时，==6，
∴T n=a1+++…++，
T n
=+++…++=a1+++…++，…（12分）∴（1+）T n=2a1+++…++=a1+6n﹣6+，…（14分）∴T n ﹣﹣6n=a1﹣6=﹣5．…（17分）
赠送—高中数学知识点
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在
[,0)a -、]a 上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数
M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
y
x
o
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。