【真题】17年上海市闸北区风华中学高三(上)数学期中试卷含答案

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2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题

1．（5分）等差数列{an}中，a10=30，a20=50，则通项an= ．

2．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．

3．（5分）若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多有 个．

4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）= ．

5．（5分）关于x的方程﹣3cos2x+5sinx+1=0的解集为 ．

6．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为 ．

7．（5分）数列{bn}中，b1=1，b2=5且bn+2=bn+1﹣bn（n∈N*），则b2016= ．

8．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是 ．

9．（5分）已知各项为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得，则+的最小值为 ．

10．（5分）定义：若m﹣＜x（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣，]； ②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f（x）的最小正周期为1； ④函数f（x）在（﹣，]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是

．

第2页（共16页） 二、选择题

11．（5分）如图，集合A，B是全集U的两个子集，则图中阴影部分可表示为（ ）

A．∁UA∪（A∩B） B．∁UA∩∁UB C．∁UA∪∁UB D．∁U（A∪B）∪（A∩B）

12．（5分）已知，则的值为（ ）

A． B． C． D．

13．（5分）等差数列{an}和等比数列{bn}的首项为相等的正数，若a2n+1=b2n+1，则an+1与bn+1的关系为（ ）

A．an+1≥bn+1 B．an+1＞bn+1 C．an+1＜bn+1 D．an+1≤bn+1

14．（5分）已知函数f（x）=，若g（x）=f﹣1（），则g（x）（ ）

A．在（﹣1，+∞）上是增函数 B．在（﹣1，+∞）上是减函数

C．在（﹣∞，1）上是增函数 D．在（﹣∞，1）上是减函数

15．（5分）设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值为（ ）

A．﹣1 B． C．1 D．

三、解答题（本大题共有5题，共75分）

16．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn+，则{an}的通项公式为 ．

17．（14分）某市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t（天）（t∈N）的关系如图所示

（1）写出销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；

（2）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；

（3）问该产品投放市场第几天时，日销售金额最高？最高值为多少元？

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18．（15分）已知f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a（a∈R，a是常数）．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若a=0，作出y=f（x）在[﹣π，π]上的图象；

（3）若x∈[﹣，]时，f（x）的最大值为1，求a的值．

19．（16分）设a∈R，f（x）=为奇函数．

（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；

（2）设g（x）=2log2（），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的取值范围．

20．（16分）数列{an}的各项均为正数，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6•pn．

（1）当k=1，p=5时，若数列{an}成等比数列，求t的值；

（2）设数列{an}是一个等比数列，求{an}的公比及t（用p、k的代数式表示）；

（3）当k=1，t=1时，设Tn=a1+++…++，参照教材上推导等比数列前n项和公式的推导方法，求证：{•Tn﹣﹣6n}是一个常数．

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2016-2017学年上海市闸北区风华中学高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1．（5分）等差数列{an}中，a10=30，a20=50，则通项an= 2n+10 ．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a10=30，a20=50，

∴a1+9d=30，a1+19d=50，

联立解得a1=12，d=2．

则通项an=12+2（n﹣1）=2n+10．

故答案为：an=2n+10．

故答案为：2n+10．

2．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的 充分不必要 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．

【解答】解：q：2x＞1⇔q：x＞0，

又p：1＜x＜2，

∴p是q充分不必要条件，

故答案为：充分不必要．

3．（5分）若集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，则集合N的子集最多有 128 个．

【解答】解：由集合M={0，2，3，7}，N={x|x=ab，a∈M，b∈M}，得

集合N={0，6，14，21，4，9，49}，

则集合N的子集有：2n=27=128个．

故答案是：128．

4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对

第5页（共16页） 称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）= 0 ．

【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，

∴f（﹣x）=﹣f（x），，

∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），

∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0

故答案为：0

5．（5分）关于x的方程﹣3cos2x+5sinx+1=0的解集为 {x|x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z} ．

【解答】解：方程﹣3cos2x+5sinx+1=0可化为：方程3sin2x+5sinx﹣2=0，

解得：sinx=，或sinx=﹣2（舍去），

∴x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z，

故答案为：{x|x=arcsin+2kπ，或x=π﹣arcsin+2kπ，k∈Z}

6．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为 ．

【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，

∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，

在△ABD中，AB=3，AD=3，

根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，

则BD=．

第6页（共16页） 故答案为：

7．（5分）数列{bn}中，b1=1，b2=5且bn+2=bn+1﹣bn（n∈N*），则b2016= ﹣6 ．

【解答】解：∵b1=1，b2=5且bn+2=bn+1﹣bn（n∈N*），

∴b3=4，b4=﹣1，b5=﹣5，b6=﹣4，b7=1，b8=5，…，

∴bn+6=bn．

则b2016=b335×6+6=b6=﹣4．

故答案为：﹣6．

8．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是 （1，] ．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，可得：sinB=cosA，sinC=1，

∴==sinA+cosA=sin（A+45°），

∵A∈（0°，90°），

∴A+45°∈（45°，135°），

∴sin（A+45°）∈（，1]，

∴=sin（A+45°）∈（1，]．

故答案为：（1，]．

9．（5分）已知各项为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得，则+的最小值为 ．

【解答】解：设等比数列的公比为q，则由 a7=a6+2a5 ，可得到 a6q=a6+2，

由于 an＞0，所以上式两边除以a6 得到q=1+，解得q=2或q=﹣1．

因为各项全为正，所以q=2．

由于存在两项 am，an 使得 ，所以，am•an=8 ，

即 •=8 ，∴qm+n﹣2=8，∴m+n=5．

当 m=1，n=4时，+=2； 当 m=2，n=3时，+=；当 m=3，n=2时，+=；

第7页（共16页） 当 m=4，n=1时，+=．

故当 m=2，n=3时，+取得最小值为 ，

故答案为．

10．（5分）定义：若m﹣＜x（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣，]； ②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f（x）的最小正周期为1； ④函数f（x）在（﹣，]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是 ①③ ．

【解答】解：①中，令x=m+a，a∈（﹣，]

∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣，]

所以①正确；

②中，∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}=，

∴点（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；

③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）

所以周期为1，故③正确；

④中，x=﹣时，m=﹣1，

f（﹣）=

x=时，m=0，

f（）=

所以f（﹣）=f（）

所以④错误．

故答案为：①③．