上海中学高三综合数学试卷06
2020.04
一.填空题
1.不等式13x x
+<的解为____ 2.函数2()(2f x x x =<-)的反函数是____
3.已知b+i ?2-ai(a,b ∈R )是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则q=____
4.将一个底面半径为4,高为2的圆锥锻造成一个球体,则此球体的表面积为____
5.以3122012-?? ???
为增广“矩阵的二元一次方程组的解为x ?y,则x ?y 这两个数的等比中项为____ 6.3名男生?3名女生和2位老师站成一排拍合照,要求2位老师必须站在正中间,队伍左右两端不能同时是一男生和一女生,则总共有____种排法.
7.已知函数f(2(),(),x x g x ax x ==-其中a>0,若对任意m ∈[1,2]都存在n ∈[1,2]使得f(m)f(n)=g(m)g(n)成立,则实数a 的取值集合为___.
8.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:()(3)4,M x a y a -++-=过原点的动直线l 与圆M 交于A ?B 两点,若以线段AB 为直径的圆,与以M 为圆心?MO 为半径的圆始终无公共点,则实数a 的取值范围是____. 9.已知正数x ?y ?z 满足222
1,x y z ++=则1z xyz
+的最小值为__. 10.已知向量a b r r 、满足:|2||3|2,a b a b -=+=r r r r 则a b ?r r 的取值范围是___. 11.已知△ABC 的面积为1,若BC=1,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sinA=___.
12.如图,已知正四面体ABCD 的棱长为2,棱AD 与平面α所成角[
,],32
ππθ∈且顶点A 在平面α内,点B ?C ?D 均在平面α外,则棱BC 的中点E 到平面α的距离的取值范围是___.
二.选择题
13.已知集合,2
{|20}A x x x =∈-++≥N ,则满足条件A ∪B=A 的集合B 的个数为()
A.4
B.7
C.8
D.16 14.已知函数()2sin()(4
f x x πω=+ω>0)的图像在区间(0,1]上恰好有三个最高点,则ω的取值范围是() 1927.[,)44
A ππ 913.[,)22
B ππ 1725.[,)44
C ππ D.[4π,6π) 15.已知a ?b 为实数,则“不等式|ax+b|≤1对所有满足|x|≤1都成立”是“|a|≤1且|b|≤1”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.已知数列{}n a 的通项为:*,,(1)(21)(1)
n nx a n x x nx =
∈+++L N 若1220201a a a +++L ＜,则实数x 可以等于() 2.3
A - 5.12
B - 13.48
C - 11.60
D - 三.解答题 17.已知圆柱1OO 的底面半径为1,高为π,ABCD 为圆柱的一个轴截面,动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D,其路径最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示,将轴截面ABCD 绕着1OO 轴逆时针旋转θ后,边11B C 与曲线T 交于点P.
(1)求曲线Γ的长度;
(2)当2πθ
=时,求点1C 到平面APB 的距离.
18.已知12()log f x x =,当点M(x,y)在y=f(x)的图像上运动时,点N(x-2,ny)在函()n y g x =的图像上运动
*()n ∈N .
(1)求()n y g x =的解析式;
(2)若方程12()(2)g x g x a =-+有实根,求实数a 的取值范围.
19.某地火山喷发停止后,为测量的需要,设距离喷口中心50米内的圆面为第1区,50米至100米的圆环面为第2区,…，第50(n-1)米至50n 米的圆环面为第n 区,…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000kg,第2区为平方米的平均重量较第1区减少2%,第3区又较第2区减少2%,以此类推,求:
(1)求离火山口1225米处的圆环面平均每平方米的火山灰重量(精确到1kg);
(2)第几区内的火山灰总重量最大?
20.已知椭圆C:22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)过点
2
(1,),
2
离心率为
2
,
2
点A?B分别是椭圆C的上?下顶点,点M是椭圆C上异于A?B的一点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在直线x-y+2=0上,且3,
BP BM
=
u u u r u u u u r
求△PMA的面积;
(3)过点M作斜率为k的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且点D在线段OA上(不包括端点),直线NA与直线BM交于点P,求OD OP
?
u u u r u u u r
的值.
21.已知a为正实数,n为自然数,抛物线2
2
n
a
y x
=-+与x轴正半轴交于点A,设直线l过点A且在y轴上的截距为f(n),已知直线l与抛物线仅有一个交点.
(1)用a和n表示f(n);
(2)若对所有正整数n都有
3
3
()1
()11
f n n
f n n
-
≥
++
成立,求a的最小值;
(3)当0 1 1 ()(2) n k f k f k = - ∑与27(1)(1) 4(0)(1) f f n f f -+ ? - 的大小,并说明理由.
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