综合复习（函数及其图象）
【例题精选】：
例1、已知点()p x y ,的坐标满足方程x y ++-=120，则点p 在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象
限
分析：这道题首先考察了平面内点的坐标，在各象限内的横纵坐标的特点，其次是绝对值，算术平方根，互为相反数的性质与概念的理解。由x y ++-=120，可知：x y =-=12,，所以点()p x y ,，在第二象限，应选（B ）。
例2、已知点M m -?? ?
?
?123,关于原点对称的点在第一象限，那么m 的取值范围
是 ；
分析：这道题考查对称点的特点，关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，与点M 关于原点对称的点在第一象限，说明点M 在第三象限，则30m <,，即m <0
例3、求函数自变量的取值范围
（1）函数y x
x =--532
自变量x 的取值范围是 ；
（2）函数y x x =++-25自变量x 的取值范围是 ；
分析：由解析式给出的函数表达式，自变量x 的取值范围应使解析式有意义，即二次根式的被开方式要大于等于零，分式的分母不能等于零，等。
解：（1） 503202
35-≥->???∴< （2） x x x +≥-≥?? ?∴-≤≤20 50 25 例4、平行四边形相邻的两边长是x y ,，它的周长是30，则y 关于x 的函数关系式是 。 解：平行四边形对边相等，所以周长为2230x y +=，得到x y +=15，则y 关于x 的函数关系式为：()y x x =-+<<15015 例5、已知，如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点， F 是CD 边上的点，且AE =AF ，AB =4，设三角形ABC 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象。 简解： ABCD AB AD B D 是正方形,,∴=∠=∠=∠Rt 且AE AF ABF ADF BE DF BC CD EC FC x =∴?==∴==,,,,?? BE DF x ==-4 则正方形S S S S AEF ABE CEF ????=--2 即()y x x =-? ??--162124412 2 整理合并为：y x x =-+1 2 42，因为E 点在BC 上，F 是CD 上的点，当 E 与C 点重合时三角形AE F 不存在，所以x 的取值范围是()04<≤x （图象略） 例6、已知：y －1与x 成正比例，当x =2时，y =9那么y 与x 之间的函数关系是 。 分析：该题考查了正比例函数的概念及反待定系数法，因为y －1与x 成正比例，所以y kx -=1，当x =2时，y =9,所以可求出k =4，y 与x 之间的函数关系是y x =+41 例7、函数y x k 1=-与()y k x k 20=≠的图象在同一坐标系内（如图），其中正确的是 。 解：当时k >0时，y k x 2=的图象应在第一、三象限，y x k 1=-直线和y 轴的交点在x 轴的下方，直线从右上方到左下方，图A 是正确的，应选A ，其余均不 对。 例8、下面是一组考查二次函数性质的题目 （1）二次函数，y ax bx c =++2的图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A ．a bc >>00, B ．a bc <>00, C ．a bc ><00, D ．a bc <<00, （2）若二次函数y x ax =-+21的图象与x 轴无交点则图象可为 （3）二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则 点p a c b ,?? ? ? ?在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解：这一组考查二次函数图象及其性质包括顶点坐标和对称轴的题目，要求考生要熟练掌握： （1）图象开口方向向下，所以a <0，图象交y 轴的正半轴的所以c >0，又对称 轴在y 轴的左侧∴=-x b a 2，应小于零，（或顶点坐标在第二象限） ∴<∴>b bc 00,根据分析可知：a bc <>00,应选B 。 （2）由二次函数y x ax =-+21，可知抛物线开口方向向上，与x 轴交点(,)01，所以应选B （3）要判断P a c b ,?? ? ? ?的位置，可根据抛物线开口方向向下，得a <0，对称轴在 y 轴的右侧，说明x b a =->20 即b >0时，抛物线成y 轴交点在x 轴的上方，所以c >0. 则c b >0，点P a c b <>?? ? ??00,说明点P 在第二象限，应选∶ 说明：要求考生一定要熟练地掌握一次函数，正比例函数，反比例函数及二次函数的概念，如系数不等于零及x 的次数的要求，都应十分清楚，熟练、准确、利用方程，方程组，不等式组等知识没有错误，以及对图象的认识，直线的方向，与y 轴交点位置及特点。二次函数的内容较多，如用配方法去求顶点坐标，对称轴方程，对抛物线的位置的认识，对称轴位置a 与a b c ,,的符号的相关性，顶点的位置与a b c ,,的关系等，都是重要的考点，应引起足够重视。 例9、已知：抛物线y x x = ++14325 4 2与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的右侧，顶点为C 。 求：（1）点A 、B 和C 的坐标 （2）直线AC 的解析式 解： （1）()() ()y x bx x x x =++=++-+=+-14514699514 31222 ()()∴--+-==-=-C x x x 点坐标为令解得3114 310152 12,,, 因为点A 在点B 的右侧，所以A 、B 两点坐标分别为（－1，0） B （5，0） （2）设直线AC 的解析式为y kx b =+ () 点在直线上A C (,),,,---1031 ∴-+=-+=-???== ? ??????k b k b k b 03112 12解得 ∴=+直线的解析式是AC y x 121 2 例10、在直角坐标系XOY 中，已知直线l 经过点(4,0)，且与x 轴，y 轴围成的直角三角形的面积等于8，如果一个二次函数的图象经过直线L 与两条坐标轴的交点，以x =3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求出它的最大值。 分析：这道题属于考查待定系数法确定二次函数的解析式，但是求二次函数的三个条件就不够清晰，只有对称轴x =3，还需寻求另两个点，即直线l 与两坐标轴的交点，这样又需求出直线的解析式，而直线y kx b =+只需两个条件，确定k b ,，经过点(4,0)以及和x 轴、y 轴围成的直角三角形的面积等于8。 解：设直线l 的解析式为y kx b =+，与x 轴交点为A （4，0）与y 轴交点B （0，m ），依题意得： 124844??=∴=∴=±m m m , 设二次函数的解析式为：y ax bx c =++2,当图象过A （4，0）、B （0，4） 且以x =3为对称轴时有-=++==???? ???b a a b c c 2316404 解这个方程组得a b c ==-=1234,,，所求二次函数的解析式为y x x =-+1 2 342， 因为a = >1 2 0，抛物线开口方向向上，不符合题意舍去。 当图象经过A （4，0）、B （0，－4），且以x =3为对称轴时有-=++==-???? ? ??b a a b c c 2316404 解这个方程组得a b c =-==-1 2 34,,，所以二次函数解析式为 y x x a =-+-=-12341 2 2,，抛物线开口向下，符合题意，所以所求二次函数解 析式为y x x y =-+-=12341 2 2,最大值。 例11、已知抛物线y x x k =-++242与x 轴有两个不同的交点， （1）求k 的取值范围 （2）当两个交点的横坐标的平方和等于10，求这个抛物线的解析式： （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，它与x 轴的两个交点从左至右依次为A 、B ，与轴的交点为P ， 求：三角形PMB 的内切圆与外接圆半径之比。 分析：这道题是代数几何的综合题，不但要求考生对二次函数的性质要熟练掌握，而且还要求明确二次函数与二次方程的关系，同时对几何的三角形内切圆与外接圆的有关概念及计算要熟练应用。 解： （1） 抛物线y x x k =-++242与x 轴有两个不同的交点 ∴()?=-+><164202k k ,即 （2）设两个交点的坐标分别为()()x x 1200,, 由已知得：x x x x k x x 12121 222412 2103+=?=++=??? ??()()() 由（3）得：()x x x x 122 12210+-?= 由（1）（2）得：()162210 1-+=∴=k k 当k =1时，抛物线为：()y x x x =-+=--22 4321 （3） 抛物线()y x =--212 顶点M 坐标为()21,- 抛物线与y 轴交点P 的坐标为（0，3） 抛物线与x 轴交点A 、B 的坐标分别为（1，0），（3，0） MB PB 2221820+=+= PM 220= ∴+=∴∠MB PB PM PBM PMB 222?是以为直角的直角三角形 PM =∴25 ?PBM 的外接圆半径为5 Rt ?PMB 的内切圆半径= 32225 2 225+-=- ∴内切圆半径与外接圆半径的比为：2255 2105 5-= - 【综合练习】： 一、填空题： 1、函数y x =-2中，自变量x 的取值范围 ； 2、点()p -21,关于原点对称的点的坐标是 ； 3、已知x =2，函数y x x = --21的值是 ； 4、一次函数y x =-32的图象不经过 象限； 5、若点()A m 2,在抛物线y x =2上，则点A 关于y 轴对称的点的坐标是 ； 6、对于函数y x =2 ，当x >0时，y 0，这部分的图象在第 象限； 7、一次函数y kx =+2中，当x =5时，y =4则k = ； 8、点A （－5，3）到x 轴的距离为 ；到y 轴的距离为 ；到原点的距离为 ； 9、点() N m m m 233+--,的横纵坐标互为相反数，则m = ； 10、如果正比例函数y kx =的图象过点（－1，3）那么k 的值为 ； 二、选择题： 1、函数() y x x =---2 21 2 中自变量x 的取值范围 A ．x ≥2 B ．x x >≠23,且 C ．x >2 D ．x x ≥≠23,且 2、在函数y x x =-1 中，自变量x 的取值范围 A ．x >0 B ．x >0且x ≠1 C ．x ≥0 D ．x ≥0且x ≠1 3、一次函数的图象经过点A （1，－2）和B （0，3），那么这个函数的解析式是 A ．y x =-53 B ．y x =--53 C ．y x =+53 D ．y x =-+53 4、二次函数()y x =-++132 的顶点坐标，对称轴方程 A ．（1，3），x =1 B ．（－1，3），x =1 C ．（－1，3），x =－1 D ．（1，3），x =－1 5、直线y x =--2与y x =+3的交点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、在直线y x =-25上的一个点是 A ．（－2，1） B ．（2，－1） C ．（－1，2） D ．（1，－2） 7、一次函数()y kx b k =+≠0的图象不经过第三象限，那么k b ,取值范围是 A ．k b >>00, B ．k b <≥00, C ．k b ><00, D ．k b <≤00, 8、下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而减小的是 A ．y x =+34 B ．y x =1 2 C ．y x =-4 D ．y x =-1 3 2 9、在同一直角坐标系中，表示函数y ax b =+，与y ab x ab =≠()0的图象只能是 10、二次函数y x x =--+221配方后，结果正确的是 A ．()y x =-++122 B ．()y x =--+122 C ．()y x =-+-122 D ．()y x =---122 【答案】： 一、1．x ≤2 2．(2,－1) 3．-2 4．第三 5．(,)-24 6．>,－ 7．2 5 8．3.5,34 9．m m =-=31, 10．－ 3 二、1．D 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．B 10．A 【综合练习二】： 1、已知y b +与x +1成正比例，且比例系数是k （其中b 为常数k ≠0） （1）证明：y 是x 的一次函数 （2）若这个一次函数的y 随x 的增大而增大，且点()p b k ,与点Q k 11,-? ? ?? ?关于原 点对称，求这个一次函数解析式 2、已知二次函数的图象，经过一次函数y x =+8的图象上的点()A m 7,，且顶点坐标为（3，－1），求这个二次函数解析式 3、已知抛物线经过一直线y x =-33与x 轴，y 轴的交点，并经过(2,5)点， 求： （1）抛物线的解析式 （2）抛物线的顶点坐标及对称轴 （3）当自变量x 在什么范围内变化时，函数y 随x 的增大而增大？ （4）在坐标系内画出抛物线的图象 4、已知二次函数当自变量x =－3时函数值取得最大值2，如果图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点为M ，且?AMB 的面积为4， （1）求这个二次函数的解析式 （2）若点N 是其图象上的一个点，且?ANB 的面积为12，求直线MN 对应的函数解析式。 5、已知二次函数()y mx m x =+--231 （1）求证：不论m 取何值时，二次函数的图象都与x 轴交于两点 （2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且AB =1，求这条抛物线对应的函数解析式 （3）设（2）中抛物线的顶点为P ，求?PAB 的面积 6、已知抛物线y x x m =-+26与x 轴有两个不同的交点A 、B 以AB 为直径作⊙C ， （1）求圆心C 的坐标 （2）是否存在实数m ，使抛物线的顶点在⊙C 上，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由 【答案】： 1、简答： （1）由题意，得()y b k x +=+1，整理得()y kx k b k =+-≠, 0，k －b 与k 均为常数，所以y 是x 的一次函数 （2）() P k Q k 011,,,-? ? ???关于原点对称，可得b k =-=±11,, 一次函数y 随x 的 增大而增大，∴>∴=-k k 01,（舍去），从而，b k =-=11,一次函数解析式为 y x =+2 2、简答：利用顶点式，设所求二次函数为()y a x =--312 ，由已知：m =+=7815，点()A 715,在二次函数上，代入顶点式：()a 731152 --=，得到a =1， ()∴=--=-+y x x x 31682 2，所求二次函数为：y x x =-+268 3、提示： （1）由直线y x =-33，交x 轴，y 轴分别出交点（1，0）和（0，－3）又过（2， 5），由方程组c a b c a b c =-++=++=??? ? ?31425，解得a b c ===-123,,,得到抛物线的解析式为： （） （2）由顶点--?? ? ??b a ac b a 2442,分别求出，顶点坐标为（－1，4）对称轴是x =-1 （3） a =>∴10,当x >-1时，函数y 随x 的增大而增大， （4）图象略 4、提示： （1）由题意可知顶点坐标（－3，2），所以设二次函数解析式为()y a x =++322 ，又因为与x 轴交A 、B 两点，所以y =0，通过?AMB 的面积，可求A 、B 两点的 坐标为：（－1，0），（－5，0）二次函数解析式为：y x x =---1235 2 2 （2）通过?ANB 的面积12，求出N 点坐标（－7，6）或（1，－6）与M （3，2）分别代入所设y kx b =+解析中，得到：y x =+28或y x =--24 5、提示： （1）若抛物线与x 轴有两个交点，只需证明当y =0时?>0即可 （2）设抛物线与x 轴交点A 的坐标为（x ，0）B 点坐标为()x 20, 通过根与系数的关系，及已知条件，AB =1，即x x 121-=，可求出m =9 2 ，所以抛物线的解析式为：y x x = +-923 2 12 （3）若求?PAB 的面积只要求出y x x =+-923 2 12的顶点的P 纵坐标即可，所以 S ABP ?=916 6、简答： （1）抛物线y x x m =-+26与x 轴交点A 、B ，又以AB 为直径作⊙C ，所以点C 的坐标可根据A 、B 两点的对称性求得：所以y x x m =-+26配方得 ()y x m =-+-392 ，∴对称轴为x =3，所以圆心C 的坐标为（3，0） （2）∴抛物线与x 轴有两个不同交点∴>?0，即m <9，设两交点坐标()()x x 1200,,， ()∴=-= +-=-=-AB x x x x x x m m 12122 12436429，∴⊙C 的半径 r AB m = =-1 2 9，又抛物线的顶点为()39,m -，若顶点在⊙C 上，则99-=-- m m ，∴-=-99m m ∴解m m m m 128998==<∴=,,. ，即当m =8时，抛物线的顶点在⊙C 上 【综合练习三】： 一、选择题：（每题4分，共60分） 1、函数y x =-5 3 中自变量x 的取值范围 A ．x ≥3 B ．x >3 C ．x ≠3 D ．x ≠-3 2、a b ><00,那么点()p a b ,在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知直线y kx b =+过点（0，1）和（2，0）则 A ．k b ==121, B ．k b ==-1 21, C ．k b =-=121, D ．k b =-=-1 2 1, 4、函数()y abx bc c a b =-+与不同号,的图象不通过 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5、已知正比例函数y ax 1=，反比例函数y b x 2= ，在同一坐标系中该两个函数的图象没有交点，则a 与b 的关系是 A ．同号 B ．异号 C ．互为倒数 D ．互为相反数 6、已知：a b ,<0点()p a b ,在反比例函数y a x =的图象上，则直线y ax b =+不经过的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7、已知y 与x 2成反比例，并且x =3时，y =4，当x =3 2 时，y 的值 A ．1 B ．16 C ．81 D ． 1681 8、已知二直线y x =-+3 5 6和y x =-2，则它们与y 轴围成的三角形的面积为 A ．6 B ．10 C ．20 D ．12 9、下列直线不经过第三象限的是 A ．y x =-122 3 B ．y x = +1223 C ．y x =- -1223 D ．y x =- +1223 10、如果点()A x y ,在第三象限，则点B x y (.)--1在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11、二次函数y x mx n =++2，若m n -=0则它的图象必经过的点是 A ．（－1，1） B ．（1，－1） C ．（－1，－1）D ．（1，1） 12、已知函数y k x =1 与y k =2x 的图象交点是（－2，5）是，则它们的另一个交点是 A ．（2，5） B ．（5，－2） C ．（－2，－5） D ．（2，5） 13、若函数()y m x m m =+++12 31是反比例函数，则m 值 A ．m =-2 B ．m =1 C ．m m ==21或 D ．m m =-=21或 14、如果函数y kx b =+的图象在第一、二、三象限内，那么函数y kx bx =+-21的图象大致是 15、二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，那么 abc b ac a b a b c ,,,24--++，这四个代数式中值为正 数的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 二、解答题（每题8分，共40分） 1、一次函数y kx b =+的图象经过反比例函数的图象上的A 、B 两点，且已知A 点的横坐标与点B 的纵坐标都是2，求这个一次函数的解析式 2、抛物线的顶点坐标为（－2，3），且与x 轴交于()()x x 1200,,,，且x x 126-=，求此二次函数的解析式 3、?ABC 中，AB =AC ，点A 、C 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，若此三角形腰长和腰上的高浅的长分别是关于x 的方程()x m x m 222150--+-=的 两个实数根，且三角形ABC 的面积等于10，求经过B 、C 两点的直线的解析式。 4、如图，设⊙O 的半径为8，过圆外一点P 引切线PA ，切点为A ，PA =6，C 为圆周上一动点，PC 交圆于另一点B ，设PC =x ，PB =y ，且x >y 。 （1）试求：y 关于x 的函数解析式 ，并求出自变量x 的取值范围； （2）若cos ∠=opc 4 5 时，求x 的值 5、已知二次函数y ax bx c =++2的图象经过点A （2，4），其顶点横坐标为 12 ，它的图象与x 轴交点为()()B x C x x x 121222 0013,,,,且+=， （1）求此函数的解析式，并画图象； （2）在x 轴的上方的抛物线上是否存在点D ，使得：S S ABC BDC ??=2如存在，请求出所有满足条件的点D ，如不存在，说明理由 【答案】： 一、 1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．C 9．A 10．D 11．A 12．A 13．A 14．B 15．B 二、 1．y x =--2 2．y x x =--+13435 3 2 3．y x =-+1 24 4．提示：（1）由切割线定理得：PA PB PC y x 236 =?∴=,延长PO 交⊙O 于E ， 则()PA PD PE PD PD 22 166=?=+=，解得PD =2，PD =－18（舍去），当PC 与PE 重合时，x 取最大值18，PC 与PA 重合时，x 取最小值6，但x y x >∴≠,,6， 否则x =y =6,()∴=<≤y x x 36 618； （2）过点O 作OQ ⊥BC ，连结OC ，交BC 于Q cos ,∠=∠OPQ OPQ 4 5 为锐角， ∴∠=-∠=-?? ? ??=sin cos OPQ OPQ 114535 2 2 ， ()QC PO OPQ pox PD =?∠==+=sin 353 5 86， OQ =-=862722，∴=+PC PB QC 2,即x y QC x x =+∴= +236 47,. 解得x x 12827827=+=-+（不合题意舍去）∴=+x 827 5．提示：（1）利用待定系数法求二次函数解析式()442212 213122212212=++-=+=+-=?? ? ?? ??a b c b a x x x x x x 解得：a b c y x x =-==∴=-++11662,,,（图略） （2）假设在x 轴上方的抛物线上存在点D ，使得：S S ABC DBC ??=2,因为S ABC ?与S DBC ?两个三角形为等底，只要存在A 点的纵坐标是D 点的纵坐标的2倍，结论就能成立，否则不成立。所以令-++=x x 260，解得x x 1232==-,,如果存在点D 在抛物线上，且S S ABC DBC ABC DBC ????=2, 与为等底又A （2，4），所以D 点的纵坐标应为2，即262=-++x x ，解：-++=x x 240，得 x x 121172311722=+<=->-,,因此满足条件的点D 有两个： D D 121172211722+?? ???-?? ???,,,。 统计初步 【专题训练】：（选择题） （1）要了解某种产品的质量，从中抽取出300个产品进行检验，在这个问题中，300个产品的质量叫做 A ．总体 B ．个体 C ．样本 D ．样本容量 （2）体检时，一组学生的体重如下（单位：千克）：47，45，39，50，42，41，这组数据的中位数是 A ．39 B ．50 C ．43.5 D ．12 （3）某部队一位新兵连续射靶5次，命中的环数如下：0，2，5，2，7这组数据的中位数与众数分别是（单位、环） A ．2，2 B ．5，2 C ．5，7 D ．2，7 （4）一养鱼专业产，为了估测鱼的质量，从中捕捞10条鱼，秤得它的质量如（单位：千克）：1.1, 1.2, 1.1, 1.0, 1.1, 1.2, 1.1, 1.1, 1.0, 1.1，则样本平均数为 A ．1.1(千克) B ．1.2(千克) C ．1.3(千克) D ．1.4(千克) （5）已知x x x 123,,的平均数是x - ，那么353535123x x x +++,,的平均数是 （6）下列说法中，错误的是 A ．数据3，4，4，5，5中，4，5都是众数 B ．一组数据5，4，4，6的中位数是4，5 C ．一组数据的标准差是这组数据方差的平方 D ．已知五个数2，3，1，5，4的平均数是3 【答案】： 1．C 2．C 3．A 4．A 5．35x - + 6．C 提醒这位考生，函数部分的综合题要引起高度重视，其中用函数概念与性质解题，确定函数解析式，灵活运用函数与图象的知识，和函数图象与几何，三角综合等几部分内容必考，并在最近几年中考题中出现动点问题和开放性问题也要理解掌握它的解法。下次复习平面几何。 指数函数运算、图像及其性质 知识点1：指数运算 ① a m ·a n ＝a m+n ；②a m ÷a n ＝a m-n (a≠0,m>n); ③(a m )n ＝a mn ; ④(ab)n ＝a n ·b n ; ⑤ ( )n ＝ (b≠0). 例1： 44 366399a a ???? ? ????? 等于【 】A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a 例2：指数幂的运算 计算：①1200.2563433721.5()82(23)()63-?-+?+?-② ③ 知识点2：指数函数的图像 a>1 0 例4： 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为【 】 .A d c b a <<<<1 .B c d a b <<<<1 .C d c b a <<<<1 .D c d b a <<<<1 题型一、指数运算 1、化简4216132 33 2)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是【 】 A ．a b B ．ab C ．b a D ．a 2b 2、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。 题型二、指数函数的图像问题 4、函数y ＝e x ＋e － x e x －e －x 的图象大致为【 】@ 5、若函数m y x +=-| 1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是【 】 华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数 1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2．自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定： ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题： （1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 （2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。 （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二．平面直角坐标系： 1．各象限内点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0. （2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0. （3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0 （4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0 （2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数 3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）. （2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. （3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y） 4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y. 《函数及其图像》单元测试卷 一、选择题： 1、 函数y = J 二刁的自变量x 的取值范围是（ ） A. 尢>2 B. -<2 -<4 - 2、 已知点P （3, -2）与点Q 关于x 轴对称，则Q 点的坐标为（） A. （—3, 2） B. （—3, —2） C. （3, 2） D. （3, -2） 3、 若正比例函数的图像经过点（一1, 2）,则这个图像必经过点（ ） A. （1, 2） B. （— 1, —2） C. （2, —1） D ?（1, —2） 4、 P g yi ）, PE 刃）是正比例函数产图象上的两点，下列判断正确的是（ A. y^>y<> B.门〈乃 C.当蔺〈&时，门〉上 D.当X ］〈卫时，口〈兀 5、 已知一次函数? = 2.r-3的大致图像为 （ ） 6、 已知函数y =- （x>0）,那么（ A 、 函数图象在一象限内，且y 随x 的增大而减小 ) I ) 10、某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图 描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）B 、 函数图象在一象限内，且y 随x 的增大而增大 C 、 函数图象在三象限内，且y 随x 的增大而减小 D 、 函数图象在三象限内，且y 随x 的增大而增大 7、已知反比例函数y 二下列结论中，不正确的是（ ） ? ? ? A.图象必经过点（1, 2） B. y 随x 的增大而减少 C.图象在第一、三象限内 D.若x>l,则y<2 8、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是（） 3 --- 0 A. y=2x B ? y=—2x+5 C ? y=— x D. y=—x~+2x —1 9、一次函数y = kx+b 的图象如图所示，当yvO 时，兀的取值范围是（ ）描图 A. x>0 B ? x<0 C ? x>2 D ? x<2 第11题图 第六章：函数及其图像 知识点： 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征： （1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P （x, y ）在第一象限?x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限?x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限?x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限?x ＞0，y ＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征： 点P （x, y ）在x 轴上?y 为0，x 为任意实数。 点P （x ，y ）在y 轴上?x 为0，y 为任意实数。 3．点P （x, y ）坐标的几何意义： （1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |； （3）点P （x, y ）到原点的距离是22y x + 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --； 二、函数的概念 1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ? π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ?????2x －π4；(2)y ＝sin ? ?? ???π4－2x . 6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝ 最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据 φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 二、三角函数的伸缩变化 学习测评 A 卷：夯实基础卷 （测试时间：60分钟 测试满分：100分） 一、判断题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）： 1. 当x 与y 的乘积是一个定值时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数（ ） 2. 当y 与x +1成反比例时，y 就是x 的反比例函数. （ ） 3. 一个函数不是正比例函数，就是反比例函数. （ ） 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）： 4. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是：（） A.x y 5﹣= B.5 x ﹣=y C.1﹣kx y = D.12﹣x y = 5. 如果函数 是反比例函数，则m 的值为： （ ） A. B. C. D. 6. 若函数 是反比例函数，则m 的值为： （ ） A. ±3 B. ﹣3 C. 3 D. 0 7. 某化工厂现有400t 煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天的耗煤量x 之间的函数关系式是： （ ） A. B. B. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）： 8. 已知三角形的面积是5，则三角形的高h 与底边长 的函数关系是 ；此时h 是 的 . 9. 贵广铁路全程长达857 km ，最高时速可达250㎞/h .某动车从起点贵阳市出发至终点广州市所需的时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为.（不考虑自变量的取值范围） 10. 超级分类： 325﹣m x y =2 =m 0=m 1﹣=m 1=m 102 )3(﹣﹣m x m y =a )0≠(400x x y =)0(400＞x x y =)0≥(400x x y =)0(400＜x x y =a 《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。 ①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数 ④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。 练习：在函数r c π2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法： ①解析法： ②列表法： 三、函数自变量的取值围： 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）: 五、平面点的坐标：（横坐标，纵坐标） 如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面特殊位置的点的坐标情况：（连线） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号； ②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y = ③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系： ⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限 八年级数学函数及其图象单元测试 班级___________姓名____________学号__________成绩_______ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、图1所示的是某城市冬季某一天的气温随时间变化图， 这一天的温差为（ ）． A 、 -2 B 、 8 C 、 12 D 、16 2、点P （2,–1）在第( )象限． A 、 一 B 、二 C 、 三 D 、四 3、函数 ）． A 、2x ≥ B 、2x ≤ C 、2x ≠ D 4、若一次函数(1)1y m x =-+的图象经过(1，2)，则m 的值为（ A 、-1 B 、1 C 、2 D 、任意实数 5、若直线b kx y +=图像如图２所示，则k ，b 的取值可能是（ ）． A 、k ＝1,b=1 B 、k=1,b=－1 C 、k=-1,b=1 D 、k=-1,b=-1 6、已知正比例函数y=(3k —1)x ，若y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ） A 、13x > B 、 13x >- C 、13x < D 、1 3x <- 7、李明骑自行车上学，最初以某一匀速行进，中途停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李明加快了速度，仍保持匀速行进，结果按时到校。表示李明所走的路程s （千米）与所用时间t （小时）之间的函数的图象大致是（ ） 8、已知函数y=–x k 的图象过点（－1，3），那么下列各点在函数1y kx =+的图 象上的是 （ ）． A 、（3，1） B 、（3，10） C 、（2，－5） D 、（2，8） 时) 图２ 9、当k<0，反比例函数x k y =和一次函数k kx y +=的图象大致是（ ）． A B C D 10、已知甲、乙两弹簧的长度ycm 与所挂物体xkg 之间的函数解析式分别为 1122,y k x b y k x b =+=+，图象如图3的长为1y ，乙弹簧的长为2y ，则1y 与2y A 、12y y > B 、12y y = C 、12y y < D 、不能确定 二、填空题（每小题3分，共24分） 11、点A （–2，a –1）与点B （b ，1）关于y 轴对称，则12、一次函数y= –2x –3与x 轴的交点坐标为__________． 13、若y 与x 成反比例，且图象经过点（–2，6），则y 与x 之间的函数解析式为 _________ ． 14、甲、乙两地相距100千米，汽车以每小时40千米的速度由甲地开往乙地， 汽车离乙地的路程s （千米）与时间t （小时）之间的函数关系是______________． 15、把直线22--=x y 向上平移3个单位的直线是 ． 16、已知直线y=3x-5，它与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 17、已知一次函数的图象经过点P （2，－3），写出一个符合条件的一次函数的 解析式 ． 18、已知点P （x 1，y 1）和点Q （x 2，y 2）在函数b x y +=2的图象上，若x 1>x 2， 比较大小y 1 y 2。（填“>”、“=”、“<” ）． 三、解答题（每题19~21分各10分，第２2、23题各8分共46分） 19、一次函数b kx y +=的图象经过点（0，-3）、（2，-1）. 课时跟踪训练13：反比例函数及其图象 A 组 基础达标 一、选择题 1．(2013·曲靖)某地资源总量Q 一定，该地人均资源享有量x － 与人口数n 的函数关系图象是图13－1中的 ( B ) 图13－1 2．(2012·乌鲁木齐)函数y ＝－k 2＋1x (k 为常数)的图象过点(2，y 1)和(5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系是 ( C ) A ．y 1＜y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2 D ．与k 的取值有关 3．(2012·绵阳)在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝4－2k x 的图象没有交点，则实数k 的取值范围在数轴上表示为图13－2中的 ( C ) 图13－2 4．(2012·恩施)已知直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝3 x 交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则x 1y 2 ＋x 2y 1的值为 ( A ) A ．6 B ．－9 C ．0 D ．9 解析：∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是双曲线y ＝3 x 上的点， ∴x 1·y 1＝x 2·y 2＝3①，∵直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝3 x 交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2②，∴原式＝－x 1y 1－x 2y 2＝－3－3＝－6.故选A. 二、填空题 5．(2013·温州)已知点P (1，－3)在反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象上，则k 的值是__－3__． 6．(2013·鄂州)已知正比例函数y ＝－4x 与反比例函数y ＝k x 的图象交于A 、B 两点，若点A 的坐标为(x ，4)，则点B 的坐标为__(1，－4)__． 7．(2013·宁夏)如图13－3所示，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y ＝k x (x <0)的图象经过点C ，则k 的值为__－6__. 解析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴A (－3， 2)，∵点A 在反比例函数y ＝ 的图象上，∴2＝－k 3，解得k ＝－6. 8．(2013·河北)反比例函数y ＝m ＋1 x 的图象如图13－4 所示，以下结论： ① 常数m ＜－1； ② 在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③ 若A (－1，h )，B (2，k )在图象上，则h ＜k ； ④ 若P (x ，y )在图象上，则P ′(－x ，－y )也在图象上． 其中正确的是__④__． 三、解答题 9．(2013·达州)如图13－5所示，已知反比例函数y ＝k 13x 的图象与一次函数y ＝k 2x ＋m 的图象交于A (－1，a )、B ? ???? 13，－3两点，连接AO . (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 图13－5 图13－3 图13－4 2006学年第二学期学生纸笔测验评价培训资料 八年级数学第１８单元《函数及其图象》单元测试 班级___________姓名____________学号__________成绩_______ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、图1所示的是某城市冬季某一天的气温随时间变化图， 这一天的温差为（）． A 、 -2 B、 8 C、 12 D、16 2、点P（2,–1）在第( )象限． A 、一 B、二 C、三 D、四 3、函数y=2x -的自变量的取值范围是（）． A、2 x≥ B、2 x≤ C、2 x≠ D、全体实数 4、若一次函数(1)1 y m x =-+的图象经过(1，2)，则m的值为（）． A、-1 B、1 C、2 D、任意实数 5、若直线b kx y+ =图像如图２所示，则k，b的取值可能是（）． A、k＝1,b=1 B、k=1,b=－1 C、k=-1,b=1 D、k=-1,b=-1 6、已知正比例函数y=(3k—1)x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是（） A、 1 3 x> B、 1 3 x>- C、 1 3 x< D、 1 3 x<- 7、李明骑自行车上学，最初以某一匀速行进，中途停下修车耽误了几分钟，为 了按时到校，李明加快了速度，仍保持匀速行进，结果按时到校。表示李明所走的路程s（千米）与所用时间t（小时）之间的函数的图象大致是（） 8、已知函数y=– x k 的图象过点（－1，3），那么下列各点在函数1 y kx =+的图 象上的是（）． A、（3，1） B、（3，10） C、（2，－5） D、（2，8） t (时) T(℃) 2 · ······ · ·· 2 6 10 14 18 · · · · 4 6 8 10 · -2 O 图1 图２ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 考点跟踪训练13 反比例函数及其图象(233—234页) 一、选择题 1．(2011·扬州)某反比例函数图象经过点()－1，6，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A.()－3，2 B.()3，2 C.()2，3 D.()6，1 答案 A 解析 设反比例函数解析式为y ＝k x ，则k ＝－1×6＝－6，y ＝－6x .只有－3×2＝－6，点 (－3,2)在双曲线y ＝－6 x 上． 2．(2011·铜仁)反比例函数y ＝k x (k <0)的大致图象是( ) 答案 B 解析 双曲线y ＝k x ，当k <0时，分布于第二、四象限，关于原点中心对称． 3．(2010·兰州)已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)在反比例函数y ＝－k 2－1 x 的图象上. 下 列结论中正确的是( ) A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2 C ．y 3>y 1>y 2 D ．y 2>y 3>y 1 答案 B 解析 比例系数－k 2－1≤－1<0，图象分布第二、四象限，y 1>0,0>y 3>y 2，故y 1>y 3>y 2. 4．(2011·台州)如图，双曲线y ＝m x 与直线y ＝kx ＋b 交于点M 、N ，并且点M 的坐标为(1,3)， 点N 的纵坐标为－1.根据图象信息可得关于x 的方程m x ＝kx ＋b 的解为( ) A ．－3,1 B ．－3,3 C ．－1,1 D ．－1,3 答案 A 解析 点M (1,3)在双曲线y ＝m x 上，可知m ＝1×3＝3，y ＝3 x ，当y ＝－1时，x ＝－3， N (－3，－1)．当x ＝1和－3时，m x ＝kx ＋b .所以方程的解为x 1＝1，x 2＝－3. 5．(2011·陕西)如图，过y 轴上任意一点p ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2 x 的图象交于A 点和B 点．若C 为x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 A 解析 设P (0，p )，则A (－4p ，p )，B (2 p ，p )， AB ＝????－4p －2p ＝??? ?6p ， 所以S △ABC ＝12AB ·OP ＝12??? ? 6p · ||p ＝3. 二、填空题 6．(2011·济宁)反比例函数 y ＝m －1 x 的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是________． 答案 m >1 解析 因为m －1>0，所以m >1. 7．(2011·南充)过反比例函数y ＝k x (k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足 分别为B 、C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为________． 答案 6或—6 解析 S △ABC ＝1 2 |k |＝3，|k |＝6，k ＝±6. 8．(2011·福州)如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的解析式是____________． 答案 y ＝ 3x 解析 作P A ⊥OQ 于A .在Rt △OAP 中，OP ＝2，∠POA ＝60°，则OA ＝1，P A ＝3， P (1，3)．设函数解析式为y ＝k x ，所以k ＝1×3＝3，y ＝3 x . 9．(2011·广东)已知一次函数y ＝x －b 与反比例函数y ＝2 x 的图象，有一个交点的纵坐标 是2，则b 的值为________． 讲 义 教材与考点分析： 本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质，函数是数学研究的主要对象，也是考试必然会涉及的知识点，我们必须从简单的函数出发，学好每一类基本初等函数。 考点1：分数指数幂 我们规定分数指数幂的意义： 负分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 考点2：有理数指数幂的运算性质 ),,0,0())(3(,))(2(, )1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===?+ 考点3：指数函数及其性质 a>1 0 Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第2题. 若11()()23 x x <，则x 满足（ ） Ａ．0x > Ｂ．0x < Ｃ．0x ≤ Ｄ．0x ≥ 第3题. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图象大致为（ ） 第5题. 当0a >且1a ≠时，函数2()3x f x a -=-必过定点 ． 第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x 的表达式为 ． 第7题. 当0x >时，函数()()21x f x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 ． 第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>，1)a ≠且中x 的取值范围． 08年中考复习函数及其图象单元测试卷 一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）每小题给出4个答案，其中只 有一个是正确的．请把正确答案的字母代号填在相应的括号内．．．．．．．． ． 1. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为( ) 2．将点(22)P -， 沿x 轴的正方向平移4个单位得到点P '的坐标是( ) Ａ．(26)-， Ｂ．(62)-， Ｃ．(22)， Ｄ．(22)-， 3．一次函数2y x =-的大致图象是( ) 4．函数(0)k y k =≠的图象如左图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． x O x O x O x O A ． B ． C ． D ． 5．二次函数2y ax bx =+和反比例函数b y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) 6．若抛物线22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是( ) Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 7．如图，抛物线的函数表达式是( ) A ．22y x x =-+ B ．22y x x =++ C ．22y x x =--+ D ．22y x x =-++ 8．若1231 11,,,,,242M y N y P y ??????-- ? ? ??????? 三点都在函数()0k y k x = <的图象上， 则123,,y y y 的大小关系是( ) A ．231y y y >> B ．213y y y >> C ．312y y y >> D ．321y y y >> 9．二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）的图象如图所示， 则下列结论：①0a >； ②0c >； ③2 40b ac ->， 其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10．如图，在Rt ABC △中，904cm 6cm C AC BC === ，，∠，动点P 从点C 沿CA ，以1cm/s 的速度向点A 运动，同时动点Q 从点C 沿CB ，以2cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的CPQ △的 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 函数及其图像知识点 《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。 ①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数 ④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。 练习：在函数r c π2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法： ①解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。②列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律。③图像法：就是用线性图像来表示函数变化规律。 三、函数自变量的取值范围： 函数解析式类型 自变量取值满足的条件 应用举例 整式 全体实数 54+-=x y （x 为任意实数） 分式 分母不为零 ()22 3 2≠--= x x x y 二次（偶次）根式 被开方数非负 ()263≥-=x x y 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）: 五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标） 如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号； ②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y = ③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系： ⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限 第十七章《函数及其图象》单元测试卷 姓名： 班级： 分数 一、填空题： 1、点A （2，—3）关于y 轴对称的点的坐标是 。 2、若点（m ，m+2）在x 轴上，则P 点的坐标是 。 3、函数2 3+-= x x y 中自变量x 的取值范围是 4、若P 点的坐标为（m ，n ），且mn<0，m>0，则P 点在第 象限 5、如图，是其双曲线的一个分支，则其解析式为 。 6、已知直线y=3x-5，则其图象不经过第 象限， 它与坐标轴围成的三角形的面积是 。 7、已知点（1，11）和（—2，7）是函数b ax y -=2图象上的点，则a= ，b= ， 8、已知点P （x 1，y 1）和点Q （x 2，y 2）在函数b x y +=2的图象上，若x 1>x 2， 比较大小y 1 y 2。（填“>”、“=”、“<” ） 9、写出一个自变量的取值范围是1≥x 的函数 。 10、写出一个经过二、三、四象限的一次函数的解析式： 。 11、已知函数16+-=x y ，当x= 时,函数的值为0 12、把直线22--=x y 向上平移3个单位的直线是 。 13、弹簧挂上物体会伸长，测得一弹簧的长度当所挂物体的质量有下面的关系 那么弹簧总长y 与所挂物体质量x （千克）之间的函数关系式为 二、选择题 1、若直线b kx y +=经过第一、二、四象限，则k ，b 的取值范围是（ ） A 、k>0,b>0 B 、k>0,b<0 C 、k<0,b>0 D 、k<0,b<0 2、下列语句叙述正确的有（ ）个 ①横坐标与纵坐标互为相反数的点在直线y= —x 上； ②点P （2，0）在y 轴上； ③若点P 的坐标为（a ，b ），且ab=0，则P 点是坐标原点； ④函数x y 3 -=中y 随x 的增大而增大; A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、若一次函数1)1(2-+-=m x m y 的图象经过原点，则m 的值为（ ） A 、--1 B 、1± C 、1 D 、任意实数 4、当k<0，反比例函数x k y =和一次函数k kx y +=的图象大致是（ ） A B C D 5、若9 2)3(--=m x m y 是正比例函数，则m 的值为( )。 A 、3 B 、--3 C 、3± D 、无法确定 6、许老师骑摩托车上班，最初以某一速度匀速前进，中途由于摩托车出现故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，许老师加快了行车速度，但仍保持匀速前进，结果准时到校。在课堂上，许老师画出摩托车行进路程s （千米）与行进时间t(时)之间的函数关系图象的示意图，其中正确的是（ ） A B C D 三、解答题： 1、一次函数b kx y +=的图象经过点（6，2）、（2，-1），求它的函数关系式，并画出图像。 t s s s s 反比例函数及其图象教学设计示例2 反比例函数及其图像 一、素养教育目标 〔一〕知识教学点 1．使学生了解反比例函数的概念； 2．使学生能够依照咨询题中的条件确定反比例函数的解析式； 3．使学生明白得反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及依照图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情形； 4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式. 〔二〕能力训练点 1．培养学生的作图、观看、分析、总结的能力； 2．向学生渗透数形结合的教学思想方法. 〔三〕德育渗透点 1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点； 2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点. 〔四〕美育渗透点 通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的爱好，也培养学生积极探求知识的能力. 二、学法引导 教师采纳类比法、观看法、练习法 学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号. 三、重点·难点·疑点及解决方法 1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述咨询题. 2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难. 3．教学疑点：〔1〕反比例函数为何与x轴，y轴无交点；〔2〕反比例函数的图像只能讲在第一、三象限或第二、四象限，而不能讲通过第几象限，增减性也要讲明在第几象限〔或讲在它的每一个象限内〕. 4．解决方法：〔1〕中隐含条件是或；〔2〕双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分不讨论，不能一概而论. 四、教学步骤 〔一〕教学过程 提咨询：小学是否学过反比例关系？是如何表达的？ 由学生先考虑及讨论一下. 答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系. 看下面的实例：〔出示幻灯〕 1．当路程s一定时，时刻t与速度v成反比例； 2．当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例； 它们分不能够写成〔s是常数〕，〔S是常数〕写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：〔板书〕 一样地，函数〔k是常数，〕叫做反比例函数. 即在上面的例子中，当路程s是常数时，时刻t确实是速度v的反比例函数，能否讲：速度v是时刻t的反比例函数呢？ 通过那个咨询题，使学生进一步明白得反比例函数的概念，只要满足〔k是常数，〕就能够．因此能够讲速度v是时刻t的反比例函数，因为〔s是常量〕．对第2个实例也一样． 华东师大版八年级下册第17章《函数及其图象》单元测试卷（解析版） 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共 48分.以下每小题都给出了A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、函数x x y 2 -= 中自变量x 的取值范围是（ C ） A 、0≠x B 、2≥x 或0≠x C 、2≥x D 、2-≤x 且0≠x 2、小明的父亲饭后出去散步，从家走20分钟到一个离家900米的报亭，看10分钟报纸后，用15分钟返回家里、下面四个图象中，表示小明父亲的离家距离与时间之间关系的是（ B ） 3、如果点A （3，m ）在x 轴上，那么点B （2+m ，3-m ）所在的象限是（ D ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 4、等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边长为y ，则下列y 与x 的关系式及自变量x 的取 值范围中，正确的是（ D ） A 、x y -=36（360< 指数函数及其图像与性质 数学学科刘春梅 学习情境：指数函数及其图像与性质（暂定一课时） 明确任务与咨讯 学习任务描述： ⑴能画出指数函数的简图； ⑵能使用指数函数的图像及性质判断指数函数的单调性； 学习目标: 通过本情境的学习，你应该： 1、能理解指数函数的概念、图像及性质； 2、能在老师的指导下会画出指数函数的简图； 3、能在老师的指导下熟练使用指数函数图象及性质判断指数函数的单调性；任务实施 班组成员分工，根据学生数量把全班分成4个班组，每组以7_——8人为宜，每组各选一名组长，并分配职责。 小组名称：工作理念：序号姓名职务岗位职责 1 组长全面组织协调、分配任务 2 解说员1 负责阐述本组观点或答案 3 解说员2 负责阐述本组观点或答案 4 记录员负责记录各小组探讨结果 5 监督员协助组长考核小组各成员表现 6 成果展示员1 负责板演所得结果 7 成果展示员2 负责板演所得结果 8 记分员负责统计各组分数 备注：各组所得分数为本组各成员得分，对组内表现优秀者再适当加分奖励（优秀者由老师根据课堂表现直接认定）。 引导问题1：某种物质的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，知道分裂的次数x,如何求得细胞的个数y呢？ 引导问题2：上述问题得到的函数有什么特征？ 1、函数中的自变量是 2、函数中的自变量在什么位置？ 3、这个函数与以前我们所学过的函数有什么不同？ 引导问题3：通过引导问题2我们可以抽象出一个什么函数？ 引导问题4：研究一个函数最好的方式是什么？ 引导问题5： 在练习本上利用“描点法”作指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像。 注：老师在学生展示成果后，用多媒体展示指数函数y=2x ,y=3x ,y=5x ,y=0.3x ,y=0.5x ,y=0.7x 的图像 引导问题6：通过看指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像你能抽象出指数函数的图像具 有什么性质？ 引导问题7：完成下面的表格，完成之后请同学们互相对照。 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的性质 指数函数y=a x (a>0且a ≠1) 0指数函数运算、图像及其性质
《函数及其图像》知识点归纳
[精品]《函数及其图像》单元测试题.doc
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三角函数图像与性质知识点总结
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函数和图像知识点汇总
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(中考复习)第13讲 反比例函数及其图象
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考点跟踪训练13 反比例函数及其图象
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08年中考复习函数及其图象单元测试卷
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第17章 函数及其图象(单元测试卷)(解析版)
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