怎样求函数最值几种方法

函数最值的求法
在数学中，函数最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

在实际问题中，函数最值往往具有重要的意义，因此如何求函数的最值是一个非常基础的问题。

一、极值法
求函数最值的一种方法是极值法。

极值法是指通过求函数的极值来确定函数的最值。

具体来说，如果函数在某个点处的导数为0，那么这个点就是函数的极值点。

如果这个点是函数取得的最大值或最小值，那么它就是函数的最值点。

二、区间法
另一种求函数最值的方法是区间法。

区间法是指通过在函数的定义域内寻找函数取值的最大值和最小值来确定函数的最值。

具体来说，可以将函数在定义域内的每个区间都求出来，然后比较这些区间的最大值和最小值，就可以得到函数的最值。

三、二次函数最值公式
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，其最值可以通过以下公式来求解：
当a>0时，函数y=ax^2+bx+c的最小值为y_min=c-frac{b^2}{4a}，最大值不存在。

当a<0时，函数y=ax^2+bx+c的最大值为y_max=c-frac{b^2}{4a}，最小值不存在。

四、其它方法
除了上述方法外，还有一些其它方法可以求函数的最值，如牛顿迭代法、黄金分割法等。

这些方法的具体原理和步骤需要在一定的数学基础上才能掌握。

总之，求函数的最值是数学中的一个基础问题，掌握求解方法对于深入理解和应用数学知识都非常重要。

二次函数求最值的三种方法一、引言在学习高中数学时，我们会学到二次函数，并学习如何求出这个函数的最值。

这是一个非常重要的问题，因为在实际生活中，很多问题都可以用二次函数来描述，例如：投射物的运动轨迹、拱桥的设计等。

为了更好地理解和掌握这一知识点，本文将分析三种常见的方法来解决二次函数求最值的问题。

这些方法包括：1.利用二次函数的顶点公式求最值2.利用二次函数的导数公式求最值3.利用求根公式解二次方程求最值在下文中，我们将详细展开上述三种方法的整体流程并进行详细描述。

二、利用二次函数的顶点公式求最值二次函数的标准形式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

我们可以通过求出顶点来确定二次函数的最值。

我们知道，对于标准二次函数，其顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。

使用这一公式，我们可以简单地找到二次函数的最值。

接下来，我们将细致地介绍如何使用顶点公式求二次函数的最值。

1. 将二次函数转换为标准形式。

我们有一个二次函数y=2x²+4x-5，我们可以将其转换为y=2(x²+2x)-5。

2. 现在，我们可以通过分离平方项来找到二次项x²的系数a和一次项x的系数b。

在本例中，二次项系数a为2，一次项系数b为4。

3. 接下来，我们可以使用顶点公式来计算出顶点的坐标。

根据公式，顶点的横坐标为-b/2a，若b为正数，顶点为函数的最小值，反之为最大值。

在本例中，由于一次项系数为正数，因此我们将使用公式-b/2a来计算横坐标。

(a) 横坐标=-b/2a=(-4)/(2*2)=-1(b) 将横坐标代入原函数中，可得纵坐标f(-1)=2*(-1)²+4*(-1)-5=-7(c) 顶点坐标为(-1,-7)。

4. 因其二次项系数为正数，所以这是一个开口向上的抛物线，并且其最小值为-7，在顶点的位置。

答案为f(x)=-7。

三、利用二次函数的导数公式求最值另一种方法是使用二次函数的导数公式来确定最值。

求极值的三种方法一、直接法。

先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值二、导数法（1）、求导数f'(x)；（2）、求方程f'(x)=0的根；（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。

同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。

扩展资料：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。

如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

1、求极大极小值步骤：求导数f'(x)；求方程f'(x)=0的根；检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。

即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

上述所有点的集合即为极值点集合。

扩展资料：定义：若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。

极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。

本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。

一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。

对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。

具体步骤如下：1. 求取函数的导数。

根据函数的表达式，求取其一阶导数。

对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。

2. 解方程求取导数为零的点。

导数为零的点对应着函数的极值点。

将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。

3. 判断极值类型。

在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。

若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。

二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。

当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。

具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。

根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。

2. 计算函数在端点处的取值。

将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。

3. 比较函数取值找到最值。

对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。

三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。

该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。

将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。

2. 求取拉格朗日函数的偏导数。

对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。

3. 解方程求取极值点。

将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。

4. 判断极值类型。

求函数最值的题型和方法
求函数的最值是数学中的常见问题，下面列举了几种常见的求函数最值的题型和方法：
1. 单变量函数的最值：对于单变量函数，可以通过求导数的方法来求函数的最值。

首先求出函数的导数，然后将导数等于0的方程求解，得到驻点（即函数取得极值的点）。

接着，通过将
驻点和函数的端点（如果有的话）进行比较，确定函数的最值。

2. 多变量函数的最值：对于多变量函数，求解最值的方法更加复杂。

可以通过求偏导数和二阶导数的方法来求解。

首先求出函数的偏导数，然后将偏导数等于0的方程组求解，得到驻点。

接着，求解雅可比矩阵的特征值，根据特征值的正负来确定驻点的类型（最大值、最小值或鞍点）。

最后，对比驻点和函数的端点（如果有的话），确定函数的最值。

3. 约束条件下的最值：在某些情况下，函数的变量受到一定的约束条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过拉格朗日乘数法来实现。

首先，将约束条件转化为方程组，然后定义拉格朗日函数。

接着，求解拉格朗日函数的导数等于0的方程组，得到驻点。

最后，通过对比驻
点和边界点，确定函数的最值。

4. 条件最值：在某些情况下，函数的取值受到一定的条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过消元法来实现。

首先，将条件限制转化为方程组，然后将其中的一个方程代入到函数中，得到一个只包含一个变量的函数。

接着，通过求解这个函数的最值，得到函数在满足条件限制下的最值。

需要注意的是，对于非线性函数或复杂函数，求解最值可能涉及到数值计算或近似计算的方法。

在实际应用中，通常会使用数值计算软件来求解函数的最值。

２０２３年６月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀利用导数求函数最值的三种方法◉甘肃省高台县第一中学㊀郭惠英㊀㊀摘要:新课标要求学生学会并运用转化与分类讨论等思想解决实际问题,能够利用导数求某些函数的极值㊁最值．在教学中,教师既要让学生熟练掌握实用的解题方法,更要注重开拓他们的解题思路,不断提高解题效率和准确率．关键词:分类讨论法;消元转化法;判断单调性法;构建新函数㊀㊀关于求函数最值与极值的问题,近年来在高考全国卷以及各地的自主命题卷中多次出现,多以选择题㊁填空题的形式出现,也与其他知识交汇在解答题中呈现, 最值与极值 问题逐渐成为高考的高频考点与热点[１],在备考中应予以高度重视．利用导数求函数的最值是一种十分简捷有效的好方法,具体解题思路是:先构造函数,明确定义域,求导;再求变号零点;最后求原函数的最值(极值)．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的基本步骤是:先求函数f(x)在(a,b)上的极值;再求函数f(x)在区间端点的函数值f(a),f(b);最后将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．下面结合典型例题,探讨运用导数求解函数最值问题的思路与方法．１分类讨论法运用分类讨论法求函数最值的基本思路是,把整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,增加了题设条件．解答这类题型的步骤是:①确定分类讨论的对象,即对哪个参数进行讨论;②对所讨论的对象进行合理分类(要求分类不重复㊁不遗漏㊁不越级㊁标准要统一);③逐类讨论;④归纳总结．例１㊀(２０２２年全国乙卷理科数学第１６题)已知x＝x１和x＝x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２(a＞０且aʂ１)的极小值点和极大值点．若x１＜x２,则a的取值范围是．解析:fᶄ(x)＝２a x l n a－２e x．因为x１,x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(－ɕ,x１)和(x２,＋ɕ)上单调递减,在(x１,x２)上单调递增．故当xɪ(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)时,fᶄ(x)＜０;当xɪ(x１,x２)时,fᶄ(x)＞０．若a＞１,当x＜０时,２a x l n a＞０,２e x＜０,则此时fᶄ(x)＞０,与上述矛盾,故a＞１不符合题意．若０＜a＜１,则方程２a x l n a－２e x＝０的两个根为x１,x２,即方程a x l n a＝e x的两个根为x１,x２,即函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点．令g(x)＝a x l n a,则gᶄ(x)＝a x l n２a,０＜a＜１．设过原点的直线与函数y＝g(x)图象相切于点(x０,a x l n a),又切线的斜率为gᶄ(x０)＝a x l n２a,故过原点的切线方程为y－a x l n a＝a x l n２a(x－x０),则有－a x l n a＝－x０a x l n２a,解得x０＝１l n a,所以切线的斜率为l n２a a１l n a＝e l n２a．图１因为函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点(如图１),所以e l n２a＜e,解得１e＜a＜e．又０＜a＜１,故１e＜a＜１．综上所述,a的取值范围为(１e,１)．思路与方法:本题主要采用了分类讨论的方法．由x１,x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２的极小值点和极大值点,可得当xɪ(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)时,fᶄ(x)＜０,当xɪ(x１,x２)时,fᶄ(x)＞０;再分a＞１和０＜a＜１两种情况讨论,方程２a x l n a－２e x＝０的两个根为x１,x２,即函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点,构造函数g(x)＝a x l n a;最后根据导数的意义并结合图象即可获解．２消元转化法消元转化法求最值是换元法与转化思想的综合运用．其解题思路是,通过设元消参与转化的方法,将不熟悉和难解的求最值问题转化为熟知的㊁易解的或已经解决的问题,将抽象的问题转化为具体的㊁直观５７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年６月上半月㊀㊀㊀的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的㊁特殊的问题,将实际问题转化为数学问题来解决．例２㊀已知函数f (x )＝e x,g (x )＝２x ,若f (m )＝g (n )成立,则n －m 的最小值为(㊀㊀)．A．１２㊀㊀㊀B ．１㊀㊀㊀C ．２－l n ２㊀㊀㊀D．２＋l n ２解法１:由f (m )＝g (n ),得e m＝２n ,解得n ＝１２e ２m(m ɪR )．设h (m )＝n －m ＝１２e ２m －m ,则h ᶄ(m )＝e ２m－１．由h ᶄ(m )＞０,得m ＞０;由h ᶄ(m )＜０,得m ＜０．所以h (m )在(－ɕ,０)上单调递减,在(０,＋ɕ)上单调递增,从而得到(n －m )m i n ＝h (０)＝１２．故正确答案为:A ．解法２:令f (m )＝g (n )＝t ,即e m＝２n ＝t ,则m ＝l n t ,n ＝１２t ２．设h (t )＝n －m ＝１２t ２－l n t ,t ＞０,则h ᶄ(t )＝t －１t ＝t ２－１t．由h ᶄ(t )＞０,得t ＞１,由h ᶄ(t )＜０,得０＜t ＜１,则h (t )在(０,１)上单调递减,在(１,＋ɕ)上单调递增,所以(n －m )m i n ＝h (１)＝１２．故正确答案为:A ．思路与方法:本题利用f (m )＝g (n ),对n －m 消元,将问题转化为单变量函数,再应用导数求函数的最小值．在解题过程中,根据需要可采用多种变形,如①m ＝l n ２n (n ＞０);②n ＝１２e ２m ;③令e m＝２n ＝t ,则m ＝l n t ,n ＝１２t ２;等等．３判断单调性法通过判断函数在某个区间上的单调性或者通过单调性得出函数的图象来求函数的最值,是最常用最简捷的一种方法．利用导数研究函数的单调性,关键在于准确判定导数的符号,当f (x )含参数时,需要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．例３㊀已知函数f (x )＝a x ３＋x ２＋b x (其中常数a ,b ɪR ),g (x )＝f (x )＋f ᶄ(x )是奇函数．(１)求f (x )的表达式;(２)讨论g (x )的单调性,并求g (x )在区间[１,２]上的最大值与最小值．解析:(１)由题意得f ᶄ(x )＝３a x ２＋２x ＋b ,因此g (x )＝f (x )＋f ᶄ(x )＝a x ３＋(３a ＋１)x ２＋(b ＋２)x ＋b ．因为函数g (x )是奇函数,所以g (－x )＝－g (x ),即对任意实数x ,都有a (－x )３＋(３a ＋１)(－x )２＋(b ＋２)(－x )＋b ＝－[a x ３＋(３a ＋１)x ２＋(b ＋２)x ＋b ],于是３a ＋１＝０,b ＝０,解得a ＝－１３,b ＝０．故f (x )的表达式为f (x )＝－１３x ３＋x ２．(２)由(１)知g (x )＝－１３x ３＋２x ,所以g ᶄ(x )＝－x ２＋２．令g ᶄ(x )＝０,解得x ＝－２,或x ＝２．当x ＜－２,或x ＞２时,g ᶄ(x )＜０,从而g (x )在区间(－ɕ,－２],[２,＋ɕ)上是减函数．当－２＜x ＜２时,g ᶄ(x )＞０,从而g (x )在区间[－２,２]上是增函数．综上可知,g (x )在区间[１,２]上的最大值与最小值只可能在x ＝１,２,２时取得．而g (１)＝５３,g (２)＝４２３,g (２)＝４３,因此g (x )在区间[１,２]上的最大值为g (２)＝４２３,最小值为g (２)＝４３．思路与方法:本题的第(２)问是函数在闭区间上的最值问题,关键是判断函数在该区间上的单调性,因为通过单调性即可得出函数的大致图象,进而求出最值,所以就可以避免比较端点值与极值的大小[２]．由此可见,利用函数的单调性是解决函数极值问题的一个重要方法．综上所述,利用导数求函数的最值时,首先要确定和判别函数的极大值和极小值,判断函数是否有极大值,就是判断f ᶄ(x )是否有左正右负的零点,判断是否有极小值,就是判断f ᶄ(x )是否有左负右正的零点;其次是要掌握求函数最值的常用方法与步骤．在具体解题过程中,有时需要对问题进行转化,构建新的函数,再用导数解决问题．参考文献:[１]吴永娇．聚焦函数与导数中的最值问题[J ]．中学生数理化(高考数学),２０２１(５):１８Ｇ２０．[２]李红磊．突破函数与导数问题的几种策略[J ]．高中数理化,２０２２(１５):６０Ｇ６１．Z ６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

最大值与最小值的数学期望的几种求法
一.求函数最值常用的方法
最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点,它涉及到高中数学知识的各个方面,解决这类问题往往需要综合运用各种技能,灵活选择合理的解题途径,而教材中没有作出系统的叙述.因此,在数学总复习中,通过对例题,习题的分析,归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程.
常见的求最值方法有:
1.配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.
2.判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.
3.利用函数的单调性首先明确函数的定义域和单调性,再求最值.
4.利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b 均为正数,是定值,a=b的等号是否成立.
5.换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t 的定义域范围,再求关于t的函数的最值.
还有三角换元法,参数换元法.
6.数形结合法形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值.
求利用直线的斜率公式求形如的最值.
7.利用导数求函数最值。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=n i bi x ai y 1的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1. 转化为求直线斜率的最值。

例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析 函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。

高中数学求最值的方法
高中数学求最值的方法有多种，以下是其中一种常用的方法：
1. 探索区间：首先确定要求最值的函数的定义域和范围。

一般来说，可以通过观察函数的图像或者对函数进行分析来确定函数的定义域和范围。

2. 寻找极值点：使用求导的方法，找到函数的导数为零或不存在的点。

这些点称为函数的驻点。

然后对这些点进行求值，得到函数在这些点的函数值。

3. 确定边界值：将函数的边界值（例如定义域的开区间端点或者范围的端点）代入函数中求值，得到函数在边界值处的函数值。

4. 比较函数值：将所得到的函数值进行比较，找出其中最大值或最小值。

需要注意的是，在这个过程中，可能会遇到以下情况：
- 函数导数不存在的点可能是函数的极值点，需要进一步进行分析。

- 函数的定义域和范围可能存在开区间端点或无穷的情况，需要单独考虑。

- 如果函数在某些点的函数值相等，则这些点都可能成为函数的最值点，需要进行进一步的比较。

在完成这个过程之后，就可以找到函数的最大值或最小值了。