求函数值域的十种方法
一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1．求函数1y =
的值域。
【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【练习】
1．求下列函数的值域：
①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；
③1
+=
x x
y ；
○
4()112
--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如
2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。
∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得
][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：
0)(≥x f 。
例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：
2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大
值2lg 。
【练习】
2．求下列函数的最大值、最小值与值域：
①142+-=x x y ；
②]4,3[,142∈+-=x x x y ；
③]1,0[,142∈+-=x x x y ；
④]5,0[,142
∈+-=x x x y ；○5x
x x y 4
22++=，]4,41[∈x ；○6y =。
【参考答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○573
[6,
]4
；○6[0,2] 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的
值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例5．求函数1
2+=
x x
y 的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。
1
2+=
x x
y 反解得y y x -=2，故函数的值域为(,2)(2,)-∞+∞U 。
【练习】 1．求函数23
32
x y x +=
-的值域。
2．求函数ax b y cx d +=
+，0,d c x c ?
?≠≠- ??
?的值域。
【参考答案】1．2
2(,)(,)3
3
-∞+∞U ；(,)(,)a a c
c
-∞+∞U 。
四．分离变量法：
适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例6：求函数125
x
y x -=
+的值域。 解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++
-===-++++， ∵7
2025
x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1
{|}2y y ≠-。
适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式。
例7：求函数1
22+--=x x x
x y 的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有x x -2
项，可利用分离变量法；则有2222
11
11
x x x x y x x x x --+-==-+-+ 21
113()24
x =-
-+
。 不妨令：
)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+???∈,4
3
)(x f 。 注意：在本题中若出现应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母.所以4()0,3
g x ??∈ ???
故)1,31??
?-∈y 。
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令222
11
1x x t x x x x
-+==+--，求出t 的值域，进而可得到y 的值域。
【练习】
1．求函数1
3
222
2++++=x x x x y 的值域。 【参考答案】1．10(2,
]3
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方
法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
例8
：求函数2y x =
解：令t =0t ≥），则212
t x -=，∴2
2151()24y t t t =-++=--+。
∵当12t =
，即38x =时，max 54y =，无最小值。∴函数2y x =5(,]4
-∞。 例9：求函数
2y x =++
解：因21(1)0x -+≥，即2(1)1x +≤。
故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈，∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4
sin(2+π+β=。
∵ππ
βπ
πβ
45
44
,
0≤+
≤≤≤，sin()124
πβ∴-≤+≤，0)114πβ∴≤++≤+故所求函数的值域为]21,0[+。
例10.求函数3
4221
x x y x x -=
++的值域。 解：原函数可变形为：2
22121211x x y x x -=-??++ 可令X=βtan ，则有2
22221sin 2,cos 11x x x x
ββ-==++ 11
sin 2cos 2sin 424
y βββ∴=-?=-
当28k ππβ=
-时，max 14y = 当28k ππβ=
+时，min 14
y =- 而此时βtan 有意义。 故所求函数的值域为??
?
???-
41,41 例11. 求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++，,122x ππ??∈-
?
???
的值域。
解：(sin 1)(cos 1)y x x =++
sin cos sin cos 1x x x x =+++
令sin cos x x t +=，则2
1sin cos (1)2
x x t =
- 2211
(1)1(1)22
y t t t =-++=+
由
sin cos )4
t x x x π
=+=+
且,122x ππ??∈-?
??
?
可得：
2
t ≤≤
∴当
t =
时，max 32y =
2t =342
y =+
故所求函数的值域为33
4
2?+
+??。 例12. 求函数
4y x =++
解：由
250x -≥，可得||x ≤ 故可令
,[0,]x ββπ=
∈
4)44
y π
βββ=++=++
∵0βπ≤≤
54
4
4
π
π
πβ∴
≤+
≤
当
4
πβ=
时，
max 4y =当
βπ=时，min
4y =
故所求函数的值域为：
[44-+
六、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式
0?≥，从而求得原函数的值域，形如2111
2
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例13：求函数223
1
x x y x x -+=-+的值域。
解：由223
1
x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，
当1y =时，此方程无解；
当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥， 解得1113y ≤≤
，又1y ≠，∴1113
y <≤ ∴函数223
1
x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数
的值域。
例14
：求函数y x =
解：∵当x 增大时，12x -随x
的增大而减少，x 的增大而增大，
∴函数y x =1(,]2
-∞上是增函数。
∴1122
y ≤
-=，
∴函数y x =1
(,]2
-∞。 例15.
求函数y =
解：原函数可化为：1
x 1x 2y -++=
令1,121
-=+=x y x y ，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数
所以21y y y +=在],1[+∞上也为无上界的增函数
所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值22
2=
显然0y >，故原函数的值域为]2,0(
适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）
例16：求函数
)4(log 2
2
1x x y -=的值域。 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：
2()4(()0)t x x x t x =-+≥配方得：2()(2)4()0,4)t x x t x =--+∈所以（由复合函数的单调性（同增异减）
知：),2[+∞-∈y 。
八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等。
例17：求函数cos sin 3
x y x =
-的值域。
解：由原函数式可得：sin cos 3y x x y -=，可化为：
()3x x y β+=
即
sin ()x x β+=
∵x R ∈
∴sin ()[1,1]x x β+∈- 即
11-≤
≤
解得：44
y -
≤≤
故函数的值域为???
?
注：该题还可以使用数形结合法。cos cos 0sin
3sin 3
x x y x x -==--，利用直线的斜率解题。
例18：求函数1212x
x
y -=+的值域。
解：由1212x
x
y -=+解得121x
y y -=+，
∵20x >，∴
101y
y
->+，∴11y -<< ∴函数1212
x
x
y -=+的值域为(1,1)y ∈-。 九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的
距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例19：求函数|3||5|y x x =++-的值域。
解：∵22|3||5|822x y x x x -+??
=++-=??-?
(3)(35)(5)x x x <--≤<≥，
∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示，
由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞ 例20. 求函数22(2)(8)y x x =-++的值域。
解：原函数可化简得：|2||8|y x x =-++
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），(8)B -间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段AB 上时，|2||8|||10y x x AB =-++== 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，|2||8|||10y x x AB =-++>= 故所求函数的值域为：[10,]+∞ 例21. 求函数2261345y x x x x =
-+++的值域。
解：原函数可变形为：
2222(3)(02)(2)(01)y x x =-+-+++上式可看成x 轴上的点(,0)P x 到两定点(3,2),(2,1)A B --的距离之和，
85-3o
y
x
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，22min
||(32)(21)43y AB ==+++=，
故所求函数的值域为[43,]+∞
例22. 求函数2261345y x x x x =
-+-++的值域。
解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(01)y x x =-+--++-
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。 即：||||y AP BP =-
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ?，根据三角形两边之差小于第三边，有22||'||'||||(32)(21)26AP BP AB -<=++-=
即：2626y -<<
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有||||||||26AP BP AB -==
综上所述，可知函数的值域为：(26,26]-
例23、：求函数x
x
y cos 2sin 3--=
的值域.
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1
21
2x x y y k --=
，将原
函数视为定点(2，3)到动点)sin ,(cos x x 的斜率，又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
]3
3
26,3326[
+-∈y
点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。 例24．求函数x x y -++=11的值域。
分析与解答：令x u +=1，x v -=1，则0,0≥≥v u ，222=+v u ，y v u =+，
原问题转化为 ：当直线y v u =+与圆222=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。
由图1知：当y v u =+经过点)2,0(时，2m in =y ；
当直线与圆相切时，()
2222
max ==
==OC OD y 。
所以：值域为22≤≤y
十：不等式法：利用基本不等式a b a b c +≥++≥(,,)a b c R +∈，求函数的最
值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例25. 求函数22
11(sin )(cos )4sin cos y
x x x x
=+++-的值域。 解：原函数变形为：
2222222211(sin cos )sin cos 1sec 3tan cot 35
y x x x x
ces x x x x =+++
=++=++≥+=
当且仅当tan cot x x = 即当4
x k ππ=±
时
()k z ∈，等号成立
故原函数的值域为：[5,)+∞
例26. 求函数2sin sin 2y x x =的值域。 解：4sin sin cos y x x x =
24sin cos x x =
42222222316sin cos 8sin sin (22sin )8[(sin sin 22sin )/3]6427
y x x x x x x x x ==-≤++-= 当且仅当22sin 22sin x x =-，即当22sin 3
x =
时，等号成立。 由26427y ≤
可得：99
y -≤≤
故原函数的值域为：????
＊十一、 多种方法综合运用
：
例27.
求函数y =
解：令0)t t =
≥，则231x t +=+
（1）当0
t >时，
211
112
t y t t t
==≤++，当且仅当t=1，即1x =-时取等号，所以102
y <≤ （2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：10,2??????
注：先换元，后用不等式法
例28. 求函数234
24
1212x x x x y x x +-++=++的值域。
解：243
2424121212x x x x y x x x x
-++=+++++ 2
222111x x x x
??-=+ ?++?? 令tan 2
x β=，则2
2
22
1cos 1x x β??-= ?+??
2
1
sin 12
x x β=+ 2211
cos sin sin sin 122y ββββ∴=+=-++
2
117sin 416β?
?=--+ ??
?
∴当1sin 4β=
时，max 17
16
y =
当sin 1β=-时，min 2y =- 此时tan
2β都存在，故函数的值域为172,16??-????
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1) (1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ，当0a <时的值域为 24,4ac b a ?? --∞ ??? .， 3.反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）
课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。（二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+，（1）求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。（四）课堂练习： 1．用区间表示下列集合： {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2．已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3．课本P 19练习2。
高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2
函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；
一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可
函数定义域、值域求法总结 一。求函数得定义域需要从这几个方面入手: (１)分母不为零 (2)偶次根式得被开方数非负。 (３)对数中得真数部分大于0。 (４)指数、对数得底数大于0,且不等于1 (5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。 ( 6 )中ｘ 二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。 常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (1０)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。 定义域得求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数得定义域: ①;②;③ 解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义, 而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、 ②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义, 而,即时,根式才有意义, ∴这个函数得定义域就是｛｜｝. ③∵当,即且时,根式与分式同时有意义, ∴这个函数得定义域就是｛|且｝ 另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数得定义域: ①② ③④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数得定义域为: [］
②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x｜｝ ③要使函数有意义,必须: ? ∴函数得定义域为: ④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x〉∴定义域为: ２定义域得逆向问题 例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题) 解:∵定义域就是R,∴ ∴ 练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围; 3复合函数定义域得求法 例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: ∴函数得定义域为: 例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。 分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。 (注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。) 解:∵ｆ(ｘ)得定义域为［—1,1］, ∴—1≤２x－1≤1,解之0≤x≤1, ∴f(2x－1)得定义域为[0,１］。 例6已知已知ｆ(x)得定义域为[－1,1],求f(ｘ２)得定义域。 答案:—１≤x2≤1 x２≤1－１≤ｘ≤1 练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: 得: ∵≥0 ∴ ∴函数得定域义为: 例7 已知f(2x－1)得定义域为［0,１］,求f(x)得定义域 因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-１, x∈［0,1］求得得值域［-1,1］就是f(ｘ)得定义域、 练习: 1已知f(3ｘ－１)得定义域为[—1,２),求f(2ｘ+１)得定义域。) (提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围) 2已知ｆ(ｘ2)得定义域为［－１,１］,求f(x)得定义域
前言： 总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” ：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。 三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。 数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体：教、学、练。 老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习： 01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶
百。 02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。 由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出？有思路才怪！ 言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” （高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题） 方法一：配方法 用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。
君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2 、求函数y = 的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。
三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x += ++的值域． 3、 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用 三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）， 利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域．
高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：
高中数学函数的12种求值域法
高中数学函数的12种求值域法 高中数学高考复习 下面数学不好的同学们，福利来啦，这里有12种关于高中数学求值域的好方法，举一反三，还有练习题哦，赶紧收藏起来备用吧！ 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为{y∣y≥3｝. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝) 二.反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y ∣y<-1或y>1｝) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
L S高一数学函数值域求法 及例题 The latest revision on November 22, 2020
函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+=x x y 的值域． 2、求函数2241 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x +=++的值域． 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如： ab b a ab b a 2,222≥+≥+），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域． 注意：在使用此法时一定要注意 a b +≥a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ． 八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式） 1、求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）
求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=
人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x
函数值域求法十一种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：2 3y 2 1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为?? ? ???23,21 5. 求函数)x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222 =++-（1） ∵R x ∈
求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 ，可变为解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 就是利用函数和的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得 ，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为 ，而，所以 ，故 （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域 因，故函数在上递减、 在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 4cos 2sin 2+--=x x y 2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y )32(log 22 1++-=x x y u y 2 1log =322++-=x x u 2 21 22+-+= x x x y 2 2122+-+= x x x y 0 12)1(22 =-++-y x y yx 0=y 21-=x 0=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 021332133≠+≤≤-y y 且]2 13 3,2133[+-1 cos 3 cos 2+-= x x y 1cos 521cos 3cos 2+-=+-= x x x y ]2,0(1cos ∈+x ]2 5 ,(1cos 5--∞∈+-x ]2 1,(--∞∈y 4 32+= x x y 0=x 0=y 0≠x x x y 43+ = 0>x 44 24=?≥+ x x x x 0
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