最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）
1.【2009年卷】21．（本小题满分12分）
已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b
-=>>，离心率5
e =，顶点到渐近线的
距离为
25
。 （I ）求双曲线C 的方程； (II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
1
,[,2]3
AP PB λλ=∈，求AOB ?面积的取值围。
【答案】
21．（本小题满分14分）
已知双曲线C 的方程为22
221(0,0),y x a b a b
-=>>
离心率5,e =
顶点到渐近线的距离为25. （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）如图，P 是双曲线C 上一点，A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若1
,[,2],3
AP PB λλ=∈求△AOB 面积的取值围.
解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点(,)O a 到渐近线0ax by -=25
的距离为
， ∴
22
2525
,,55
ab c a b =
=+即 由222
25,55,2ab c
c
a c a
b ?=????=???=+???
得2,1,5,a b c ?=?=??=? ∴双曲线C 的方程为
22 1.4y x -=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C 的两条渐近线方程为2.y x =±
设(,2),(,2),0,0.A m m B n n m n ->> 由AP PB λ=得P 点的坐标为2()
(
,),11m n m n λλλλ
-+++ 将P 点坐标代入22
1,4y x -=化简得2(1).4n mn λλ
+= 设∠AOB 1142,
tan()2,tan ,sin ,sin 2.2225
πθθθθθ=-=∴===
又4||||OA OB -
+==
111
||||sin 22() 1.22AOB
S
OA OB mn θλλ∴=
==++ 记111
()()1,[,2],23
S λλλλ=++∈
由89
'()01,),(2),34
S S λλ====1得又S(1)=2,S(3
当1λ=时，△AOB 的面积取得最小值2，当13λ=时，△AOB 的面积取得最大值8
3.
∴△AOB 面积的取值围是8
[2,].3
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线AB 的方程为,y kx m =+由题意知||2,0.k m <> 由{
2y kx m y x =+= 得A 点的坐标为2(,),22m m
k k --
由{
2y kx m y x =+=- 得B 点的坐标为2(,).22m m
k k
-++
由AP PB λ=得P 点的坐标为121(
(),()),122122m m k k k k
λλ
λλ-++-++-+ 将P 点坐标代入2222
24(1)1.44y m x k λλ
+-==-得 设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为（0，m ）.
111
|||||||8|()222
AOB
AOQ
BOQ
S
S
S
OQ XA OQ x m xA xB ===
+=- =2211411(
)() 1.222242m m m m k k k λλ
+==++-+-
以下同解答一.
2.【2010年卷】20. （本小题满分13分）
如图，椭圆22
22:
1x y C a b
+=的顶点为1212,,,A A B B ，焦点为12,,F F
11||A B =1122
1122
2A B A B B F B F S S
=
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于F 点、与椭圆相交于A,B 亮点的直线，|OP |=1，是否存在上述直线l 使1AP PB =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。 【答案】 （Ⅰ）
由11||A B =22
7a b +=， ①
由1122
1122
2A B A B B F B F S
S
=知a=2c ， ②
又 222b a c =-， ③ 由①②③解得2
2
4,3a b ==，
故椭圆C 的方程为22
143
x y += （Ⅱ）
设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 假设使1AP PB =成立的直线l 存在，
（ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，
由l 与n 垂直相交于P 点且|OP |=1得
1=，即221m k =+
∵1AP PB =，|OP |=1， ∴()()OA OB OP PA OP PB =++
= 2
OP OP PB PA OP PA PB +++ = 1+0+0-1=0, 即12120x x y y +=
将y kx m =+代入椭圆方程，得
222(34)8(412)0k x kmx m +++-=
由求根公式可得122
834km
x x k -+=
+， ④
2122
41234m x x k -=+ ⑤
121212120()()x x y y x x kx m kx m =+=+++
= 22121212()x x k x x km x x m ++++ = 221212(1)()k x x km x x m ++++ 将④，⑤代入上式并化简得
2
2
2
2
2
2
(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= ⑥ 将221m k =+代入⑥并化简得2
5(1)0k -+=，矛盾 即此时直线l 不存在
（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，满足||1OP =的直线l 的方程为x=1或x=-1，
当X=1时，A,B,P 的坐标分别为33(1,),(1,),(1,0)22
-，
∴33(0,),(0,)22
AP PB =-=-，
∴9
14
AP PB =≠
当x=-1时，同理可得1AP PB ≠，矛盾 即此时直线l 也不存在
综上可知，使1AP PB =成立的直线l 不存在
3.【2011年卷】17．（本小题满分12分）
如图，设P 是圆2
2
25x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上
一点，且4
5
MD PD =
（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的长度 【答案】17．解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（x p ,y p ）
由已知得,
5,4
xp x yp y =??
?=??
∵P 在圆上， ∴ 2
2
5254x y ??
+= ???
，即C 的方程为2212516x y += （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为
45
的直线方程为()4
35y x =-，
设直线与C 的交点为()()1122,,,A x y B x y 将直线方程()4
35
y x =
-代入C 的方程，得 ()2
2312525
x x -+= 即2380x x --= ∴ 12341341
,x x -+=
= ∴ 线段AB 的长度为 ()()
()22
212121216414114125255AB x x y y x x ??
=
-+-=+-=?= ???
18．（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理。
4.【2012年卷】19. （本小题满分12分）
已知椭圆2
21:14
x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. （Ⅰ）求椭圆2C 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.
5.【2013年卷】20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.
【答案】(Ⅰ) x y 82
=抛物线方程; (Ⅱ) 定点（1,0）
【解析】(Ⅰ) A (4,0),设圆心
C 2222,2
),,(EC ME CM CA MN
ME E MN y x +===
，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=?+=+-?（
(Ⅱ) 点B (－1,0),
22
2121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.
080)()(88
811211221212222112211=+?=+++?+-=+?+-=+?
y y y y y y y y y y
y y x y x y 直线PQ 方程为：)8(1)(2
11
21112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-?---=
-
1,088)(8)()(122
112112==?=++?-=+-+?x y x y y y y x y y y y y y
所以，直线PQ 过定点（1,0）
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
专题4.4 立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（） 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标， 根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。 举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??