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函数与导数专题复习

函数与导数专题复习【知识网络】

第1课时客观题中的函数常见题型

【典例分析】

题型一、函数的解析式

例1．（2010年高考陕西卷理科5）已知函数?????≥+<+=1

,12)(2x ax x x x f x ，若((0))f f =4a ，

则实数a =（）

（A ）

12 （B ）4

例2．(2009年江西卷)函数2

y x x =

--+的定义域为（）

A ．(4,1)--

B ．(4,1)-

C ．(1,1)-

D ．(1,1]-

例3．（2008年江西卷）若函数()y f x =的值域是1,32??????

，则函数()()1

()F x f x f x =+

的值域是（） A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，3

10]

整理:求函数值域的方法: (1) 观察法:观察函数特点

(2) 图像法:一元二次函数, 对勾函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数

(3) 分离常数

(4) 换元法

题型三、函数的性质（奇偶性、单调性与周期性）例4．（2010年高考山东卷理科4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)=

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

例5．（2010年高考江西卷理科9）给出下列三个命题：

①函数11cos ln

21cos x y x -=

+与ln tan 2

y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数(2)y f x =与

()2

y g x =的图像也关于直线y x =对称；

③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-,则()f x 为周期函数．

其中真命题是 A ．①② B ．①③

C ．②③

D ．②

题型四、函数图像的应用例6．（2010年高考山东卷理科11）函数y =2x -2

x 的图像大致是

题型五、函数的最值与参数的取值范围例7．（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的

直线剪成两块，其中一块是梯形，记2

(S =梯形的周长）

梯形的面积

,则S 的最小值是_______．

例8．（ 2010年高考全国卷I 理科10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

题型六、函数方程与函数不等式

例9. (2010年高考重庆市理科15)已知函数()f x 满足：1(1)4

f =

，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =_______．

例10．（2010年高考江苏卷试题11）已知函数21,0

()1,

0x x f x x ?+≥=?

2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____．

题型七、函数的零点

例11．（2010年高考福建卷理科4）函数2x +2x-3,x 0

x)=-2+ln x,x>0

f ?≤?

?（的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

题型八、函数的应用

例12．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )

A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2

B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1

C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x

D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x

100

【跟踪训练1】（2010年高考广东卷理科3）若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则（）

A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数

【跟踪训练2】（2009年山东卷）定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ?

??>---≤-0),2()1(0

),1(log 2x x f x f x x ，

则f （2009）的值为( )

A.-1

B. 0

C.1

D. 2

【跟踪训练3】（2008年浙江卷）已知t 为常数，函数t x x y --=22

在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________．

【跟踪训练4】(2010年高考天津卷理科8)设函数f （x ）=()212

log log x x ??

?-??

0,0x x >< 若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（）

（A ）（-1，0）∪（0，1）（B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C ）（-1，0）∪（1,+∞）（D ）（-∞，-1）∪（0,1）

【跟踪训练5】(2008·陕西)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于 ( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

【跟踪训练6】（2009年辽宁卷）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足

(21)f x -＜1

()3f 的x 取值范围是（）

（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23

）

【跟踪训练11】(2010年高考天津卷理科2)函数()23x

f x x =+的零点所在的一个区间是

（A ）（-2，-1）（B ）（-1，0）（C ）（0，1）（D ）（1，2）

第2课时客观题中的导数常见题型

【典例分析】

题型一、导数的定义与运算

例1. (2009年湖北卷)已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4

f π

的值为 .

题型二、导数与切线问题

例2. (2010年全国高考宁夏卷）曲线2

y x =

+在点（-1，-1）处的切线方程为（）（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

题型三、函数与导数的图像间的关系例3．(2009年广东卷)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是

A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面

B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面

C ．在0t 时刻，两车的位置相同

D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面

题型四、函数的单调性例4. (2009年江苏卷)函数

32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .

题型五、函数的极值与最值

例5．（2008年广东卷）设a ∈R ，若函数3ax

y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（） A. 3a >-

B. 3a <-

C. 1

a >-

D. 13

a <-

题型六、求参数的取值范围

例6．（2008年江苏卷）()3

31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则

a = ．

题型七、定积分的计算

例7. (2010年高考湖南卷理科5)4

d x x ?等于（）

A ．2ln 2-

B ．2ln 2

C ．ln 2-

D ．ln 2

【跟踪训练1】()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 .

【跟踪训练2】(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，则

(2)(2)

lim

2h f h f h h

→+--= .

(2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++，求(0)f '= .

【跟踪训练3】(2010年高考全国2卷理数10）若曲线12

y x -

=在点12,a a -?

? ???

处的切线

与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =

（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8

【跟踪训练4】（2010年高考辽宁卷理科10）已知点P 在曲线y=4

x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是（） (A)[0,

) (B)[,)42ππ 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ

【跟踪训练5】（2008年全国卷I ）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）

【跟踪训练6】(2009年天津卷)设函数1

()ln (0),3

f x x x x =->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B 在区间1

(,1),(1,)e e 内均无零点

C 在区间1

(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点

D 在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点

s O

A ．

s O

B ．

C ．

D ．

【跟踪训练7】已知P (x ，y )是函数y ＝e x ＋x 图象上的点，则点P 到直线2x －y －3＝0的最小距离为______

【跟踪训练8】函数2

221

y x =-+的极小值是 .

【跟踪训练9】（2008年湖北卷）若2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）

A.[-1，+∞）

B.（-1，+∞）

C.（-∞，-1]

D.（-∞，-1）

【跟踪训练10】（2008年宁夏卷）由直线x =12,x =2,曲线1

y x

=及x 轴所围图形的面积为（）

（A ）154 （B ）174 （C ）1

ln 22

（D ）2ln2

第3课时解答题中的函数与导数综合题

【典例分析】

一、与导数的定义、几何意义的交汇

【例1】 ( 2006年重庆卷)已知函数f (x )=(x 2+bx +c ) e x ,其中b ,c ∈R 为常数. （I ）若b 2＞4(c -1),讨论函数f (x )的单调性；

二、与不等式的交汇

【例2】(2009年全国卷II)设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x 、，且

12x x <．

（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；

三、与向量的交汇

【例3】 (2005年湖北卷理)已知向量a =(2

x ，x+1)，b = (1-x ，t) .若函数)(x f =a ·b 在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围.

四、与函数的交汇

【例4】（2011年东城7校联考）已知函数()2

()1ln 1,0f x x a x a a =---∈≠R (). （１）当8a =时，求函数()f x 的单调区间；

【跟踪训练1】（

江苏省高三上学期期中考试）函数

f(x)=x 3-3ax 2

+3bx 的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).

(1)求

a 、

b 的值；

(2)方程f(x)=c 有三个不同的实数解，求c 的取值范围.

【跟踪训练2】(2010年高考湖南卷)已知函数2

()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的

,()()x R f x f x '∈≤恒有．

（Ⅰ）证明：当2

0()();x f x x c ≥≤+时，

【跟踪训练5】（2011年东城区期末理18）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 在[1,3]上的最小值；

（Ⅱ）若存在1

[,e]e

x ∈（e 为自然对数的底数，且e =2.71828

）使不等式

22()3f x x ax ≥-+-成立，求实数a 的取值范围．

【跟踪训练10】（2010年浙江省宁波市高三数学模拟）设()ln a

f x x x x

+， 32()3g x x x =--．

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；

（3）如果对任意的1

,[,2]2

s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．

解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =

+，22

'()ln 1f x x x

=-++，(1)2f =，'(1)1f =-，

所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+；

（2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，等价于：

12max [()()]g x g x M -≥，考察32()3g x x x =--，22

'()323()3

g x x x x x =-=-，

由上表可知：min max 285

()(),()(2)13

g x g g x g ==-

==， 12max max min 112

[()()]()()27

g x g x g x g x -=-=，所以满足条件的最大整数4M =；（3）对任意的1

,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立

等价于：在区间1

[,2]2

上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值，

由（2）知，在区间1

[,2]2

上，()g x 的最大值为(2)1g =。

(1)1f a =≥，下证当1a ≥时，在区间1

[,2]2

上，函数()1f x ≥恒成立。

当1a ≥且1[,2]2x ∈时，1

()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，

记1()ln h x x x x =+，21

'()ln 1h x x x =-++， '(1)0h =。

当1[,1)2x ∈，21'()ln 10h x x x =-++<；当(1,2]x ∈，21

'()ln 10h x x x

=-++>，

所以函数1()ln h x x x x =+在区间1

[,1)2

上递减，在区间(1,2]上递增，

min ()(1)1h x h ==，即()1h x ≥，所以当1a ≥且1

[,2]2

x ∈时，()1f x ≥成立，

即对任意1

,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥．

（3）另解：当1[,2]2x ∈时，()ln 1a f x x x x =+≥恒成立，等价于2

ln a x x x ≥-恒成

立，记2

()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =．

记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1

[,2]2

x ∈，

'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1

[,2]2

上递减，

当1[,1)2

x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，

即函数2

()ln h x x x x =-在区间1[,1)2

上递增，在区间(1,2]上递减，所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥．

函数与导数专题试卷(含答案)

高三数学函数与导数专题试卷说明：1．本卷分第Ⅰ卷(选择题)，第Ⅱ卷(填空题与解答题)，第ⅠⅡ卷的答案写在答题卷的答案纸上，学生只要交答题卷．第Ⅰ卷一.选择题（10小题，每小题5分，共50分） (4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2f x x =+，则(7)f =（） A ． 3 B ． 3- C ． D ． 1- 2．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝?，则实数t 的取值范围是（） A ．t ＜－3 B ．t ≤－3 C ．t ＞3 D ．t ≥3 3.设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a << 4.函数x x f +=11)(的图像大致是( ) 5.已知直线ln y kx y x ==是的切线，则k 的值为（） A. e B. e - C. 1e D. 1e - 6．已知条件p ：x 2+x-2＞0，条件q ：a x >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（） A ．1≥a B ．1≤a C ．1-≥a D.3-≤a 7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（） A. [3,)+∞ B. [3,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. (,3)-∞- 8. 已知函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)，则使f (x )为减函数的区间是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(1,2) D ．(－3，－1)

4导数研究三次函数的性质

4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<. （1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++?，试判断函数()F x 的极值点个数．

【课后作业】 1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为 2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围． 3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是 4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 31812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 5．设函数b x a ax x x f +-+-=223323 1)( (0