华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿(第一册)
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第一次作业
一. 填空题:
1.设{}20≤≤=x x S ,??????≤<=121x x A ,??
?
???<
≤=2341
x x B ,具体写出下列
各事件: B A =1131x 422x x ??
≤≤<???
或者,B A =S ,B A =B ,AB =A 。
2.设A 、B 、C 表示三个随机事件,试将下列事件用A 、B 、C 表示出来:
(1)事件ABC 表示A 、B 、C 都发生; (2) 事件ABC 表示A 、B 、C 都不发生; (3)事件ABC 表示A 、B 、C 不都发生;
(4)事件A B C 表示A 、B 、C 中至少有一件事件发生;
(5)事件AB AC BC 或AB AC BC 表示A 、B 、C 中最多有一事件发生。
二. 选择题:
1.设}10,,3,2,1{ =Ω,}5,3,2{=A ,}7,5,4,3{=B ,}7,4,3,1{=C ,则事件
=-BC A ( A )。
A.}10,9,8,6,1{
B. }5,2{
C. }10,9,8,6,2{
D. }10,9,8,6,5,2,1{
2.对飞机进行两次射击,每次射一弹,设事件=A “恰有一弹击中飞机”, 事件
B = “至少有一弹击中飞机”,事件
C =“两弹都击中飞机”, 事件=
D “两弹都没击中飞机”,又设随机变量ξ为击中飞机的次数,则下列事件中( C )不表示}1{=ξ。
A. 事件A
B. 事件C B -
C. 事件C B -
D. 事件C D -
3.设A 、B 是两个事件,且?≠A ,?≠B ,则()()
B A B A ++表示( D )。 A. 必然事件 B. 不可能事件 C. A 与B 不能同时发生 D. A 与B 中恰有一个发生
4.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 表示( D )。
A. “甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B. “甲、乙两种产品均畅销”
C. “甲种产品畅销”
D. “甲种产品滞销,或乙种产品畅销”
三. 计算题:
1.写出下列随机试验的样本空间,并把指定的事件表示为样本点的集合:
(1)随机试验:考察某个班级的某次数学考试的平均成绩(以百分制记分,只取整数);
设事件A 表示:平均得分在80分以上。
(2)随机试验:同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和; 设事件A 表示:第一颗掷得5点;
设事件B 表示:三颗骰子点数之和不超过8点。
(3)随机试验:某篮球运动员投篮练习,直至投中十次,考虑累计投篮的次数;设事件A 表示:至多只要投50次。 解:
(1)样本空间可以表示为}100,,3,2,10{ ,=Ω;事件}100,,82,81{ =A 。 (2)样本空间可以表示为}18,,5,4,3{ =Ω;事件}17,,8,7{ =A ,
}8,,4,3{ =B 。
(3)样本空间可以表示为},12,11,10{ =Ω;事件}50,,12,11,10{ =A 。
2. 某电视台招聘播音员,现有三位符合条件的女士和两位符合条件的男士前来应聘:
(1)写出招聘男女播音员各一名的样本空间;
(2)写出招聘两名播音员的样本空间。设事件A 表示“招聘到两名女士”,把该
事件表示为样本点的集合。 解: 用i W 表示招聘了的第)3,2,1(=i i 位女士,用j M 表示招聘了第)2,1(=j j 位男士。
(1){
}231322122111,,,,,M W M W M W M W M W M W =Ω。
(2)
{}21231332221231212111,,,,,,,,,M M M W M W W W M W M W W W W W M W M W =Ω {}323121,,W W W W W W A =。
3. 如果事件A 与事件B 互为对立事件,证明:事件A 与事件B 也互为对立事件。 证:
由于A 与B 互为对立事件,故,AB A B =?=Ω ,因此就有,A B AB =Ω=? ,所以
A 与
B 也互为对立事件.
4. 化简事件算式()()()()AB AB AB AB 。
解:()()()()()()AB AB AB AB AB AB AB AB A A ===Ω 。 5. 证明下列等式()A AB B AB -= 。
证明:因为
()()()()()()() A AB B A AB B AAB B A AB B
AB ABB AB AB
-=-====?=
所以:()A AB B AB -= 。
6.设A 、B 为两个事件,若B A AB =,问A 和B 有什么关系? 解:A 和B 为对立事件。
第二次作业
一.填空题:
1. 10个螺丝钉有3个是坏的,随机抽取4个。则恰好有两个是坏的概率是0.3 ,
4个全是好的概率是0.1667 。
2. 把12本书任意地放在书架上,则其中指定的4本书放在一起的概率
55
1
!12!4!9=。 3. 10层楼的一部电梯上同载7个乘客,且电梯可停在10层楼的每一层。求不
发生两位及两位以上乘客在同一层离开电梯的概率06048.03125189
10
77
10==A 。
4. 袋中装有编号为n ,,2,1 的n 个球,每次从中任意摸一球。若按照有放回
方式摸球,则第k 次摸球时,首次摸到1号球的概率为()k
k n n 1
1--。若按照无
放回方式摸球,则第k 次摸球时,首次摸到1号球的概率为n
1
。
二. 选择题:
1. 为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组(每组10队)进行比赛, 则最强的两个队被分在不同组内的概率为( B )。 A.2
1 B. 1910 C. 195 D. 101
2. 从一副扑克牌(52张)中任取4张,4张牌的花色各不相同的概率( C )
A.131
B.45213
C C.452
413C D. 49505152134???
三. 计算题:
1. 将长为a 的细棒折成三段,求这三段能构成三角形的概率。
解
: 设
三
段
分
别为,,x y a x y --,样本空间
:
(0)
(
0x a y a x y a
Ω<<
<<
+≤ 能构成三角形须满足(图中阴影部分) 2020,002a x y x y a x y y a x y x
a x a x y x y a
x a y a y ?
+>?+>--???+-->??
?<?
--+>??
??<<<<?
故这三段能够成三角形的概率为
1
4
.
2. 同时掷五颗骰子,求下列事件的概率: (1) A=“点数各不相同”; (2) B=“至少出现两个6点 ”; (3) C=“恰有两个点数相同”;
(4) D=“某两个点数相同,另三个同是另一个点数”;
解:(1) 5566
)(P A P =;
(2)54
556
55651)(?--=B P ;
(3)5425
63456)(5
25=????=C C P ; (4)64825
656)(5
2
5=??=C D P ;
3. 将10根绳的20个头任意两两相接,求事件A={恰结成10个圈}的概率。 解:
!
!191
!20!!20)(==
A P
4. 从5双不同的鞋子中任取4只,求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率。
解:1221125242254
1013
21
C C C C C C P C +== 。 5. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求两数之差的绝对值小于2
1
的概率。 解:样本空间为{}(,)01,01x y x y Ω=<<<<,
记1(,)(,),2A x y x y x y ??
=∈Ω-??
?,
4
3
)(==ΩS S A P A
。
6. 在正方形{}(,)11,11D x y x y =-≤≤-≤≤中任取一点,求使得关于u 的方程
02=++y xu u 有(1)两个实根的概率 ;
(2)有两个正根的概率。
解:(1)方程有两个实根,要求042≥-y x ,即点的坐标满足:
{}
04,),(),(2
≥-∈y x
D y x y x ,见如图阴影部分。因此概率为:
2413
44221
02
=
?+==?dx
x S S P D
阴
(2)方程有正根,要求02
42>-±-y
x x ,也就是要求0,0> 因此点的坐标满足{} 0,004,),(),(2><≥-∈y x y x D y x y x ,,见图阴影部分。因此概率为: 48 1440 -12 === ?dx x S S P D 阴。 7. 在一张印有方格的纸上投一枚直径为1的硬币,试问方格边长a 要多大才能使硬币与边线不相交的概率小于1%。 解: 由于投掷的等可能性,只需考虑硬币投入一个方格的情况。如图所示,样本空间对应于面积为2a 的区域,若硬币与边线不相交,则硬币中心应落入面积为()2 1a -的中心阴影区域中,故 {}() 2 2 1= 0.01 a P a -<硬币与边线不相交 于是有 10 9a < 。 8. n 个人随机地围绕圆桌就座,试问其中A 、B 两人的座位相邻的概率是多少? 解: {}2 3=1 1 2n P n n ?≥? -??=?A,B 两人座位相邻 。 9. 一部五卷的选集,按任意顺序放在书架上,求: (1) 各卷自左至右或者自右至左的卷号顺序恰为1,2,3,4,5的概率; (2) 第一卷及第五卷分别在两端的概率; (3) 第一卷及第五卷都不在两端的概率。 解: (1)21= 5!60P =; (2)2!3!1 = 5!10P =; (3)233!3 =5!10P P =。 第三次作业 一. 填空题: 1. 已知6.0)(,3.0)(,7.0)(==-=B P B A P A P ,则=)(B A P 0.1. 2. 设A 、B 是任意两个事件,则()()()(){} P A B A B A B A B ++++=0。 3. 设事件A 、B 满足AB A B =,则()P A B = 1 ,()P AB = 0 。 4. 已知()()A B A B A B A B C ++++++=,且1()3P C =,则()P B =23 。 5. 设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4,0.3,0.6。若B 表示B 的对立事件,那么()P AB = 0.3 。 二. 选择题: 1. 从数列1,2,…,n 中随机地取三个数(1 n k 1- B.2) )(1(n k n k -- C.)2)(1())(1(----n n n k n k D. ) 2)(1())(1(6----n n n k n k 2. 箱子中装有5个白球和6个黑球,一次取出 3只球,发现都是同一种颜色的, 在此前提下得到的全是黑色概率为( A ) A.32 B.113 C.116 D. 334 3.设事件A 与B 互不相容,则( D )。 A. ()0P AB = B. ()()()P AB P A P B = C. ()1()P A P B =- D. ()1P A B = 4.设A 、B 是任意两个互不相容的事件,且()()0P A P B >,则必有( D ) A.A 与B 互不相容 B. A 与B 相容 C. ()()P AB P B = D. ()()P A B P B += 5. 设A 、B 是任意两个事件,则使减法公式()()()P A C P A P C -=-成立的C 为( C ). A. C A = B. C A B = C. ()() C A B A B =- D. ()()C A B B A =-- 三. 计算题 1. 设31)(= A P ,2 1 )(=B P ,试就下列三种情况下分别求出)(B A P 的值: (1)A 与B 互不相容; (2)B A ?; (3)8 1 )(=AB P 。 解: (1) 2 1 )()()(==-=B P A B P B A P ; (2) 61 3121)()()()(=-=-=-=A P B P A B P B A P ; (3) 8 3 8121)()()()(=-=-=-=AB P B P A B P B A P 。 2. 已知10只晶体管中有两只是次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率: (1) 两只都是正品; (2) 两只都是次品; (3) 一只是正品,一只是次品; (4) 第二次取出的是次品 解: 设i A =“第i 次取出的是正品”,则 (1)122118728 ()(|)()10945 P A A P A A P A == ?=; (2)12211211 ()(|)()10945 P A A P A A P A ==?=; (3)12121212822816 ()()()10910945 P A A A A P A A P A A =+=?+?=; (4)()() 2112121282211 ()()()1091095 P A P A A A P A A P A A ==+=?+?=。 3. 某旅行社100人中有43人会讲英语,35人会讲日语,32人会讲日语和英语,9人会讲法语、英语和日语,且每人至少会讲英语、日语、法语3种语言中的一种。试求: (1) 此人会讲英语和日语,但不会讲法语的概率; (2) 此人只会讲法语的概率。 解:设A 、B 、C 分别为会讲英语、日语、法语。 (1)329()()()0.23100100 P ABC P AB P ABC =-=-=; (2) ()()1()43 353210.54 100100100 P A B C P A B C A B P A B = -=- ??=-+-= ??? 4. 在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率是0.2;若乙机未被击落, 就进行还击,击落甲机的概率是0.3;若甲机未被击落,则再攻击乙机,击落乙机的概率是0.4。试求在这几个回合中 (1) 甲机被击落的概率; (2) 乙机被击落的概率。 解:设在这三次攻击中,“击落敌机”事件分别为A 、B 、C ,则依题意有 ()0.2,()0.3,()0.4 P A P B A P C A B ===。 (1)()()()()0.24P P AB P A P B A ===甲机被击落; (2) ()()() ()()()()()0.424 P P A A B C P A P A B C P A P A P B A P C A B == +=+= 乙机被击落 。 5. 设A 、B 是两个随机事件,已知1()3P B =,1()4P A B =,1 ()5 P A B =,试求()P A 。 解: ()()()( ) () ()() ()( ) ()1()1()()1211142310.7667 3433530 P A P A B P B P A B P A B P B P B P A B P B P A B P B P B P A B =-+=- -+??=--+-? ? =-?-+?== 。 6. 从数字1,2,3,…,9中(可重复地)任取n 次,求n 次所取的数字的乘积能被10整除的概率。 解:定义事件A=“取到数字5”,定义事件B=“取到偶数”。 () 854()=1-1() ()() 19n n n n P A B P A B P A P B P A B +- ??=-+-=-? ? 。 7. 某班n 个战士各有一支归个人保管使用的枪,外形完全一样,在一次夜间紧急集合中,每人随机地取了一支枪,求至少有一人拿到自己枪的概率. 解 这是一个配对问题.设i A ={第i 个战士拿到自己的枪},1,2,...,i n =.则所求的概率为)...(21n A A A P . n A P A P A P n 1 )(...)()(21= ===; ) 1(1)(...)()(13121-= ===-n n A A P A A P A A P n n ; (共2 n C 个) ) 2)(1(1)(...)()(12421321--= ===--n n n A A A P A A A P A A A P n n n ;(共3 n C 个) …… ! 1)...(21n A A A P n = . 所以由概率的加法公式得 ! 1)1(...)2)(1(1)1(1)...(13221n n n n C n n C n n A A A P n n n n --+---+--= ! 1 )1(...!41!31!2111n n --++-+- =. 概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征 习题4-1 某产品的次品率为,检验员每天检验4次,每次随机地取10件产品进行检验,如发现其中的次品数多于1个,就去调整设备,以X 表示一天中调整设备的次数,试求)(X E (设诸产品是否为次品是相互独立的). 解:设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P (调整设备)=P (ξ>1)=1-P (ξ≤1)= 1-[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1-=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ~B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解: 由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑,而级数1 12j j ∞ =∑发散,故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛,由数学期望的定义知,X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理,知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质,则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5= ·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿(第二册) 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第四次作业 一. 填空题: 1.设事件A,B 相互独立,且5.0)(,2.0)(==B P A P ,则)(B A B P ∪= 4/9 2. 设A 、B 、C 两两独立,且ABC=Φ, P(A)=P(B)=P(C)< 21, 16 9)(=∪∪C B A P 则P(C)= 0.25 3. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ∪=,则(|)P A B = 13,(|)P B A =1 2 。 4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==,(|)0.4P A B =,则()P AB = 0.2,()P A B ∪= 0.6, (|)P B A = 2 3 。 二. 选择题: 1. 设袋中有a 只黑球,b 只白球,每次从中取出一球,取后不放回,从中取两次,则第二次取出黑球的概率为( A );若已知第一次取到的球为黑球,那么第二次取到的球仍为黑球的概率为( B ) A.)(b a a + B.11?+?b a a C. )1)(() 1(?++?b a b a a a D.2 2)(b a a + 2.已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的为( B )。 A .A B 与互不相容; B .A B 与独立; C .A B ?; D .()0.4P B A =. 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿(第五册) 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第十三次作业 一. 填空题: 1. 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为 则 ()_______,),max (_______,)(2sin ____,______,==??? ??+==ηξηξπηξE E E E ()_______),m ax (=ηξD 。 2. 设随机变量321,,ξξξ相互独立,1ξ~)6,0(U ,2ξ~)4,0(N ,3ξ~)3(E ,则: )32(321ξξξ+-E = ____4___,)32(321ξξξ+-D = __20_。 二. 选择题: 设),N(10~ξ,)4,0(~N η,ηξ?+=,下列说法正确的是( B )。 A. )5,0(~N ? B. 0=?E C. 5=?D D. 3=?D 05.15.025.02.136.0 三. 计算题: 1. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为 ?????< <<<+=其他0 2 0,20)(81 ),(y x y x y x p 求)(,,ξηηξE E E 。 解:ηξE y y x x x y x y x xp E D ==+= =????6 7 d )(d 81d d ),(2020 3 4 d )(d 81d d ),()(2020=+= = ????y y x xy x y x y x xyp E D ξη 2. 二维随机变量),(ηξ服从以点(0, 1),(1, 0),(1, 1)为顶点的三角形区域上的均匀分布,试求)(ηξ+E 和)(ηξ+D 。 解: ),(ηξ~2, (,),(,)0, (,),x y G p x y x y G ∈?=? ?? 1 1 014 ()2()3y E dy x y dx ξη-+=+= ??, 11220111 ()2()6 y E dy x y dx ξη-+=+=??, 2211161 ()()[()]6918 D E E ξηξηξη+=+-+=-= 3. 有10个人同乘一辆长途汽车,沿途有20个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的,且各乘客是否下车是相互独立的,求停车次数的数学期望。 华东理工大学2005–2006学年第二学期 《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.06 开课学院: 理学院 ,专业:大面积 ,考试形式:闭卷 , 所需时间:120分钟 考生姓名: 学号: 班级 任课教师 一、 填空题(每题5分,共20分) (1)设 P ( A ) = 0.5 , P ( A B ) = 0.75 , a ) 若A 与 B 独立,则 P(B) = 0.5 ; b). 若A 与B 不相容 ,则 P(B) = 0.25 。 (2)设n X X X ,,21为总体2 ~(,)N ξμσ的样本,211 1,()n n i i i i X X X U n μσ==-==∑∑, 则它们分别服从 2(,)N n μσ 和 2()n χ 分布。 (3)设随机变量,ξη相互独立,且4D D ξη=。记23,23X Y ξηξη=+=-,则 {()()(E XY EX EY -= 725 。 (4) 设随机变量ξ的密度函数为:01 (),120ax x p x b x x ≤? =-≤≤??? ,其它 且 1E ξ=,则: ,a b 的值分别等于: 1 和 2 。 二、 选择题(每题5分,共20分) (1) 设A,B 是任意两个概率不是零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( D )。 (A )A 与B 互不相容; (B )A 与B 相容; (C )P(AB) = P(A) P(B); (D )()()P A B P A -=。 (2)设随机变量,ξη相互独立,且3, 2.1E D ξξ==;4, 2.4E D ηη==,则 2(2)E ξη-=( A )。 (A )14.8 ; (B ) 4 ; (C )12.4 ; (D )其它 。 (3)设随机变量X ,Y 相互独立,服从相同的两点分布:111212-?? ????,则下列结论中肯定正确的是( C ): (A )X=Y ; (B )P(X=Y) = 0 ; (C )P(X=Y) = 12; (D )P(X=Y) = 1 。 (4)设(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量,U X Y V X Y =+=-独立的充要条件为( B ): (A )EX EY =; (B )2222()()EX EX EY EY -=-; (C )22EX EY =; (D )2222()()EX EX EY EY +=+。 三、(共10分)袋中有5个白球,3个红球,甲先从袋中随机取出一球后,乙再从中随机取出一球。 (1)试求“乙取出的是白球”的概率; (2)若已知“乙取出的是白球”,计算“甲取到红球”的条件概率。 解:(1)设A ={ 甲取出的是白球 };B ={ 乙取出的是白球 };则 B AB AB =+,由全概率公式(或抓阄模型), ()()()()()P B P A P B A P A P B A =+=5435587878 ?+?=。(5分) (2) 利用贝叶斯公式,得 35()()()3 87()5()()78 P A P B A P AB P A B P B P B ?====。 (5分) 第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数(设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。 (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 (5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 (6)实测某种型号灯泡的寿命, 解 (1) }, 100,,1,0{ n i n i ==Ω其中n 为班级人数(2)}18,,4,3{ =Ω (3)},11,10{ =Ω。 (4)=Ω{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中0表示次品,1表示正品。 (5)=Ω{(x,y)| 0 华东理工大学概率论答案-2 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿(第二册) 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第四次作业 一. 填空题: 1. 设事件A,B 相互独立,且5.0)(,2.0)(==B P A P ,则)(B A B P ?= 4/9 2. 设A 、B 、C 两两独立,且ABC=Φ, P(A)=P(B)=P(C)<21, 16 9 )(=??C B A P 则P(C)= 0.25 3. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ?=,则(|)P A B = 13,(|)P B A =12 。 4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==,(|)0.4P A B =,则()P AB = 0.2,()P A B ?= 0.6, (|)P B A = 2 3 。 二. 选择题: 1. 设袋中有a 只黑球,b 只白球,每次从中取出一球,取后不放回,从中取两次,则第二次取出黑球的概率为( A );若已知第一次取到的球为黑球,那么第二次取到的球仍为黑球的概率为( B ) A .)(b a a + B .11-+-b a a C . )1)(()1(-++-b a b a a a D .2 2 )(b a a + 2. 已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的 为( B )。 A .A B 与互不相容; B .A B 与独立; C . A B ?; D .()0.4P B A =. 3.对于任意两事件A 和B ,则下列结论正确的是( C ) A .一定不独立,,则若 B A AB ?=; B .一定独立,,则若B A AB ?≠; C .有可能独立,,则若B A AB ?≠; D .一定独立,,则若B A AB ?= 4.设事件,,,A B C D 相互独立,则下列事件对中不相互独立的是( C ) )(A A 与BC D ?; )(B AC D ?与BC ; )(C BC 与A D -; )(D C A -与BD . 三. 计算题: 1.设有2台机床加工同样的零件,第一台机床出废品的概率为0.03,第二台机床出废品的概率为0.06,加工出来的零件混放在一起,并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。 (1) 求任取一个零件是废品的概率 (2) 若任取的一个零件经检查后发现是废品,则它是第二台机床加工 的概率。 解:(1)设B ={取出的零件是废品},1A ={零件是第一台机床生产的}, 2A ={零件是第二台机床生产的},则122 1(),()33 P A P A ==, 由全概率公式得: 112221()(|)()(|)()0.030.060.0433 P B P B A P A P B A P A =+=?+?= (2)222(|)()0.02 (|)0.5()0.04 P B A P A P A B P B === 2.某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 1 :2:3:9,它们在一定时间内需要修理的概率 之比为 1:3:2:1,当一台机床需要修理时,求这台 习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E (X )【解】(1) 11111()(1)012;82 8 4 2 E X =-? +?+?+?= (2) 222 2 2 11115()(1)012;8 2 8 4 4E X =-? +?+?+? = (3) 1(23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ,则X 的分布律为 故 ()0.5830 0.34010.07020.0073E X =?+?+?+?+?+?0.501, = 5 20 ()[()]i i i D X x E X P == -∑222 (00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-?+-?++-?= 3.设随机变量X 的分布律为 且已知E (X )123【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②, 2 2 2 2 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球,其中的白球数X 为一随机变量,已知E (X )=n ,问从袋中任取1球为白球的概率是多 少? 【解】记A ={从袋中任取1球为白球},则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式 1{}{} 1(). N N k k k P X k k P X k N N n E X N N === == == = ∑ ∑ 概率论与数理统计 作业簿(第三册) 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第七次作业 一.填空题: 1. ξ的分布列为: 则=E ξ 2.7 。 2. ξ的分布列为: 则=E ξ13, (1)-+=E ξ3, 2 =E ξ24 。 二.选择题: 1. 若对任意的随机变量X ,EX 存在,则))((EX E E 等于( C ) 。 A .0 B .X C .EX D .2)(EX 2. 现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,某人从中随机地无放回地抽取3张,则此人所得奖金的数学期望为 ( C ) (A )6.5 (B )12 (C )7.8 (D )9 三.计算题 1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x f x θ θ θ--?< =-??? ,,其他 其中θ >1,求 EX 。 解 21 1 111 10011111011----====--??EX x x dx x dx x θθθθθθθθ θ 2. 设随机变量ξ的概率密度函数 ,0 (=0,0 x e x p x x -?>? ≤?) 求 2,(2),()E E E e ξξξξ-+。 解 0 1,x E xe dx ξ+∞-==? (2 )22, E E ξξ== 22204 ()()13 x x E e E E e e e dx ξξξξ+∞ ----+=+=+?= ?。 3. 一台机器由三大部件组成,在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1,0.2和0.3。假设各部件的状态相互独立,用ξ表示同时需要调整的部件数,试求ξ的数学期望。 解 设A i ={第i 个部件需要调整}(i=1,2,3),则P(A 1)=0.1,P(A 2)= 0.2,P(A 3)=0.3 。所以 123(0)()0.90.80.70.504P P A A A ξ===??=, 123123123(1)()()()0.389,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123123123(2)()()()0.092,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123(3)()0.006.P P A A A ξ=== 从而 00.50410.38920.09330.0060.6E ξ=?+?+?+?=。 4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b ]内,求球的体积的平均值。 解 设球的直径长为ξ,且[,]U a b ξ~,球的体积为η,与直径ξ的关系为3 432πξη?? = ???,那 么,3 3223 4()()326 624b a x a b a b E E E dx b a πξπππηξ++??=?=?== ?-???. 第十五次作业 一. 选择题: 1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ,则31ηξ=-的密度函数()p y η为( A )。 A 、11()33y p + B 、13()3y p + C 、1(3(1))3p y + D 、1 3()3 y p - 2. 设随机变量ξ和η相互独立,其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η,则 ),max(ηξζ= 的分布函数 )(z F ζ等于 ( B ) A .)}(),(max {z F z F ηξ B. )()(z F z F ηξ C .)]()([2 1 z F z F ηξ+ D. )()()()(z F z F z F z F ηξηξ-+ 二. 填空: 已知ξ~)1,0(N ,3 1ξη=, 则η的概率密度为=)(y η? 2 2 6 e 23y y - π 。 三. 计算题 1. 已知随机变量]2,0[~U ξ,求2ξη=的概率密度。 解: ???<≥--=? ? ?<≥≤≤-=≤=0 0)()(00 }{}{)(2y y y F y F y y y y P y P y F ξξηξξ 故() ?? ? ??<≥--=000)()(21 )(y y y p y p y y p ξξ η=??? ??≤≤其他 4041 y y 2. 设随机变量X 的概率分布为: 求)2 sin( X Y π =的概率分布。 解:由于?? ? ??-==-=-=3 41 20 141)2sin(k x k x k x x π Λ,2,1=k 故随机变量Y 的可能取值为:-1,0,1。 随机变量Y 的∑∞ =-==-=1}14{}1{k k X P Y P ∑ ∞ =-=-?==1 4 1 415 212118121k k ; ∑∞ ====1 }2{}0{k k X P Y P ∑ ∞ ==-?==12 23112114121k k ; ∑∞ =-===1 }34{}1{k k X P Y P ∑ ∞ =-=-?= =1 4 3 415 812112121k k , 于是随机变量Y 的分布律为: 3.设~ξ)1,0(U ,求η =ξξ ln 的分布 。 解:对应于η =ξ ξ ln , )(2 )(ln ln x f e x y x x === ,由于 x x e x f x 1 ln 2)(2)(ln '??= 。 当)1,0(∈x 时, 0)(' 概率论与数理统计(复旦第三版) 习题三 答案 1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为:0,1,2,3;Y 的可能取值为:0,1. 222??222 ??2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 的可能取值为:0,1,2,3;Y 的可能取值为:0,1,2. 24 7C 3 C 35= 2 4 7C 2C 35= 22 4 7C C 6C 35=1122 4 7C C 12C 35=12 4 7C 2C 35 = 2 4 7C 1C 35 = 2122 4 7C C 6C 35 =224 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 ππsin sin ,0,0(,)220,x y x y F x y ? ≤≤≤≤ ?=??? 其它 求二维随机变量(,)X Y 在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).=--+= 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(,)X Y 的分布密度 (34)e ,0,0 (,)0,x y A x y f x y -+?>>=? ? 其他 求:(1) 常数A ; (2) 随机变量(,)X Y 的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}. 【解】(1) 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞ +∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y x u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< (34)380102 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499.x y x y P X Y x y -+--<≤<≤=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24 (,)0,k x y x y f x y --<<<=? ? 其它 (1 ) 确定常数k ; (2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; 概率论与数理统计浙大四版习题答案 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第七章 参数估计 1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计) 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。 解:μ,σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 (1)? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知,θ>1,θ为 未知参数。 (2)?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0,θ为未知参数。 (5)()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,) 1()(<<=-==- 为未知参数。 解:(1) X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== = +-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令,得 c X X θ-= (2) ,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 (5)E (X ) = mp 令mp = X , 解得m X p =? 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解:(1)似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn n n i i x x x c θx f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑==n i i n i i x c n n θ θd θL d x θc θn θn θL ∑=-= n i i c n x n θ1 ln ln ? (解唯一故为极大似然估计量) (2) ∑ ∏=-- =-+-=== n i i θn n n i i x θθn θL x x x θ x f θL 1 1 212 1 ln )1()ln(2)(ln ,) ()()( ∑∑ ====+?-=n i i n i i x n θx θ θn θd θL d 1 2 1 ) ln (?,0ln 21 12)(ln 。(解唯一)故为极大 似然估计量。 (5)∑∑==- =-??? ? ?????? ??===∏ n i n i i i x mn x n n i i p p x m x m x X P p L 1 1 )1(}{)(11 , ()),1ln()(ln ln )(ln 1 1 1 p x mn p x p L n i i n i i n i m x i -- ++= ∑∑∑=== 01) (ln 1 1 =--- =∑∑==p x mn p x dp p L d n i i n i i 解得 m X mn x p n i i = = ∑=2 ,(解唯一)故为极大似然估计量。 4.[四(2)] 设X 1,X 1,…,X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 第二十一次作业 一、填空题 1. 将合适的数字填入空格,其中:(1)置信水平α,(2)置信水平α-1,(3)精确度,(4)准确度。 置信区间的可信度由 (2) 控制,而样本容量可用来调整置信区间的 (3) 。 2.有一大批糖果,先从中随机地取16袋,称的重量(单位:g )如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布),(2σμN ,则总体均值μ的置信水平为95%的置信区间为 [500.4,507.1] ,总体标准差σ的置信水平为95%的置信区间为 [4.582,9.599] 。 二、选择题 1.设从总体),(~211σμξN 和总体),(~222σμηN 中分别抽取容量为9,16的独立样本,以x ,y ,2x S ,2y S 分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差, 若已知1σ=2σ,则21μμ-的95%的置信区间为( ) A. 169(2221975 .0σσ+--u y x ,)1692221975.0σσ+-+u y x B. 169(22975.0y x S S u y x +--,)16 922975.0y x S S u y x +-+ C. 5)23((975.0w S t y x --,)5)23(975.0w S t y x -+,其中23 16922y x w S S S += D. 5)25((975.0w S t y x --,)5)25(975.0w S t y x -+,其中25 16922y x w S S S += 2.关于“参数μ的95%的置信区间为),(b a ”的正确理解的是( ) A. 至少有95%的把握认为),(b a 包含参数真值μ; B. 有95%的把握认为),(b a 包含参数真值μ; C. 有95%的把握认为参数真值μ落在区间),(b a 内; D. 若进行100次抽样,必有95次参数真值μ落在区间),(b a 内。 三、计算题 1.设某地旅游者日消费额服从正态分布),(2σμN ,且标准差12=σ,今对该地 旅游者的日平均消费额进行估计,为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2(元),问至少需要调查多少人? 习题三 1.掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为p (0 p 1) ,若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X 的分布列。解(X k) 表示事件:前k 1次出现正面,第k 次出现反面,或前k 1次出现反面,第k 次出现正面,所以 P X ( k ) p k1(1p ) (1p)k 1 p,k 2,3, 2.袋中有b 个黑球a 个白球,从袋中任意取出r 个球,求r 个球中黑球个数X 的分布列。 解从a b个球中任取r 个球共有C a b r种取法,r 个球中有k 个黑球的取法有C C b k a r k,所以X 的分布列为 P X (k ) C C C bk a b r ar k,k max(0, r a), max(0, r a ) 1, ,min( , )b r , 此乃因为,如果r a,则r 个球中可以全是白球,没有黑球,即 k 0 ; 如果r a 则r 个球中至少有r a个黑球,此时k 应从r a开始。 3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i 个零件是不合格品1 的概率p i (i 1,2,3) ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求X 的分布 i 1 列。 . ·19· ·20 · 解 设 A i ‘第i 个零件是合格品’i 1,2,3。则 1 1 1 1 P X ( 0) P A A A ( 1 2 3 ) , 2 3 4 24 P X ( 1) P A A A ( 1 23 A A A 1 23 A A A 1 2 3 ) P A A A ( 1 2 3 ) P A A A ( 1 23 ) P A A A ( 1 2 3 ) 1 1 1 1 2 1 1 1 3 6 , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 P X ( 2) P A A A ( 1 23 A A A 1 23 A A A 1 2 3 ) P A A A ( 1 2 3 ) P A A A ( 1 23 ) P A A A ( 1 2 3 ) 1 2 1 1 1 3 1 2 3 11 , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 2 3 6 P X ( 3) P A A A ( 12 3 ) . 2 3 4 24 即 X 的分 布列为 . 4.一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为,以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求 X 的概率 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量, A =‘通过汽车不足5台’, B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2, ,6i =, 135{,,}A e e e =。 (2) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (4) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5) {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用 ,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 解 (1)ABC (2)AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ; (3)A B C 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (4)ABC ABC ABC ; (5)AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ; 3.一个工人生产了三件产品,以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品,试用i A 表示下列事件:(1)没有一件产品是次品;(2)至少有一件产品是次品;(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。 解 (1)123A A A ;(2)1 23A A A ;(3) 123123123A A A A A A A A A ;(4) 12 13 23A A A A A A 。 4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则 5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率。 解 (1)设A =‘5只全是好的’,则 537540 ()0.662C P A C =; 习题三 1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- g g g g 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度 f(x,y)= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求:(1)常数A; (2)随机变量(X,Y)的分布函数; (3)P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【解】(1)由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 (2)由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k (1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}. 【解】(1)由性质有 华东理工大学概率论答案, ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 华东理工大学 概率论与数理统计 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第十九次作业 一.填空题: 1.在一批垫圈中随机抽取10个,测得它们的厚度(单位: mm)如下: 1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望μ的估计值μ ?=257.1=x , 标准差σ的估计值σ ?=037.01=-n s 。 2.将合适的数字填入空格,其中:(1)总体矩,(2)样本矩,(3)中心极限定 理,(4)大数定理。 矩估计的做法是用(2) ,代替(1) ,其依据是 (4) 。 3.已知总体),(~2σμN X ,其中未知参数σμ和的极大似然估计分别为 1-n S X 和,则概率}2{概率论与数理统计第四章习题及答案
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