2
2
2
2
2
1
kqR kqR E R a r R a r =
-
????+++-??
??
B ．()()21
2
3
3
22222
2
1kqR kqR E R a r R a r =
-
??
??+++-??
??
C ．()()()()22
2
2
2
1
kq a r kq a r E R a r R a r +-=
-
????+++-??
??
D ．()()()()23
3
22222
2
1kq a r kq a r E R a r R a r +-=
-
??
??+++-??
??
4.（2010年清华自主招生）1．在光滑的水平面上有一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面，其上有一质量为m 的物块，如图所示。物块在下滑的过程中对斜面压力的大小为 （） A ．Mmg cosθ B ．M mg cosθ M +m sin θcosθ M -m sin θcosθ C ．M mg cosθ D ．M mg cosθ M +msin 2θ
M -msin 2θ
5．（2010宣）如图所示，质量为M 、倾角为θ的斜面体A 放于水平地面上，把质量为m 小滑块B 放在斜面体A 的顶端,高度为h 。开始时两者保持相对静止，然后B 由A 顶端沿 斜面滑至地面。若以地面为参考系，且忽略一切摩擦力，在此过程中，斜面的持力对B 做的功为W 。下面给出的W 的四个表达式中，只有一个是合理的，你可能不会求解但是 可以通过分析，对下列表达式做出合理的判断。根据你的判断，W 的合理表式为 （） A. W=0 B. g m M m M h Mm W )
sin )((cos 2
22θθ
++-= C. g m M m M mh M W )sin )((cos 2
22θθ
++=
D ．g m M m M mh M W )
sin )((cos 2
2
θθ
++-
= 6.（2010年海淀）20．如图8所示，在光滑的水平面上有一质量为M 、倾角为θ的光滑
斜面体，它的斜面上有一质量为m 的物块沿斜面下滑。关于物块下滑过程中对斜面压力大小的解答，有如下四个表达式。要判断这四个表达式是否合理，你可以不必进行复杂的计算，而根据所学的物理知识和物理方法进行分析，从而判断解的合理性或正确性。根据你的判断，下述表达式中可能正确的是 ()
A ．
θθ2sin sin m M Mmg - B ．θθ
2
sin sin m M Mmg + C ．θθ2sin cos m M Mmg - D ．θ
θ2sin cos m M Mmg +
7.（2010年东城）20．某个由导电介质制成的电阻截面如图所示。导电介质的电阻率为ρ、制成内、外半径分别为a 和b 的半球壳层形状(图中阴影部分)，半径为a 、电阻不计的球形电极被嵌入导电介质的球心为一个引出电极，在导电介质的外层球壳上镀上一层电阻不计的金属膜成为另外一个电极。设该电阻的阻值为R 。下面给出R 的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求解R ，但是你可以通过一定的物理
分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，R 的合理表达式
应为 （ ） A ． R=
ab a b πρ2)
(+
B ．R=
ab a b πρ2)
(-
C ．R=)
(2a b ab
-πρ
D ．R=)
(2a b ab
+πρ
8.（2010年延庆）20.图示为一个半径为R 的均匀带电圆环，其单位长度带电量为η。取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。设轴上任意点P 到O 点的距离为x ，以无限远处为零势，P 点电势的大小为Φ。下面给出Φ的四个表达式（式中k 为静电力常量），其中只有一个是合理的。你可能不会求解此处的电势Φ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，Φ的合理表达式应为 （ ） A.222x R k R +=
ηπφ B.222x R Rk +=
πφ
C.2
2
2x
R k R -=ηπφ D.x x
R k R 2
2
2+=ηπφ
9．(2010年海)20．两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统称为电偶极子。设相距为l ，电荷量分别为+q 和-q 的点电荷构成电偶极子。如图10所示，
取二者连线方向为y 轴方向，中点O 为原点，建立如图10所示
的xOy 坐标系，P 点距坐标原点O 的距离为r （r >>l ），P 、O 两
点间连线与y 轴正方向的夹角为θ，设无穷远处的电势为零，P
点的电势为φ，真空中静电力常量为k 。下面给出φ的四个表达式，其中只有一个是合理的。你可能不会求解P 点的电势φ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你
的判断，φ的合理表达式应为（ ）
R
+q -q
A ．r
kql θ?sin =
B ．2cos l kqr θ
?=
C ．2cos r kql θ?=
D ．2
sin r
kql θ
?= 10.(2010年崇)20．如图所示一轻质细绳一端系一质量为m 的小球，绳
的上端固定于O 点。现用手将小球拉至水平位置（绳处于水平拉直状态），松手后小球由静止开始运动。在小球摆动过程中绳突然被拉断，绳断时与竖直方向的夹角为α。已知绳能承受的最大拉力为F ，若想求出cos α值，你有可能不会求解，但是你可以通过一定的物理分析，对下列结果的合理性做出判断。根据你的判断cos α值应为 ( ) A ．cos α =
m g m g F 4+ B ．cos α =m g m g
F 2-
C ．cos α =
m g F 32 D ．cos α =m g
F 3 11.（2010年朝）20．图甲中，MN 为很大的薄金属板（可理解为无限大），金属板原来不带
电。在金属板的右侧，距金属板的距离为d 的一个位置上放入一个带正电、电荷量为q 的点 电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布。P 是点电荷右侧，与点电荷之间的距离 也为d 的一个点，几位同学想求出P 点的电场强度大小，但发现问题很难。几位同学经 仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分 布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的。图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为q ，它们 之间的距离为2d ，虚线是两点电荷连线的中垂线。由此他们分别求出了P 点的电场强度大 小，一共有以下四个不同的答案（答案中k 为静电力常量），其中正确的是 （）
A ．289kq d
B ．2kq d
C ．234kq d
D ．2
109kq d
2020高中数学---特殊值法解决二项式展开系数问题
第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设()011 222 n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=+++ +++， ①令1a b ==，可得：01 2n n n n n C C C =++ + ②令1,1a b ==-，可得： ()0123 01n n n n n n n C C C C C =-+-+-，即： 0213 1 n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --++ +=++ += （2）设()()2 01221n n n f x x a a x a x a x =+=+++ + ① 令1x =，则有：()()0122111n n a a a a f +++ +=?+=，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010n a f =?+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n n a a a a a f -+-++=-?+=- ()()()021311n n a a a a a a f -?+++-+++=-， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值 二、典型例题： 例1：已知()8 2 8012831x a a x a x a x -=+++ +，则1357a a a a +++的值为________ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值 解：令1x =可得：8 0182a a a =++ + ①
多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择
多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择 叶宗裕 摘要：本文用实例说明了多指标综合评价中，用“倒数逆变换法”进行指标正向化时会完全改变原指标的分布规律，影响综合评价结果的准确性；对三种常用无量纲化方法——极差变换法、标准化法和均值化法的选择使用问题，用实例进行了比较分析。 关键词：综合评价，正向化，无量纲化，标准化法，均值化法 在多指标综合评价中，有些是指标值越大评价越好的指标，称为正向指标（也称效益型指标或望大型指标）；有些是指标值越小评价越好的指标，称为逆向指标（也称成本型指标或望小型指标），还有些是指标值越接近某个值越好的指标，称为适度指标。在综合评价时，首先必须将指标同趋势化，一般是将逆向指标和适度指标转化为正向指标，所以也称为指标的正向化。不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，直接将它们进行综合是不合适的，也没有实际意义。所以必须将指标值转化为无量纲的相对数。这种去掉指标量纲的过程，称为指标的无量纲化（也称同度量化），它是指标综合的前提。在多指标评价实践中，常将指标无量纲化以后的数值作为指标评价值，此时，无量纲化过程就是指标实际值转化为指标评价值（即效用函数值）的过程，无量纲化方法也就是指如何实现这种转化。从数学角度讲就是要确定指标评价值依赖于指标实际值的一种函数关系式，即效用函数fj。因此，指标的无量纲化是综合评价的一项重要内容，对综合评价结果有重要影响。 指标的正向化和无量纲化都有多种方法，应用时，应根据实际情况选择合适的方法，否则将会使综合评价的准确性受到影响。本章就如何选择正向化和无量纲化方法作些讨论。（一）关于指标正向化方法 对于指标的正向化，在实际应用中许多学者常使用将指标取倒数的方法（苏为华教授称其为“倒数逆变换法”[1]），写成公式为： yij=C/xij （1） 其中C为正常数，通常取C=1。很明显，用（1）式作为指标的正向化公式时，当原指标值xij较大时，其值的变动引起变换后指标值的变动较慢；而当原指标值较小时，其值的变动会引起变换后指标值的较快变动。特别是当原指标值接近0时，变换后指标值的变动会非常快，使得指标评价值的确定，也即指标的无量纲化变得困难。 比如徐国祥等将指标资产负债率、流动比率、速动比率作为适度指标[2]，对它们的正向化方法为 （2） 适度值k取各单位该指标值的平均值。这种取倒数的方法使得：一些接近k的指标值之间的差距扩大，而远离k的指标值之间的差距缩小，因而不能真实反映原指标的分布情况。笔者选取2001年全国各地区全部国有及规模以上非国有工业企业主要经济效益指标中的资产负债率为例（为节省篇幅选前10个省市的值），用（2）式进行正向化变换，10个省市的资产负债率及其正向化值见表1。资产负债率的平均值k=58.59。 表1 10省市资产负债率及其正向化值
极限法(特殊值法)在物理高考中的应用Word版
极限法（特殊值法）在物理高考中的应用 “极限法”是一种特殊的方法，它的特点是运用题中的隐含条件，或已有的概念，性质，对选项中的干扰项进行逐个排除，最终达到选出正确答案的目的。 极限法在物理解题中有比较广泛的应用,将貌似复杂的问题推到极端状态或极限值条件下进行分析，问题往往变得十分简单。利用极限法可以将倾角变化的斜面转化成平面或竖直面。可将复杂电路变成简单电路，可将运动物体视为静止物体，可将变量转化成特殊的恒定值，可将非理想物理模型转化成理想物理模型，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，使问题的隐含条件暴露，陌生结果变得熟悉，难以判断的结论变得一目了然。 1.（12安徽）如图1所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出： E =2πκσ()????????+-21221x r x ，方向沿x 轴。现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为 ( ) A. 2πκ0σ()2122x r x + B. 2πκ0σ()2122x r r + C. 2πκ0 σr x D. 2πκ0σx r 【解析】当→∝R 时，22x R x +=0，则0k 2E δπ=，当挖去半径为r 的圆孔时，应在E 中减掉该圆孔对应的场强）（220r x r x - 12E +=πκδ，即21220x r x 2E ）（+='πκδ。选项A 正确。 2.（11福建）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质 量为m 1和m 2的物体A 和B 。若滑轮有一定大小，质量为m 且分布均匀，滑 轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦。设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2，已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确 的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（ ） O R ● x P 图1 O r ● x Q 图2
数据的无量纲化处理及示例
数据的无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据规范化，利用规范化后的数据进行分析。数据规范化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。 （1）极值化方法 可以选择如下的三种方式： （A ）' max min i i i x x x R 即每一个变量除以该变量取值的全距，规范化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B)' min min max min i i i x x x R 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，规范化后各变量的取值范围限于[0,1]。 (C) ' max i i x x ，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，规范化后使变量的最大取值为1。 采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 （2）规范化方法 利用'i i x x x 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的规范差，无量 纲化后各变量的平均值为0，规范差为1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。
量纲法
?“约瑟夫森结”由超导体和绝缘体制成．若在结两端加恒定电压U，则它会辐射频率为ν的电磁波，且ν与U成正比，即ν=kU．已知比例系数k仅与元电荷的2倍和普朗克常数h 有关，你可能不了解此现象的机理，但仍可运用物理学中常用的方法，在下列选项中，推理比例系数的值可能为 A h/2e B2e/h C2he D1/2he 14．物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也反映了单位间的关系，如关系式U=IR既反映了电压、电流和电阻之间的关系，也反映了V（伏）与A（安）和Ω（欧）的乘积等效。现有物理量单位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（库）、F（发）、A（安）、Ω（欧）和T（特）。由它们组合成的单位都与电压单位V（伏）等效的是 A J/C和N/C B C/F和T/m^2/s CW/A和C*T*m/s D W^1/2*Ω^1/2和T*A*m （09北京.20）图示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ. 取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴. 设轴上任意点P到O 点的距离为x，P点电场强度的大小为E. 下面给出E的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的. 你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断. 根据你的判断，E的合理表达式应为
极限法：当R1=0时，此时带电圆环演变为带电圆面，中心轴线上一点的电场强度E>0，故A项(E<0)错误. 当x=0时，此时要求的场强为O点的场强，由对称性可知EO=0，对于C项而言，x=0时E为一定值，故C项错误. 当x→∞时E→0，而D项中E→4πkσ, 故D项错误. 正确选项只能为B。 量纲法叠加原理本题的带电圆环可以可做一个带正电的大圆盘与一个带负电的小圆盘的叠加，二者产生的场强方向相反，应该相减，排除C、D选项。 类比点电荷的场强公式E=kQ/r2可知，场强公式中除k外，其余部分的单位为C/m2,与电荷面密度σ的单位相同，所以各选项中除2πkσ外其余部分没有单位，排除选项A。
特殊值法巧解数列题示例
特殊值法巧解数列题示例 特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用. 【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2 54252=?= a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=?=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C. 【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=?=a a ,所以 103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B. 如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！
高中数学主要题型与方法归纳
高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9；②验证法P111；③空集分类法P2 14；④转化法P14 2.子集（元素）个数——①列举法；②2n法P1 6；③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分，大必要)P3 1；②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法；②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法（具体函数或实际问题）P6 12；②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法；②单调性法P5 8、P7 8；③反函数法；④分离常数法P12 13（1）； ⑤配方法P10 13；⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13；②均值不等式法P11 4；③线性规划法； ④导数法P103 6；⑤转化法（立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11） 8.求解析式——①换元法；②待定系数法P10 13（1）；③构造方程法P6 13；④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9；②变换图象法P15 8、P27 7；③假设验证法P15 6； ④奇偶分析法P15 9；⑤导数法（原增导在上，原减导在下）P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8；②零点交点转化法P18 11；③韦达定理法P17 8； ④解方程法P17 1、P17 10；⑤估算法P17 5；⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9；②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9；②复合法（同增异减）P9 11；③定义法； ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9；⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6；②定义法P16 14（1）；③化半法P8 13；④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法；②定义法P7 7；③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9；②化同法P13 5；③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4；②建模法P20 14、P64 14；图表法 17.求导数——①定义法P103 1；②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法；②导数法P102 13、P104 11；③距离法（适用于圆） 19.求极值——①图象法P103 2；②导数法（左正右负极大值，左负右正极小值）P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11；②积分公式法P105 5；③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号（或角的象限）——①单位圆法P23 7；②πk2法P23 5 Rt法P25 2；②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9；②化弦法；③1的代换P24 13；④和积互化P25 4； ⑤公式法P29 10；⑥换角法P30 13；⑦转化法（化同角、化同名、化同次）P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12；②整体不变法；③公式法；④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8；②余弦定理P33 9；③化边法P34 13；④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9；②公式法P41 3；③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行（共线）问题——①成比例法P37 2；②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10；②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5；②公式法P41 11 10.求长度（模）——①平方法P37 9；②解三角形法P41 2
指标标准化方法
3.2.2指标数据的标准化方法 (1)正向指标的标准化 正向指标指数值越大表明经济状况越好的指标。设：x ij –第i 个评价地区第j 个指标的隶属度,v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值,m –被评价地区的个数。根据正向指标的打分公式[19]，则x ij 为 111min()max()min()ij ij i m ij ij ij i m i m v v x v v ≤≤≤≤≤≤?=? (1) (2)负向指标的标准化 负向指标指数值越小表明经济状况越好的指标。设：x ij –第i 个评价地区第j 个指标的隶属度，v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值，m –被评价地区的个数。根据负向指标的打分公式[19]，则x ij 为 111max()max()min()ij ij i m ij ij ij i m i m v v x v v ≤≤≤≤≤≤?=? (2) (3)适中指标的标准化 适中指标指越接近某一个规定的值越好的指标。设：x ki –第i 个被评价年第k 个指标规范化处理后的值； q –第i 个被评价年第k 个指标理想值；V ki –第i 个被评价年第k 个指标的值。 根据适中指标的打分公式[19]，则x ki 为 11111,max(min(),max())1max(min(),max())1,ki ki ki ki i n i n ki ki ki ki ki i n i n ki q V V q q V V q V q ,x V q V V q V q ≤≤≤≤≤≤≤≤????????=??? q (3) (4)最佳区间型指标的标准化 最佳区间型指标指数值在某一个特定区间内都是合理的指标。设：x ij –第i 个评价地区第j 个指标的隶属度；v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值；m –被评价地区的个数。 根据最佳区间型指标的打分公式[19]，则x ij 为 111211*********,max(min(),max())1max(min(),max())1,ij ij ij ij i m i m ij ij ij ij ij i m i m ij q v v q q v v q v q v q x q v v q q v q ≤≤≤≤≤≤≤≤???=???????,≤≤? (4) 其中，q 1–指标最佳区间左边界；v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值；q 2–指标最佳区间右边界。
[量纲分析]习题
习题 1、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？ 2、“Dimension”一词包含什么涵义？说说它的历史演变。 3、自由落体问题有哪几种提法？各有哪些基本量和导出量？ 4、从物理上分析摆锤质量与单摆周期无关的原因。 5、求谐振子的自振频率。 6、从量纲幂次式的讨论中得到的偏导数关系，求出量纲函数的最终表达式。 7、查阅基尔比契夫提出的“相似三定理”说的是什么？它与π定理的说法不同，哪种说法更 为本质？ 8、从隐函数法证明π定理。 9、求盛水容器底侧的小孔出流速度。 10、若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。 11、分析定常管流问题中的摩擦系数和总管阻；并问什么情况下可不考虑密度的影响？说明 其物理原因。 12、能否用水洞做机翼的模型实验，或用风洞做潜艇的模型实验？如果可以，问尺寸和速度 的缩比范围？ 13、作船舶润湿面积的量纲分析。 14、轴承问题中是否应该考虑惯性力的作用？说明理由。 15、用量纲分析法求小球在粘性流体中下落最终速度和粘性阻力（结果与Stokes公式对照）。 16、什么条件下可以不考虑表面张力对水波波速的影响，从物理上做简单分析。 17、讨论两端固定的梁在分布载荷作用下的挠度。 18、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。 19、讨论方形空心简支梁的挠度分布，若用实心梁来模拟，要求符合什么条件？ 20、什么样的结构物质需要考虑重力的作用？ 21、调查一下国内做结构物的重力效应实验的离心机有多大，写出主要参数。 22、求有限弹性体的固有周期。 23、弹性体中体波的传播有无色散现象，说说物理原因？ 24、杆径对杆中弹性波波速起什么物理作用？ 25、求两块平板正面相撞引起的弹性波的波速（与有关弹性波书中的结果作对比）。 26、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？ 27、什么是几何相似？什么是几何相似率？举例说明。 28、相似率是否一定要求几何相似？为什么？ 29、估计和比较几种典型金属材料中弹性变形和热传导的传播时间。 30、估计和比较含水地层中弹性变形和渗流的传播时间。 作业上交时间可能在期中的时候，请小伙伴们相互转告。
高考物理量纲及特殊值解题方法(20题详细解析)
高考物理量纲及特殊值解题方法 1、（08北京卷）20．有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合力进行分析和判断。例如从解的物理量的单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一定特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。 举例如下：如图所示，质量为M 、倾角为θ的滑块A 放于水平地面上。把质量为m 的滑块B 放在A 的斜面上。忽略一切摩擦，有人求得B 相对地面的加速度a = M +m M +msin 2θ gsin θ，式中g 为 重力加速度。 对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题。他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”。但是，其中有一项是错误．． 的。请你指出该项。 A ．当θ=0?时，该解给出a =0，这符合常识，说明该解可能是对的 B ．当θ＝90?时，该解给出a =g,这符合实验结论，说明该解可能是对的 C ．当M ≥m 时，该解给出a =gsinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的 D ．当m ≥M 时，该解给出a =sin g θ ,这符合预期的结果，说明该解可能是对的 答案：D 解析：当m >>M 时，该解给出a = sin g θ ,这与实际不符，说明该解可能是错误的。 2.（2009北京）20．图示为一个内、外半径分别为R 1和R 2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ。取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。设轴上任意点P 到O 点的的距离为x ，P 点电场强度的大小为E 。下面给出E 的四个表达式（式中k 为静电力常量），其中只有一个是合理的。你可能不会求解此处的场强E ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，E 的合理表达式应为 (B ) A ．2E k x πσ= B ．2E k x πσ= C ．2E k πσ= D ．2E k x πσ=+ 当x=0时，E=0，C 项错，当x 无穷远时，E=0 ，AD 错 选B 3．（2010福建）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 1和R 2 的圆环，
再谈高中数学中的特殊值法解题
再谈高中数学中的特殊值法解题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
再谈高中数学中的特殊值法解题-中学数学论文 再谈高中数学中的特殊值法解题 胡春雷 （惠州实验中学，广东惠州516000） 摘要：高中数学问题的解决取决于思维、方法、习惯等诸多方面,解题方法需具有针对性，对于一个数学问题如果具有一般性结论，那么适当取特殊值也是成立的，这是特殊值法的理论根据。特殊值法是指选用特殊值解决数学问题的方法，常见的三种特殊值有三种，分别是特殊的数、式、形；本文结合实例来说明在使用特殊值法解题时取值的技巧、细节以及注意事项。 关键词：特殊数；特殊式；特殊形 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-03-0061-01 高中数学有很多常规而经典的解法，比如换元法、待定系数法、配方法等。也有一些非常规解法，比如特殊值法。有时在解决有些数学问题时特殊值法可以收到奇效。笔者认真阅读了许多同行关于特殊值法的论文，结合自己教学实践，在此也谈谈对特殊值的认识和体会，不妥之处，敬请同行指正。 一、选用特殊的数字解决问题 选用特殊数字来解决问题，一般喜欢选用±1、10、i、e等数字.
二、选用特殊的式解决问题 选用特殊数学表达式来解决问题，一般喜欢选用符合题目条件的的基本初等函数、典型方程、基本不等式等。 ①y=f(x)是周期函数②x=π是它的一条对称轴③(-π,0)是它图象的一个对称中心 ④当x=π时，它一定取最大值，其中描述正确的是（） A.①② B.①③ C.②④ D.②③
指标无量纲化
评价指标的无量纲化处理 在多指标综合评价中涉及到两个基本变量:一是各评价指标的实际值，另一个是各指标的评价值。由于各指标所代表的物理涵义不同，因此存在着量纲上的差异。这种异量纲性是影响对事物整体评价的主要因素。指标的无量纲化处理是解决这一问题的主要手段。无量纲化，也称作数据的标准化、规格化，是一种通过数学变换来消除原始变量量纲影响的方法。 （1）直线型无量纲化方法 基本思想是假定实际指标和评价指标之间存在着线性关系，实际指标的变化将引起评价指标一个相应的比例变化。代表方法有：阈值法、标准化法(Z-score 法)、比重法等等。 a. 阈值法 阈值也称临界值，是衡量事物发展变化的一些特殊指标值，比如极大值、极小值、满意值、不允许值等。阈值法是用指标实际值与阈值相比以得到指标评价值的无量纲化方法。常用算法公式有： n i i i i x x y ≤≤=1m a x （2.24） n i i i n i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤-+=111m a x m i n m a x （2.25） n i i n i i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.26） n i i n i i n i i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.27） q k x x x x y n i i n i i n i i i i +--=≤≤≤≤≤≤111m i n m a x m a x （2.28） b 标准化法 统计学原理告诉我们，要对多组不同量纲数据进行比较，可以先将它 们标准化转化成无量纲的标准化数据。而综合评价就是要将多组不同的数 据进行综合，因而可以借助于标准化方法来消除数据量纲的影响。标准化 （Z-score ）公式为：
极限思维法、特殊值法、量纲法、等解高中物理选择题
高中物理“超纲”选择题解题方法 1．有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断。例如从解的物理量的单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一定特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。 举例如下：如图所示，质量为M、倾角为θ的滑块A放于水平地面上。把质量为m的滑块B放在A的斜面上。忽略 一切摩擦，有人求得B相对地面的加速度a = M+m gsinθ，式中g为重力加速度。 M+msin2θ 对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题。 他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都 是“解可能是对的”。但是，其中有一项是错误 ．．的。请你指出该项。 （） A．当θ=0?时，该解给出a=0，这符合常识，说明该解可能是对的 B．当θ＝90?时，该解给出a=g，这符合实验结论，说明该解可能是对的 C．当M≥m时，该解给出a=gsinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
D ．当m ≥M 时，该解给出a =sin g θ ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的 2．某个由导电介质制成的电阻截面如图所示。导电介质的电阻率为ρ、制成内、外半径分别为a 和b 的半球壳层形状(图中阴影部分)，半径为a 、电阻不计的球形电极被嵌入导电介质的球心为一个引出电极，在导电介质的外层球壳上镀上一层电阻不计的金属膜成为另外一个电极。设该电阻的阻值为R 。下面给出R 的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求解R ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，R 的合理表达式应为 （ ） A ．R= ab a b πρ2) (+ B ．R= ab a b πρ2) (- C ．R=) (2a b ab -πρ D ．R= ) (2a b ab +πρ 3．图示为一个半径为R 的均匀带电圆环，其单位长度带电量为η。取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。设轴上任意点P 到O 点的距离为x ，以无限远处为零电势，P 点电势的大小为Φ。下面给出 Φ的四个表达式（式中k 为静电力常量），其中只有一个是合理的。你 可能不会求解此处的电势Φ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，Φ的合理表达式应为 （ ） I
数据的无量纲化处理及示例
数据得无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别就是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型得数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位与数量级得不尽相同,从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前,通常需要先将数据规范化，利用规范化后得数据进行分析.数据规范化处理主要包括同趋化处理与无量纲化处理两个方面.数据得同趋化处理主要解决不同性质得数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力得综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系得作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据得不可比性，在此处主要介绍几种数据得无量纲化得处理方式。 （１)极值化方法 可以选择如下得三种方式: (A) 即每一个变量除以该变量取值得全距,规范化后得每个变量得取值范围限于[－1，1］。 (B) 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值得全距，规范化后各变量得取值范围限于[0，1]。 （C）,即每一个变量值除以该变量取值得最大值，规范化后使变量得最大取值为1。 采用极值化方法对变量数据无量纲化就是通过变量取值得最大值与最小值将原始数据转换为界于某一特定范围得数据，从而消除量纲与数量级得影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量得最大值与最小值这两个极端值有关,而与其她取值无关,这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 (2）规范化方法 利用来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量得规范差,无量纲化后各变量得平均值为０，规范差为1，从而消除量纲与数量级得影响.虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有得数据信息,但就是该方法在无量纲化后不仅使得转换后得各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化得同时还消除了各变量在变异程度上得差异. （3)均值化方法 计算公式为：，该方法在消除量纲与数量级影响得同时,保留了各变量取值差异程度上得信息。 （4)规范差化方法 计算公式为：。该方法就是规范化方法得基础上得一种变形，两者得差别仅在无量纲化后各变量得均值上，规范化方法处理后各变量得均值为0，而规范差化方法处理后各变量均值为原始变量均值与规范差得比值。 综上所述，针对不同类型得数据,可以选择相应得无量纲化方法。如下得示例就就是一个典型得评价体系中无量纲化得范例. 示例:近年来我国淡水湖水质富营养化得污染日益严重,如何对湖泊水质得富营养化进行综合评价与治理就是摆在我们面前得任务，下面两个表格分别为我国5个湖泊得实测数据与湖泊水质评价规范。 表2-２全国五个主要湖泊评价参数得实测数据
高中数学讲义微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题
微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设()011222 n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++， ①令1a b ==，可得：012n n n n n C C C =++ + ②令1,1a b ==-，可得： ()0123 01n n n n n n n C C C C C =-+-+-，即： 02 13 1 n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --++ +=++ += （2）设()()2 01221n n n f x x a a x a x a x =+=+++ + ① 令1x =，则有：()()0122111n n a a a a f +++ +=?+=，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010n a f =?+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n n a a a a a f -+-++=-?+=- ()()()021311n n a a a a a a f -?+++-+++=-， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值 二、典型例题： 例1：已知()8 2 8012831x a a x a x a x -=+++ +，则1357a a a a +++的值为________ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值 解：令1x =可得：8 0182a a a =++ + ①
相似原理与量纲分析
第五章 相似理论与量纲分析 5．1基本要求 本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。 5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义， 量纲的定义。 5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。 5．2基本知识点 5．2．1相似的基本概念 为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即 n n l m m L d C L d == n m θθ= 相应有 222n n A l m m A L C C A L === 333n n V l m m V L C C V L === 2. 运动相似 两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n n u m m u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2 u u a t l C C C C C == 3. 动力相似 两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。 Im pn n In n Gn En F m m Gm pm Em F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 5．2．2相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。常用的相似准数为: 1. 雷诺数Re Re uL uL ρμν = = ，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。 2. 弗汝德数Fr 2 u Fr gL =，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。 3. 欧拉数Eu 2 p Eu u ρ?= ，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。 4. 斯特劳哈勒数St 2L u t St tu u L = =，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。 5．2．3模型律 1. 模型律的选择 动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也
多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择
多指标综合评价中 指标正向化和无量纲化方法的选择 叶宗裕 摘要：本文用实例说明了多指标综合评价中，用“倒数逆变换法”进行指标正向化时会完全改变原指标的分布规律，影响综合评价结果的准确性；对三种常用无量纲化方法——极差变换法、标准化法和均值化法的选择使用问题，用实例进行了比较分析。 关键词：综合评价，正向化，无量纲化，标准化法，均值化法 在多指标综合评价中，有些是指标值越大评价越好的指标，称为正向指标（也称效益型指标或望大型指标）；有些是指标值越小评价越好的指标，称为逆向指标（也称成本型指标或望小型指标），还有些是指标值越接近某个值越好的指标，称为适度指标。在综合评价时，首先必须将指标同趋势化，一般是将逆向指标和适度指标转化为正向指标，所以也称为指标的正向化。不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，直接将它们进行综合是不合适的，也没有实际意义。所以必须将指标值转化为无量纲的相对数。这种去掉指标量纲的过程，称为指标的无量纲化（也称同度量化），它是指标综合的前提。在多指标评价实践中，常将指标无量纲化以后的数值作为指标评价值，此时，无量纲化过程就是指标实际值转化为指标评价值（即效用函数值）的过程，无量纲化方法也就是指如何实现这种转化。从数学角度讲就是要确定指标评价值依赖于指标实际值的一种函数关系式，即效用函数f j。因此，指标的无量纲化是综合评价的一项重要内容，对综合评价结果有重要影响。 指标的正向化和无量纲化都有多种方法，应用时，应根据实际情况选择合适的方法，否则将会使综合评价的准确性受到影响。本章就如何选择正向化和无量纲化方法作些讨论。 （一）关于指标正向化方法 对于指标的正向化，在实际应用中许多学者常使用将指标取倒数的方法（苏为华教授称其为“倒数逆变换法”[1]），写成公式为： y ij=C/x ij（1）其中C为正常数，通常取C=1。很明显，用（1）式作为指标的正向化公式时，当原指标值x ij较大时，其值的变动引起变换后指标值的变动较慢；而当原指标
流体力学各无量纲数定义
雷诺数： 对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。这个尺寸一般是根据习惯定义的。比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不同，但是习惯上只用其中一个。对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征尺寸。对于表面流动，通常使用长度。 管内流场 对于在管内的流动,雷诺数定义为: 式中: (ρ 假如雷诺数的体积流率固定，则雷诺数与密度（ρ）、速度的开方（）成正比；与管径（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比 假如雷诺数的质量流率（即是可以稳定流动）固定，则雷诺数与管径（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；与√速度（）成正比；与密度（ρ）无关 平板流 对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离。 流体中的物体 对于流体中的物体的雷诺数,经常用Re p表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。
流体中的球 对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=0.1或者以下。在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。 搅拌槽 对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径。速度是ND,N是转速(周/秒)。雷诺数表达为: 对于流过平板的边界层，实验可以确认，当流过一定长度后,层流变得不稳 定形成湍流。对于不同的尺度和不同的流体，这种不稳定性都会发生。一般 来说，当, 这里x是从平板的前边缘开始的距离,流速是边 界层以外的自由流场速度。 一般管道流雷诺数＜2100为层流(又可称作黏滞流动、线流)状态，大于4000 为湍流(又可称作紊流、扰流)状态，2100～4000为过渡流状态。 层流：流体沿着管轴以平行方向流动，因为流体很平稳，所以可看作层层相 叠，各层间不互相干扰。流体在管内速度分布为抛物体的形状，面向切面的 则是抛物线分布。因为是个别有其方向和速率流动，所以流动摩擦损失较小。 湍流：此则是管内流体流动状态为各分子互相激烈碰撞，非直线流动而是漩 涡状，流动摩擦损失较大。
高中数学方法篇之待定系数法
高中数学方法篇之待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 一、再现性题组： 1.设f(x)＝x 2 ＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. 5 2 , －2 B. － 5 2 ，2 C. 5 2 , 2 D. － 5 2 ，－2 2.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2 , 1 3 )，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为3 2 ，最小值为－ 1 2 ，则y＝－4asin3bx的最小正 周期是_____。 5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6.与双曲线x2－y2 4 ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
