第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数)(t r
具有固定方向的充要条件是)(t r
×
)('t r
= 0 。
分析：一个向量函数)(t r
一般可以写成)(t r
=)(t )(t e
的形式，其中)(t e
为单
位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e
具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e
的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r
具
有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r
=)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）
=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e
求微商得'r =' e + 'e ，于是
r ×'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r
=0 可
与任意方向平行；当
0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2
'e ，
（因为e
具有固定长， e ·'e
= 0） ，所以
'e =0 ，即e
为常向量。所以，)(t r 具
有固定方向。
6．向量函数)(t r
平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n
，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r
的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为
常向量，且)(t r
·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r
）=0 。
反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'
r
0 。若r ×'r =0
，由上
题知)(t r
具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'
r
，则存在数量
函数)(t 、)(t ，使''r = r r
+ 'r ①
令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r
求微商并将①式代入
得'n =r ×''r = （r r ×'r ）=
n ，于是n ×'n =0
，由上题知n 有固定方向，
而)(t r
⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0,
t =0
得
t =0, 'r
(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0 t
={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1
1
1z y x ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r
在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2
000ct bt a t r ，切线为2
3
0020032ct ct z bt bt y a at x ， 法平面为 0)(3)(2)(3
02020
00 ct z ct bt y bt at x a 。 ９．求曲线2232,3a xz y a x 在平面3a
y 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2
23x
a a x x ，曲面与两平面3a y 与y = 9a
的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x
a a
x ，｜'r ｜＝4
4
4441x
a a x ＝
22222x a a x ，所求弧长为a dx x
a a x s a a 9)2(22
322
。
§4 空间曲线
2. 求曲线r r
= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应
t=0 ,
'r
(0)={ t sin +t t cos ,t cos -
t t sin ,t
e
+t t e 0} t ={0,1,1}，
)0(''r
{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，
所以切线方程是
1
10z
y x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2
02110z
y x =0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是 00z y z y x 即112z
y x ；
从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1
11
z
y x 。 7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r
,
⑵ )0)}(3(,3),3({323
a t t a at t t a r 。
解 ⑴
}
,cosh ,sinh {'a t a t a r
，
}
0,sinh ,cosh {''t a t a r
，}
0,cosh ,{sinh '''t t a r
，
}
1,cosh ,sinh {''' t t a r r
，所
以
t a t a t a r r r k 23
23cosh 21)
cosh 2(cosh 2|'||'''| t
a t a a r r r r r 2
2422cosh 21
cosh 2)'''()''','','( 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r ，}1,0,1{6'''},,1,{6'' a r t t a r
，
'r ×''r =}1,2,1{182
22 t t t a ，2
23
22223)1(31
)
1(2227)1(218|
'||'''| t a t a t a r r r k
2
2224232)1(31
)1(2182618)'''()''','','( t a t a a r r r r r 。
8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 3
3t t t r ，⑴求基本向量 ,,；⑵曲率和挠
率；⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴
}4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22 t t t t t t t t t r
，
,cos sin 5|)('|t t t r dt
ds
（设sintcost>0）
， 则}54,sin 53,cos 53{|'|' t t r r ， }0,cos 5
3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ?
， }0,cos ,{sin |
|t t ??
，
}5
3
,sin 54,cos 54{ t t ，
⑵ t t k cos sin 253|| ? ，}0,cos ,sin {cos sin 254
t t t
t ? ，由于? 与
方向相反，所以 t
t cos sin 254
|| ?
⑶ 显然以上所得 ,,,??
k 满足 ??,k ，而
?
}0,sin ,{cos cos sin 51
t t t
t 也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r ＝)(t r
，则曲
线在任意点的切线方程是)(')(t r t r
，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(t r t r ，可见r r ∥'r ，所以r r 具有固定方向，故r r ＝)(t r
是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r ＝)(t r
，则曲线在
任意点的切线方程是)(')(t r t r
，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(t r t r
，于是'r ＝ ''r ，从而'r ×''r ＝0 ，所以由曲率的计算公式知曲率
k ＝０，所以曲线为直线。
方法二：设定点为0r r ，曲线的方程为r r ＝()r s r
，则曲线在任意点的切线方程
是()()r s s r r r ，由条件切线都过定点0r r ，所以0()()r r s s r r r
，两端求导得: ()()s s r
r
r
, 即(1)()0s r
r r
，而(),()s s r r
无关，所以10 ，
可知0,()0s ，因此曲线是直线。
16.若曲线Γ的主法线是曲线 的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为 ,。求证k=0 (2 +2 ) ,其中0 为常数。
证 设Γ的向量表示为r r =)(s r
，则 可表示为 =)(s r +)(s )(s ， 的切向量' = + + （－k
+ ）与 垂直，即' · ＝ ＝０，所以 为常数，
设为0 ，则' ＝（１－0 k ） +0 。再求微商有'' ＝－0 k
＋（１－0 k ）
k
＋0
－0 2
，''
· ＝（１－0 k ）k －0 2 ＝０，所以有
k=0 (2 +2 )。
§1曲面的概念
1.求正螺面r r
={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r
={u 0cos v ,u 0sin v ,bv
}=｛0,0，bv
｝＋u
{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r
={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．
3．求球面r r
=}sin ,sin cos ,sin cos { a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解
r =}cos ,sin sin ,cos sin { a a a ，
r
=}0,cos cos ,sin cos { a a
任意点的切平面方程为00
cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos
a a a a a a z a y a x
即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ； 法线方程为
sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x 。
11.确定螺旋面r r
={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线.
解
}
,cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u
，
uu
r ={0,0,0}，
vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12 u r E ，0 v u r r F
，222b u r G v
， L=0, M=
2
2
b
u b , N=0,曲率线的微分方程为:
00
0012
2222
2 b u b b u du dudv dv ,即du b
u dv 2
2
1 ,积分得两族曲率线方
程:
222122)ln()ln(c u b u v c b u u v 和. 12.求双曲面z=axy 上的曲率线.
解
,1,0,1,,12
2
2
2
2222222y
a x a a M L x a G y x a F y a E
N=0 .
由0
10
112
22222
222
22
2
2
y a x a a x a y x a x a dx dxdy dy =0得222222)1()1(dy x a dx y a ,积
分得两族曲率线为c y a ay x a ax )1ln()1ln(2222.
c v b a v u b a u )ln()ln(222222 .
14.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线.
证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d n
,又沿L 有 ?n =常数,求微
商
得正交与而 r d n d n n n ////,0 ,所以0 n ,即- ·n =0,则有 =0,
或
·n
=0 .
若 =0, 则L 是平面曲线；若
·n
=0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n =0 ，这时d n =0 ，n 为常向量，而当L 是渐近线时， = n
，所以 为常向
量，L 是一平面曲线.
证法二：若
n ，则因n dr r ‖ r ，所以n ‖ ，所以d n ‖ r &
，由伏
雷
内公式知d n ‖（ r r ）而L 是曲率线，所以沿L 有d n ‖ r
，所以有 =0,
从而曲线为平面曲线；
若 不垂直于n ， 则有 ?n =常数,求微商得0,n n r r r &
&因为L 是曲率线，所
以沿L 有dn r ‖dr r ，所以0n r r &，所以0 n ，即- ·n =0 ，若 =0，则问题得证；否则
·n =0 ，则因0n r
r ，有n ‖ ，dn r ‖d r ‖（- ）‖ r
，矛盾。
15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。 16．求正螺面的主曲率。
解 设正螺面的向量表示为r r
={u v cos ,u v sin ,bv}.
解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u
，uu r ={0,0,0}，
vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12 u r E ，0 v u r r F
，222b u r G v
， L= 0, M =
2
2
b
u b , N = 0,代入主曲率公式
（EG-2
F ）2N
-（LG-2FM+EN ）N + LN-2
M = 0 得2N
=2
222
)
(a u a 。 所以主曲率为 2
22221,a
u a
a u a
。
17．确定抛物面z=a(22y x )在（0，0）点的主曲率. 解 曲面方程即
{0,0,2}
yy r a r
，
22{,,()}
r x y a x y r
，
{1,0,2}x r ax r {0,1,2}y r ay r ，{0,0,2}xx r a r
，{0,0,0},xy r r {0,0,2}yy r a r 。在（0，
0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,
N=2a .所以2
N -4a N +42a =0 ，两主曲率分别为 1 = 2 a , 2 = 2 a .
19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由 2221sin cos n 得 2
1
2
tg ,即渐进方向为 211
arctg ,2 =-2
1
arctg .又-2 +1 =21 为常数,所以为1 为常数,即
2
1
为常数. 21. 求双曲面z=axy 在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=
0)
(222
F E
G NE
FM LG , K =2
2
F
EG M LN =-2a . 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证法一： 由H=
2
2
1 =0有1 =
2 =0或1 =-2
0 .
若1 =2 =0,则沿任意方向 , 2221sin cos )( n =0 ,即对于任
意的du:dv , 0222
22
2 Gdv
Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点.
若1 =-2
0,则K=1 2 <0 ,即LN-M 2<0,对应的点为双曲点.
证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若2LN M =0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若2LN M < 0,则曲面上的点是双曲点。
23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.
证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点.
若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.
若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向 满足
2
1
2
tg =1, 即1 = /4,2 =- /4, 两渐近线的夹角为2
,即渐近曲线网构成正交网.
证法二：020
H LG FM NE Q 渐近线方程为
2220Ldu Mdudv Ndv
所以2(
)20du du L M N dv dv ，所以2,du u N du u M
dv v L dv v L
，所以()[()]du u du u
Edu u F du v dv u Gdv v dv v E F G dv v dv v
=2[()]0N M
dv v E
F G L L
，所以渐近网为正交网。 证法三：0M 121
()02
H Q ，所以高斯曲率120K Q ，所
以2LN M 0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若
0M ，则020H LG FM NE Q ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为正交网。
§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。装。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。订。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 . 2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 . 3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 . 4、球面{}θ?θ?θsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→ 的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→ 的自然参数表示式为 . 二、选择题（每小题2分，共20分） 6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ） A 、主方向 B 、共轭方向 C 、高斯曲率 D 、渐近方向 7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ） A 、直线 B 、半立方抛物线 C 、立方抛物线 D 、抛物线 8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ） A 、双曲抛物面 B 、立方抛物线 C 、椭圆抛物面 D 、圆锥面 9、曲线()r r t =r r 在点()P t 处的挠率 （ ） A 、可正可负 B 、一定为负 C 、不可为负 D 、 一定为正 10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ） A 、高斯曲率 B 、曲率 C 、挠率 D 、法曲率 11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( ) A 、a b b -+2 B 、a b b --2 C 、a b b -+2, a b b --2 D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ） A 、u u r r E →→?= B 、v u r r F →→?= C 、v v r r F →→?= D 、uv r n M → →?= 13、曲面(,)r r u v =r r 的曲纹坐标网的微分方程是 （ ） A 、0du dv -= B 、0du dv += C 、0dudv = D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r → 关于t 的旋转速度等于 （ ） A 、)(t r →' B 、)(t r →' C 、)(t r → D 、)(t r → 15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ） A 、切平面 B 、从切平面 C 、密切平面 D 、法面 三、计算题（每小题10分，共20分）
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√） 3、二阶微分方程 22 A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （×） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M 2不是内蕴量。 ( × ) 10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ ) 11、曲线→ r =→ r (s)为一般螺线的充要条件为(r &&ρ,r &&&ρ,....r ρ)=0 （√） 12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√） 13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ ) 18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×） 21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条
微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ， γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为: 一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。 习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， ( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。 微分几何答案 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 § 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲 线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==微分几何试题库
12-13(二)微分几何期末复习题
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(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.
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