1.4 全称量词与存在量词
学习目标
1. 理解全称量词与存在量词的意义．
2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．
3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
学习重点
全称命题和特称命题真假的判定．
学习难点
对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。
二、全称命题与特称命题的否定
1、全称命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：
全称命题p ：?x ∈M ，p(x)，它的否定?p ：_________________ ，全称命题的否定是_____________
2．特称命题的否定
一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p ：?0x M ∈，p 0()x ，它的否定
?p ：_________________
特称命题的否定是_____________
探究一 全称命题与特称命题的判断
例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“?”“?”表达下列命题：
1、对任意角α，都有1cos sin 22=?+?；
2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
3、?x ∈R ，2
x －1＝0
4、所有能被3整除的整数都是奇数
5、有的三角形是等边三角形
6、有一个实数α，tan α无意义
方法归纳：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断
例2、判断下列全称命题或特称命题的真假
1、每个指数函数都是单调函数；
2、任何实数都有算术平方根；
3、?x ∈0π??????，2，sin x ＋cos x ≥2
4、0,00≤∈?x R x
5、
是无理数，}是无理数|{200x x x x ∈? 6、,x ππ???∈????
2， tan x>sin x 方法归纳：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用
例3、写出下列命题的否定，并判断其真假：
1、P ：每一个四边形的四个顶点共圆
2、P ：23,x x N x >∈?
3、P ：有的菱形是正方形
4、p ：?x ∈R ，41
2+-x x ≥0；
组长评价： 教师评价： §1.4全称量词与存在量词 编者：史亚军 学习目标 1. 认识常见的全称量词和存在量词；并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3. 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神． 重点：理解全称量词与存在量词的意义． 难点：全称命题和特称命题真假的判定和含一个量词的否定． 学习过程 使用说明： （1）预习教材P 2 ~ P 8，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） 一．知识链接 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）是整数； （2）； （3）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）任丘一中今年所有高中一年级的学生数学课本都是人民教育出版社A 版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的； （8）对任意一个是整数。 二．新知导学 问题1：什么是全称量词？什么是存在量词？它们如何表示？ 问题2：我们如何对含有全称量词和存在量词的命题进行否定呢？它们的否定形式有何规律？ 问题3：请把下列日常用语，哪些表示全称量词，哪些表示存在量词？ “凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 至多有一个”、“任意一个”、“存在一个”、“有些”、“至少有一个”。 其中： 全称量词的有： 存在量词的有： 问题4：辨别下列命题格式？并给出相应的否定形式？ （1） （2） 探究案（30分钟） 三．新知探究 【知识点一】含有全称量词和存在量词的命题结构与否定 例1：用符号“”与“”表示下列含有量词的命题？并给出相应的否定形式？
3．1全称量词与全称命题 3．2存在量词与特称命题 明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题 在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题 在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词． 含有存在量词的命题，叫作特称命题． 探究点一全称量词与全称命题 思考1 下列语句是命题吗(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系 (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数． 答语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)
的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题． 小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考2 如何判定一个全称命题的真假 答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)．例1 判断下列全称命题的真假： (1)所有的素数是奇数； (2)任意x∈R，x2＋1≥1； (3)对每一个无理数x，x2也是无理数． 解(1)2是素数，但2不是奇数． 所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题． (2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1. 所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数． 所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． 反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立． 跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假： (1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1. (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题． (2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题． (3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题． 探究点二存在量词与特称命题 思考1 下列语句是命题吗(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系 (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3； (4)至少有一个x0∈Z，使x0能被2和3整除． 答(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，
§3全称量词与存在量词 3.1全称量词与全称命题 3.2存在量词与特称命题 课时目标 1.理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题 短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示________或________的含义，这样的词叫作全称量词，含有____________的命题，叫作全称命题． 2．存在量词与特称命题 短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示________或_____的含义，这样的词叫作存在量词，含有______________的命题叫作特称命题． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是() A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是() A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3 3．下列命题不是“存在x0∈R，使x20>3”成立的表述方法的是() A．有一个x0∈R，使x20>3 B．有些x0∈R，使x20>3 C．任选一个x∈R，使x2>3 D．至少有一个x0∈R，使x20>3 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是() A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x20>0 C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x0，使1 x0>2 5．下列命题中全称命题的个数是() ①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列； ④三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 6．给出下列命题： ①存在实数x>1，使x2>1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等；
全称命题与特称命题 课前预习学案 一、预习目标 理解全称量词与存在量词的意义, 并判断全称命题和特称命题的真假 全称命题与特称命题是两类特殊的命题, 也是两类新型命题, 这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念, 二、预习内容 1.全称量词和全称命题的概念： 概念： 短语————, ——————在逻辑中通常叫做全称量词, 用符号————表示。 含有全称量词的命题, 叫做——————。 例如： ⑴对任意n ∈N , 21n +是奇数； ⑵所有的正方形都是矩形。 常见的全称量词还有： “一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等 通常, 将含有变量x 的语句用()p x 、()q x 、()r x 表示, 变量x 的取值范围用M 表示。 全称命题“对M 中任意一个x, 有()p x 成立”。简记为：x M ?∈, ()p x 读作：任意x 属于M, 有()p x 成立。 2．存在量词和特称命题的概念 概念： 短语————, ——————在逻辑中通常叫做存在量词, 用符号——表示。 含有存在量词的命题, 叫做————（————命题）。 例如： ⑴有一个素数不是奇数； ⑵有的平行四边形是菱形。 特称命题“存在M 中的一个x, 使()p x 成立”。简记为：x M ?∈, ()p x 读作：存在一个x 属于M, 使()p x 成立。 3．如果含有一个量词的命题的形式是全称命题, 那么它的否定是————；反之, 如果含有一个量词的命题的形式是存在性命题, 那么它的否定是————。书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词, 从对量词的否定入手, 书写命题的否定 三、提出疑惑 同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表
§3 全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. 2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．
1．全称量词与全称命题 命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题． 2．存在量词与特称命题 命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是( ) A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3 3．下列是全称命题且是真命题的是( )
A ．任意x ∈R ，x 2 >0 B ．任意x ∈Q ，x 2 ∈Q C ．存在x 0∈Z ，x 2 0>1 D ．任意x ，y ∈R ，x 2＋y 2 >0 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x 0，使x 2 0>0 C ．任一无理数的平方必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1 x 0 >2 5．下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x >3； ③对任意一个x ∈Z,2x 2 ＋1为奇数 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．下列命题中，真命题是( ) A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．任意m ∈R 2 二、填空题 7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号) ①存在x ∈R ，x 2 ＝0； ②有的菱形是正方形； ③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数． 8．不等式(a －2)x 2 ＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 9．下列命题中，真命题有__________．(填序号) ①不存在实数x ，使x 2 ＋x ＋1<0； ②对任意实数x ，均有x ＋1>x ； ③方程x 2 －2x ＋3＝0有两个不等的实根； ④不等式x 2－x ＋1 |x |＋1 <0的解集为?. 三、解答题 10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ?基础知识 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”?叫做逻辑联结词． ①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q； ②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q； ③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.? ?“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”. ?“命题的否定”与“否命题”的区别 (1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论． (2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系． (2)命题真值表： 命题真假的判断口诀 p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反. 2．全称量词与存在量词 3. 4．全称命题与特称命题的否定 ?常用结论 含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真?p，q至少一个真?(非p)∧(非q)假． (2)p∨q假?p，q均假?(非p)∧(非q)真． (3)p∧q真?p，q均真?(非p)∨(非q)假． (4)p∧q假?p，q至少一个假?(非p)∨(非q)真． 考点一判断含有逻辑联结词命题的真假 [典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p：?x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∧非q C．非p∧q D．非p∧非q (2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋1 x0>3；命题q：?x∈(2，＋∞)，x 2>2x，则下列 命题为真的是() A．p∧(非q) B．(非p)∧q C．p∧q D．(非p)∨q [解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题． (2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1 x0＝17 4>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，2 4＝42＝16， 即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A. §3全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题 命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题 命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是( ) A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3 3．下列是全称命题且是真命题的是( ) A．任意x∈R，x2>0 B．任意x∈Q，x2∈Q C．存在x0∈Z，x20>1 D．任意x，y∈R，x2＋y2>0 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x20>0 C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x0，使1 x0 >2 5．下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x＋1是整数(x∈R)； ②对所有的x∈R，x>3； ③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数 A．0 B．1 C．2 D．3 6．下列命题中，真命题是( ) A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．任意m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 广东惠州市高二数学《全称量词与特称量词》学案 【学习目标】 了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念， 并能准确使用和理解两类量词。 【重点难点】 重点：理解全称量词、特称量词的概念区别。 难点：正确使用全称命题、特称性命题。 【使用说明及学法指导】 1、阅读课本P21—P23内容，自主高效预习。 2、课前只独立完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，写到我的疑问处。 探究案和训练案留在课中完成。 预习案 一、问题导学 下列语句是命题吗？ （1）3x > （2）21x +是整数 （3）对所有的x R ∈,3x >（4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数 （5）213x += （6）x 能被2和3整除 （7）存在一个0x R ∈，213x += （8）至少有一个0x Z ∈，使0x 能被2和3整除 其中（1）与（3），（2）与（4），（5）与（7），（6）与（8），之间有什么关系？ 二、基础知识梳理 1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词， 并用符号 表示 2. .含有全称量词的命题叫做全称命题 ，对于M 中任意一个x ，使()P x 成立。可用符号表示 3. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做特称量词， 并用符号 表示 4. 含有特称量词的命题叫做特称命题 ，存在M 中一个0x ，使0()P x 成立。可用 三、预习自测 1.下列命题为特称命题的是（ ） A ．偶函数的图像关于 2、判断下列全称命题和特称命题的真假 （1）对每一个无理数x ，2x 也是无理数（2）每个指数函数都是单调函数 （3）存在一个无理数0x ，20x 是无理数 （4）200,10x R x ?∈+≤ 四、我的疑问_____________________________________________________________________________ 探究案 一、 合作探究 例1 ：判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断真假 （1）对所有的x R ∈，3x > （2）有的实数是无限不循环小数 （3）末位是0的整数，可以被2整除（4）对于任意一个x Z ∈,221x +为奇数 （5）至少有一个整数，它即不是合数，也不是素数（6）0不能作除数 例2、若命题:p ,x R ?∈22421ax x a x ++≥-+是真命题，求实数a 的取值范围 二、课堂小结 全称量词、特称量词典型习题 1.2211,D x D x ∈?∈?，，使得()()21x g x f =，等价于函数()x f 在1D 上的值域与函数 ()x g 在2D 上的值域 的交集不空，即. 例1 已知函数()???????≤≤+-≤<+=21 0,1216 112 1 ,13x x x x x x f 和函数 ())0(16sin >+-=a a x a x g π 若存在[]1,0,21∈x x ，使得()()21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是（ C ） ?? ? ??23,21.A B.[)2,1 C.??????2,21 D.??????23,1 2.对2211,D x D x ∈?∈?，使得()()21x g x f =，等价于函数()x f 在1D 上的值域是函数 ()x g 在2D 上的值域的子集，即B A ?. 例2设()()22 3 32>-+-= x x x x x f ，())2,1(>>=x a a x g x .①若()+∞∈?,20x ，使()m x f =0成立，则实数m 的取值范围为＿＿＿; ②若()()+∞∈?+∞∈?,2,,221x x ，使得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围为＿＿＿ 例3已知())(ln R a ax x x f ∈-=，它们的定义域都是(]e ,0，其中是自然对数的底数，.(1)求 的单调区间;(2)若1=a ，且0≠b ，函数()bx bx x g -= 3 3 1，若对任意的()2,11∈x ，总存在()2,12∈x ，使()()21x g x f =，求实数b 的取值范围. 答案：?? ??? ?+∞-???? ? ? -∞-,2ln 23332ln 2 3,. 1.4 全称量词与存在量词 学习目标 1. 理解全称量词与存在量词的意义． 2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定． 3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 学习重点 全称命题和特称命题真假的判定． 学习难点 对含有一个量词的命题进行否定. 知识梳理 一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。 二、全称命题与特称命题的否定 1、全称命题的否定 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论： 全称命题p ：?x ∈M ，p(x)，它的否定?p ：_________________ ，全称命题的否定是_____________ 2．特称命题的否定 一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p ：?0x M ∈，p 0()x ，它的否定 ?p ：_________________ 特称命题的否定是_____________ 探究一 全称命题与特称命题的判断 例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“?”“?”表达下列命题： 1、对任意角α，都有1cos sin 22=?+?； 2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数； 3、?x ∈R ，2 x －1＝0 4、所有能被3整除的整数都是奇数 5、有的三角形是等边三角形 6、有一个实数α，tan α无意义 方法归纳： __________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断 例2、判断下列全称命题或特称命题的真假 1、每个指数函数都是单调函数； 2、任何实数都有算术平方根； 3、?x ∈0π??????，2，sin x ＋cos x ≥2 4、0,00≤∈?x R x 5、 是无理数，}是无理数|{200x x x x ∈? 6、,x ππ???∈???? 2， tan x>sin x 方法归纳： __________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用 例3、写出下列命题的否定，并判断其真假： 1、P ：每一个四边形的四个顶点共圆 2、P ：23,x x N x >∈? 3、P ：有的菱形是正方形 4、p ：?x ∈R ，41 2+-x x ≥0； 全称量词与存在量词-量词 教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。 教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别； 教学难点：正确使用全称命题、存在性命题； 课型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境 在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。 问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。 二、活动尝试 所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。 问题2：下列命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x，都有x2≥0； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n； 上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。 三、师生探究 命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。” 存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。” 1.4.1-1.4.2全称量词和存在量词 一、课程学习目标 1.了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词； 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断此类命题的真假． 二、课本知识梳理 1.命题用到，这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做，用符号表示，含有全称量词的命题，叫做. 通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示. 那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为： 读做“对任意x属于M，有p（x）成立”. 命题用到了，这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做。并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做 特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”． 3.全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等. 三、课前双基自测 1．下列全称命题中真命题的个数是（） ①末位是0的整数，可以被2整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等； A．1 B．2 C．3 D．0 2．下列存在性命题中假命题的个数是（） ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形；A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列命题为特称命题的是（） A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线D．有很多实数不小于3 4．下列命题中为全称命题的是（） A.圆内接三角形中有等腰三角形 B.存在一个实数与它的相反数的和不为0 C.矩形都有外接圆 D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 5.下列全称命题中，真命题是( ) A. 所有的素数是奇数； B. ； C. D. 6.下列特称命题中，假命题是( ) A. B.至少有一个能被2和3整除 C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x2是有理数 课堂练习(四) (建议用时：40分钟) [基础达标练] 一、选择题1．设命题p：存在n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( ) A．任意n∈N，n2>2n B．存在n∈N，n2≤2n C．任意n∈N，n2≤2n D．存在n∈N，n2＝2n C[命题p的否定为：任意n∈N，n2≤2n，故选C.] 2．选出与其他命题不同的命题( ) A．有一个平行四边形是菱形 B．任何一个平行四边形是菱形 C．某些平行四边形是菱形 D．有的平行四边形是菱形 B[B选项为全称命题，其余的为特称命题．] 3．下列命题中为真命题的是( ) A．存在x0∈N，使4x0<－3 B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0 C．对任意x∈R，2x＞x2 D．对任意x∈R，x2＋2＞0 D[当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0.] 4．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0 B．存在实数x0，使sin x0＝π2 C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α D．对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βA[含有存在量词的命题只有A，B， 而sin x0≤1，所以sin x0＝π 2 不成立，故选A.] 5．若命题p：任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－2，2) B[ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对任意x∈R恒成 立，即(a ＋2)x 2 ＋4x ＋(a －1)≥0恒成立． 当a ＋2＝0时，不符合题意． 故有?????a ＋2>0，Δ≤0，即?????a ＋2>0，16－4（a ＋2）（a －1）≤0， 解得a ≥2.] 二、填空题 6．命题“任意x ∈R ，3x 2 －2x ＋1>0”的否定是________． 存在x 0∈R ，3x 20－2x 0＋1≤0 [命题“任意x ∈R ，3x 2－2x ＋1>0”的否定为存在x 0∈R ，3x 20－2x 0＋1≤0.] 7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． ①②③ ④ [①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题．] 8．若命题“存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________． [2，6] [由题意可知，命题“对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，故Δ＝m 2－4(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6.] 三、解答题 9．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)每一个四边形的四个顶点共圆； (4)存在x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3. [解] (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3) 命题的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”. 它为真命题． (4)命题的否定是“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题． 10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5. 姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 9.1 全称量词与存在量词 知识点一、全称量词与全称命题 1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________. 知识点二、存在量词与特称命题 1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示． 2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”. 知识点三、含有一个量词的命题的否定 类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断 例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假． (1)?x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1 x 0－1 ＝0； (3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1. 【自主解答】 (1)是全称命题，因为?x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1 x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为?α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假： (1)?x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)?x ∈(0，π 2 )，cos x ＜1； (3)?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴?x ∈(0，π 2)，cos x ＜1为真命题． (3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝1 3 ?Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5. 所以特称命题“?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题． (4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题. 类型二 含有一个量词的命题的否定 例2、写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0； [基础达标] 1.下列命题为特称命题的是() A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于或等于3 解析：选D.选项D中的命题含有存在量词“存在”||，因此它是特称命题． 2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是() A．每一个二次函数的图像都是开口向上 B．存在一条直线与两个相交平面都垂直 C．存在一个实数x||，使x2－3x＋6＜0 D．对任意c≤0||，若a≤b＋c||，则a≤b 解析：选D.对A当二次项系数小于零时不成立||，A为假命题；B、C均为特称命题．故选D. 3.下列命题中||，真命题是() A．存在m∈R||，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数 B．存在m∈R||，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．对任意m∈R||，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．对任意m∈R||，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 解析：选A.由于当m＝0时||，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数||，故“存在m∈R||，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题． 4.下列命题是假命题的为() A．存在x∈R||，lg e x＝0 B．存在x∈R||，tan x＝x C．任意x∈(0||，π 2)||， 1 tan x ＞cos x D．任意x∈R||，e x＞x＋1 解析：选D.对A||，x＝0时成立||，为真命题；对B||，当x＝0时成立||，为真命题；对 C||，∵x∈(0||，π 2)||，cos x＞0||，0＜sin x＜1||，∴ 1 tan x ＝cos x sin x ＞cos x||，为真命题||，故选D. 5.下列命题： ①存在x＜0||，使|x|＞x； ②对于一切x＜0||，都有|x|＞x； ③已知a n＝2n||，b n＝3n||，对于任意n∈N＋||，都有a n≠b n； ④已知A＝{a|a＝2n}||，B＝{b|b＝3n}||，对于任意n∈N＋||，都有A∩B＝?. 其中||，所有正确的命题为() A．①②B．②③ C．①②③D．①②③④ 解析：选C.命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n＜0||，对于任意n∈N ＋ ||，都有a n＜b n||，即a n≠b n||，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}||，B＝{b|b＝3n}||，如n ＝1||，2||，3时||，A∩B＝{6}||，故为假命题． 全称量词与存在量词 一．课标要求与教材分析： 按课标要求，应通过大量的具体实例来帮助学生理解两类量词（全称量词和存在量词）的含义，并学会正确使用，避免形式化的记忆。要以学生已学过的数学内容为载体，帮助学生正确使用这两类量词，加深对已学过的数学知识之间的逻辑联系和数学本质的认识。课标只要求理解和掌握含有一个量词的命题，对于全称命题和特称命题的否定，安排在命题的否定内容之前，只要求对含有一个量词的命题进行否定，同样侧重通过实例理解它们的含义，不追求形式化的表达。教材中用“所有的奇数都是素数”和“数列1,2,3,4,5的每一项都是偶数”作为引入例题，对命题进行否定，通过直观分析，学生容易得到全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，并通过实例让学生体会要说明一个全称命题是错误的，只需找一个反例即可；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质。 二．学情分析： 由于刚接触选修2-1，,大部分学生学习的热情很浓，并且大多数学生的基础比较扎实。初中和高中必修一到必修五的全部内容为本部分的学习奠定了基础。一些常见的数学思想，如类比的思想，转化的思想在各个模块均有所渗透，这些都为学习全称量词和 和，以及对一些词特称量词提供了有力的保障。但学生在学习某些数学符号，比如?? 语否定的理解中，比如至少有一个的否定，都是的否定等，会存在一些困难，原因主要是它们的抽象性、概括性和复杂性。 三．教学目标： 1.知识与技能： （1）通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词和存在量词的意义。 （2）学生能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2.过程与方法： 在使用量词的过程中加深对以往所学知识的理解，并通过对所学知识的梳理，构建新的理解。 3.情感、态度与价值观： 通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流。 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 课时目标 1.理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假． 1．全称量词与全称命题 短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示________或________的含义，这样的词叫作全称量词，含有____________的命题，叫作全称命题． 2．存在量词与特称命题 短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示________或_____的含义，这样的词叫作存在量词，含有______________的命题叫作特称命题． 一、选择题 1．下列语句不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小 2．下列命题是特称命题的是( ) A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3 3．下列命题不是“存在x0∈R，使x20>3”成立的表述方法的是( ) A．有一个x0∈R，使x20>3 B．有些x0∈R，使x20>3 C．任选一个x∈R，使x2>3 D．至少有一个x0∈R，使x20>3 4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x20>0 C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x0，使1 x0 >2 5．下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列； ④三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 6．给出下列命题： ①存在实数x>1，使x2>1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 1．4全称量词与存在量词 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．3.简单的逻辑连接词,全称量词和特称量词
1.3.1 全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题
广东惠州市高二数学《全称量词与特称量词》学案
全称量词和特称量词典型试题
全称量词与特称量词
高中数学全称量词与存在量词-量词
1.4.1-2全称命题与特称命题1(含答案)
北师大版高中数学选修2-1课堂训练全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定
全称量词与存在量词(有答案)
数学北师大版选修1-1 第一章3.2 存在量词与特称命题 作业1
全称命题与特称命题教学设计
高中数学第一章常用逻辑用语3.3.2全称量词与全称命题存在量词与特称命题课时作业北师大版选修2
1.4全称量词与存在量词经典教案(经典练习及答案详解)
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