教学内容二次函数的应用
教学目标掌握二次函数的应用
重点最值问题
难点利润问题
教学准备纸、笔
教学过程
类型一：最大面积问题
例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？
变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？
变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．
（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
类型三:实际抛物线问题
例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。
4米，水位上升3米变式练习3：如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽6
4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上就达到警戒水位线CD，这时水面宽3
升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
变式训练4：如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
课后练习：
一，利润问题：
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
3. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图该抛物线的解析式为。
(第5题)
解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。 2 2(3) W= - x +34x +8000= - (x -170) +10890， ∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时， （ （ 函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项 式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 一般式化为定点式） 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起 来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在 注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 1 10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2 +34x +8000； 10 10 1 1 10 10 当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160， 1 10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。 2． 本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件 商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
个性化辅导教育 新启点教育学科辅导讲义 年级：姓名：辅导科目： 授课内容 教学内容
个性化辅导教育 二次函数应用题分类 二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法 对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。 例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表： x （十万元） 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … （1）求y 与x 的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 二、分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。 例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。 （1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形 式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价 定为多少元时日均获得最多，是多少？ a 4 b a c 4)a 2b x (a y 2 2-+ +=
二次函数应用题 题型一面积问题 1星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30 米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为兀米. （1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与无之间的函数关系式及其自变量兀的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于能平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围. 1BX 2某学校要在I韦I墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠I韦I墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.己知木栏总长为120米, 设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米. （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量X的収值范围）.当x为何值时，S収得最值（请指出是最大值还是最小值）?并求出这个最值； （2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为0、 和q ,且0\到AB. BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习.当⑴中S収得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由. B ------------------------------ C ° F G
题型二利润问题 1利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降加元.在不考虑其他因素的条件下，当加定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 信息仁甲、乙两种商品的进货单价之和是5元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元， 乙商品零售单价比进货单价的2倍少 c 1元. 2 ,2015年长江屮下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买I型、II型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. (1)分别求出％和乃的函数解析式； (2)有一农户同时对I型、II型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最人补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最人补贴金额. I型设备11型设备 型号 金额 投资金额x(万元) X5X24 补贴金额y (万元) yi=kx(k^0)2y2=ax2+bx(a^0) 2.4 3.2
二次函数应用题 一、选择题 1．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s 2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( ) A．5元B．10元C．0元D．3600元 3．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为 ，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( ) A．10m B．20m C．30m D．60m 4．由表格中信息可知，若设，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( ) x -1 0 1 1 8 3 A．B． C．D． 5．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(米)与时间t(秒)间的关系式为 ，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( ) A．24米B．12米C．米D．6米
6．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( ) A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为，则该企业一 年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月 8．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( ) A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大 二、填空题 9．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN
二次函数 基础分类练习题 练习一 二次函数 1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数 据如下表： 时间t （秒）1234…距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、下列函数：① ；② ；③ ；④ ； y = ()21y x x x =-+()224y x x x =+-2 1 y x x = +⑤ ，其中是二次函数的是 ，其中 ， ， ()1y x x =-a =b =c =3、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数 m ()2 235y m x x =-+-m x 4、当时，函数是关于的二次函数 ____m =()2 221m m y m m x --= +x 5、当时，函数+3x 是关于的二次函数 ____m =()256 4m m y m x -+=-x 6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. m 12 -=x y 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. ),0(2 ≠+=a c ax y 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1）如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关 系？ （2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧 墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
二次函数的应用 一、顶点坐标公式的应用（基本题型） 1、某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间．市场调查发现：若每箱50 元销售，平均每天可销售90 箱，价格每降低1 元，平均每天多销售3 箱；价格每升高1 元，平均每天少销售3 箱． （1）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式（注明自变量x 的取值范围）； （2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润 b 24a c b 2 =售价－进价）；（3）请把（2）中所求出的二次函数配方成y a（x ）2的形式，并指出当x=40、70 时， 2a 4a W 的值．（4）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？ 练习：2、我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30 元/千克收购了这种野生菌1000 千克存 放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310 元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160 天，同时，平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售． （1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式． （2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？ （利润＝销售总额－收购成本－各种费用） 练习3、汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25 万元，市场调研表明：当销售价为29 万元时，平均每周能售 出8 辆，而当销售价每降低0.5 万元时，平均每周能多售出4 辆．如果设每．辆．汽车降价x 万元，每辆汽车的销售．利．润．为y 万元．（销售利润销售价进货价） （1）求y 与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；（3 分） （2）假设这种汽车平均每周．．的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；（3分） （3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？（ 4 分） 练习4、某集团将下设的内部小型车场改为对外开放的收费停车场。试运营发现：每辆次小车的停车费不超过 5 元时，每天来此处停放的小车为1440 辆次，超过 5 元时，每涨 1 元，每天来此处停放的小车就减少120 辆次，而此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800 元。为便天结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y （元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收不低于2512 元。（日净收入=每天共收取的停车费-每天的固定支出） （1）当x≤5时，写出y 与x 之间的关系式。并说明每辆次小车的停车费最少不低于多少元；（2）当x>5时，写出y 与x 之间的函数关系式（不必写出x 的取值范围）； （3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次校多，又要有较大的日净收入。按此要求，每辆次小车的停
围墙 A 09 D 二次函数应用题 题型一面积问题 1星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园. 其中一边靠墙，另外三边用长为30 米的篱笆围成.已知墙长为 18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米. （1） 若平行于墙的一边的长为 y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取 值范围； （2） 垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3） 当这个苗圃园的面积不小于 88平方米时，试结合函数图像，直接写出 x 的取值范围. 2某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙 （墙的长度不 限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD ?已知木栏总长为120米， 设AB 边的长为x 米，长方形 ABCD 的面积为S 平方米. （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）.当x 为何值时，S 取 得最值 （请指出是最大值还是最小值 ）?并求出这个最值； ⑵学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆， 其圆心分别为 01和02，且01到AB 、BC 、AD 的距离与02到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗 圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习?当 （I ）中 S 取得最大值时，请问这个设计是否可行 ？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由. B -----------------------C 围墙 _i I _i
题型二利润问题 1利民商店经销甲、乙两种商品?现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题： (1 )甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商 品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利 润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是5元; 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元， 乙商品零售单价比进货单价的2倍少 1元. 2 ,2015年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买I型、n型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. (1 )分别求出y1和y2的函数解析式； (2 )有一农户同时对I型、n型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最 大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额 型号 金额 I型设备n型设备 投资金额x(万元) x5x24 补贴金额y (万元) y1=kx(k 工 0)2y2=ax +bx(a 丰 0) 2.4 3.2 3?利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售
二次函数基础分类练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据 如下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1 y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2 235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数2 2 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2 56 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12 -=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2 . 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.
二次函数应用题 1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙 另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所 示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积 为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的 取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠），当2b x a =-时，244ac b y a -=最大(小)值) 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表： 月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.164） 5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．
二次函数应用题 题型一 面积问题 1星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米． （1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值围． 2某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设A B 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米． (1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值； (2)学校计划将苗圃药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为 1O 和2O ，且1O 到AB 、BC 、AD 的距离与2O 到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃 药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
题型二 利润问题 1利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元? （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 2 ,2015年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. （1）分别求出1y 和2y 的函数解析式； （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最
九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.
件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
二次函数应用题 题型一 面积问题 1星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米． （1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值围． 2某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设A B 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米． (1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值； (2)学校计划将苗圃药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为 1O 和2O ，且1O 到AB 、BC 、AD 的距离与2O 到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗 圃药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由． O 2 O 1 围墙 D A B C O 2 O 1 围墙D A B C E F H I J
题型二 利润问题 1利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息: 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元? （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是 多少？ 2 ,2015年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. （1）分别求出1y 和2y 的函数解析式； （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
中考数学二次函数应用题分类汇编 列方程(组)解应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程(组)解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系，如“多”、“少”、“增加”、“减少”、“快”、“慢”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才能做到． 解应用题的一般步骤： 解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答”． 1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意． 2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)． 3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程． 4、“解”就是解方程，求出未知数的值． 5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义． 6、“答”就是写出答案(包括单位名称)． 应用题类型： 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等． 几种常见类型和等量关系如下： 1、行程问题： s ． 基本量之间的关系：路程=速度×时间，即：vt 常见等量关系： (1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程． (2)追及问题(设甲速度快)： ①同时不同地： 甲用的时间＝乙用的时间； 甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程． ②同地不同时： 甲用的时间＝乙用的时间－时间差； 甲走的路程＝乙走的路程． 2、工程问题： 基本量之间的关系：工作量=工作效率×工作时间． 常见等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量． 3、增长率问题： 基本量之间的关系：现产量=原产量×(1+增长率)． 4、百分比浓度问题： 基本量之间的关系：溶质=溶液×浓度． 5、水中航行问题： 基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度； 逆流速度＝船在静水中速度－水流速度． 6、市场经济问题： 基本量之间的关系：商品利润=售价－进价； 商品利润率=利润÷进价； 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金+本金×利率×期数．
二次函数典型应用题Revised on November 25, 2020
新启点教育学科辅导讲义 年级：姓名：辅导科目： 授课内容 教学内容 二次函数应用题分类 二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法 对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。 例1．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表： x（十万 0 1 2 … 元） y 1 … （1）求y与x的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大 二、分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。 例2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。 物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千 克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天 时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。 （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成
九年级数学二次函数应用题 （一） 一、单选题(共5道，每道20分) 1.在一次商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的方法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 2.（上接第1题）（2）每件售价定为______元，才能使一天所得的利润最大，最大利润是____元．( ) A.10，32 B.11，36 C.48.5，410 D.9，180 3.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3 000元，已知绿茶每千克的成本为50元，在第一个月的试销时间内发现，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体变化规律如下表所示： （1）根据上表分析，w与x之间的函数关系式为( ) A. B. C. D. 4.（上接第3题）（2）设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=售价×销售量-成本-投资），则y与x之间的函数关系式为_______，当x=_______时，y的值最大，最大值为_________．( ) A. B.
C. D. 5.（上接第3，4题）（3）若在第一个月里，按使销售利润最大的销售单价进行销售，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元/千克，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700元，那么第二个月里应该确定销售单价为( )元． A.85 B.75 C.75或95 D.95 学生做题前请先回答以下问题 问题1：实际问题应用题的处理思路： 1．理解题意，梳理信息 梳理信息时需要借助_________________． 实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长，确定___________，求出抛物线解析式． 最值问题要确定__________及___________． 2．建立数学模型 常见数学模型有方程、不等式、函数． 3．求解验证，回归实际 求解通常借助二次函数的图象和性质； 结果验证要考虑是否符合________及自变量_______要求． 二次函数应用题（二） 一、单选题(共4道，每道25分) 1.有一座抛物线型拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，建立如图所示的平面直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过( )米时，就会影响过往船只的顺利航行． A.2.76米 B.6.76米 C.6米 D.7米 2.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，
初中数学试卷 桑水出品 二次函数应用题分类解析 二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法 对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。 例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表： （1）求y 与x 的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关 系式为 1x 53 x 101y 2++= （2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2 ++-= （3）由（2） 465 )25x (10x 5x S 22+ --=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。 二、分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进 行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。 （1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范 围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成 a 4 b a c 4)a 2b x (a y 2 2-+ +=的形式，写出顶点坐标； 在图2所示 的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪 一种获总利较多，多多少？ 析解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得 6500x 260x 2500)]x 70(260)[30x (y 2-+-=--+-=（30≤x ≤70）。 （2）1950)65x (26500)x 130x (2y 2 2+--=---=。顶点坐标为（65，1950），草图略， 当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。 （3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。 三、建模型 即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。 例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm ，抛物线顶点处到边MN 的距离是4dm ，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形 铁皮的周长能否等于8dm ？ 析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN 所在的直线为x 轴，点M 为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点 为P ，则M （0，0），N （4，0），P （2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为 x 4x y 2 +-=。 设A 点坐标为（x ，y ），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y 。于是2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 2AB 2l 2++-=-+=+= 8x 12x 2)4x 2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 222-+-=-++-=-+=+。且x 的取值范围是0
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