2015届高三第一次月考 数学卷(理)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.)
1.设全集为R ,集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤,则)(B C A R ?= ( ). A.(3,0)- B.(3,1]-- C.(3,1)-- D.(3,3)- 2.已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为( ) A .()3,1--
B .10,2??
???
C .()-1,0
D .1,12?? ???
3.已知函数)(x f 是奇函数,当0>x 时,)10()(≠>=a a a x f x 且 , 且
3)4(log 5.0-=f ,则a 的值为( )
A. 3
B. 3
C. 9
D.
2
3 4.已知命题p :关于x 的函数234y x ax =-+在[1,+∞)上是增函数,命题q :关于x 的函数(21)x y a =-在R 上为减函数,若p 且q 为真命题,则a 的取值范围是( )
A. a ≤23
B.1
2
o a << C.12a <≤23 D. 112a <<
5.若存在正数x 使2x (x -m)<1成立,则m 的取值范围是( )
A .(-∞,+∞)
B .(-2,+∞)
C .(0,+∞)
D .(-1,+∞)
6.为了得到函数x y )3
1
(3?=的图象,可以把函数x y )31(=的图象( )
A .向左平移3个单位长度
B .向右平移3个单位长度
C .向左平移1个单位长度
D .向右平移1个单位长度 7. 今有一组实验数据如下表所示::
则最佳体
现这些数据关系的函数模型是( ) A. 2log u t = B. 1
1
2
2t u -=- C. 212
t u -= D. 22u t =-
8.函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a < C .0a ≥ D .0a ≤
9.当0a >时,函数2()()x f x x ax e =-的图象大致是( )
10.定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ,且对任意R x ∈都有2
1
)(<
'x f ,则不等式2
1
)(22
+>x x f 的解集为( )
A.(1,2)
B.(0,1)
C.),1(+∞
D.(-1,1)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷中相应
的横线上.)
11.函数212
()log (231)f x x x =-+的增区间是____________.
12. 已知命题p :|3
1
1-+x |≤ 2;命题)0(012:22>≤-++m m x x q 。若p ?是q ?
的必要而不充分条件,则实数m 的取值范围为________
13 .函数()12
2log 1x f x x =-的零点个数为________
14.已知函数32
,2
()(1),2x f x x x x ?≥?=??-
若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根,
则实数k 的取值范围是________.
15.给出下列四个命题
①命题"0cos ,">∈?x R x 的否定是"0cos ,"≤∈?x R x ;
②函数)10(1
1
)(≠>+-=a a a a x f x
x 且在R 上单调递减; ③设)(x f 是R 上的任意函数, 则)(x f |)(x f -| 是奇函数,)(x f +)(x f -是偶函数; ④定义在R 上的函数()x f 对于任意x 的都有4
(2)()
f x f x -=-
,则()x f 为周期函数; ⑤命题p:x R ?∈,2lg x x ->;命题q :x R ?∈,20x >。则命题()p q ∧?是真命题;
其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)。
三、解答题(共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16、(本题满分12分)已知:集合2{|230}A x x x =--<,11
{|
28}2
x B x -=<<, 22{|20}C x x mx m =+-<(m R ∈)。 (1)求: A B ;
(2)若()A B C ?,求:实数m 的取值范围。
17.(12分)已知:)()(2R m m x x x f ∈+-=且m a f =)(log 2,2)(log 2=a f ,1≠a , (1)求,a m 的值;
(2)求:)(log 2x f 的最小值及对应的x 值;
18.(12分)函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且对任意实数x ,都有)1()1(-=+x f x f
成立.已知当]2,1[∈x 时,x x f a log )(=.
(1)求]1,1[-∈x 时,函数)(x f 的表达式;
(2)若函数()f x 的最大值为12,在区间[1,3]-上,解关于x 的不等式1()4
f x >.
19. (12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件..
,需另投入
成本为A ,当年产量不足80千件时,x x x C 103
1)(2
+=(万元).当年产量不小于80千件时,145010000
51)(-+
=x
x x C (万元).每件..商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(Ⅰ)写出年利润)(x L (万元)关于年产量x (千件..)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件..时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
20 (13分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈. (1)设0a ≥,求)(x f 的单调区间;
(2) 设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小.
21.(14分)已知函数()ln(1)(x f x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数,函
数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数. (Ⅰ)求实数a 的值;
(Ⅱ)若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立,求实数t 的最大值; (Ⅲ)若关于x 的方程
2ln 2()
x
x ex m f x =-+有且只有一个实数根,求m 的值.
理科数学答案
1-5:BAACB 6-10:CDABD
11.)2
1
,(-∞ 12.
[-1,6] 13.(0,1) 14.(- ∞ ,-10] 151 16.(1)5;(2)7>m 或2-
18.解:(1),函数()f x 的极小值点为2x =,极小值为(2)0f =;极大值点为0x =,极大值为(0)4f =
(2)当0a =时,3()4f x x =+是R 上的增函数,
在区间[0,)+∞上的最小值为(0)4f =。 当0a >时,()3(2)f x x x a '=-。 在区间(0,2)a 上()0,()f x f x '<是减函数,在区间(2,)a +∞上()0f x '>,()f x 是增函数。
所以,在区间[0,)
+∞上()f x 的最小值为(2)f a ,
333
(2)8124
44f a a a a =-+
=-。 综上,函数()f x 在区间[0,)+∞上
的最小值为344a -。
19.【答案】(1)500(2)05a <≤
20.解:(1)当1=a 时,1
()ln ,()(0)-'=-=>x f x x x f x x x
, 2分 故曲线()=y f x 在2=x 处切线的斜率为1
2
。 4分 (2)11()(0)-'=-
=>ax f x a x x x
。 6分 ①当0≤a 时,由于0>x ,故10,()0'-< ②当0>a 时,由()0'=f x ,得1 = x a 。 在区间1(0,)a 上,()0' (,)+∞a 上,()0'>f x 。 所以,函数()f x 的单调递减区间为1(0,)a ,单调递增区间为1 (,)+∞a 。 综上,当0≤a 时,()f x 的单调递减区间为(0,)+∞;当0>a 时,函数()f x 的单 调递减区间为1(0,)a ,单调递增区间为1 (,)+∞a 。 (3)根据(2)得到的结论,当 1>e a ,即1