问题11含参数的线性规划与非线性规划问题性
一、考情分析
线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值． 二、经验分享
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．
(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.
(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z 的几何意义确定最优解,切忌搞错符号． 三、知识拓展
常见代数式的几何意义：
①x 2＋y 2表示点(x ,y )与原点(0,0)的距离,
x －a
2
＋y －b
2
表示点(x ,y )与点(a ,b )的距离；
②y x 表示点(x ,y )与原点(0,0)连线的斜率,y －b
x －a 表示点(x ,y )与点(a ,b )连线的斜率．
四、题型分析
类型一 目标函数中含参数
若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值． 1．目标函数中x 的系数为参数
【例1】x ，y 满足约束条件，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为
_______________. 【答案】2或1-
【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线
或
的斜率相等，∴2a =或1-．
【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．
【牛刀小试】已知,x y 满足约束条件0
20x y x y y -≥??
+≤??≥?
，若z ax y =+的最大值为4，则a =___________.
【答案】2
【解析】将z ax y =+化为z ax y +-=，作出可行域（如图所示），当0≤a 时，当直线z ax y +-=向右下方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 减少，当直线z ax y +-=过原点时，0max =z （舍）；当
0>a 时，当直线z ax y +-=向右上方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 增大，若01<-≤-a ，
即10≤ >a 时，则当直线z ax y +-=过点)0,2(A 时， ，解得2=a ． 【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a -的符号，还要讨论斜率a -与边界直线斜率1-的大小关系. 2．目标函数中y 的系数为参数 【例2】已知变量,x y 满足约束条件 若目标函数的最大值为1，则 a = ． 【答案】3． 【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4，1）点是取得最大值，∴141a =-?，∴3a =． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数 【例3】设x ，y 满足约束条件2 21x x y y x ≥?? -≥??≥? ，若目标函数 的最小值为2，则ab 的 最大值为 ． 【答案】 4 1． 【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得 ，要目标函数 的最小值为2，∴222=+b a ，即1==b a ，∴ ，当且仅当 2 1 = =b a 等号成立．故ab 的最大值为41． 【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一 般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可． 【牛刀小试】设x y ，满足约束条件 ，若目标函数的最大值为12， 则 b a 3 2+的最小值为______________. 【答案】 6 25 【解析】作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点()4,6A 取得最大值12，即 ，亦即236a b +=，所以 ＝ ，当且仅当 b a a b =，即6 5 a b ==时等号成立． 【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知 ax by m +=﹙ ﹚求 的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c d m x y +（ax by +)，展开后利用基本不等式求解． 4．目标函数为非线性函数且含有参数 【例4】设不等式组?? ? ??≥-≥-≤+01,0, 4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆 ()0>r 不经过区域 D 上的点，则r 的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】不等式对应的区域为ABE ?．圆心为(1,1)--，区域中A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大， ∴要使圆不经过区域D ，则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =?? =?得1 1x y =??=? ，即(1,1)A ．由14x y x =??=-+?， 得1 3 x y =?? =?，即(1,3)B ．∴22AC =，25BC =，∴022r <<或25r >，即r 的取值范围是 ． 【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型： ，可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方，即 ；也可看成是以(),Q a b 为圆心，z 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共 点的问题． 【牛刀小试】设二元一次不等式组 所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠ 1) 的图象过区域M 的a 的取值范围是___________. 【答案】[2，9] 【解析】平面区域M 如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B 、C 两点的图象之间，当图象过B 点时，，当图象过C 点时， ，所以 ，故的取值范 围是 ． 【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数 表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。 类型二 约束条件中含参数 由于约束条件中存在参数，∴可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值． 【例5】已知,x y 满足2y x x y x a ≥?? +≤??≥? ，若3z x y =+的最大值为M ，最小值为m ，且0M m +=，则实数a 的 值为_____________． 【答案】1- 【解析】 试题分析:画出不等式组2y x x y x a ≥?? +≤??≥? 表示的区域如图,结合图形可以看出当动直线z x y +-=3经过点 ),(a a A 和)1,1(B 时,y x z +=3分别取最小值a m 4=和最大值4=m ,由题设可得044=+a ,所以 1-=a ,故应填答案1-. 【点评】约束条件中含有参数时：（1）要对可行域的各种可能情况作出判断，特别注意特殊的线与点；（2）依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3）求出参数． 【牛刀小试】已知约束条件 表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为 . 【答案】1 【解析】 试题分析：由图得 （舍）． 类型三 目标函数及约束条件中均含参数 【例6】设,1>m 在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值大于2，则m 的取值范围为 _____________. 【答案】() +∞+,21 【解析】把目标函数转化为 ，表示是斜率为m 1- ，截距为m z 的平行直线系，当截距最大时，z 最大，当过点 时，截距最大 ，解之得21+>m ． 【牛刀小试】设x ，y 满足约束条件, 1, x y a x y +≥??-≤-?且z x ay =+的最小值为7，则a =_____________. 【答案】3 【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为： ，又由题中 z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值： ，则，解得： 3a =；当0a <时，z 无最小值．故选B 五、迁移运用 1,【2019年3月2019届高三第一次全国大联考（江苏卷)】已知点 满足不等式，设 ，则的最小值与最大值之和等于________． A B C 【答案】 【解析】作出不等式所表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界），则点为正方形及其内部的动点． 由题意得的几何意义为动点到定点距离的平方． 过作于，由图知为的中点，而点到直线：的距离，故；又，由图分析可知， 故． 故答案为：． 2.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间内，则公差d的取值范围是__． 【答案】 【解析】设落在内的最小项为，则有，，，同时成立，即有nd>，（n-1）d，（n+5）d<9，（n+6）d同时成立，所以d>0，有n>，n-1，n+5<，n+6，令=y，n=x，则有（x），画出可行域如图： 可行域是一个平行四边形内部及部分边界线，A(1,1)，C（），所以1 3.【江苏省常州市2019届高三上学期期中教学质量调研】设不等式组表示的平面区域为D， 是区域D上任意一点，则的最大值与最小值之和是______． 【答案】 【解析】 做出不等式组表示的平面区域，如图， 的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离， 由图可知，的最小值为原点到直线的距离， 为， 由，解得 的最大值为． 则的最大值与最小值之和． 故答案为． 4.【江苏省徐州市2019届高三第一学期期中】已知满足，则的最大值为_________． 【答案】1 【解析】画出可行域如图: 因为k的几何意义为点到定点的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中，此时 ，故填1. 5.【江苏省南通市2018届高三最后一卷】已知实数满足，且恒 成立，则实数的最小值是__________． 【答案】. 【解析】 画出表示的可行域，如图， 直线过定点， 若恒成立，可行域在直线下面， 当直线过时，有最小值， 最小值为，故答案为. 6．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一】已知关于实数，的不等式组，构成的平面区域 为，若，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】作出不等式组的可行域如图所示 表示可行域内一点与之间的距离的平方和 点到直线的距离为 故 故实数的取值范围是 7．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟】若实数满足,则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 由实数x，y满足作出可行域如图， 联立，解得A（1，2）． 的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴k OA=2． 由解得B（）.∴k OB=． ∴则的取值范围是[，2]． 故答案为：[，2] 8．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一】已知关于实数，的不等式组，构成的平面区域 为，若，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】作出不等式组的可行域如图所示 表示可行域内一点与之间的距离的平方和 点到直线的距离为 故 故实数的取值范围是 9．【江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末调研测试高三】若实数，满足，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内的点连线距离的平方，据此可得，目标函数取得最大值时经过点，其最大值为：， 考查坐标原点到直线的距离：可得目标函数的最小值为 . 综上可得 的取值范围是 . 10．【江苏省如东高级中学2018届高三上学期期中】函数2log y x =图象上存在点(),x y ，满足约束条件 ，则实数m 的最大值为__________． 【答案】1 【解析】由题知x>0，且满足约束条件的图象为 由图可知当2log y x =与3x y =-交于点B(2,1)，当直线y m =过B 点时，m 取得最大值为1. 11．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】若不等式组所表示的平面区域被直线 4y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为________ 【答案】7 2 - 【解析】不等式组 所表示的平面区域为三角形ABC ． 由 故点，点()0,2A 又因为平面区域被直线4y kx =+分为面积相等的两部分，且4y kx =+过定点()0,4 由此可得点A 与点C 到直线4y kx =+的距离相等，即解得72 k =- 或1 2 k = （舍） 即答案为72 - 12．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】若变量,x y 满足 ，且2x y a +≥恒成 立，则a 的最大值为______________. 【答案】4- 【解析】 所以过()0,2-时， 2x y +的最小值为-4，所以a 的最大值为-4. 13．【江苏省横林高级中学2018届高三】已知,x y 满足不等式组 ，则 的最小值为_____ . 【答案】2 【解析】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数 表示可行域内一点到点()1,1-的距离的平方，根据图象可以看出，点()1,1-到可行域内一点距离的最小值为点()1,1-到直线0x y -=的距离，，则22d =，则 的最小值 为2. 14. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数x 、y 满足 若不等式 恒成立，则实数a 的最小值是 ． 【答案】 9 5 【解析】 试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，因此, 因为 y x x y +在[2,4]上单调递增，所以，不等式恒成立等价于 15．设点（,a b ）是区域 内的随机点，函数 在区间[1,+∞）上是增函 数的概率为_____________. 【答案】 13 【解析】表示的区域的面积为．函数 在区间[1,+∞） 上是增函数，则，∴概率． 16．若实数,x y 满足 其中0k >，若使得 1 y x +取得最小值的解(),x y 有无穷多个，则k 等于_____________. 【答案】2 【解析】表达式 1 y x +可看成是定点()0,1Q -与动点(),P x y 连线斜率（P 点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线 过定点()2,0，为使满足题意的P 点有无穷多个，此时直线应过()0,1Q -，从而 17．变量,x y 满足约束条件，若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值 集合是________________. 【答案】{3,1}- 【解析】作出不等式组 表示的区域如下图所示．由z ax y =+得：y ax z =-+．当0a ->时， 平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，1a =-时，线段AC 上的所有点都是最优解；当0a -<时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当3a =时，线段BC 上的所有点都是最优解． 18．设关于x ，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的 取值范围是________________. 【答案】2,3??-∞- ??? 【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，即该平面区域和直线 22x y -=有交点，而直线, x m y m =-??=?的交点(),m m -在直线y x =-上移动，由 得交点坐标 为22,33?? - ??? ，当23m ->即23m <-时，才会交点． 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 线性含参经典小题 1.已知0>a ，y x ,满足约束条件，()?? ? ??-≥≤+≥.3,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则=a （） A.41 B.2 1 C.1 D.2 2.已知变量y x ,满足约束条件，?? ? ??≤-≤+-≥+-.01,033,032y y x y x 若目标函数ax y z -=仅在点()03， -处取得最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A. (3，5) B.(∞+， 21) C.(-1，2) D.(13 1，) 3.若y x ,满足?? ? ??≤--≥-≥+.22,1, 1y x y x y x 且y ax z 2+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ） A.（-1,2） B.（-2,4） C.（-4,0） D.（-4,2） 4.若直线x y 2=上存在()y x ,满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+.,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值为（ ） A.-1 B.1 C.2 3 D.2 5.若不等式组? ??? ??? ≤+≥≤+≥-a y x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.34≤a B.10≤ 7.设1>m ，在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值 范围为（） A.()211+， B.()+∞+,21 C.(1，3) D.()∞+，3 8.已知,x y 满足约束条件10, 230,x y x y --≤?? --≥? 当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下 取到最小值22a b +的最小值为（ ） A 、5 B 、4 C D 、2 9.y x ,满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+0220220 2y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的 值为 A,12 1 -或 B.2 12或 C.2或1 D.12-或 10、当实数x ，y 满足?? ? ??≥≤--≤-+.1,01,042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ________. 11.已知a>0,x,y 满足约束条件()1 33x x y y a x ?≥?+≤??≥-? 若z=2x+y 的最小值为1,则a= A.14 B. 1 2 C.1 D.2 12.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>?? +? 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－ 2y 0=2，求得m 的取值范围是（ ） A.4,3??-∞- ??? B. 1,3??-∞ ??? C. 2,3? ?-∞- ??? D. 5,3? ?-∞- ??? 线性规划题型三线性规划中的求参数取值或取 值范围问题 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 线性规划题型三 线性规划中的求参数取值或取值范围问题 一．已知含参数约束条件，求约束条件中参数的取值范围。 例1、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含 点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 例2.已知：不等式9)2(2<+-m y x 表示的平面区域包含点（0,0）和点（－1,1）则m 的取值范围是（） A(－3,6)B.(0,6)C(0,3)D(－3,3) 二．已知含参约束条件及目标函数的最优解，求约束条件中的参数取值问题 2.12，则实数k 的值为． 二.值或范围. 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? 使z=x+ay(a>0)则a 的值（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 变式、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≥??≤?使z=x+ay(a>0)则a 的值（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 若使z=x+ay(a<0)若使z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则例2.已知：x 、y 满足约束条件?? ? ??≤-≤+-≥+-0 1033032y y x y x （-3,0）处取得最大值，求实数a 的取值范围.直线ax+by+c=0(a>0) b>0直线的斜率小于零,直线由左至右呈上升趋势 b<0直线的斜率大于零,直线由左至右呈下降趋势 若直线ax+by+c=0(a>0)则在ax+by+c=0(a>0)使ax 0+by 0+c>0,左侧的点P(x 0,y 0)，使ax 0+by 0+c<0 若直线ax+by+c=0(a<0)则在ax+by+c=0(a>0)使ax 0+by 0+c<0,左侧的点P(x 0,y 0)，使ax 0+by 0+c>0 高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1 第七章线性规划与非线性规划 例1m a x z=10x 1+5x2 s.t.5x1+2x2<=8 3x1+4x2=9 x1+x2>=1 x1,x2>=0 首先可化为标准形式：min - z = -10x1 -5x2 s.t. 5x1+2x1<=8 -x1-x2<=-1 3x1+4x2=9 x1,x2>=0 library(Rglpk) obj<-c(-10,-5) mat<-matrix(c(5,2,-1,-1,3,4),3,2,T) dir<-c("<=","<=","==") rhs<-c(8,-1,9) Rglpk_solve_LP(obj,mat,dir,rhs) #直接求解 library(Rglpk) obj<-c(10,5) mat<-matrix(c(5,2,1,1,3,4),3,2,T) dir<-c("<=",">=","==") rhs<-c(8,1,9) Rglpk_solve_LP(obj,mat,dir,rhs,max=T) 非线性规划求解（Rdonlp2） 例2 有如下的条件约束最优化问题： 22min(sin cos ) 1001001001002133 2sin cos 3z x y y x x y x y x y xy x y =+-< 数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。 上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。高考数学专题练习：不等式与线性规划
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