一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则22
x y +的最小值是 。
3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，则 y
x
的取值范围是（ ）.
A. [95，6]
B.（－∞，9
5
]∪[6，＋∞）
C.（－∞，3]∪[6，＋∞）
D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题
4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,
22115x y x y x 则1010z x y =+的最大
值是 。
四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题
5. 已知变量x ，y 满足约束条件14
22x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩
。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处
取得最大值，则a 的取值范围为 。
6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的
值为（ ）
A. －3
B. 3
C. －1
D. 1
五、求可行域的面积
7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为 （ ）
A. 4
B. 1
C. 5
D. 无穷大
图1解析：
1.如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18。
图2
2. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而2
2
x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易
知A （1，2）是满足条件的最优解。2
2
x y +的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 3.
y
x
是可行域内的点M （x ，y ）与原点O （0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x 取得最小值9
5；当直线OM 过点（1，6）时，
y
x
取得最大值6. 答案A 点评：当目标函数形如y a
z x b
-=
-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
4. 如图，作出可行域，由101010
z
z x y y x =+⇒=-+
，它表示为斜率为1-，纵截距为
10
z
的平行直线系，要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119
(,)22
A z 取得最大
值。因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内A 点附近整点B （5，4）、C （4，4），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =
点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
5. 如图，作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -，
纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过A 点且在直线
4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范
围为(1,)+∞。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
6. 如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a
>0)
取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D。
7.如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积
减去梯形OMAC的面积即可，选B。
一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值就是 。 3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(－∞,95 ]∪[6,＋∞) C 、(－∞,3]∪[6,＋∞) D 、 [3,6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件?? ???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值 就是 。 四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A. －3 B 、 3 C 、 －1 D 、 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、 无穷大
数学线性规划试题答案及解析 1.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜 率的最小值为 . 【答案】 【解析】不等式组表示的区域如图，当取得点时，直线斜率取得最小，最小值为．故选C． 2.若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则 等于． 【答案】2． 【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直 线应过，从而 【考点】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力. 3.设实数满足条件，则的最大值是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.
【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足：，则的最小值为 . 【答案】 【解析】画出可行域及直线..，如图所示. 平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以， ． 【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想． 5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6 吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的 每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运 送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ () A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元 【答案】C 【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画 出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元
线性规划题及答案 一、题目描述： 假设某公司生产两种产品：A和B。产品A每单位利润为10元，产品B每单 位利润为8元。生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原 材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80 个单位。原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？ 二、解题思路： 本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。首先，我们需要确 定决策变量、目标函数和约束条件。 1. 决策变量： 设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。 2. 目标函数： 公司的利润最大化是我们的目标。由于产品A每单位利润为10元，产品B每 单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。 3. 约束条件： a) 生产能力限制： 根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个 单位，可以得到以下约束条件： x ≤ 100
y ≤ 80 b) 原材料供应量限制： 根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件： 2x + 4y ≤ 180 3x + y ≤ 150 c) 非负约束： 生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件： x ≥ 0 y ≥ 0 综上所述，我们可以得到线性规划模型如下： maximize 10x + 8y subject to: x ≤ 100 y ≤ 80 2x + 4y ≤ 180 3x + y ≤ 150 x ≥ 0 y ≥ 0 三、求解线性规划问题： 通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
线性规划题及答案 一、题目描述 假设有一家制造公司，该公司生产两种产品：产品A和产品B。公司有限的资源包括劳动力和原材料。产品A每个单位需要2个小时的劳动力和3个单位的原材料，产品B每个单位需要4个小时的劳动力和1个单位的原材料。公司每天有8个小时的劳动力和10个单位的原材料可用。产品A的售价为每个单位10美元，产品B的售价为每个单位8美元。制造一台产品A的成本为每个单位6美元，制造一台产品B的成本为每个单位4美元。 问题：如何确定每种产品的生产数量，以最大化公司的利润？ 二、线性规划模型 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。则可以建立如下的线性规划模型： 目标函数：最大化利润 Maximize Z = 10x + 8y 约束条件： 1. 劳动力约束：2x + 4y ≤ 8（劳动力总共有8个小时） 2. 原材料约束：3x + y ≤ 10（原材料总共有10个单位） 3. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0 三、求解线性规划问题 为了求解上述线性规划问题，可以使用各种数学软件或线性规划求解器。下面给出一个可能的求解过程和结果。
1. 使用线性规划求解器输入模型和约束条件。 2. 求解器计算出最优解，即最大化的利润。 3. 解读结果。 四、求解结果 经过计算，最优解如下： 最大利润为：$64 产品A的生产数量：2个单位 产品B的生产数量：2个单位 五、结果解释 根据最优解，公司应该生产2个单位的产品A和2个单位的产品B，以最大化公司的利润。此时，公司的最大利润为64美元。 六、敏感性分析 敏感性分析用于确定模型的解对于参数变化的稳定性。下面进行一些敏感性分析。 1. 劳动力的变化：假设劳动力增加到10个小时，重新计算模型。结果如下： 最大利润为：$76 产品A的生产数量：2个单位 产品B的生产数量：2个单位 2. 原材料的变化：假设原材料增加到12个单位，重新计算模型。结果如下： 最大利润为：$76
线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? p p p p 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上
简单的线性规划典型例题 例1画出不等式组 ? ? ? ? ? ≤ + - ≤ - + ≤ - + - .0 3 3 4 2 y x y x y x ， ， 表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0 = x，0 = y代入2 - + -y x中得0 2 0< - + - ∴不等式0 2≤ - + -y x表示直线0 2= - + -y x下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 例2 画出3 3 2≤ < -y x表示的区域，并求所有的正整数解),(y x． 分析：原不等式等价于 ? ? ? ≤ - > .3 ,3 2 y x y 而求正整数解则意味着x，y
有限制条件，即求 ? ? ? ? ? ? ? ≤ - > ∈ ∈ > > .3 ,3 2 , , ,0 ,0 y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知3 3 2≤ < -y x表示的区域如下图： 对于3 3 2≤ < -y x的正整数解，先画出不等式组． ? ? ? ? ? ? ? ≤ - > ∈ ∈ > > .3 ,3 2 , , ,0 ,0 y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来． 例3求不等式组 ?? ? ? ? + - ≤ - + ≥ 1 1 1 x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够
线性规划题及答案 一、问题描述 某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。每一 个工序的加工时间和利润都不相同。现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。请根据以下要求进行线性规划求解。 二、问题分析 1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为 x2小时。 2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为 y2小时。 3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。 4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。 5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。 6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。 三、目标函数和约束条件 1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。 2. 约束条件： a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。 b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。 c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。 e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。 四、线性规划模型 最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2， 满足约束条件： x1 + y1 ≤ 100， x2 + y2 ≤ 80， a1 + a2 ≤ 200， b1 + b2 ≤ 150， x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。 五、求解过程 1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。 2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。 3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。 六、求解结果 假设给定以下参数： p1 = 10元/个，p2 = 8元/个，q1 = 12元/个，q2 = 9元/个。 经过线性规划求解，得到最优解如下：
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤⎧⎨ -≤-≤⎩ 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大
专业知识整理分享 线性规划练习题含答案 一、选择题 1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪ ≥+⎨⎪≥⎩ 所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为 A ．－1 B D ．1 【答案】B 【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1 故选B 。 2．定义()( )max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨ <⎪⎩，已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y =+-， 则z 的取值范围是 （ ） A 【答案】D 【解析】{},2,20 max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨ ⎨ -+<--->⎩⎩ ， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0 z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下 3．若实数x ，y 满足⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤+≥≥, 1234,0, 0y x y x 则 ）
试卷第2页，总12页 A ． B C D 【答案】D P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结3, ,4 PA k =应选D 4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ ，则2z x y =+的最小值等于 ( ) A. 2 B. 3 C.5 D. 9 【答案】B 【解析】解：因为设,x y ∈ R 且满足满足1 230 x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ 故其可行域为 当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B 5．若实数，满足条件则的最大值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A 【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A. x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≤≤⎩ 2x y -9303-
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎨ ⎪+≥ ⎩ ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ⎧ ⎪ +-≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ⎧ ⎪-≤≥ ⎪ ⎨ -+≤≥⎪ ⎪--≤ ⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ⎧ ⎪ -+≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ⎧ ⎪ -+≥ ⎨ ⎪--≤ ⎩ ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>⎧ ⎨ -+-<⎩ 由右图可知 33 30 m m +> ⎧ ⎨ -< ⎩ ,故0＜m＜3，选 C 七、比值问题
线性规划经典例题 一、问题描述 某公司生产两种产品A和B，每种产品分别需要使用两种原材料X和Y。已知每种产品的利润和原材料的用量，求解最大利润的生产方案。 二、数据分析 1. 产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位150元。 2. 产品A每单位需要用2单位的原材料X和1单位的原材料Y；产品B每单位需要用1单位的原材料X和3单位的原材料Y。 3. 公司每天可用的原材料X和Y的数量分别为10单位和15单位。 三、数学建模 设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。 目标函数：最大化利润，即最大化目标函数Z = 100x + 150y。 约束条件： 1. 原材料X的用量约束：2x + y ≤ 10。 2. 原材料Y的用量约束：x + 3y ≤ 15。 3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。 四、求解过程 1. 构建线性规划模型： 最大化目标函数 Z = 100x + 150y
约束条件： 2x + y ≤ 10 x + 3y ≤ 15 x ≥ 0，y ≥ 0 2. 使用线性规划求解方法（如单纯形法）求解最优解。 五、最优解分析 经过计算，得到最优解为：x = 5，y = 3，Z = 100*5 + 150*3 = 950。 六、结论 为了实现最大利润，公司应生产5个单位的产品A和3个单位的产品B，此时可以获得最大利润950元。 七、敏感性分析 通过敏感性分析可以了解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响程度。 1. 原材料X的用量增加1单位，最优解变化情况： - 目标函数值：增加100元。 - 产品A的生产数量：不变。 - 产品B的生产数量：不变。 2. 原材料Y的用量增加1单位，最优解变化情况： - 目标函数值：增加150元。 - 产品A的生产数量：不变。 - 产品B的生产数量：不变。
线性规划练习题含答案 一、选择题 1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪ ≥+⎨⎪≥⎩ 所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为 A ．－1 B D ．1 【答案】B 【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1 故选B 。 2．定义()( )max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨ <⎪⎩，已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y =+-， 则z 的取值范围是 （ ） A 【答案】D 【解析】{},2,20 max ,22,22,20 x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨ ⎨ -+<--->⎩⎩， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0 z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下 3．若实数x ，y 满足⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤+≥≥, 1234,0, 0y x y x 则 ）
A ． B C D 【答案】D P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结3, ,4 PA k =应选D 4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ ，则2z x y =+的最小值等于 ( ) A. 2 B. 3 C.5 D. 9 【答案】B 【解析】解：因为设,x y ∈ R 且满足满足1 230 x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ 故其可行域为 当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B 5．若实数，满足条件则的最大值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A 【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A. x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≤≤⎩ 2x y -9303-
二元一次不等式与简单的线性规划问题 典型例题一 例1 画出不等式组⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+- ∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 典型例题二 例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≤->∈∈>>. 3, 32, ,, 0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：
对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≤->∈∈>>. 3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来． 典型例题三 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥1 1 1x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域 作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论． 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线 )1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ： 则不等式组所表示的平面区域如图 由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形． 根据两条平行线之间的距离公式两平行直线距离公式d=|C1-C2|/根号(A^2+B^2)可得矩形的两条边的长度分
简单的线性规划典型例题 篇一：典型例题：简单的线性规划问题 典型例题 【例1】求不等式｜某－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积. 【例2】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低 参考答案 例1： 【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 【解】｜某－1｜+｜y－1｜≤2可化为 或其平面区域如图： 或或 ∴面积S=某4某4=8 【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界. 例2： 【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
【解】设每天派出甲型车某辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 z=252某+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线l0：252某+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可 行域上的整点，且使在y轴上的截距最小. 观察图形，可见当直线252某+160y=t经过点（2，5）时，满足上述 要求. 此时，z=252某+160y取得最小值，即某=2，y=5时， zmin=252某2+160某5=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低. 【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图 精度要求较高，平行直线系f（某，y）=t的斜率要画准，可行域内的整 点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点. 篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析 线性规划讲义 【考纲说明】 （1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二 元线性规划问题的解法． （3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用 画网格的方法求解整数线性规划问题．
线性规划题及答案 引言概述： 线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。 一、生产规划问题 1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？ 1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。 二、资源分配问题 2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？ 2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。 三、运输问题
3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？ 3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。 四、投资组合问题 4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。投资者希翼在风险不超过20%的情况下，获得最大的预期收益率，问如何选择投资组合？ 4.2 投资组合问题答案：设投资标的i的投资金额为xi，预期收益率为ri，风险为σi，则目标函数为Max Z=∑ri*xi，约束条件为∑xi=1，∑(σi*xi)≤0.2。通过线性规划方法求解，得出最优的投资组合方案，使得预期收益率最大。 五、资源优化问题 5.1 资源优化问题描述：某公司有多个项目需要分配资源，每一个项目需要的资源量和产出利润如下表所示。公司希翼在资源有限的情况下，获得最大的总利润，问如何分配资源才干实现？ 5.2 资源优化问题答案：设项目i的资源分配量为xi，产出利润为pi，则目标函数为Max Z=∑pi*xi，约束条件为∑xi≤R，xi≥0。通过线性规划方法求解，得出最优的资源分配方案，使得总利润最大。 结论： 线性规划是一种有效的数学方法，可以匡助解决各种实际问题。通过建立数学模型和求解最优解，可以得到最佳的决策方案。在实际应用中，线性规划可以匡助企业优化资源分配、提高效益，实现可持续发展。
习题： 一．人类资源分配问题 红旗商场为一中心百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所示。为保证售货人员的休息（每连续工作五天后，休息两天） 问：如何安排售货人员作息，即可满足工作需要，又使配备售货人员数最少？ 答：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，……，x7星期日开始上班的人数。 我们就可得到如下的数学模型： min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 x3+x4+x5+x6+x7≥28 x4+x5+x6+x7+x1≥15 x5+x6+x7+x1+x2≥24 x6+x7+x1+x2+x3≥25 x7+x1+x2+x3+ x4≥19 x1+x2+x3+x4+x5≥31 x2+x3+x4+x5+x6≥28 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0 该问题的最优解为：x1=8，x2=0，x3=12，x4=0，x5=11，x6=5，x7=0；目标函数的最小值为36。 Lingo中的调试： min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7; x1+x2+x3+x4+x5>28; x2+x3+x4+x5+x6>15; x3+x4+x5+x6+x7>24; x4+x5+x6+x7+x1>25; x5+x6+x7+x1+x2>19;
x6+x7+x1+x2+x3>31; x7+x1+x2+x3+x4>28; 二．市场应用 某公司投资3万元进行媒体广告宣传，希望吸引观众购买本公司产品。现有五种媒体供选择，相关信息如下表 对广告宣传，公司有下列要求：1.至少进行10次电视广告宣传；2.至少有5万名潜在观众被告知；3.电视广告投入不超过18000元。问：如何进行媒体组合，才使广告质量最高。 答：问题中媒体组合实际上就是要决定每种媒体的使用次数。设x1、x2、x3、x4、x5分别表示表中日间电视、夜间电视、日报、周末新闻杂志、电台广播五种媒体的使用次数。 该问题的线性规划模型为 max z = 65x1 + 90x2 + 40x3 +60x4 + 20x5 1500x1 + 3000x2 + 400x3+ 1000x4 + 100x5 ≤30000 1000x1 + 2000x2 +1500x3 + 2500x4 + 300x5≥50000
线性规划常见题型及解法一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎨ ⎪+≥ ⎩ ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ⎧ ⎪ +-≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ⎧ ⎪-≤≥ ⎪ ⎨ -+≤≥⎪ ⎪--≤ ⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ⎧ ⎪ -+≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ ，使z=x+a y(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值
简单的线性规划典型例题 例1 画出不等式组⎪⎩ ⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，， 表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+- ∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包 括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表 示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．
例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 分析：原不等式等价于⎩ ⎨ ⎧≤->.3, 32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32, ,, 0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≤->∈∈>>. 3,32,,, 0,0y x y z y z x y x 所表示 的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．
例3求不等式组⎪⎩ ⎪⎨ ⎧+-≤-+≥1 1 1x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论． 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线 )1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ： 则不等式组所表示的平面区域如图 由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直， 所以平面区域是一个矩形． 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为 2 2 和223． 所以其面积为2 3 ．