第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用
1. 设函数f(x)是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝2a －3a ＋1
，则a 的取值范围是________．
答案：－1 解析：由题意，f(2)＝f(－1)<－1，则2a －3a ＋1 <－1，解得－1 答案：≤ 解析：由2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，知2x －5－x ≤2－y －5y ，设f(x)＝2x －5－x ，不等式即为f(x)≤f(－ y)，易知f(x)在R 上为增函数，所以x ≤－y ，即x ＋y ≤0. 3. 已知函数f(x)＝e |x|，m>1，对任意的x ∈[1，m]，都有f(x －2)≤ex ，则最大的正整数m 为________． 答案：4 解析：作出函数y 1＝e |x －2| 和y 2＝ex 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝ e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4. 4. 给出下列四个结论： ① 函数y ＝k·3x (k>0)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到； ② 不等式??? ?ax －1x >a 的解集为M ，且2M ，则a 的取值范围是????14，＋∞； ③ 定义域为R 的函数f(x)满足f(x ＋1)·f(x)＝－1，则f(x)是周期函数； ④ 已知f(x)满足对x ∈R 都有f ????12＋x ＋f ????12－x ＝2成立，则f ????18＋f ????28＋…＋f ??? ?78＝7. 其中正确的是________．(填序号) 答案：①③④ 解析：由k·3x ＝3x ＋log 3k (k>0)知①正确；由2M 得??? ?2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f(x ＋1)＝－1f （x ） 得f(x ＋2)＝f(x)，故③正确；由f ????12＋x ＋f ????12－x ＝2得f(x)＋f(1－x)＝2且f ????12＝1，故f ????18＋f ????28＋…＋f ??? ?78＝7正确． 5. 函数f(x)的定义域为D ，若满足① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，b]D ，使f(x)在[a ，b]上的值域为[－b ，－a]，那么y ＝f(x)叫做对称函数，现有f(x)＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值范围是_________． 答案：??? ?2，94 解析：由于f(x)＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以???2－a －k ＝－a ，2－b －k ＝－b 关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立， 通过换元结合图象可得k ∈??? ?2，94. 6. 已知函数f(x)的定义域为R ，f(2)＝3，且f(x)在R 上的导函数满足f′(x)－1<0，则不 等式f(x 2) 解析：构造函数g(x)＝f(x)－x －1，则由条件知g′(x)＝f ′(x)－1<0，g(2)＝0，函数g(x)＝f(x)－x －1在定义域R 上单调递减，不等式f(x 2) 7. 已知函数f(x)＝log a |x ＋1|(a>0且a ≠1)，当x ∈(0，1)时，恒有f(x)<0成立，则函数 g(x)＝log a ??? ?－32x 2＋ax 的单调递减区间是________． 答案：??? ?0，a 3 解析：当x ∈(0，1)时，|x ＋1|>1，但log a |x ＋1|<0，故由对数函数的图象知，0 32x 2＋ax>0，解得0 a ，即函数g(x)＝log a ????－32x 2＋ax 的定义域为????0，23a .因为二次函数t ＝－32 x 2＋ax 的单调递增区间为????－∞，a 3，结合函数g(x)的定义域知，函数g(x)的单调递减区间为??? ?0，a 3. 8. 将函数y ＝－x 2＋2x ＋3－3(x ∈[0，2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________． 答案：π3 解析：由y ＝－x 2＋2x ＋3－3，得y ＋3＝－x 2＋2x ＋3≥0，两边平方得(x －1)2＋(y ＋3)2＝4(y ≥－3)，又x ∈[0，2]，所以所给的函数的图象是圆的一段弧，画图易知，若圆弧与y 轴相切，能使旋转后所得曲线仍是一个函数的图象，若与y 轴相交，则不能构成函 数，故最多可以逆时针旋转π3，即θ的最大值为π3 . 9. 已知函数f(x)＝－x 2＋|x －a|，其中a ∈R . (1) 讨论f(x)的奇偶性； (2) 当a ＝－1时，求f(x)的值域； (3) 当a ≤0时，求f(x)的最大值． 解：(1) 若a ＝0，则f(－x)＝－x 2＋|x|＝f(x)，即f(x)是偶函数； 若a ≠0，f(－1)＝－1＋|－1－a|，f(1)＝－1＋|1－a|， 因为f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)是非奇非偶函数． (2) 当a ＝－1时，f(x)＝－x 2＋|x ＋1|＝? ????－x 2－x －1，x<－1，－x 2＋x ＋1，x ≥－1.当x<－1时，f(x)∈(－∞，－1)； 当x ≥－1时，f(x)∈? ???－∞，54， 所以f(x)的值域为? ???－∞，54. (3) 若x ≥a ，则f(x)＝－x 2＋x －a ＝－????x －122＋14－a ，在x ＝12 处f(x)取最大值f ????12＝14－a. 若x ≤a ，则f(x)＝－x 2－x ＋a ＝－????x ＋122＋14 ＋a ， ① 当a ≤－12 时，[f(x)]max ＝f(a)＝－a 2； ② 当－12 ≤a ≤0时，[f(x)]max ＝f ????－12＝14＋a ， 由于14＋a ≤14－a ，－a 2≤14－a ，所以[f(x)]max ＝14 －a. 10. 已知f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝ln(x ＋2)． (1) 当x<0时，求f(x)的解析式； (2) 当m ∈R 时，试比较f(m －1)与f(3－m)的大小； (3) 求最小的整数m(m ≥－2)，使得存在实数t ，对任意的x ∈[m ，10]，都有f(x ＋t)≤2ln|x ＋3|. 解：(1) 当x<0时，f(x)＝f(－x)＝ln(－x ＋2)． (2) 当x ≥0时，f(x)＝ln(x ＋2)单调递增，而f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减． 所以f(m －1)＞f(3－m)|m －1|>|3－m|(m －1)2>(3－m)2m>2. 所以当m>2时，f(m －1)>f(3－m) ；当m ＝2时，f(m －1)＝f(3－m)；当m<2时，f(m －1) (3) 当x ∈R 时，f(x)＝ln(|x|＋2)，则由f(x ＋t)≤2ln|x ＋3|，得ln(|x ＋t|＋2)≤ln(x ＋3)2， 即|x ＋t|＋2≤(x ＋3)2对x ∈[m ，10]恒成立， 从而有?????t ≤x 2＋5x ＋7，t ≥－x 2－7x －7，对x ∈[m ，10]恒成立， 因为m ≥－2，所以? ????t ≤（x 2＋5x ＋7）min ＝m 2＋5m ＋7，t ≥（－x 2－7x －7）max ＝－m 2－7m －7. 因为存在这样的t ，所以－m 2－7m －7≤m 2＋5m ＋7，即m 2＋6m ＋7≥0.又m ≥－2，所以适合题意的最小整数m ＝－1. 11. 已知函数f(x)＝lnx －x ，h(x)＝lnx x . (1) 求h(x)的最大值； (2) 若关于x 的不等式xf(x)≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 若关于x 的方程f(x)－x 3＋2ex 2－bx ＝0恰有一解，其中e 是自然对数的底数，求实数b 的值． 解：(1) h(x)的最大值为h(e)＝1e . (2) 不等式xf(x)≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≤lnx ＋x ＋12x 对一切x ∈(0，＋∞)恒成立， 设φ(x)＝lnx ＋x ＋12x ， 因为φ′(x)＝1x ＋1－12x 2＝x 2＋x －12x 2＝（x ＋4）（x －3）x 2 ， 故φ(x)在(0，3]上递减，在[3，＋∞)上递增， [φ(x)]min ＝φ(3)＝7＋ln3，所以a ≤7＋ln3. (3) 方程f(x)－x 3＋2ex 2－bx ＝0恰有一解，等价于lnx x ＝x 2－2ex ＋b ＋1恰有一解，由(1)知，h(x)的最大值为h(e)＝1e . 而函数k(x)＝x 2－2ex ＋b ＋1在(0，e]上单调递减，在[e ，＋∞)上单调递增，故[k(x)]min ＝k(e)＝b ＋1－e 2， 故方程lnx x ＝x 2－2ex ＋b ＋1恰有一解当且仅当1e ＝b ＋1－e 2，所以b ＝e 2＋1e －1. 第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页 ) , 1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m. 答案：1 900 解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900. 2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件． 答案：1 331 解析：1 000×(1＋10%)3 ＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________． 答案：(5，10) 4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ? ?? ??1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6 －1 解析：由2 000ln ? ?? ??1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6 －1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函 数关系为P ＝? ????t ＋20，0 第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s ??=??, 这个比值可认为是动点在时间间隔t ?t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t ?t 0→0, 取 比值 0) ()(t t t f t f ??的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t ??=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000) ()(tan x x x f x f x x y y ??=??=?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x ??=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 令, x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x ??→ . , 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x ?y =f (x 0+?x )?f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ???+=??='→?→?)()(lim lim )(00000, 第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域 第三章 (对应学生用书(文)、(理)9～10页 ) 1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x 的定义域为________． 答案：{x|x≥－1且x≠2} 2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是 ________． 答案：{－1，0，3} 解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}． 3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x 5x ＋1 的值域为____________． 答案：? ?????y|y≠25 解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f (x)≠25 ，∴ 值域为? ?????y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ； ② f(x)＝x x ，g(x)＝x ； ③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4； ④ f(x)＝|x|，g(x)＝? ????x ，x ≥0，－x ，x<0. 答案：④ 解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合． 5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则 b －a 的取值范围是________． 答案：[2，4] 解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1 时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a≤1，所以b －a∈[2，4]． 1. 函数的定义域 (1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤 ① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组． ③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零． ② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ． ④ y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }． ⑥ 函数f(x)＝x a 的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域 (1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2) 基本初等函数的值域 ① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ． ② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a ，＋∞)；当a<0时，值域为? ???－∞，4ac －b 24a ． ③ y ＝k x (k≠0)的值域为{y|y≠0}． ④ y ＝a x (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值 一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； (2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记] 第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ?? 3.2.1几个常用函数的导数教案 教学目标： 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数； 2. 利用公式解决简单的问题。 教学重点和难点 1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。 教学方法： 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。 教学过程： 一 复习 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。 二 新课 例1．推导下列函数的导数 （1） ()f x c = 解：()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===???， '00()lim lim 00x x y f x x ?→?→?===? 1. 求()f x x =的导数。 解： ()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===???， '00()lim lim 11x x y f x x ?→?→?===?。 '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则' 1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。 思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？ 可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数2()y f x x ==的导数。 解： 22 ()()()2y f x x f x x x x x x x x x ?+?-+?-===+????， ''00 ()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ?→?→?===+?=?。 '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化： (1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。 3. 求函数1()y f x x ==的导数。 解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -?+?--+?+?====-???+??+??， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x ?→?→?===-=-?+?? 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？ '(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。 (2)改为点（3，3），结果如何？ (3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。 三 例题 1. 试求函数()y f x = 解： ()()y f x x f x x x ?+?-==??= ''0()lim lim x x y y f x x ?→?→?====? 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线 的切线方程。 解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'02.x x y x == a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围 第二章 函数与导数 一、函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上 的解析式为f (x )＝? ????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1 第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y = 基础巩固强化 一、选择题 1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2 C ．0 D ．以上都不是 [答案] C [解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0. 2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－cos x C ．y ＝cos x D ．y ＝－sin x [答案] C [解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C. 3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条． 4．若y ＝cos 2π 3，则y ′＝( ) A ．－3 2 B ．－12 C ．0 D.12 [答案] C [解析] 常数函数的导数为0. 5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12 [答案] D [解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝1 2，故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B [解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题 7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1 [解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1. 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________． 导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3 －15x 2 －33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x 2 －30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2 ＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－ 2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ） 3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 第二章函数与导数第3课时函数的单调性第三章(对应学生用书(文)、(理)11～12页) 1. (必修1P54测试4)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是 ________． 答案：[－3，－1]和[1，2] 2. (必修1P 44习题2改编)下列函数中，在区间(0，2)上是单调增函数的是________．(填序号) ① y ＝1－3x ；② y＝－1x ；③ y＝x 2 ＋1；④ y＝|x ＋1|. 答案：②③④ 3. (必修1P 44习题4改编)函数y ＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a ＋1) 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 （预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处） 复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ?= （2）求平均变化率y x ?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案 学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数 新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数 反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==??? 第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示 1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个． ① A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|； ② A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； ③ A ＝[－1，1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. 答案：2 2. 已知函数y ＝f(x)，集合A ＝{(x ，y)|y ＝f(x)}，B ＝{(x ，y)|x ＝a ，y ∈R }，其中a 为常数，则集合A ∩B 的元素有________个． 答案：0或1 解析：设函数y ＝f(x)的定义域为D ，则当a ∈D 时，A ∩B 中恰有1个元素；当a ?D 时，A ∩B 中没有元素． 3. 若f(x ＋1)＝x ＋1，则f(x)＝___________． 答案：x 2－2x ＋2(x ≥1) 解析：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，所以f(t)＝(t －1)2＋1. 4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ????13＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________． 答案：3x ＋5 x (x ≠0) 解析：由题可设φ(x)＝ax ＋b x ，代入φ????13＝16，φ(1)＝8，得a ＝3，b ＝5. 5. 已知函数f(x)＝3x －1，g(x)＝? ????x 2－1，x ≥0，2－x ，x<0.若x ≥1 3，则g(f(x))＝________． 答案：9x 2－6x 解析：当x ≥1 3 时，f ()x ≥0，所以g(f(x))＝(3x －1)2－1＝9x 2－6x. 6. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x(万件)间的关系为p ＝? ?? 1 6－x ，0 第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y . 考点06 函数与导数的综合应用（1） 【知识框图】 【自主热身，归纳提炼】 1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝1 3x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值 范围为________． 【答案】???? 32，4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点． 解法 1 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1?(1,2)，因此则需1(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第13课时函数模型及其应用
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章-导数与微分
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域
第二章 导数与微分习题汇总
3.2.1几个常用函数的导数教案
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
2014年全国高考数学分类详解 第二章 函数与导数
(完整版)第二章.导数和微分答案解析
3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
导数的综合应用
高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用
导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)
高考数学第二章函数与导数第3课时函数的单调性
3.2.1几个常用函数导数(学、教案)
2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示课时训练
2第二章 导数与微分答案
考点06 函数与导数的综合运用(1)(解析版)
相关主题
文本预览