第二章 函数与导数
第1课时 函数及其表示
1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个．
① A ＝N ，B ＝N *
，f ：x→y＝|x －2|；
② A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； ③ A ＝[－1，1]，B ＝{0}，f ：x→y＝0. 答案：2
2. 下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
① y ＝x －1与y ＝（x －1）2
；
② y ＝x －1与y ＝x －1
x －1；
③ y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2
；
④ y ＝lgx －2与y ＝lg x
100
.
答案：④
解析：①中y ＝（x －1）2
的表达式为y ＝|x －1|，与y ＝x －1表达式不一致；②中y
＝x －1的定义域为{x|x≥1}，y ＝x －1
x －1
的定义域为{x|x>1}；③中y ＝4lgx 的定义域为
{x|x>0}，y ＝2lgx 2
的定义域为{x|x≠0}；④中两个函数定义域和表达式都一致．
3. 若f(x ＋1)＝x ＋1，则f(x)＝___________．
答案：x 2
－2x ＋2(x≥1)
解析：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，所以f(t)＝(t －1)2
＋1.
4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函
数，且φ? ??
??13＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________． 答案：3x ＋5
x
(x≠0)
解析：由题可设φ(x)＝ax ＋b x ，代入φ? ??
??13＝16，φ(1)＝8，得a ＝3，b ＝5. 5. 已知函数f(x)＝?
????3x ＋2，x ＜1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝__________．
答案：2
解析：∵ f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a ＝4a ，∴ a ＝2.
6. 现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是____________．(填序号)
答案：③
解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的
速度又越来越快，故③正确．
7. 设函数f(x)＝??
?x ，x ≥0，－x ，x ＜0，
若f(a)＋f(－1)＝2，则a ＝__________．
答案：±1 解析：∵ f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴ f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a ＝1，a ＝1；当a<0时，f(a)＝－a ＝1，a ＝－1.∴ a＝±1.
8. 已知函数f(x)＝?????x 2
＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，
若f(f(1))＞3a 2
，则a 的取值范围是________．
答案：(－1，3)
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a ＝9＋6a ，若f(f(1))>3a 2
，则
9＋6a>3a 2，即a 2
－2a －3<0，解得－1 9. 已知函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0. (1) 求f(0)的值； (2) 试确定函数f(x)的解析式． 解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2. (2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)， 由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2 ＋x －2. 10. 已知函数f(x)＝? ????x 2＋1，x ≥0， 1，x<0，g(x)＝x ＋2. (1) 若f(g(a))＝g(f(－1))，求a 的值； (2) 解不等式f(1－x 2 )>f(2x)． 解：(1) 由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a ＋2， 所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a ＋2)＝3. 当a ＋2≥0，即a≥－2时，(a ＋2)2 ＋1＝3，所以a ＝－2＋2； 当a ＋2<0，即a<－2时，显然不成立． 所以a ＝－2＋ 2. (2) 由f(1－x 2 )>f(2x)，知? ????1－x 2 >0，1－x 2 >2x ， 解得－1 所以不等式的解集为(－1，2－1)． 11. 是否存在正整数a 、b ，使f(x)＝x 2ax －2，且满足f(b)＝b 及f(－b)<－1 b ？若存在， 求出a 、b 的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在正整数a 、b 满足题意． ∵ f(x)＝x 2ax －2，f(b)＝b ，∴ b 2ab －2 ＝b ，即(a －1)b ＝2. ∵ a 、b∈N * ，∴ ?????a ＝3，b ＝1或? ????a ＝2，b ＝2. 当a ＝3，b ＝1时，f(x)＝x 23x －2，此时－b ＝－1，∴ f(－b)＝f(－1)＝－15>－1＝－1 b ， 因此a ＝3，b ＝1不符合题意，舍去； 当a ＝2，b ＝2时，f(x)＝x 22x －2，此时－b ＝－2，∴f(－b)＝f(－2)＝－23<－12＝－1 b ， 符合题意． ∴ 存在a ＝2，b ＝2满足条件使f(x)＝x 2 2x －2 . 第2课时 函数的定义域和值域 1. 函数y ＝ 13x －2 ＋lg(2x －1)的定义域是__________． 答案：(2 3，＋∞) 解析：由?????3x －2＞0，2x －1＞0， 得x ＞23，故函数定义域为? ????23，＋∞. 2. (2014·苏锡常镇二模)函数y ＝1 lnx (x≥e)的值域是______． 答案：(0，1] 解析：y ＝1 lnx 为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1]． 3. 若集合M ＝{y|y ＝2－x }，N ＝{y|y ＝x －1}，则M∩N＝_______________． 答案：{y|y>0} 解析：M ＝?????? ????y ???y ＝? ????12x ＝{y|y>0}，N ＝{y|y≥0}， ∴ M ∩N ＝{y|y>0}∩{y|y ≥0}＝{y|y>0}． 4. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________． 答案：(－∞，0] 解析：y ＝－? ????x －122＋14，因为x≥1，所以y≤0. 5. 若函数y ＝12 x 2 －2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________． 答案：2 解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12 (x －2)2 ＋2，显然f(2b)＝2b ，结合b>1，得b ＝2. 6. 已知f(x)＝a －1 2x －1 是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域 为________． 答案：[－32，－12)∪(12，3 2 ] 解析：∵ f(x)＝a －1 2x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则满足f(－ 1)＋f(1)＝0，可得a ＝－12，则f(x)＝－12－12x －1 .由x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，得0<2 x ≤12或2x ≥2，可得12<－12－12x －1≤32或－32≤－12－12x －1<－12 . 7. 函数f(x)的定义域为D ，若满足：① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，b]íD ，使f(x)在[a ，b]上的值域为[－b ，－a]，那么y ＝f(x)叫做对称函数．现有f(x)＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值范围是____________． 答案：[2，9 4 ] 解析：由于f(x)＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，故满足①.又f(x)在[a ，b]上的 值域为[－b ，－a]，∴ ???2－a －k ＝－a ， 2－b －k ＝－b ， ∴ a 和b 是关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上的两个不同实根．令t ＝2－x ， 则x ＝2－t 2，t ≥0，∴ k ＝－t 2 ＋t ＋2＝－(t －12)2＋94，∴ k 的取值范围是k∈[2，94 ]． 8. 若函数f(x)＝? ????2x ，x<0， －2－x ，x>0，则函数y ＝f(f(x))的值域是________． 答案：? ????－1，－12∪? ????12，1 解析：x ＜0时，f(x)＝2x ∈(0，1)，12＜? ????122x ＜1，f(f(x))＝－? ????122x ∈? ????－1，－12；同 理可得x ＞0时，f(f(x))∈? ????12，1.综上所述，函数y ＝f(f(x))的值域是? ????－1，－12∪? ????12，1. 9. 若函数f(x)＝ （a 2－1）x 2 ＋（a －1）x ＋2a ＋1 的定义域为R ，求实数a 的取值范 围． 解：由函数的定义域为R ，可知对x∈R ，f(x)恒有意义，即对x∈R ，(a 2－1)x 2 ＋(a －1)x ＋2 a ＋1 ≥0恒成立． ① 当a 2 －1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R 恒成立，故a ＝1符合题意； ② 当a 2 －1≠0，即a≠±1时，则有 ? ??? ?a 2 －1＞0， Δ＝（a －1）2－4（a 2 －1）×2a ＋1≤0， 解得1 综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]． 10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1 x ＋3 (x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0，令函 数f(x)＝g(x)·h(x )． (1) 求函数f(x)的表达式，并求其定义域； (2) 当a ＝1 4时，求函数f(x)的值域． 解：(1) f(x)＝ x ＋1 x ＋3 ，x ∈[0，a](a>0)． (2) 函数f(x)的定义域为[0，14]，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2 ，t ∈[1，32 ]， f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t －2，当t ＝4t 时，t ＝±2 [1，32]，又t∈[1，3 2 ]时，t ＋4t 单调递减，F(t)单调递增，F (t)∈[13，613]．即函数f(x)的值域为[13，6 13 ]． 11. 设函数f(x)＝1－x 2 ＋1＋x ＋1－x. (1) 设t ＝1＋x ＋1－x ，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数h(t)； (2) 求函数f(x)的最值． 解：(1) ∵ ? ????1＋x≥0， 1－x≥0，∴ －1≤x≤1， ∴ t 2＝(1＋x ＋1－x)2＝2＋21－x 2 ∈[2，4]， ∴ t ∈[2，2]．由1－x 2 ＝12t 2－1，∴ h(t)＝12 t 2＋t －1，t ∈[2，2]． (2) 由h(t)＝12t 2＋t －1＝12(t ＋1)2 －32∈[2，3]， ∴ f(x)的最大值为3，最小值为 2. 第3课时 函数的单调性 1. (2014·北京)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是________．(填序号) ① y ＝e －x ；② y＝x 3 ；③ y＝lnx ；④ y＝|x|. 答案：② 解析：由定义域为R ，排除选项③，由函数单调递增，排除选项①④. 2. 函数y ＝x －1 x 的单调增区间为__________． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞) 3. 已知f(x)＝x 2 ＋x ，则f ? ????a 2＋1a 2________f(2)．(填“≤”或“≥”) 答案：≥ 解析：∵ f(x)的对称轴方程为x ＝－12，∴ f(x)在? ????－12，＋∞上为增函数．又a 2 ＋1a 2≥ 2， ∴ f ? ????a 2＋1a 2≥f(2)． 4. 函数f(x)＝2x ＋log 2x ，x ∈[1，2]的值域是________． 答案：[2，5] 解析：因为f(x)＝2x ＋log 2x 在区间[1，2]上为增函数，所以f(x)∈[2，5]． 5. 若函数f(x)＝x 2 ＋ax 与g(x)＝a x －1 在区间(1，2)上都是增函数，则实数a 的取值范 围是________． 答案：[－2，0) 解析：若f(x)在(1，2)上是增函数，则a≥－2；若g(x)在(1，2)上是增函数，则a<0. 6. 设函数f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ，则下列命题正确的是______．(填序号) ① 当b>0时，函数f(x)在R 上是单调增函数； ② 当b<0时，函数f(x)在R 上有最小值； ③ 函数f(x)的图象关于点(0，c)对称； ④ 方程f(x)＝0可能有三个实数根． 答案：①③④ 解析：当b>0时，f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ＝? ????x 2＋bx ＋c ，x ≥0， －x 2 ＋bx ＋c ，x ＜0知函数f(x)在R 上是单调增函数，故①正确；当b<0时，f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ＝? ??? ?x 2 ＋bx ＋c ，x ≥0，－x 2＋bx ＋c ，x ＜0，值域是R ，故函 数f(x)在R 上没有最小值，故②不正确；若f(x)＝|x|x ＋bx ，那么函数f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x))，也就是说函数f(x)的图象关于(0，0)对称．而函数f(x)＝|x|x ＋bx ＋c 的图象是由函数f(x)＝|x|x ＋bx 的图象沿y 轴移动，故图象一定是关于(0，c)对称，故③正确；令b ＝－2，c ＝0，则f(x)＝|x|x －2x ＝0，解得x ＝0，2，－2.故④正确． 7. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f(1) 答案：? ?? ??0，1e ∪(e ，＋∞) 解析：|lnx|>1，所以lnx<－1或lnx>1，所以0 e 或x>e. 8. 设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx ，则f ? ?? ??13、 f(2)、f ? ?? ??12的大小关系为________________________．(从小到大排列) 答案：f ? ????12 ??13 lnx ，可知当x≥1时，f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数．因为|12－1|＜|1 3 －1| ＜|2－1|，所以f ? ????12＜f ? ?? ??13 ＋bx ＋1(a 、b∈R )． (1) 若f(－1)＝0，且对任意实数x 均有f(x)≥0，求实数a 、b 的值； (2) 在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1) a ＝1，b ＝2. (2) 由(1)知，f(x)＝x 2＋2x ＋1，所以g(x)＝x 2 ＋(2－k)x ＋1，因为g(x)在[－2，2] 上是单调函数，所以[－2，2] ? ????－∞，k －22或[－2，2] ??????k －22，＋∞，解得k≤－2或k ≥6. 10. 已知f(x)＝x x －a (x≠a)． (1) 若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2) 若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1) 证明：设x 1 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2） （x 1＋2）（x 2＋2） . ∵ (x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴ f(x 1) ∴ f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2) 解：设1 f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1） （x 1－a ）（x 2－a ） . ∵ a>0，x 2－x 1>0，∴ 要使f(x 1)－f(x 2)>0， 只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立， ∴ a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为(0，1]． 11. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m 、n ，总有f(m ＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0 (1) 试求f(0)的值； (2) 判断f(x)的单调性，并证明你的结论； (3) 设A ＝{(x ，y)|f(x 2)·f(y 2 )>f(1)}，B ＝{(x ，y)|f(ax －y ＋2)＝1，a ∈R }，若A∩B ＝ ，试确定a 的取值范围． 解：(1) 在f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，令m ＝1，n ＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)． 因为f(1)≠0，所以f(0)＝1. (2) 任取x 1、x 2∈R ，且x 1 在已知条件f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f(x 2)＝f(x 1)·f(x 2－x 1)． 由于x 2－x 1>0，所以0 为比较f(x 2)，f(x 1)的大小，只需考虑f(x 1)的正负即可． 在f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f(x)·f(－x)＝1. 因为当x>0时，0 f （－x ） >1>0. 又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x 1∈R ，均有f(x 1)>0. 所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1)[f(x 2－x 1)－1]<0. 所以函数f(x)在R 上单调递减． (3) f(x 2)·f(y 2)>f(1)，即x 2＋y 2 <1. f(ax －y ＋2)＝1＝f(0)，即ax －y ＋2＝0. 由A∩B＝?，得直线ax －y ＋2＝0与圆面x 2 ＋y 2 <1无公共点，所以2a 2 ＋1 ≥1，解得 －1≤a ≤1.故a 的取值范围为[－1，1] 第4课时 函数的奇偶性及周期性 1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2 －3)，则a ＝________． 答案：3 解析：(－2a)＋(a 2 －3)＝0，且－2a ＜0. 2. 已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx ，则f ? ?? ??f ? ????1100＝_________． 答案：－lg2 解析：因为f ? ????1100＝lg 1100＝－2，所以f ? ????f ? ????1100＝f(－2)＝－f(2)＝－lg2. 3. 若函数f(x)＝x （2x ＋1）（x －a ） 是奇函数，则实数a ＝________． 答案：12 解析：由f(－x)＝－f(x)恒成立可得a ＝1 2 . 4. (2014 四川)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝?????－4x 2 ＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1， 则f ? ????32＝____________． 答案：1 解析：由题意可知，f ? ????32＝f ? ????2－12＝f ? ????－12＝－4? ?? ??－122 ＋2＝1. 5. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝ ?????ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2 x ＋1 ，0≤x ≤1，其中a 、b∈R .若f ? ????12＝f ? ????32，则a ＋3b ＝________． 答案：－10 解析：因为f ? ????12＝f ? ????32，函数f(x)的周期为2，所以f ? ????12＝f ? ????32－2＝f ? ?? ??－12.根据f(x)＝?????ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1 ，0≤x ≤1，得3a ＋2b ＝－2.又f(1)＝f(－1)，得到－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝ 0.结合上面的式子解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10. 6. (2014·苏州期末)已知f(x)＝? ????x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f(x 2 －x ＋1)<12的解集 是________． 答案：(－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f(3)＝12.从而x 2－x ＋1＜3，即x 2 －x －2＜0，∴ －1＜x ＜2. 7. (2014·徐州二模)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2 －3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________． 答案：(4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝?????－x 2 －3x ，x ≤0， x 2－3x ，x ＞0， f(x －1)＝? ????－（x －1）2 －3（x －1），x －1≤0， （x －1）2 －3（x －1），x －1＞0， 即f(x －1)＝? ????－x 2 －x ＋2，x ≤1， x 2－5x ＋4，x ＞1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为?????－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或? ????x 2 －5x ＋4＞－x ＋4， x ＞1， 解得x ＞4. 8. (2014·新课标)已知偶函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__________． 答案：3 解析：因为函数图象关于直线x ＝2对称，所以f(3)＝f(1)．又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3. 9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1) 求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2) 若f(x)＝x (0 又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x ＋2)＝－f(x)． 从而f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)＝0，当x ∈[－1，0)时，－x∈(0，1]， f(x)＝－f(－x)＝－－x. 故x∈[－1，0]时，f(x)＝－－x. 又f(0)＝0，x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x ＋4)＝－－x －4. 从而，x ∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x －4. 10. 设函数f(x)＝a x －(k －1)a －x (a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1) 求k 的值； (2) 若f(1)<0，试判断函数单调性，并求使不等式f(x 2 ＋tx)＋f(4－x)<0对任意实数x 恒成立的t 的取值范围． 解：(1) ∵ f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴ f(0)＝0，∴ 1－(k －1)＝0，∴ k ＝2. (2) f(x)＝a x －a －x (a>0且a≠1)， 由于f(1)<0，∴ a －1 a <0，∴ 0 ∴ f(x)在R 上是减函数．不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0等价于f(x 2 ＋tx) ∴ x 2＋tx>x －4，即x 2 ＋(t －1)x ＋4>0恒成立． ∴ Δ＝(t －1)2 －16<0，解得－3 11. 设y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数， 且当x≥0时， f(x)＝2x －x 2 . (1) 求当x<0时，f(x)的解析式； (2) 请问是否存在这样的正数a 、b ，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为???? ??1b ，1a ？ 若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1) 当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x －x 2 . 因为y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2，即f(x)＝2x ＋x 2 (x<0)． (2) 假设存在，则由题意知g(x)＝2x －x 2＝－(x －1)2 ＋1，x ∈[a ，b]，a>0, 所以1a ≤1， a ≥1, 从而函数g(x)在[a ，b]上单调递减．于是? ????2a －a 2 ＝1a ， 2b －b 2 ＝1b ， 所以a 、b 是方程2x －x 2 ＝1x 的 两个不等正根，方程变形为x 3－2x 2＋1＝0，即(x －1)(x 2 －x －1)＝0，方程的根为x ＝1或x ＝1±52.因为0 . 第5课时 函数的图象 1. 函数f(x)＝2x ＋1 x －1 图象的对称中心的坐标是________． 答案：(1，2) 解析：f(x)＝2＋3 x －1 . 2. 函数f(x)＝(2－a 2 )x ＋a 的图象在区间[0，1]上恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是________． 答案：(0，2) 解析：由题意，只需? ????f （0）>0， f （1）>0即可． 3. 设f(x)表示－x ＋6和－2x 2 ＋4x ＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是__________． 答案：6 解析：在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2 ＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f(x)取得最大值6. 4. 函数f(x)＝|x 2 －ax －a|(a>0)的单调递增区间是________． 答案：??????a －a 2＋4a 2，a 2和???? ??a ＋a 2＋4a 2，＋∞ 5. 不等式lg(－x) 6. 设D ＝{(x ，y)|(x －y)(x ＋y)≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t(t∈[－1，1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f(t)的图象的大致形状为__________．(填序号) 答案：③ 解析：如图平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除④；当t ＝－12时，S>1 4 S max ， 排除①②. 7. 对于函数y ＝f(x)(x∈R )，给出下列命题： ① 在同一直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称； ② 若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ 若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数； ④ 若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称． 其中正确的是______________．(填序号) 答案：③④ 解析：∵ f(x)与y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0对称，函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象可以分别由f(x)与y ＝f(－x)的图象向右平移了一个单位而得到，从而可得函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称，故①错误；若f(1－x)＝f(x －1)，令t ＝1－x ，有f(t)＝f(－t)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，故②错误；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x)，函数y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，故③正确；若f(1－x)＝－f(x －1)，则可得f(－t)＝－f(t)，即函数f(x)为奇函数，从而可得函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，故④正确． 8. (2014·苏北四市期末)已知函数f(x)＝x|x －2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为____________． 答案：[－1，＋∞) 解析：f(x)示意图如下：f(1)＝1，令x(x －2)＝1，x ＞2，解得x ＝2＋1，从而f(2－x)≤f(1)，即2－x≤2＋1，解得x≥－1. 9. 作出下列函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间． (1) y ＝|3x －1|； (2) y ＝|x －2|(x ＋1)． 解：(1) y ＝|3x －1|＝? ????3x －1，x ≥0，1－3x ，x<0，图象如下，其单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)． (2) 由y ＝|x －2|(x ＋1)＝ ??? ??－? ????x －122 ＋94 ，x<2，? ????x －122－94 ，x ≥2，图象如下，其单调增区间是 ? ????－∞，12和(2，＋∞)，单调减区间是? ?? ??12，2 . 10. 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围． 解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12 . 当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示， 由已知可得0＜2a ＜1，即0＜a ＜1 2，但a ＞1，故a∈ ． 综上可知，a 的取值范围为? ?? ??0，12. 11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f(2＋x)＝f(2－x)． (1) 证明：函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称； (2) 若f(x)是偶函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝2x －1，求x ∈[－4，0]时的f(x)的表达式． (1) 证明：设P(x 0，y 0)是函数y ＝f(x)图象上任一点，则y 0＝f(x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P′(4－x 0，y 0)．因为f(4－x 0)＝f(2＋(2－x 0))＝f(2－(2－x 0))＝f(x 0)＝y 0，所以P′也在y ＝f(x)的图象上，所以函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称． (2) 解：因为当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 所以f(－x)＝－2x －1. 因为f(x)为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－2x －1，x ∈[－2，0]． 当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0，2]， 所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x ＋7. 而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]． 所以f(x)＝???? ?2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0]. 第6课时 二 次 函 数 1. 函数y ＝2x 2 －8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________． 答案：[－6，12] 解析：y ＝2(x －2)2 －6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12. 2. 设f(x)＝ x 2 ＋ax ＋3，不等式f(x)≥a 对x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案：－6≤a≤2 解析：依题意，x 2 ＋ax ＋3－a≥0对x∈R 恒成立，故函数的图象恒在x 轴的上方或与x 轴最多只有一个公共点，从而Δ＝a 2 －4(3－a)≤0. 3. 二次函数f(x)＝2x 2 ＋5，若实数p≠q，使f(p)＝f(q)，则f(p ＋q)＝________． 答案：5 解析：由f(p)＝f(q)，知二次函数图象的对称轴为x ＝p ＋q 2 ，则f(p ＋q)＝f(0)＝5. 4. 已知函数f(x)＝ax 2 ＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________． 答案：[0，1] 解析：若a ＝0，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a 2a ≤1. 5. 已知二次函数f(x)＝ax 2 －4x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是 ____________． 答案：3 解析：由二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的值域为[0，＋∞)，知a>0，且b 2 ＝4ac ，从而 ac ＝4，则1a ＋9c ＝1a ＋9a 4≥21a ×9 4 a ＝3. 6. 若函数f(x)＝ax 2 ＋bx ＋6满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为__________． 答案：6 解析：由f(－1)＝f(3)知，对称轴x ＝－b 2a ＝1，则b ＝－2a ，所以f(2)＝4a ＋2b ＋6 ＝6. 7. 如图，已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a 、b 、c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A 、B 两点，若AC⊥BC，则a ＝________． 答案：－1 2 解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由条件，a(t －x 1)(t －x 2)＝2，又AC⊥BC，利用斜率关 系得，2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－1 2 . 8. 设函数f(x)＝? ??? ?－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等 式f(x)≤1的解集为____________． 答案：{x|－3≤x≤－1或x>0} 解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4， ∴ ?????x≤0，x 2＋4x ＋4≤1或? ????x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0. 9. 已知函数f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R )． (1) 若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝? ????f （x ），x ＞0， －f （x ），x ＜0，求F(2) ＋F(－2)的值； (2) 若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1) 由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f(x)＝(x ＋1)2 . 则F(x)＝? ????（x ＋1）2 ，x ＞0，－（x ＋1）2 ，x ＜0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2 ]＝8. (2) 由题意得f(x)＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2 ＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤ 1x －x 且b≥－1 x －x 在(0，1]上恒成立． 又当x∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1 x －x 的最大值为－2，故－2≤b≤0. 10. 已知f(x)＝x 2 ＋ax ＋3－a ，且f(x)在闭区间[－2，2]上恒为非负数，求实数a 的取值范围． 解：f(x)＝x 2 ＋ax ＋3－a ＝? ?? ??x ＋a 22＋3－a －a 2 4.由题意，f(x)≥0在x∈[－2，2]上恒成 立，即[f(x)]min ≥0. 当－a 2<－2，即a>4时，[f(x)]min ＝f(－2)＝7－3a ，由7－3a≥0，得a≤7 3 ，这与a>4 矛盾，此时a 不存在． 当－2≤－a 2≤2，即－4≤a≤4时，[f(x)]min ＝f ? ?? ??－a 2＝3－a －a 24，由3－a －a 2 4≥0，得 －6≤a≤2，此时－4≤a≤2. 当－a 2 >2，即a<－4时，[f(x)]min ＝f(2)＝7＋a ，由7＋a≥0，得a≥－7，此时－7≤a< －4. 综上所述，实数a 的取值范围是[－7，2]． 11. 已知a∈R ，函数f(x)＝x|x －a|. (1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间； (2) 当a>2时，求函数y ＝f(x)在区间[1，2]上的最小值； (3) 设a≠0，函数y ＝f(x)在(m ，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m 、n 的取值范围(用a 表示)． 解：(1) 当a ＝2时，f(x)＝x|x －2|＝? ????x （x －2），x ≥2， x （2－x ），x<2， 由图象可知，y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)． (2) 因为a>2，x ∈[1，2]，所以f(x)＝x(a －x)＝－x 2 ＋ax ＝－? ????x －a 22 ＋a 2 4 .