我所认识的应力与应变的关系
机械与动力工程学院
我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：
????
?
???
??????? ????=+??+??+?????? ????=+??+??+?????? ????=+??+??+??222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：
???
????????+??=??=??+??=??=??+??=??=
x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律：
x x E εσ= （3）
胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。
在三维应力状态下，描绘一点处的应力状态需要9个应力分量，相应的三维应力状态下，应力与应变之间仍然有类似式（1.1）的线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。对线弹性体，可以把单向应力状态下的胡克定律
推广到三维应力状态。推广得到的式子形式形式为
???????????+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=zx
yz xy z y x zx zx yz xy z y x yz
zx
yz xy z y x xy zx yz xy z y x z zx
yz xy z y x y zx yz xy z y x x c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 (4) 由于应力张量和应变张量的对称性，所以式中只有6个应力分量和应变分量，式
（4）建立了复杂应力状态下得弹性体应力和应变之间的关系，由于它是胡克定律的推广式，故称为广义胡克定律。式中系数mn C （m,n=1,2……6）称为弹性系数，如果弹性体式有均匀材料组成的，则弹性系数mn C 与坐标无关，为取决于材料特性的常数。式（4）可以简写为
kl ijkl ij C εσ= （5） 式中ijkl C 是一个四阶张量，称为弹性张量。满足广义胡克定律的线性弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线性弹性体的最一般情况。实际上大多数线性弹性体都具有某种取向性，因此满足的本构关系也是简单的。常用的线性体及其相应的本构方程形式如下：
（1）具有一个弹性对称面的线性弹性体
如果线性弹性体内的每一点都存在这样一个平面，与该平面对称的两个方向具有相同的力学性质，则该平面称为线性弹性体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为线性弹性体的弹性主方向，独立的弹性常数有13个，而且本构方程的形式如下
?????
?????????????????????????????????????=????????????????????zx yz xy z y x zx yz xy z y x C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ6656554434332423221413121100000000 (6) （2）正交各向异性弹塑体
如果线性弹性体内的每一点都存在三个相互垂直的弹性对称面，则称此类线性弹性体为正交各向异性弹性体，正交各向异性弹性体工程中常用的一种线性弹性体材料模型，对于此类线性弹性体，独立的弹性常数减少到9个，而且本构方程的形式如下：
????????????????????????????????????????=????????????????????zx yz xy z y x zx yz xy z y x C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66565544332322131211000000000
00 （7） 工程上正交各向异性弹性体的本构方程常采用如下表达式
????????????
????????????????????????????
????????????????????---=????????????????????zx yz xy z y x zx yz xy z yz y xz xy x zx yz xy z y x G G G E E E τττσσσυυυγγγεεε101001000100010001 （8） （3）各向同性弹性体
所谓各向同性弹性体，从力学意义山讲，就是弹性体内的每一个点沿各个方向的力学性质都完全相同。这就意味着各向同性弹性体的力学特征的可知，这类弹性体独立的弹性常数只有两个。令μ2=-b a ，λ=b ，321εεε++=Θ则可得下列 本构方程：
??
???+Θ=+Θ=+Θ=332211222μελσμελσμελσ （9） 式中：λ，μ称为lame 弹性常数
在任意的坐标系里，本构方程可以表示为如下的一般的形式，
??
???=+Θ==+Θ==+Θ=zx zx yz yz xy xy μγτμελσμγτμελσμγτμελσ332211222 （10） 或者简写为ij ij ij ij ij μεδλμελεδσ22+Θ=+= （11） 工程中常把各向同性弹性体的本构方程写成如下形式：
()[]()[]
()[]?????????=+-==+-==+-=zx zx y x z x yz yz z x y y xy xy z y x x G E G E G E τγσσνσετγσσνσετγσσνσε111111 （12） 或简写成ij kk ij ij E
E δσυσυε++=
1 （13） 式中：E ，υ，G 分别为弹性模量，泊松比和剪切弹性模量，在三个参数之间，实际上独立的常数只有两个他们之间有如下的关系 ()
υ+=12E G (14) Lame 常数λμ与工程弹性系数E ，υ，G 之间的关系可利用上述公式求得
()()m z y x z y x E
E συσσσυεεε21321-=++-=++=Θ （15） 令()υ213-=
E K 则式可改写成 K
m
σ=Θ (16) 式反映了体积应变与平均应力之间的关系，称为体积应变的胡克定律，K 称为体积模量。将式的（15）带入（16）得到 ()ij kk ij ij E
δσμυλσμε22121--= （17） 比较式（17）得到
()()()???
????+==-+=υμυυυλ12211E G E (18) 此外，弹性体受外力作用后，不可避免的要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化成内能。假设弹性体的变形过程是绝热的，也就说变形过程中没有热量的得失。同时假设载荷施加的足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略。则根据热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性变形能或弹性应变能。定义函数U 0(?ij ),使之满足
ij ij ij U σεε=??)
(0 （19）
称为格林公式。函数U 0(?ij )表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变能密度函数。简称为应变能。假如函数U 0(?ij )的具体函数形式能够确定的话，那么弹性体的应力应变关系也就完全确定了。这表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。
以上讨论的都是弹性体在弹性阶段内所满足的关系。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分成两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸载后固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形成为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段成为弹性阶段；外力一旦超过弹性极限荷载，这时再卸除载荷，固体也不能恢复原状，其中有部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就成为塑性变形，这一阶段成为塑性阶段。在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且通常还是非线性关系（这种非线性成为物理非线性）。
下面我们通过简单拉伸试验，以及常温静载下的一条典型应力—应变曲线来讨论弹性体的屈服阶段。如图所示
（1）随着载荷的增加，在变形的最初阶段直到A 点之前，应力σ和应变ε成直线关系
εσE = （20）
式中：αtan =E 为直线的斜率，即弹性模量。由于在变形超过A 点之后，应力σ和应变ε成线性关系，所以与A 点相应的应力称为材料的比例极限并用p σ表示
1）当载荷继续增加，变形增长比在A 之前稍大，但在未超过B 之前，如果卸除载荷，变形是可以恢复的。所以OB 段仅有弹性变形，与B 点相应的应力称为材料的弹性极限，并用σe 表示。
2）继续加载达到C 点后，变形增长开始变快。如果是软钢材料制成，那么曲线上将会有一个明显的平缓段，即出现应力保持不变而应变可以有很大增长的现象，这种现象称为材料屈服，相应的应力称为屈服极限，并用σs 表示。但如
果材料是高强度合金钢或者铝合金等材料制成，曲线上就没有明显的屈服段。曲
线上σ=σ
的点就是初始弹性阶段的界限，超过此极限以后材料就进入塑性阶段
s
了。所以把它称为初始屈服点，也就是曲线上的C点。材料由初始弹性阶段进入塑性阶段的过程称为初始屈服。
图1
3）在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D处卸载，应力与应变之间不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA的直线DO'变化，直到应力下降为零，这时应变并不变为零，即有塑性应变产生，如果应OD'表示总应变?，O'D'表示可以恢复的弹性应变?e，OO'表示不能恢复的塑性应变?p，则有
?=?e+?p
即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
若在卸载之后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O'D变化，直至应力超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（硬化）现象。为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继屈服，相应的屈服点D
表示。
称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并用σ'
s
5）如果在完全卸载后施加相反方向的载荷，譬如由拉伸改为压缩，则曲线沿DO'的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D''点后又开始进入屈服，并有反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为Bauschinger 效应。这个效应说明材料在某一个方向上的硬化将引起反方向的软化。
6）在εσ-曲线达到最高点E 时，载荷达到最大值，相应的应力称为强度极限，并用b σ表示。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后载荷开始下降，直至试件断裂破坏。这种降低而应变增加的现象称为应变软化（简称软化）。
从以上关于简单拉伸试验所观察的现象可以知道，材料的塑性变形规律即塑性本构关系与弹性本构关系有很大的不同，它具有以下几个重要的特点：
（1）首先，需要判断材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段，为此需要一个判断材料弹性与塑性界限的准则，称之为屈服条件。对单向应力状态（如简单拉伸或压缩）这个条件为s σσ=（初始屈服条件）
（2）在应力满足屈服条件时，应力的变化还有两种可能：加载和卸载。如果继续加载，将有新的塑性变形产生；但是如果卸载，应力与应变之间服从初始的胡克定律关系，因此，需要有一个判断加载还是卸载的判断式，即所谓的加载和卸载准则。
（3）应力和应变之间是非线性关系。
（4）应力和应变之间不存在弹性阶段那样的单值关系。这是因为进入塑性阶段后，加载和卸载服从不同的规律，这一点决定了它和非弹性问题的不同。
现在讨论弹性体在塑性阶段的应力应变关系。形变理论是塑性力学中物理关系比较简单的一种，这个理论和弹性力学分析问题的方法是一致的，即要以变形的全量作为基础，因此确定物理方程时，就需要保持弹性力学物理方程中的一些特点。为了建立塑性力学中全量理论的物理方程，需要采用如下几个假定：
⑴应力主方向与应变主方向是重合的，即应力Mohr 圆与应变Mohr 圆相似，应力Lode 参数σμ和应变Lode 参数σμ相等，而且在整个加载过程中主方向保持不变。
⑵平均应力与平均应变成比例。
⑶应力偏量分量与应变偏量分量成比例。
⑷应力强度是应变强度的函数, 而这个函数对每个具体材料都应通过实验来确定。即t i E εσ=，这里的E 不仅与材料有关，而且也和塑性变形程度有关。
将上述几点假设与广义胡克定律做一个比较，发现只有第四点与弹性力学不同，而形变理论却包括了前一种情况，因为胡克定律是这里的一种特殊情况。
全量理论——依留申本构方程，主要适用于强化材料
()()()()??????????
???Φ==Θ=??????+-==??????+-==??????+-=
i i m zx i i zx y x z i i z yz i i yz x z y i i y xy i i xy z y x i i x K e e e e e e εσστσεγσσσστσεγσσσστσεγσσσσ,13,213,213,21 （21） 或简写形式
()?????Φ=-+=
i i ij kk ij i i ij E S εσδσνσεε32123 （22）
在塑性变形阶段，应力和应变的关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，还和变形历史有关。考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论。塑性变形过程是不可逆的，变形功的较大部分皆转变为热，最后状态的应力与变形路径有关。由于这一点，描写塑性变形的方程式原则上不能由应力分量和应变分量的有限关系式相联系，而必须是微分关系式，此外，还必须是非积分形式的。塑性流动理论方程式建立了应变的无限小增量与应力的无限小增量，应力本身，以及塑性状态的某些参数之间的关系。因为塑性变形与应力路径有关，因此常常需考虑取全部加载过程增长了的塑性应变，并通过积分，确定总的塑性应变。但是，如果是有一比例的应力路径即简单加载时，如各应力按相同比例增加则塑性应变状态与加载过程无关，而只与最终的应力状态有关。
增量理论又称流动理论，是描述材料在塑性状态时应力与应变增量之间关系的理论。历史上这个理论发展得比形变理论更早，它不受加载条件的限制, 在理论上比形变理论更有优越性，但在实际应用时，需要按加载过程中的变形路径进
行积分，因此计算是比较复杂的。
在复杂加载的条件下，变形过程将不按统一的比例变化，因而问题比形变理论复杂得多。在这种情况下，可以假设在某一瞬时，应变增量的主轴与应力偏量的主轴是重合的，因而各应力偏量分量与各应变增量或与各应变偏量增量的分量在此瞬时成同一比例。由此在各向同性体的塑性流动理论中，有下列假设，而这些假设一般是可以通过实验验证的。
⑴主伸长增量速度的方向与主应力方向重合。
⑵体积变形的变化与平均应力成正比，而且完全是弹性的。
⑶应力偏量与应变增量速度成比例。
⑷应力强度是应变增量速度强度的函数。对于理想塑性材料，应力强度是个常数。
增量理论之一——适用于理想弹塑性材料的 Prandtl — Reuss 理论 ???????????=Θ+=+=+=+=+=+=
m zx zx zx z z z yz yz yz y y y xy xy xy x x x d K d d d G de S d dS G de d d G de S d dS G de d d G de S d dS G de σλττλλττλλττλ121,2121,2121,21 （23） 或简写形式 ij kk ij ij ij d E
S d dS G d δσνλε32121-+?+= （24） 式中：λd 是一个与加载历史有关的大于零的比例系数
增量理论之二——适用于理想刚塑性材料的Levy — Mises 理论??
???======zx zx z z yz yz y y xy xy x x d d S d d d d S d d d d S d d λτελελτελελτελε,,, （25）
或简写形式 ij ij S d d λε=
增量理论着重指出了塑性应变增量的偏量与应力偏量的关系，可理解为它是建立起各瞬时应力或应力增量与应变的变化关系。
由上可知弹塑性力学中的应力与应变的关系在不同条件下是不同的，但又存在着联系使得应力与应变的关系相互统一。
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
1.应力 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。 方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器，可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪，关键的指标有：测试精度，采样速度，测试可以支持的通道数，动态范围，支持的应变片型号等。并且，应力仪所配套的软件也至关重要，需要能够实时显示，实时分析，实时记录等各种功能，高端的软件还具有各种信号处理能力。另外，有一些仪器是通过光谱，膜片等原理设计的。 应力的单位：应力的单位是Pa，简称帕（这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的），即牛顿/平方米（N/ ㎡）。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为 ，式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。 应变单位：应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。 材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征，用E表示。定义为理想材料有小
各向异性弹性体的应力和应变关系
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下面从广义胡克定理公式出发,用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式,如果对切应变γxy求偏导数，有。 同理,有;对 于上式,如果对正应变εx求偏导数，有。 因此，Ｃ1４＝C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析,则Ｃmn＝Cｎｍ 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。 以下根据完全各向异性弹性体本构方程,推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动ｚ轴转动π 角度,成为新的Ｏx'ｙ'ｚ'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z ｘ'l =-1m1=0n1=0 １ ｙ＇l =-1ｍ2＝0n2=0 ２ z'l3=-1m３=0n3=0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以σx'=σx，σy'＝σy,σz＇＝σz，τｘ'y' =τxy，τy'z'＝τyz，τz'ｘ' =τｚx εx＇=εx，εｙ' =εy,εz' =εz,γx'y' =γxy，γｙ＇ｚ＇＝γyz,γz'x' ＝γzx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时,本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C１4=C16=C24＝Ｃ26=C３４=C3６=C54=C５6=０ 这样,对于具有一个弹性对称面的弹性体,其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。 一．典型应力-应变关系 图1-1 典型应力-应变曲线
1） 弹性阶段（OC 段） 该弹性阶段为初始弹性阶段OC （严格讲应该为CA ’）,包括：线性弹性分阶段OA 段，非线性弹性阶段AB 段和初始屈服阶段BC 段。该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：εσE =，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。 2）塑性阶段（CDEF 段） CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并用σb 表示。超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”（necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。 该阶段应力和应变的关系：)(ε?σ=。 3）卸载规律 如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC 上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO 卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D 处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用 OD ′表示总应变ε，O ′D ′表示可以恢复的弹性应变εe ，OO ′表示不能恢复的塑性应变εp ，则有 p e εεε+= (1-1) 即总应变等于弹性应变加上塑性应变。 该阶段应力和应变的关系满足εσ?=?E 。 4）卸载后重新加载
第三章 应力与强度计算 一.内容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。 1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力 1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1） 杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；如果是偏 心受压或受拉的轻质杆件，那么必然存在靠近轴力的一侧受压，远离轴力的一侧受拉，应力肯定不同，方向相反。并存在中和轴。（即应力在中和轴处为0） （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（大于截面宽度的长度范围内——圣维南） （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀（即应力集中）； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0 20α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。 1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1） 图3-1 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2cos ασσα=（3-3） 切应力1sin 22 ατσα= （3-4） 式中σ为横截面上的应力。
正负号规定： α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。 ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。 两点结论： （1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。当α=0 90时，即纵截面上，ασ=090=0。 （2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2αα τ=。 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1l l l ?=- 轴向线应变 l l ε?= 横向变形 1b b b ?=- 横向线应变 b b ε?'= 正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E σε= （3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l EA ?= (3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ?； (b)在计算l ?时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
4 应力应变关系 4.1弹性变形时应力和应变的关系 当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即 1()1() 1() 111222x x y z y y x z z z x y xy xy yz yz zx zx E E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ?=--?? ?=--???=--???===? ，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足() 21E G ν=+关系。 由上式可得 11212()()33m x y z x y z m E E νν εεεεσσσσ--=++= ++= （4.2） 于是 11 ()'2x m x m x E G νεεσσσ+-= -= 或 1112''22x m x x m G G E ν εεσσσ-=+ =+ 类似地可以得到 1112''22y m y y m G G E ν εεσσσ-=+ =+ 1112''22z m z z m G G E ν εεσσσ-=+=+ 于是，方程（4.1）可写成如下形式 121 2'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-?????? ? ? ?=+ ? ? ? ? ? ????? ?? 即 '1122ij ij m ij ij m G E ν εεεσδσ-'=+= + （4.3）
显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。前者与球应力分量成正比，即 12m m E νεσ-= （4.4） 后者与偏差应力分量成正比，即 ''12''12''1211 1222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zx G G G εεεσεεεσεεεσετετετ? =-=?=-=??=-=??=== ? ，， 或简写为 2ij ij G σε''= （4.5） 此即为广义Hooke 定律。 4.2塑性变形时应力和应变的关系 弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke 定律为其基础的；而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。 塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。 4.2.1增量理论 在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。图4.1所示低碳钢拉伸实验的结果表明：在应力超过弹性极限条件下卸载时，其应力应变基本呈平行于弹性线的线性关系，直到材料反向时的屈服极限's σ，这就是材料的卸载规律（图4.1a ）。因此，当材料发生塑性 图4.1 单向拉伸随加载历史变化的应力应变关系
我所认识的应力和应变之间的关系 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。 所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。 各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。 3.应力强度与应变强度成比例。 4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ???=-+=???????=-+=???????=-+=???? ，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为() 21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1 OA: 比例阶段；线性弹性阶段 AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段 EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段 s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸 载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规 律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后
我所认识的应力和应变 应力和应变这两个概念对我来说并不算陌生，在之前材料力学中学习了平面应力状态以及平面应力状态下的应变分析，而这学期的弹塑性力学则主要研究空间应力应变状态。 一． 应力 1. 应力的定义 应力表示内力在截面上某一点的分布集度，它是一个矢量，不仅有大小和方向，而且和点的位置以及通过该点截面的方向有关。应力的国际单位为N /㎡,简写为Pa 。 2. 一点的应力状态 由于一点的应力矢量与该点的位置以及通过该点截面的方向有关，所以只是描述应力，应同时指明它是对物体内的哪个点，并过该点的哪一个微分面，物体内同一点各微分面上的应力状况，即一点的应力状态。 过物体内某一点M 分别截取三个互相垂直的微分面，并使这三个微分面的外法线方向分别与三个坐标轴的方向一致，不失一般性地假设为与三个坐标轴的正方向一致。则三个微分面上的应力矢量可分别表示为： x x xy xz P i j k σττ=++ y y x y y z P i j k τστ=++ z z x x y z P i j k ττσ=++ 上式中出现了9个应力分量，这9个应力分量作为一个整体组成了一个所谓的二阶张量，而上式中的9个应力分量组成了一个33?的矩阵 ??????????=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ 称为应力张量。在三维空间中，9个元素组成的张量称为二阶张量。三个应力张量的不变量均可由三个主应力表示。由于该点各个截面的应力情况确定了，主应力也就确定了，并且主应力是不随坐标改变的，从而应力张量不变量也唯一确定了。应力张量是一个二阶张量，应力张量的各个分量在坐标变换时，服从二阶张量的坐标变换规律。 3. 应力满足条件 应力是一个二阶对称张量。处于平衡状态的物体的物体内部个点需要满足平
我所认识的弹塑性力学 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。 一绪论 1、弹塑性力学的概念和研究对象 弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。 2、弹塑性简化模型及基本假定 在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性
假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。 3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别 一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。 弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别
在ABAQUS 中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS 需要这些值并对应地在输入文件中解释这些数据。 然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。 考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： 00l A lA =， 当前面积与原始面积的关系为： 将A 的定义代入到真实应力的定义式中，得到： 其中0 l l 也可以写为1nom ε+。 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系： 真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下： 上式各加1，然后求自然对数，就得到了二者的关系： ABAQUS 中的*PLASTIC 选项定义了大部分金属的后屈服特性。ABAQUS 用连接给定数据点的一系列直线来逼近材料光滑的应力－应变曲线。可以用任意多的数据点来逼近实际的材料性质;所以，有可能非常逼真地模拟材料的真实性质。在*PLASTIC 选项中的数据将材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。选项的第一个数据定义材料的初始屈服应力，因此，塑性应变值应该为零。 在用来定义塑性性能的材料实验数据中，提供的应变不仅包含材料的塑性应变，而是包括材料的总体应变。所以必须将总体应变分解为弹性和塑性应变分量。弹性应变等于真实应力与杨氏模量的比值，从总体应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变，其关系为： 其中pl ε是真实塑性应变，t ε是总体真实应变，el ε是真实弹性应变。 总体应变分解为弹性与塑性应变分量 实验数据转换为ABAQUS 输入数据的示例 下图中的应力应变曲线可以作为一个例子，用来示范如何将定义材料塑性特性的实验特性的实验数据转换为ABAQUS 适用的输入格式。名义应力－应变曲线上的6个点将成为*PLASTIC 选项中的数据。 第一步是用公式将名义应力和名义应变转化为真实应力和应变。一旦得到这些值，就可以用公式不确定与屈服应力相关联的塑性应变。下面给出转换后的数据。在小应变时，真实应变和名义应变间的差别很小，而在大应变时，二者间的就会有明显的差别;因此，如果模拟的应变比较大，就一定要向abaqus 提供正确的应力－应变数据。定义这种材料的输入数据格式在图中给出。 （二）. 对于受力的大小,受力的方式,还有本构方程参数的选择对于模型是否收敛影响很大. 泊松比的影响：材料的泊松比的大小对于网格的扰动影响很大，在foam 中，由于其泊松比是0，所以它对于单元的扰动不是很大。所以在考虑到经常出现单元节点被翻转过来的现象，可以调整泊松比的大小。 REMESH ：对于creep 的，特别是材料呈现非线性的状态下，变形很大，就有必要对其进行重新划分网格，用map solution 来对其旧网格进行映射。这就要决定何时进行重新划分网格，这个就要看应变的增长幅度了，通过观察网格外形的变化曲线来决定是否要进行重新划分区域。 接触表面的remesh 时，网格类型，单元数目等必须和原有的mesh 保持一致，这个对于
机械与动力工程学院动力工程专业南京工业大学我所认识的应力与应变机械与动力工程学院动力工程专业学号602430107013 杨栋君一点的应力应变应力与应变材料应力应变是材料力学与弹塑性力学两门课程中两个非常重要的基本概念，力学主要讨论平面应力状态以及平面应力状态下的应变分析，而弹塑性力学则研究空间应力状态与应变状态。我最先接触应力与应变是在材料力学的绪论中，材料力学中的应力首先是由研究构件（组成机械的零件或结构物的构件统称为构件，如建筑物的梁和柱，机床的轴等）截面处某一点的强弱程度而逐渐引入的。应力定义为“单位面积上所承受的附加内力”。材料力学中物体因受外力作用而变形，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用称为内力在内力，内力截面m ? m 上，围绕c 点取微小面积?A ，?A 上分布内力内力的合力为?p （?p 的方向和大小内力与 c 点的位置和?A 的大小有关），平均应力pm = ?p ，代表在?A 范围内，单位面积上内?A 力的平均集度。通过引入数学的极限法，随着?A 的逐渐缩小，当?A 趋于零时，平均应力?p ，称p 为c 点的应力应力。应力应力?A p 是一个矢量，一般既不与截面m ? m 垂直，也不与截面m ? m 相切。lim lim pm 的大小和方向都趋向于一定极限，即p = ?A→0 pm = ?A→0 在弹塑性力学中，针对应力应力首先引入了体力（作用在物体微粒体积上的力）和面力（沿应力着物体表面的分布力）的概念。可变形固体在外力等因素的作用下，其内部各部分之间就要产生相互的作用，内力内力指物体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力。应力应力就是内力应力载荷引起的物体内单位面积上的内力，内力，内力在截面上某一点的分布集度。这点与材料力内力表示内力内力学中的应力的定义基本一致。但弹塑性力学中更细化的从空间（取平行于坐标面的3 个两两垂直的微元平面）研究一点c 处的应力状态，当微元面趋于零时，上面作用的应力就代表过c 点任何截面上的应力，由爱因斯坦的求和约定引入了应力张量。每一行为过 c 点的一个面上的 3 个应力分量，便构?σx τxy τxz ? ?σ 11 σ 12 σ 13 ? ? ? ? ? 成应力张量。σ ij = ?τ yx σ y τ yz ? 或者σ ij = σ21 σ22 σ23 （应力张量的9 个分量必? ? ?τzx τzy σz ? ?σ31 σ32 σ33 ? ? ? ? ? 须满足正交坐标系中二阶张量的变换公式）。由此可以看出应力不是一个简单的矢量，它是对某点内力的精确描述。与材料力学中的不同，在弹塑性力学中应力是一个依赖于另一个矢量的矢量，它是一个二阶张量，而且是一个二阶对称张量，既与所研究的点的位置有关，也机械与动力工程学院动力工程专业南京工业大学与面元的位置有关。根据x, y , z 三个方向内力的平衡方程，运用高等数学展开为级数并略去高阶微量，便得平衡方程（即平衡微分方程），它所描述的是内部应力与外部应力之前的关系，这点与材料力学中描述物体内部各部分之间相互作用的应力有所区别的。根据通过微元体中心且平行于x, y , z 轴的线为取力矩的轴，列力矩平衡条件，则可得：τ xy = τ yx ,τ yz = τ zy ,τ zx = τ xz 。这个公式表明的就是剪应力互等定理，与材料力学中剪应力互等定理描述的正应力和切应力略有不同：弹塑性力学和材料力学正应力方向相同，切应力符号不同。针对12 个力的空间力系，可以表述成6 个方程（3 个力的平衡方程，3 个力矩平衡方程）。一点的应力状态是为任意点处各个方向上的应力状况。针对内部微元体的平衡则采用应力平衡方程（即纳维方程）σ ij , j + Fi = 0 ；边界微元体的平衡采用应力边界条件，，{l , l , l }---边界外法线的方向余弦，? p , p , p ? ---边界上已知的面力分量，? ? →→→ x y z ? x y z ? ?σ xx σ yx ? ?σ xy σ yy ?σ xz σ yz ? ?→? σ zx ? ? p x ? ?σxx σ yx σ zx ? ?l x ? → ? ? ? σ zy ? ---边界各点应力，应力的边界条件：? p y ? = ?σ xy σ yy σ zy ? ?l y ? ? ? ?→? σ zz ? ? p ? ?σ xz σ yz σ zz ? ?l z ? ? ?? ? ? ? z? ? ? 针对应变应变，材料力学中是这样定义的：物体在外力作用下，发生变形，同时引起应力，应变物体内部各点处变形程度一般并不相同。用以描述一点处变形的程度的力学量是该点的应变（描述线变形的称为线应变；描述角变形的为切应变），描述应变也运用了高等数学
第四章应力和应变关系 一. 内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二. 重点 1. 应变能函数和格林公式； 2. 广义胡克定律的一般表达式； 3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系； 4. 各向同性材料的本构关系； 3. 材料的弹性常数。 知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式 完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系 弹性常数 各向同性弹性体应变能
格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系 各向同性弹性体的应力和应变关系 应变表示的各向同性本构关系 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点： 1. 应变能； 2. 格林公式； 3. 应变能原理。 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。