4 平摆线和渐开线
1．平摆线形成原理
原理：当一动圆沿一条线作纯滚动时，动圆上任意点的轨迹称为摆线。引导动圆滚动的线称为导线。当动圆沿直导线滚动时形成平摆线；当导线为圆，动圆在导圆上作外切滚动时形成外摆线，作内切滚动时形成外内摆线。
2．渐开线
渐开线画法
将一个圆轴固定在一个平面上，轴上缠线，拉紧一个线头，让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切，那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线。
直线在圆上纯滚动时，直线上一点K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线称为渐开线的发生线。渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。渐开线方程为：
x=r×cosθ+θ×r×sinθ
y=r×sinθ-θ×r×cosθ
z=0
式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度
展角θ和压力角α之间的关系称为渐开线函数
θ=inv(α)=tan(α)-α
式中，inv为渐开线involute的缩写
渐开线画法:
已知圆的直径D，画渐开线的方法如图
(1）将圆周分成若干等分（图中为12等分），将周长πD作相同等分；
(2）过周长上各等分点作圆的切线；
(3）在第一条切线上，自切点起量取周长的一个等分（πD/12）得点1；在第二条切线上，自切点起量取周长的两个等分（2xπD/12）得点2；依此类推得点3、4、 (12)
(4）用曲线板光滑连接点1、2、3、……、12；即得圆的渐开线。
3．渐开线具有下列特性：
（1） 因发生线与基圆之间为纯滚动，没有相对滑动，所以
（2）当发生线沿基圆作纯滚动时，B 点是它的速度瞬心，因此直线是渐开线上K 点的法线，且线段为其曲率半径。又因发生线始终切于基圆，故渐开线上任意一点的法线必与基圆相切；或者说，基圆的切线必为渐开线上某一点的法线。
（3）渐开线齿廓上某点的法线(压力方向线)，与齿廓上该点速 度方向所夹的锐角，称为该点压力角。今以表示基圆半径，
由图可知
上式表示渐开线齿廓上各点压力角不等，向径
越大，其压力角
越大。
（4）渐开线形状决定于基圆的大小。 基圆大小不等的渐开线形状不同。如图4-4所示为基圆大小
不等的两条渐开线在压力角相等的点K 相切。由图可见，基圆越大，它的渐开线在K 点的曲率半径越大，即渐开线愈趋平直。当基圆半径趋于无穷大时，其渐开线将成为垂直于K 的直线，它就是渐开线齿条的齿廓。
（5）基圆以内无渐开线。
1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=??=?
，（θ为参数）； 2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ
=+??=+?（θ为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
4．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数
t 的函数?
??==),t (g y ),t (f x
并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
5．圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.
rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ???+=+=.
椭圆1b y a x 22
22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.
bsin y ,acos x 为参数??????==. 抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,2pt x 2为参数?
??==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为?
?
?+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）。
6. 求轨迹的参数方程的一般步骤是： ⑴建立适当的坐标系，设曲线上任意一点（动点）的坐标为P(x ，y)；
⑵根据题意选择与动点P 有直接联系的参数t ；
⑶根据轨迹条件求出x 和y 与参数 t 之间的函数关系，从而得到参数方程。
7．求轨迹的参数方程时，参数选得不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的。
8．曲线的参数的选择可以有着明显的几何意义和物理意义，也可以没有任何意义。
9．在用曲线的参数方程时，要注意参数的取值范围。