章末评估验收(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是( ) A ．2 3 B ．2 2 C ．4 3 D ．4 2 解析：因为3x 2
－y 2
＝9，所以 x 23－y 2
9
＝1，
所以 a ＝3，所以 2a ＝2 3. 答案：A
2．抛物线y ＝－1
8x 2的准线方程是( )
A ．x ＝132
B ．y ＝2
C ．y ＝1
32
D ．y ＝－2
解析：将y ＝－18x 2
化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y
＝2.
答案：B
3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1
2，且它的一个焦点与抛
物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.x 24＋y 2
3＝1 B.x 28＋y 2
6＝1 C.x 22
＋y 2
＝1 D.x 24
＋y 2
＝1 解析：因为抛物线焦点为(－1，0)，所以 c ＝1，
又椭圆的离心率e ＝1
2，
所以 a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 所以 椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
答案：A
4．已知曲线x 2a ＋y 2
b ＝1和直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b 为非零实数)，
在同一坐标系中，它们的大致图象可能为(如图所示)( )
解析：若a ＞0且b ＞0，则曲线表示椭圆，直线ax ＋by ＋1＝0在x ，y 轴上的截距分别为－1a ，－1
b ，均为小于零的数，故A ，B 选
项都不满足；若a ＞0且b ＜0，则曲线表示双曲线，直线ax ＋by ＋1＝0在x ，y 轴上的截距分别为－1a ，－1
b ，所以在x 轴上的截距小于0，
在y 轴上的截距大于0.
答案：C
5．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －
y 2
5＝1的( )
A ．实半轴长相等
B ．虚半轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
解析：因为0＜k ＜5，所以两曲线都表示双曲线．
在x 216－y 25－k
＝1中，a 2＝16，b 2＝5－k ； 在x 216－k －y 25＝1中，a 2＝16－k ，b 2＝5.由c 2＝a 2＋b 2， 知两双曲线的焦距相等． 答案：D
6．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5
4
x 0，则x 0等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8
解析：如图所示，易知F ? ??
??14，0，过A 作AA ′⊥准线l ，则|AF |＝|AA ′|，
所以 54x 0＝x 0＋p
2＝x 0＋14，
所以 x 0＝1. 答案：C
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( )
A.1－52
B.5－12
C.－1－52
D.5＋12
解析：依题意有(2b )2＝2a ·2c ，即4b 2＝4ac ， 所以 b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，所以 a 2－c 2＝ac .
两边同除以a 2
，得1－? ??
??c a 2－c
a ＝0.
即有e 2＋e －1＝0，
解得e ＝5－12或e ＝－5－1
2(舍去)．
答案：B
8．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
3
＝1的左焦点为F (－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )
A.3
4
B ．1
C ．2
D ．4 解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)， 所以 m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又因为直线l 与圆M 相切，
所以 c ＝1，所以 a 2－3＝1，所以 a ＝2. 答案：C
9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )
A.43
B.75
C.8
5
D ．3 解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，
与抛物线联立方程组得???4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，
消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ
＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，
解得c ＝－4
3，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋
3y －4
3
＝0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式
得d ＝
|－43＋8|42＋32＝43
. 答案：A
10．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2－y
28＝1(x ＞1)
B ．x 2－y
28＝1(x ＜－1)
C ．x 2＋y
28
＝1(x ＞0)
D ．x 2－y
210
＝1(x ＞1)
解析：设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. 所以 |PM |－|PN |＝
(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |)＝
|MB |－|NB |＝4－2＝2.
所以点P 的轨迹是以M (－3，0)，N (3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B 点)，且a ＝1，
所以 c ＝3，b 2＝8，
所以双曲线方程是x 2
－y 2
8
＝1(x ＞1)．
答案：A
11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P
为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
解析：由椭圆方程得F (－1，0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →
＝(x 0，
y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 2
0.
因为P 为椭圆上一点，所以 x 204＋y 20
3＝1.
所以 OP →·FP →＝x 2
0＋x 0＋3?
??
??1－x 204＝
x 20
4＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. 因为－2≤x 0≤2，
所以 OP →·FP →
的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 答案：C
12．从双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2
的切线，切点为T.延长F1T交双曲线右支于P点，若M为线段F1P 的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为() A．|MO|－|MT|＞b－a
B．|MO|－|MT|＝b－a
C．|MO|－|MT|＜b－a
D．不确定
解析：如图，设双曲线的右焦点为F2，连接PF2.
因为O、M分别为F1F2、F1P的中点，
所以OM是△PF1F2的中位线，
所以|OM|＝1
2|PF2|，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝|PF1|－2a，
所以|MO|－|MT|＝1
2(|PF1|－2a)－|MT|＝
1
2|PF1|－|MT|－a＝|MF1|－|MT|－a＝
|TF1|－a＝|OF21|－|OT|2－a＝
c2－a2－a＝b－a.
答案：B
二、填空题(
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．双曲线x 216－y 2
9＝1的两条渐近线的方程为___________．
解析：双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为x 216－y 2
9＝0，
即y ＝±3
4x .
答案：y ＝±3
4
x
14．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．
解析：设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，0)，准线为x ＝－1，|AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1.则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.
答案：2
15．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥AB →
时，此类椭圆称为“黄金椭圆 ”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________．
解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
由题意得????
?|AB |2＝a 2＋b 2，
|BF |＝b 2
＋c 2
＝a ，|AF |＝a ＋c .
因为BF →⊥BA →
，所以 |AB |2＋|BF |2＝|AF |2， 所以 (a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， 所以 c 2＋ac －a 2＝0.
所以 e 2＋e －1＝0，又0＜e ＜1， 所以 e ＝5－1
2.
答案：
5－1
2
16．抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是________．
解析：设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称．
当m ≠0时，???y 21＝x 1，y 2
2＝x 2，?y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y
＝－1
m ，
所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m
2)，
因为M 在抛物线内，则有52＞(－m
2)2，
得－10＜m ＜10且m ≠0， 综上所述，m ∈(－10，10)． 答案：(－10，10)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
解：由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
a 2
－25＝1，双曲线方程为y 2b 2－x 2
25－b 2
＝1(b ＞0)．
点P (3，4)在椭圆上，则16a 2＋9
a 2－25＝1，得a 2＝40，
双曲线过点P (3，4)的渐近线方程为y ＝
b 25－b
2
x ，
即4＝b 25－b 2
×3，得b 2＝16.
所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 2
9＝1.
18．(本小题满分12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2
＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
解：(1)由???y ＝x ＋b ，x 2
＝4y
得x 2
－4x －4b ＝0，(*)
因为直线l 与抛物线C 相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.
故点A (2，1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，
所以圆A 的半径r 等于圆心A 与抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
19．(本小题满分12分)已知双曲线方程为x 2
－y 2
2
＝1，问：是否
存在过点M (1，1)的直线l ，使得直线与双曲线交于P ，Q 两点，且M 是线段PQ 的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．
解：显然x ＝1不满足条件，设l ：y －1＝k (x －1)． 联立y －1＝k (x －1)和x 2
－y 2
2
＝1，
消去y 得(2－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －3＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由Δ＞0，得k ＜3
2，x 1＋x 2＝2（k －k 2
）2－k
2，
由M (1，1)为PQ 的中点，得x 1＋x 22＝k －k 2
2－k 2＝1， 解得k ＝2，这与k ＜3
2 矛盾，
所以不存在满足条件的直线l .
20．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心
率为6
3，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B
两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．
(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
解：(1)由已知得c ＝22，c
a ＝63.
解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .
由?????y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1
得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1＜x 2)， AB 中点为E (x 0，y 0)，
则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4
；
因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－
m 4
－3＋
3m 4＝－1，解得m ＝2.
此时方程①为4x 2＋12x ＝0.
解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ： x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32
2，
所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2
.
21．(本小题满分12分)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2
20＝1长轴的左、
右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的点，M 到直线AP 的距离等于MB 的长，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
解：(1)由已知可得点A (－6，0)，B (6，0)，F (4，0)． 设点P 的坐标为(x ，y )，
因为PA ⊥PF ，所以 k AP ·k PF ＝－1.
故有方程组?????x 236＋y 2
20
＝1，y x ＋6·y
x －4
＝－1，则2x 2
＋9x －18＝0，
解得x ＝32或x ＝－6(舍去)，所以 x ＝3
2，
由于y ＞0，故y ＝53
2
.
所以 点P 的坐标是? ????
32
，
532. (2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标为(m ，0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|
2
.
于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，故m ＝2.
所以M 的坐标为(2，0)．
椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－5
9x 2＝
49? ??
??x －922
＋15. 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝9
2时，d 取得最小值，最小值为15.
22．(本小题满分12分)已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →
的最小值．
解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有（x －1）2＋y 2－
|x |＝1.
化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ； 当x ＜0时，y ＝0.
所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．
由???y ＝k （x －1），y 2＝4x
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4
k 2，x 1x 2＝1.
因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1
k .
设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，
则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.
故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝ AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝ |AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝
1＋? ????2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝ 8＋4?
??
??
k 2＋1k 2≥8＋4×2
k 2·1
k
2＝16. 当且仅当k 2＝1
k
2，
即k ＝±1时，AD →·EB →
取得最小值16.
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：
人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程， 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导：自主、合作、探究 四、知识链接 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何研究曲线与方程间的关系？ 五、学习过程 一．平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定
巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上） 问题1: 思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？ 思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？ 问题2：还可以怎样描述点P的位置？ B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？
小结：选择适当坐标系的一些规则： 如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横 坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
人教版高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题． 11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：
必修 1必修 2 第一章集合与函数概念第一章空间几何体 1.1集合 1.1空间几何体的结构 阅读与思考集合中元素的个数 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.2函数及其表示阅读与思考画法几何与蒙日 阅读与思考函数概念的发展历程 1.3空间几何体的表面积与体积 1.3函数的基本性质探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球 信息技术应用用计算机绘制函数图象体的体积 实习作业实习作业 小结小结 第二章基本初等函数（Ⅰ）复习参考题 2.1指数函数第二章点、直线、平面之间的位置关系 信息技术应用借助信息技术探究指数 2.1空间点、直线、平面之间的位置关 函数的性质系 2.2对数函数 2.2直线、平面平行的判定及其性质 阅读与思考对数的发明 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 探究也发现互为反函数的两个函数图阅读与思考欧几里得《原本》与公理化象之间的关系方法 2.3幂函数小结 小结复习参考题 复习参考题第三章直线与方程 第三章函数的应用 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1函数与方程探究与发现魔术师的地毯 阅读与思考中外历史上的方程求解 3.2直线的方程 信息技术应用借助信息技术方程的近 3.3直线的交点坐标与距离公式 似解阅读与思考笛卡儿与解析几何 3.2函数模型及其应用小结 信息技术应用收集数据并建立函数模复习参考题 型第四章圆与方程 实习作业 4.1圆的方程 小结阅读与思考坐标法与机器证明 复习参考题 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 信息技术应用用《几何画板》探究点的 轨迹：圆 小结 复习参考题
必修 3必修 4 第一章算法初步第一章三角函数 1． 1算法与程序框图 1 .1任意角和弧度制 1． 2基本算法语句 1.2任意角的三角函数 1． 3算法案例阅读与思考三角学与天文学阅读与思考割圆术 1.3三角函数的诱导公式 小结 1.4三角函数的图像与性质 第二章统计探究与发现函数 y=Asin （ω x+φ）及函2． 1随机抽样数 y=Acos（ωx+φ） 阅读与思考一个著名的案例探究与发现利用单位圆中的三角函数 阅读与思考广告中数据的可靠性线研究正弦函数、余弦函数的性质 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实信息技术应用 反应 1.5函数 y=Asin （ω x+φ）的图像2． 2用样本估计总体阅读与思考振幅、周期、频率、相位阅读与思考生产过程中的质量控制图 1.6三角函数模型的简单应用2． 3变量间的相关关系小结 阅读与思考相关关系的强与弱复习参考题 实习作业第二章平面向量 小结 2.1平面向量的实际背景及基本概念 第三章概率阅读与思考向量及向量符号的由来3． 1随机事件的概率 2.2平面向量的线性运算 阅读与思考天气变化的认识过程 2.3平面向量的基本定理及坐标表示3． 2古典概型 2.4平面向量的数量积 3． 3几何概型 2.5平面向量应用举例 阅读与思考概率与密码阅读与思考向量的运算（运算律）与图小结形性质 复习参考题小结 复习参考题 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 信息技术应用利用信息技术制作三角 函数表 3.2简单的三角恒等变换 小结 复习参考题
高中数学选修1-1知识点总结 第一章 简单逻辑用语 ● 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句． ● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ● 原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” ● 四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ● 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如： 若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件； 若A =B ，则A 是B 的充要条件； ● 逻辑联结词：⑴且：命题形式p q ∧； ⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ?． p q p q ∧ p q ∨ p ? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ● ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示． 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?． ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?．
第二章 圆锥曲线 ● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． ● 椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、() 20,F c 焦距 () 222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<
高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?”. ?，则p 四种命题的 真假性之间 的关系： ()1两个命 题互为逆否 命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是真命题． ?必是假命题；若p是假命题，则p 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高中数学解题基本方法 一、配方法 二、换元法 三、待定系数法 四、定义法 五、数学归纳法 六、参数法 七、反证法 八、消去法 九、分析与综合法 十、特殊与一般法 十一、类比与归纳法 十二、观察与实验法 高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想 二、类讨论思想 三、函数与方程思想 四转化（化归）思想
人教版 高中数学教材目录 必修1 第一章集合与函数概念 1.1集合 阅读与思考集合中元素的个数 1.2函数及其表示 阅读与思考函数概念的发展历程 1.3函数的基本性质 信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业 小结 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2.1指数函数 信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质 2.2对数函数 阅读与思考对数的发明 探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系 2.3幂函数 小结 复习参考题 第三章函数的应用 3.1函数与方程 阅读与思考中外历史上的方程求解 信息技术应用借助信息技术方程的近似解 3.2函数模型及其应用 信息技术应用收集数据并建立函数模型 实习作业 小结 复习参考题 必修2 第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 阅读与思考画法几何与蒙日 1.3空间几何体的表面积与体积 探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 实习作业 小结 复习参考题 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 小结 复习参考题 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 探究与发现魔术师的地毯 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 阅读与思考笛卡儿与解析几何 小结 复习参考题 第四章圆与方程 4.1圆的方程 阅读与思考坐标法与机器证明 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆 小结 复习参考题
必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 小结 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 实习作业 小结 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 阅读与思考概率与密码 小结 复习参考题 必修4 第一章三角函数 1 .1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考三角学与天文学 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像与性质 探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ） 探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 信息技术应用 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 阅读与思考振幅、周期、频率、相位 1.6 三角函数模型的简单应用 小结 复习参考题 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 阅读与思考向量及向量符号的由来 2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例 阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质 小结 复习参考题 第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 3.2 简单的三角恒等变换 小结 复习参考题
人教版高中数学目录——必修选修 说明：必修五个模块，选修四个系列，选修一系列为文科必选，选修二系列为理科必选。 必修1 第一章集合与函数概念 1.1集合 阅读与思考集合中元素的个数 1.2函数及其表示 阅读与思考函数概念的发展历程 1.3函数的基本性质 信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业 小结 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2.1指数函数 信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质 2.2对数函数 阅读与思考对数的发明 探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系 2.3幂函数 小结 复习参考题 第三章函数的应用 3.1函数与方程 阅读与思考中外历史上的方程求解 信息技术应用借助信息技术方程的近似解 3.2函数模型及其应用 信息技术应用收集数据并建立函数模型 实习作业 小结 复习参考题 必修2 第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 阅读与思考画法几何与蒙日 1.3空间几何体的表面积与体积 探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球 体的体积 实习作业 小结 复习参考题 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 阅读与思考欧几里得《原本》与公理化 方法 小结 复习参考题 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 探究与发现魔术师的地毯 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 阅读与思考笛卡儿与解析几何 小结 复习参考题 第四章圆与方程 4.1圆的方程 阅读与思考坐标法与机器证明 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 信息技术应用用《几何画板》探究点的 轨迹：圆 小结 复习参考题 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 小结 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性
高二数学选修2－1知识点 第一章 常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假
人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-
气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后 的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2 +6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2 +6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49 65 ( h h =， 所以)/(0049 65)0()4965 ( m s h h v =--= ， 虽然运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并 非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1 212) ()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率