高中数学选修1-1知识点总结
第一章 简单逻辑用语
● 命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.
● “若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. ● 原命题:“若p ,则q ” 逆命题: “若q ,则p ”
否命题:“若p ?,则q ?” 逆否命题:“若q ?,则p ?” ● 四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. ● 若p q ?,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.
若p q ?,则p 是q 的充要条件(充分必要条件). 利用集合间的包含关系: 例如:
若B A ?,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件; 若A =B ,则A 是B 的充要条件;
● 逻辑联结词:⑴且:命题形式p q ∧; ⑵或:命题形式p q ∨; ⑶非:命题形式p ?.
p
q
p q ∧
p q ∨
p ?
真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假
假
假
假
真
● ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“?”表示.
全称命题p :)(,x p M x ∈?; 全称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?. ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“?”表示. 特称命题p :)(,x p M x ∈?; 特称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?.
第二章 圆锥曲线
● 平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.
即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+.
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. ● 椭圆的几何性质:
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
22
10y x a b a b +=>> 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B
轴长
短轴的长2b = 长轴的长2a =
焦点
()1,0F c -、()2,0F c
()10,F c -、()
20,F c
焦距
()
222122F F c c a b ==-
对称性
关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率 ()2
2101c b e e a a
==-<<
● 平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双
曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-.
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. ● 双曲线的几何性质:
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210,0x y a b a b -=>> ()22
22
10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A
轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==+
对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称
离心率
()2
211c b e e a a
==+>
渐近线方程
b y x a
=±
a y x b
=±
● 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
● 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F 称为抛物线
的焦点,定直线l 称为抛物线的准线. ● 抛物线的几何性质:
标准方程
22y px =
()0p >
22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-
()0p >
图形
顶点
()0,0
对称轴
x 轴
y 轴
焦点
,02p F ??
??? ,02p F ??
- ???
0,2p F ?
? ??
?
0,2p F ?
?- ??
?
准线方程
2
p
x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
离心率
1e =
范围
0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤
● 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”,
即2p AB =. ● 焦半径公式:
若点()00,x y P 在抛物线()2
20y px p =>上,焦点为F ,则02p F x P =+
; 若点()00,x y P 在抛物线()2
20x py p =>上,焦点为F ,则02
p F y P =+;
第三章 导数及其应用
● 函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率:()()
2121
f x f x x x --
● 导数定义:()f x 在点0x 处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ?-?+='='
→?=)()(lim
)(000
00
.
● 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线
()
y f x =在点
()()
00,x f x P 处的切线的斜
率.
● 常见函数的导数公式:
①'C 0=; ②1
')(-=n n nx
x ;
③x x cos )(sin '
=; ④x x sin )(cos '
-=; ⑤a a a x
x ln )('
=; ⑥x
x e e ='
)(; ⑦a
x x a ln 1)(log '=
; ⑧x x 1
)(ln '=
● 导数运算法则:
()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????;
()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '
''?=+????;
()3()()()()()()
()()()2
0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????.
● 在某个区间(),a b 内,若()0f x '>,则函数()y f x =在这个区间内单调递增;
若()0f x '<,则函数()y f x =在这个区间内单调递减.