21.1 二次根式
知识点
1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根号。 二次根式a 的特点： （1）在形式上含有二次根号
，表示 a 的算术平方根。
（2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。 （3）a 可以是数，也可以是式。
（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。
2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。 (2)分母中有字母时，要保证分母不为零。
3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ???<-≥==)0()
0(2a a a a a a
相关例题
1.二次根式的概念
例题一： 下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ， 二次根式的个数是（）
考点： 二次根式的概念．
分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可． 解答： 解：3a ，12-b 有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。 点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点．
变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥，
12-x 一定是二次根式的有()个。
解：①被开方数a 有可能是负数，不一定是二次根式； ②被开方数y+z 有可能是负数，不一定是二次根式； ③被开方数6a 一定是非负数，所以③一定是二次根式； ④被开方数32+a 一定是正数，所以④一定是二次根式；
⑤被开方数22)3(96+=++x x x 一定是非负数，所以⑤一定是二次根式； ⑥被开方数12-x 有可能是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有3
个，故选C ．
点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是 正数．
2.二次根式中字母的取值范围的基本依据 例题二：函数y=
3
1-x 中自变量x 的取值范围是 _______ ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解． 解答： 解：依题意，得x ﹣3＞0， 解得x ＞3． 点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． 变式二：若式子
x
x 1
+有意义，则x 的取值范围是_______ ．
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x ≥﹣1， 又因为分式的分母不能为0，
所以x 的取值范围是x ≥﹣1且x ≠0．
点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子a （a ≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零． 3.二次根式的相关等式
例题三：对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ） A ．a a = B ．a a -=2 C ．
a a ±=2 D ． a a =2
考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答： 解：A 、a 为负数时，没有意义，故本选项错误； B 、a 为正数时不成立，故本选项错误； C 、a a =2，故本选项错误．
D 、故本选项正确． 故选D ．
点评： 本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
练习题1．下列式子，哪些是二次根式，1
x
x>0）、
2、当x 在实数范围内有意义？
3、当x 1
1
x +在实数范围内有意义？ 4、下列式子中，是二次根式的是（ ）
A ．．x 5．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A ．．
1x
6．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A ．5
B ．
1
5
D ．以上皆不对 7．形如________的式子叫做二次根式． 8．面积为a 的正方形的边长为________．
9．负数________平方根． 10、计算
1．2（x ≥0） 2．2 3．2
4． 2
课后作业
1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x +x 2
在实数范围内有意义？
3．
4.x 有（ ）个．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
5.已知a 、b ，求a 、b 的值．
6、计算（1）2 （2）-2 （3）（1
2
2 （4）（ 2
(5)
练习题与课后作业答案
练习题1、
x>0）
、
x≥0，y≥0）；不
1
x
1
x y
+
．
2、解：由3x-1≥0，得：x≥1
3
，当x≥
1
3
在实数范围内有意义．
3、解：依题意，得
230
10 x
x
+≥?
?
+≠
?
由①得：x≥-3 2
由②得：x≠-1
当x≥-3
2
且x≠-1
1
1
x+
在实数范围内有意义．
4．A 5．D 6．B
7
a≥0）8
．没有
10、解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
2=x+1
（2）∵a2≥0
2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0
2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0
）2=4x2-12x+9
作业题
1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：
2．依题意得：
230
x
x
+≥
?
?
≠
?
，
3
2
x
x
?
≥-
?
?
?≠
?
∴当x>-3
2
且x≠0
＋x2在实数范围内没有意义．
3.1 3
4．B
5．a=5，b=-4
6、．（1）2=9 （2）-2=-3 （3）（
1
22=14×6=32
（4）（2
=9×23=6 (5)-6
21.2二次根式的乘除法
知识点
1.二次根式的乘法 )0,0(≥≥=?b a ab b a
),0(o b a b a ab ≥≥?=
2.二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式：
)0,0(>≥=
b a b
a
b
a )0,0(>≥=
b a b
a b a （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
3. 化简二次根式的步骤：
（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。 （2）应用b a ab ?+
（3）将平方式（或平方数）应用 )0(2≥=a a a 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。
相关例题
二次根式的乘法及其化简 例4．计算
（1 （2 （3 （4
分析：（a ≥0，b ≥0）计算即可．
解：（1
（2
（3
（4=
变式四化简
（1（2（3
（4（5
（a≥0，b≥0）直接化简即可．
解：（1×4=12
（2×9=36
（3×10=90
（4
（5
二次函数的除法及其化简
例题五计算：（1（2（3（4
a≥0，b>0）便可直接得出答案．
分析：上面4
解：（1
（2
（3=
（4
变式五化简：
（1 （2 （3 （4
a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（1
8=
（283b
a =
（3
8y =
（4= 练习题
1的结果是（ ）．
A ．
2
7 B ．27 C D
2．阅读下列运算过程：
3==5==
3．分母有理化
4．已知x=3，y=4，z=5_______．
5.
=，且x 为偶数，求（1+x
6. 观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
1
21=
-，
=
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
+）的值． 答案 1．A 2．C
3．(1)
6;(2)6;(3) 2==
4
5.分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6 60x x -≥??->? ，即96x x ≤??>? ∴6 ∵x 为偶数 ∴x=8 ∴原式=（1+x =（1+x =（1+x ∴当x=8时，原式的值． 6. 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式=（ -1+-+-+……+-）×（+1） =）） =2002-1=2001 课后作业 1．（x ≥0） 2．_________． 3. ，且x 为偶数，求（1+x 4．有一种房梁的截面积是一个矩形，1，?现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 5．计算 （1（m>0，n>0） （2）（a>0） 6．已知a 确，?请写出正确的解答过程： -a · 1a （a-1 7．若x 、y 为实数，且 答案1． 2． 3.分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6 60 x x -≥?? ->?，即96x x ≤??>? ∴6 ∴原式=（1+x =（1+x =（1+x ∴当x=8时，原式的值 ． 4．设：矩形房梁的宽为x （cm ） ，依题意， 得： ）2+x 2=（ 2， 4x 2=9×15，x= 3 2 cm ） ， · 2= 135 4 cm 2） ． 5．（1）原式＝ =-22n n m m =- （2）原式 6．不正确，正确解答： 因为30 10a a ?->??->??，所以a<0， -a 7．∵2 2 4040 x x ?-≥??-≥?? ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14 ∴ ===. 21.3二次根式的加减法 知识点 1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 2. 二次根式加减运算的步骤： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式。 （2）找出其中的同类二次根式。 （3）合并同类二次根式。 3. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用。 相关例题 同类二次根式 例题七计算 （1 （2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1（2+3 （2（4+8 变式七已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（ 2 3+y -（x 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x= 1 2 ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0 ∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x= 1 2 ，y=3 原式= 2 3+y 当x=1 2 ，y=3时， 原式=1 2 4 注意（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 二次根式的加减计算: 例题八（1） （2）（ 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律． 解：（1）（6 解：（ 3 2 变式八已知 x b a - =2- x a b - ，其中a、b是实数，且a+b≠0， 分析 =1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式 2 2 = =（x+1） =4x+2 ∵ x b a - =2 -- x a b - ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+2a ∴（a+b）x=2a+2ab+2b ∴（a+b ）x=2)(b a + ∵a+b ≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b ）+2 二次根式的混合运算 例题九 下列运算正确的是（ ） A ．525±= B ．12734=- C ．9218=÷ D ． 62324=? 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案． 解答：解：A ．∵25＝5，∴故此选项错误； B ．∵43－27＝43－33＝3，∴故此选项错误； C ．18÷2＝9＝3，∴故此选项错误； D ．∵24×＝ 23 24? ＝6，∴故此选项正确． 故选：D ． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待， 解答：（111 2?? + ??? 解：原式=212223+-+-=123+ 点评：本题主要考察二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幂，解题的关键在 于首先对各项进行化简，然后在进行运算 练习题 1. ） 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. ，则它的周长是cm 。 4. 已知x y ==33_________x y xy +=。 5. 计算： ⑴. ⑵(231? + ? ⑶. (() 2 771+-- ⑷. ((((2 2 2 2 1111++ 答案 1.B 2.A 3. (； 4. 10； 5. ()()()()122,3.454.4-+； 课后作业 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） 5. 若12x ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3 6. 10=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4± 7. x ，小数部分为y y -的值是（ ） A. 317. 计算及化简： ⑴. 2 2 - ⑵ ⑶ ⑷. a b a b ??+-- 18. 已知： x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 答案 1.C 2.C 3.C 4.C 5. ()()()() ()21.4,23. ,4.1x y y x -+-； 6. 5； 二次根式单元练习题 一、选择题 1 有意义的x 的取值范围是（ ） 2．一个自然数的算术平方根为()0a a >，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ） （A ）1,1a a -+（B （C D ）221,1a a -+ 3．若0x （A ）0 （B ）2x - （C ）2x （D ）0或2x 4．若0,0a b <> ） （A ）- （B ）- （C ） （D ）a 5m =，则2 1y y +的结果为（ ） （A ）22m + （B ）22m - （C ）2 （D 2 6．已知,a b b a =-，则a 与b 的大小关系是（ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）a b ≥ （D ）a b ≤ 7．已知下列命题： 2= ② 36π-=； ③()()()2 2333a a a +-=+-； a b =+． 其中正确的有（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 8．若m 的值为（ ） （A ）203 （B ）5126 （C ）138 （D ）158 9．当1 2 a ≤21a -等于（ ） （A ）2 （B ）24a - （C ）a （D ）0 102 得（ ） （A ）2 （B ）44x -+ （C ）2- （D ）44x - 二、填空题 11．若21x +的平方根是5±_____=． 12．当_____x 有意义． 13与a 的被开方数相同，则_____a b +=． 14．若x y ____x =，_____y =． 15=，且0x y <<，则满足上式的整数对(),x y 有_____． 16．若11x -<<1_____x +=． 17．若0xy ≠=-_____． 18．若01x <<等于_____． 三、解答题 1 9．计算下列各题：（1? ?； （23a 20．已知() ) 2006 2007 22 2 2a =-24a a +的值 ． 21．已知y x ,是实数，且3 2 9922+--+-= x x x y ，求y x 65+的值. 22．若42--y x 与()212+-y x 互为相反数，求代数式3 234 1y y x x + +的值. 23．若a b S 、、满足7,S ==S 的最大值和最小值. 参考答案与试题解析 解：A 、?=，计算正确； B 、+，不能合并，原题计算错误； C 、÷==2，计算正确； D 、=2，计算正确． 故选：B ． 解：①若腰长为2，则有2×2＜5，故此情况不合题意，舍去； ②若腰长为5，则三角形的周长=2×5+2=10+2． 故选：B ． 解：∵x+y=﹣2a，xy=a（a≥1）， ∴x，y均为负数， ∵＞0， ∴ =﹣﹣ =﹣ =﹣ =2 故选：D． 解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0 ①=，被开方数应≥0a，b不能做被开方数，（故①错误）， ②?=1，?===1，（故②正确）， ③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）． 故选：B． 解：=3，=15，=6， 可得：k=3，m=2，n=5， 则m＜k＜n． 故选D 故选C． 解：2﹣=2﹣3=﹣1． 故选B． 解：∵原式= = = ∴当（a﹣3）2=0，即a=3时 代数式的值最小，为即3 故选B． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．解：∵x1=+，x2=﹣， ∴x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1x2 =（++﹣）2﹣2（+）（﹣） =12﹣2 =10． 故答案为：10． 解：由a1+b1+c1=+2++2+1+2=3（++1）， a2+b2+c2=9（++1）， … a n+ b n+ c n=3n（++1）， ∵ ∴a n+b n+c n≥2014×（﹣+1）（+）=2014（++1）， ∴3n≥2014， 则36＜2014＜37， ∴n最小整数是7． 故答案为：7 解：由题意得x2﹣9=0， 解：原式=4﹣6×﹣1+﹣+ =4﹣3﹣1+ =． 解：原式=1﹣3+4×﹣ =1﹣3+2﹣2+， =﹣1． 解：原式=（）2﹣1+2﹣3=2﹣1． 解：原式=?， 当x=时，x+1＞0， 可知=x+1， 故原式=?===； 解：（1） 验证：； （2）或 验证：．20 解：原式= = = =， 当时， 原式==． 初三数学知识点 第一章二次根式知识点 1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数； () ()02 ≥=a a a ； ()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a . 3 二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2 c b a p ++= . 第一章二次根式21.1二次根式练习 一、选择题 1．下列式子中,是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中,不是二次根式的是（ ） A B C D ． 1x 3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ） A ．5 B C ． 1 5 D ．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时2在实数范围内有意义？ 3有意义,． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值． 第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习 1. 当0a ≤,0b 时__________=. 2. ,则_____,______m n ==. 3. __________==. 4. 计算： _____________=. 5. ,面积为则长方形的长约为 （精确到0.01）. 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） 7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为（ ） C. D. 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+a b =+ 22a b =+a b =+ 9. -和- ） A. 32-- B. 32-- C. -=-不能确定 10. 以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算： () 1()2 二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并 二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（）2= （≥0）；（2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 （2）、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 （5）、倒数法 例5、比较与的大小。 （6）、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 （7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①；② 例7、比较与的大小。 （8）、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①；② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1）（）2=- （）;（2）=- （） （3）（-）2=- （）;（4）（2）2=2×=1 （） 2．下面的计算中，错误 ．．的是（） A．=±0.03 B．±=±0.07 C．=0.15 D．-=-0.13 3．下列各式中一定成立的是（） A．=+=3+4=7 B．=- C．（-）2= D．=1-= 4．（）2-=________； 5．+（-）2=________．6．[-]·-6； 八年级二次根式测试题及 答案 Prepared on 22 November 2020 一、选择题 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ． 2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-=-?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=112；④a a a =-23。 做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简6151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 9．若最简二次根式 a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3-=a B ．34=a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简 )22(28+-得（ ） A ．—2 B ． 22- C ．2 D ． 224- 二、填空题 11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。 12．二次根式 31 -x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++ = 。 14．1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15．比较大小： 16．=?y xy 82 ，=?2712 。 17．计算3393a a a a -+= 。 18．23231+-与的关系是 。 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。 20．化简??? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 22．化简：（1） )169()144(-?- （2）22531- （3）5102421?- （4）n m 218 23．计算： （1）21437???? ??- （2）225241???? ??-- （3）)459(4 3332-? （4）??? ??-???? ??-1263 12817 （5）2484554+-+ （6）2332326-- 四、综合题 24．若代数式| |112x x -+有意义，则x 的取值范围是什么 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 二次根式（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进 行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. 2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， +在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +??+? 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三： 【变式】（2015?随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示：∵代数式 +有意义， ∴， 解得x ≥0且x ≠1． 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三： 【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）y=x -－1 1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且 （2）22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016?潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+ 的结果是（ ） A ．﹣2a +b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注： 二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式 练习题 1.若y=5-x +x -5+2019，则x+y= 2．已知P 是直角坐标系内一点，?若点P?），则它到原点的距离是_______． 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋ 652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿ 4.在实数范围内分解因式: 23x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 5、已知a<02a │可化简为（ ） A ．－a B ．a C ．－3a D ．3a 6、若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 7、若a －3＜0，则化简a a a -++-4962的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 8如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a ≤1 9、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3 14.已知a b 是12 a b ++的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+的值. 15．已知a ，b ，c 为△ABC 16、已知0a < 17）2-│1-x │． 解：由隐含条件1-3x ≥0得 x ≤13 ∴1-x>0 ∴原式=（1-3x ）-（1-x ）=1-3x-1+x =-2x 2． 18、已知 x = ，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 19（1 （2）+ （33a + （4）2?+-- ? （55-（6+- (7)、 13 ）÷16673)32272(-?++ 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 二次根式 课题名称二次根式 三维目标 1.了解二次根式的概念; 理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围; 会求二次根式的值; 2.经历二次根式概念的发生过程 3.体验数学符号的美 重点目标形如a（a≥0）的式子叫 做二次根式的概念难点目标利用“a（a≥0）”解决具体 问题 导入示标 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 目标三导学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题： 1．当a是正数时， a表示a的什么？（算术平方根，即正数a的正的平方根）． 2．当a是零时， a等于什么？，它表示什么？（它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．） 3．当a是负数时， a有没有意义？（没有意义．） 学做思二：x是怎样的实数时，二次根式1 x-有意义？ 解:被开方数x-1≥0，即x≥1． 所以，当x≥1时，二次根式 1 x-有意义． 学做思三：思考2a与（a）2等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律. 概括:当a≥0时，2a= ；当a＜0时，2a= ，()() 2 a a a =≥ 例 .当x 是多少时，1231x x ++ +在实数范围内有意义？ 例 (1)已知225y x x =-+-+，求 x y 的值． (2)若110a b ++-=，求a 2004 +b 2004的值． 达标检测 1.计算： （4）2=______；（3）2=______； 9=______； 2(4)-=______； 2.x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 反思总结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验 课后练习 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a 八年级数学第十六章二次根式测试题 1 时间：45分钟 分数：100分 2 一、选择题（每小题2分，共20分） 3 1．下列说法正确的是（ ） 4 A ．若a a -=2，则a<0 B ．0,2>=a a a 则若 5 C ．4284b a b a = D ． 5的平方根是5 6 2．二次根式13)3(2++m m 的值是（ ） 7 A ．23 B ．32 C ．22 D ．0 8 3．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） 9 A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y - 10 4．若b a 是二次根式，则a ， b 应满足的条件是（ ） 11 A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 12 C ．a ≥0，b>0 D ．0≥b a 13 5．已知a< b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） 14 A ．ab a -- B ．ab a - 15 C ．ab a D ．ab a - 16 6．把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） 17 A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 18 7．下列各式中，一定能成立的是（ ）。 19 A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = 20 C ．122+-x x =x-1 D ．3392+?-=-x x x 21 8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ） 22 A ．022=-y x B ．033=+y x 23 C ．022=-y x D ．0=+y x 24 9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ） 25 A ．2 B ． 22 C ．55 D ．5 26 10．已知10182 22=++x x x x ，则x 等于（ ） 27 A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 28 29 二、填空题（每小题2分，共20分） 30 11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是 。 31 12．已知a<2，=-2)2(a 。 32 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算(人教版初中数学)人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
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