b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c的大小决定抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与y轴交点的位置.
当0
=
x时，c
y=，∴抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与y轴有且只有一个交点（0，c）：
①0
=
c，抛物线经过原点; ②0
>
c,与y轴交于正半轴；③0
<
c,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0
<
a
b
.
例：已知二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所示，则下列结论正确的是
Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0
10.二次函数图象的平移
1. 平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k
=-+，确定其顶点坐标()
h k
，；
⑵保持抛物线2
y ax
=的形状不变，将其顶点平移到()
h k
，处，具体平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
2. 平移规律:在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
11.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
2
ax
y=
当0
>
a时
开口向上
当0
<
a时
开口向下
=
x（y轴）（0,0）
k
ax
y+
=20
=
x（y轴）(0,
k)
()2h
x
a
y-
=
h
x=(h,0)
()k
h
x
a
y+
-
=2
h
x=(h,k)
（1）一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 13.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2
).
（3）抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程0
2
=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时
?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故：a
c
x x a b x x =?-
=+2121, ()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??
?
??-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
例：抛物线322
--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 ．
例：已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102
.
（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.
14.一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系。（1）一元二次方程2
0ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ?
判别式0?>?对应的二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ?对应的二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；
（2）一元二次方程2
0ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ?判别式0?=?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ；
（3）一元二次方程2
0ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根?判别式0?
y ax bx c =++（a
≠0）的图象与x 轴没有交点?对应的二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）没有零点．
15.二次函数在区间上的最值问题。
设()()02
>++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
a
b n m 2-
<< n a b m <-
<2即[]n m a
b ,2∈- n m a
b
<<-
2 图象
最大、最小值
()()
()()
n f x f m f x f ==min max
()()(){}
()?
?
?
??-==a b f x f m f n f x f 2,max min max
()()
()()
m f x f n f x f ==min max
对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： （1）若[]n m a b ,2∈-
，则()()()????????? ??-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()?????????
??-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a
b
,2?-
，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．
16.二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称:()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表
达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
17.二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以
0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：
二次函数考查重点与常见题型
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x 为自变量的二次函数2)2(2
2
--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12
-+=bx kx y 的图像大致是（ ） y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3
5
=
x ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－3
2
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a
c b M 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（2）已知二次函数y=ax 2
+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1(O ，2)的下方．下列结论：①aO ；③4a+cO ，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2
+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2
+bx+c 的对称轴是直线x=2，
则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2) 答案：C 例4、（2006年市）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重
合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2
． （1）写出y 与x 的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.
例5、已知抛物线y=
12x 2+x-52
． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax 2
-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4，10)，交x 轴于)0,(1x A ，)0,(2x B 两点)(21x x <，
交y 轴负半轴于C 点，且满足3AO=OB ．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角∠MCO>∠A CO?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值围；若不存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交x 轴于点A(x 1，0)，B(x2，O)， 则x 1·x 2=3<0，又∵x 1∴x 2>O ，x 1∴x 1·x 2=-3x 12=-3．∴x 12
=1. x 1<0，∴x 1=-1．∴．x 2=3．
∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函数的解析式为y-2x 2
-4x-6． (2)存在点M 使∠MC0<∠ACO ．
(2)解：点A 关于y 轴的对称点A ’(1，O)，
∴直线A ，C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x 的围为-1当点M 的横坐标满足-1∠ACO ． 例7、 “已知函数c bx x y ++=
2
2
1的图象经过点A （c ，－2）
，
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c ，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
