“有限元法原理及应用”讲义
顾克秋 编
南京理工大学
2012年9月
目 录
第一章引论 (1)
一、概述 (1)
二、最小总势能原理 (1)
三、瑞利-里兹法 (4)
第二章弹性力学有限元法基本原理（一） (7)
第一节里兹法的有限元形式 (7)
第二节常应变三角形单元的有限元格式 (11)
第三章弹性力学有限元法基本原理（二） (21)
第一节有限元解的性质和收敛准则 (21)
第二节矩形单元和高精度三角形单元 (24)
第三节轴对称单元的有限元 (27)
第四章弹性力学有限元法基本原理（三） (29)
第一节空间问题的有限元 (29)
第二节等参单元的概念和原理 (31)
第三节等参单元中的数值积分 (35)
第五章有限元法应用专题 (38)
第一节应力计算结果的处理 (38)
第二节有限元模型内部约束处理 (39)
第三节非协调元和减缩积分等参元的应用 (43)
第四节非线性问题建模 (43)
第五节有限元法应用中的其它问题 (43)
第六节有限元建模与分析的一般原则 (43)
第六章动力学问题的有限元法 (45)
第一节动力学问题概述 (45)
第二节动力学问题的有限元方程 (46)
第三节质量矩阵和阻尼矩阵 (47)
第四节结构自振频率和振型 (48)
第五节瞬态响应分析 (50)
第一章 引 论
一、概述
本课程涉及连续介质力学问题的有限元法。以弹性力学有限元法引入有限元位移法的基本理论和基本方法。
弹性力学问题的有限元法中，除了离散化和分片插值思想外，基础是弹性力学的变分原理（最小势能原理）和变分解法（Rayleigh-Ritz 法）。
瑞利-里兹法是一个将连续场问题简化为有限自由度问题的近似解法。在连续体力学问题中应用的最常用形式是结合位移和势能表达式（势能泛函）的求解，前提是最小势能原理。
因此，首先研究弹性系统的势能表达式。
二、最小总势能原理
一个“系统”是一个结构加上作用与其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功
为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势能定义为0，则在任何可能的构形上任何一部分外力的势能就是“0 － 外力所作的功”。
如何对系统总势能进一步理解？
系统总势能用符号 表示，它是系统位移的泛函，对于系统每一个“可能位移”（场），系统有一个总势能与之对应。它是系统的一个状态函数。
p “可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。
举例：对于一个图1-1所示，一端受集中力P ，具有刚度k 的单自由度线性弹簧。
图1-1 单自由度弹簧系统
该系统的表达式如下：
p ∏PD kD p -=∏22
1
D 为弹簧伸长（可能位移）。
此时，势能是位移的二次函数。p ∏与D 之间的函数关系曲线如图1-2所示。 注意：对弹性梁、板壳、一般弹性体等结构（无限自由度问题），势能泛函的表达式包含关于位移函数的积分式（构造过程中，将用到几何方程和应力-应变关系）。
图1-2 单自由度弹簧系统总势能曲线
对于一个给定的系统，其真实位移是确定的，必是“可能位移”中的一个。如何确定这个真实位移？
最小总势能原理：
一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡方程的位移（真实位移）使总势能取最小值。 也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移中的最小者。
理论上可以证明，对于弹性结构，“可能位移”满足势能驻值条件（最小势能原理）与满足力平衡条件是等价的。 讨论：
1、利用图1-1、图1-2对最小势能原理进行理解。
设平衡状态的位移为，根据上述分析，由“eq D eq D p ∏取最小值”这一条件来确定： 在附近，D 发生微小变化，而eq D p ∏几乎不变（一阶变分为0），在图1-2中这一点显然是∏的最小值点。
p 驻值条件用数学语言描述如下（用微分代替变分）：
0=-=∏PdD dD kD d eq p
所以： k
P D eq =
该结果与静力学求出的结果相同！ 2、多自由度系统、矩阵形式
如果决定一个系统的构形需要n 个独立的量，那么这个系统就具有n 个自由度，称为广义坐标。
对于有限自由度（离散系统）问题，势能p ∏是广义坐标的函数。广义坐标记为。 i D 势能表达式为： )...,,(,21n p p D D D ∏=∏它的全微分为：
{}dD D dD D dD D dD D d T
p n n p
p p p ????
???∏?=?∏?++?∏?+?∏?=∏ (2211)
根据最小势能原理，对任何允许的位移增量{}dD ，如果0=∏p d 则达到平衡。因此平衡条件就是：
0=?
??????∏?D p ，得到n 个方程，解出n 个值，便得到系统的静力平衡构形。 i D 对于图1-3所示的多自由度弹簧系统，其总势能为：
332211223321222
11)(2
1)(2121D P D P D P D D k D D k D k p ----+-+=
∏
图1-3 多自由度弹簧系统
由上述驻值条件 0=?
??
??
??∏?D p 得到下列方程组：
)(0)()(0
)(32332233122112211=--=----=---P D D k P D D k D D k P D D k D k
该方程写成矩阵形式 []{}{}R D K = ，就是：
??
????????=????????????????????--+--+3213213303322022
1P P P D D D k k k k k k k k k
[]K 称为该多自由度系统的刚度矩阵。
不难看出，上述由势能驻值条件得到的代数方程，就是三个力（P1，P2，P3）作用点处的平衡条件。
该系统的总势能用矩阵写成标准形式如下：
{}[]{}{}{}R D D K D T
T p -=∏2
1
这就是一般离散系统势能的通用表达式。 3、连续系统的总势能表达式
对于连续弹性体系统，根据前面总势能的定义，势能表达式为：
{}{}dS w Z v Y u X dV Zw Yv Xu dV s V V T
p )()(21_
__++-++-=∏???σ
σε
引入力学量之间的约束关系：物理方程{
}[]{}εσD =和几何方程（应变是位移的函数），把势能表达成系统位移的泛函：
{}[]{}dS w Z v Y u X dV Zw Yv Xu dV D s V V T
p )()(21___++-++-=∏???σ
εε
试考虑如何根据材料力学中单轴拉压、梁理论、扭转理论导出相应的连续系统总势能泛函？
4、用变分法可以证明，弹性系统的最小总势能原理和虚功原理等价。
三、瑞利-里兹法
瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。
其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参数的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其带入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确
定待定参数，就得到问题的近似解答。
我们仅涉及针对假定位移场和势能泛函的应用。
现在以一个弹性杆件（图1-4）为例来说明瑞利-里兹法的原理。
图1-4 弹性杆件
势能泛函为：
=
∏p ??
-l x L
qudx Adx u E 02
,0
2
)(x u u =后，单轴应力x x x Eu E ,==εσ该问题中，在求出近似位移场。 最简单的“容许”位移（试探函数）为：
，它满足位移边界条件，不满足应力边界条件。将它带入上式势能泛函得
到：
x
a u 1=13
213
2a cL a AEL p -=∏ 01=∏da d p
，得到AE
cL a 32
1=
由驻值条件x AE cL u 32= 和 A
cL x 32
=σ因此， 。
考虑一个更好的试探函数： 能并应用驻值件得到：
2
21x a x a u +=
带入势条?
??
???-=
??????37L cL
a 1221AE a ，从而 )37(122x Lx AE cL u -=
， )67(12x L A
cL
x -=σ 图1-5将上述两个解答与精确解作了比较，显然，移的近似程度比应力的近似程度更好！
位
图 1-5 弹性杆里兹解结果比较
实际上，该问题的位移精确解是一个三次多项式函数（自行推导）： )3(632x x L AE
c
u -=
因此，如果我们的试探函数取到三次项，所得到的里兹解一定是该精确解。为什么？如果试探函数多项式取到四次或更高次，会得到什么解答？
前面研究了经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程。可以总结出该方法的重要特点：1) 在求解域整体上假定位移场（试探函数）；
假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界几何约束条
3) 要得到收敛解，试探函数必须是完备的。
确解。由于假定的位移模式往往给结
构加上了约束，使结构不能按其要求的方式自由变 形，从而刚化了结构。
2) 件）和简单的。
4) 里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精
第二章 弹性力学有限元法基本原理（一）
第一节 里兹法的有限元形式
前面我们研究了经典里兹法解弹性体变形和应力。可以总结出其重要特征： 何约束条件）和简单的。 解。由于假定的位移模式往往给结构加上了约束，使结构不能按其要求的方式变形，从而刚化了结构。
，具有局限性。
是在求解区域上分片假设位移场。
的有限元位移法基本原理和求解过程。作为待定参数。
位移是“可能的”，待定参数必须满足一定约束关系，因此该问题的独立参量（广义坐标）只有3个。
1、 求解域的整体上假定位移场；
2、 假定的位移场是允许的（满足几
3、 要得到收敛的解，试探函数必须是完备的。
4、
里兹解往往是过刚的，除非假定场包含了精确由于前面两点，经典里兹法在解决实际问题时，尤其是几何形状复杂的二、三维问题解决的办法下面以一维直杆的分析为例子，研究基于里兹法考虑图2-1（a ）所示的结构，长度改为3L ，把杆分为三个部分。 应用里兹法时分三个区域假设位移场：
u x b b 21+= L x ≤≤0
x b b u 43+= L L x 2≤≤ x b b u 65+=L x L 32≤≤ i b 为了使得上述假设图2-1 （a ）截面积A ，弹性模量E ，轴向受力杆。
（b ）杆的有限单元
??
-=∏L x L
p qudx Adx u E 302
,30
2
把上述假设的位移带入势能泛函：
进行分段积分，再应用驻值条件，立即就求出待定参数，位移场完全确定，进而可求出应力。
是有限元法的实质。
，使满足连续条件和边界约束条件； 因此，上述不是通常意义上的标准有限元形式，仍然具有局限性。必须把换成节点上的未知位移分量，得到标准有限元形式。
：
上述是原理上的里兹法有限元形式。关键是它采用分片多项式拟合全域上的可能位移场，这就但是，上述分片形式的假设位移场有下列缺点：
（1） 必须对它进行调整（2） 广义坐标i b 缺乏明显的物理意义。
i b 图2-1（b ）给出了连续结构的三个分区（单元），单元之间的连接点称为节点。这一步骤称为离散化。
把每个单元拿出来考虑，在单元内假设线性位移场：根据节点的位移进行线性插值。 对单元1得到21u s
u s L u +-=
，矩阵形式为L
L ??{}d N u = ????
?
???-=L s L
s
L N 是插值函数矩阵，称为“形函数”矩阵； ，为单元1的节点位移列阵（单元自由度）。
其它两个单元也有同样的线性位移场： 单元2：单元3：，同上。每个单元中，位移都是线性场，但数值不同，取决于单元两端节点位移。 整个杆上，各单元上假的位移场拼接而成的位移试探函数是连续的，只要我们记住{}?
??
???=21u u d ??{}d N ，{}??=2d
u
=?
?
??3u u ??{}d N u ={}?
??
???=43u u d
??N 显然，由设01
=u ，得到的就是全域可能位移场。这样的位移场已经把节点位移自由
度作为广义坐标。
下面在上述分片位移试探函数的基础上进一步实施里兹法求解。
在三个单元上分片进行总势能计算：??
-=∏x p
Adx 2
εL L
qudx E 3030
2
首先计算应变：u u ==s x x ,,ε
??{}??{=
ε}d B d N ds d x
=，单元内有：????
????-=L L B 11 所以一个单元内的应变能为：
{}????{}d ds B AE B d ds AE Ads E U x ==??
2εεL T
T L x T x L
??????=?000
2
12121ε
或者{}[]{}d k d U
T 21=
，[]??
?
???--=1111L AE k （第2、3单元恰好相同）？ 上节例题相同，。则载荷在三个，
载荷与=单元内分别表达为：
cx q cs q =
)(s L c q +=， )2(s L c q +=
带入外力功积分式，对三个单元分别计算外力功。第一个单元外力功为：
{}??{}?
??
???===T N u ?
?
?2160
20
L
T
T
L
L
T
d cL csds d qds quds
第2、3单元外力功分别为：
{}??56??
??42T d cL 和 {}?
???86??72T d cL 总势能是三个单元总应变能减去三个单元外力功。为了能够以矩阵形式相加，将单元势能矩阵表达式中的单元节点位移列阵用结构整体位移向量{}[]T
u u u u D 43
21
={}d 代
替，统总势能表达为：
单元刚度矩阵[]k 等与单元有关的矩（列）阵扩展成结构整体规模（4×4），则相加后系{}{}
{}??
????
?
?
?
??????????????+???
??
??
???????+???
??
?????????-??
?
??
???????????--+
?
???????
??--+?????????-8700605406002161100
1100
0000000001
1001100000000001112
222
cL cL cL D D L AE L AE L T
上述表达形式上的变换，不改变总势能的大小！
??
????????-=∏00
00
000001
1AE D T p
上式简写为：
{}[]{}{}{}R D D K D T
T p -=∏2
1
0=?∏?D
p ，得到节点平衡方程[]{}{}R D K =，即：
应用驻值条件：
?????????--12612103u L ????
???????=??
????????????????
??----8611100012100
112421cL u u u AE
考虑到，并划去第一个方程，解出其余三个方程得到：
01
=u ???
???????=
?
?
??4u ??????27231333
32AE cL u u ，由此得到的位移场在一般位置上均为近似值（小于精确解）。 单元应力由公式：??{}d B E E x x ==εσ 得到。 位移和应力的计算结果与精确解的比较如图2-2所示。
图2-2 受轴向力杆的精确结果和有限元结果
第二节 常应变三角形单元的有限元格式
上一节以受轴向力的弹性杆为例子给出了有限元解法的基本原理和步骤，反映了有限元法的实质内容。
本节讨论将该方法推广到解决弹性力学平面问题。对弹性区域离散化采用3节点三角形单元，如图2-3。
图2-3 二维区域离散
1、单元位移模式及插值函数
从结构中取出一个典型的分片区域（单元），解决二维区域上分片多项式位移场假设的问题。
单元如图2-4所示。单元节点采用一个局部编号i ，j ，m （逆时针旋转），每个节点两个自由 （i,j,m ）
个节点自由度（节点位移分量）
： 先在单元三角形区域假模式。
这里采用x, y 的一次多项式：度（位移分量）：
?
?u ?
?i i v 则每个单元六??=i a []T
m m
j j i i m j i e v u v u v u a a a a =??
???
?????
=。
设位移场或者说确定位移
图2-4 三节点三角形单元
y
x v y x u 654321ββββββ++=++=
1β~6β是待定系数，称为广义坐标。
的办法：将上述广义坐标代换为单元节点自由度（二维插值）。 显然，用这种形式的单元位移模式构造整个求解区域上的可能位移场将非常困难。 最好代换后整理得到以单元节点自由度表示的位移模式：
N u N u m m j j i i u N u ++= m i i v v N v m j j N v N ++=
其中)(2y c x b a A
N i i i i ++=
（i,j,m ），称为单1
元的插值函数或形函数。 位移模式的矩阵形式为：
???
??????????????????=??
??=m
j
j
i
i m m j
i v v u v u N N
N N N N u u
000
???j
i
v 0
??m u []Na
a N N N
e
e
==
m
j
i
N 称为形函数矩阵。
2、形函数的性质
说明三个形函数只有两个独立。该性质保证单元各节点函数值相同时，插值得到的任意一点函数值为相同值。
（3） 对三节点单元，形函数在单元内部和边界上均线性分布，形函数在边界上的值，
只跟端点坐标有关，与第三点坐标无关；某节点的形函数在对边上恒为0。
（4） 形函数的几何意义，图2-5。
根据三角形单元形函数的上述性质也可以推断，单元的假定位移在内部和边界上都线性分布，边界上的位移只跟两端节点位移有关，保证了整个求解区域上位移的连续性。
（1） 相应于某节点i 的形函数i N 在i 节点上值为1，在j,m 节点上值为0。 （2） 单元中任一点各形函数之和等于1，即：
1=++m j i N N N
图2-5 形函数的几何意义
思考：如何证明上述性质和推论？3、用节点位移表达单元应变和应力
单元位移模式确定后，很容易得到用节点位移表示单元应变和应力的表达式。
应用弹性力学几何方程矩阵形式，得到：
[]x ???εa
N N N L a N L u L e
m
j
i
e
xy y ===???=εε
??
??γ[]Ba a B B B e
e
m
j
i
==
矩阵称为应变矩阵，子块为：
B ??
???
??
????
?????????????=?????????????????????????????==x N y N y N x N N N x y y x i i i i i i i i
N L
B 000000 （i,j,m ） 将形函数分别带入上式，最后求得应变矩阵如下：
????m j i b c b c b c A 2??
???=m m
j
j
i
i
c c c 000
1B 称为常应变单元—单元内应变、应力是常数。应用时一定要注意这一特点。
单元应力根据物理方程得到：
?m j i b b b 000
矩阵的元素取决于节点坐标，都是常数，该单元的应变矩阵是常量阵。因此，a S a B D D e e xy y x ===??
?
??
?????=εσ
τσσ
[][]S S S B
B B D DB S m
j
i
m
j
i
===S 称为应力矩阵。将平面应力或平面应变问题的弹性矩阵代入，就可以计算出应力矩
阵。
至此，已经完成了在二维弹性区域上（分片）假设可能位移场，并准备好计算系统的总势能。
4、利用最小总势能原理建立有限元方程
弹性力学平面问题的总势能泛函表达式如下：
tdS S tdxdy tdxdy T u
f
u D p
??
?∏
--=
Ω
Ωσ
ε
ε
2
T
T
T 1其中 t 是弹性体厚度；
是二维体积力；
f
T 是二维边界上的面力。
对于上述在整个求解区域上分片假设的位移场，或者离散模型，对上述势能泛函进行分片计算（每个单元上积分）并求和：
∑?? -s T
eT
tdS T
N a e
∑?∑?∏?
??
??? ?-?? ?=ΩΩe e e p tdxdy tdxdy f
N a a B
D B a e e σ
2
令： 矩阵；
，称为单元体力等效节点力；
，面力的等效节点力；
?? ???T
eT e T eT 1
K B D B
e
T
tdxdy =? ，称为单元刚度e
ΩP
f
N e b
T
tdxdy e
=
?Ω?=
e
S e S
T
P
T
N tdS σ
P P P
e
S e
b +=
e
称为单元等效节点载荷列阵。
上述定义的矩阵符号带入势能表达式得：
()
())
()2(2
∑∑∑∑∏
-
=-
-??
?
?e
e
e S
e e b
eT
e p
P
a a
K a
P
a P
a a K a
1
∑?=
e
e eT 1
e
eT
e
e
eT
e eT
参考前面受轴向力杆的例题，对上式作如下形式上的处理，把单元相关的矩阵（包括列阵）变换到整体规模（矩阵的尺寸等于系统节点自由度总数），即：
1) 对单元刚度矩阵和等效节点载荷列阵，根据单元局部节点编号i, j, m 所对
应的整体节点号，重新产生具有结构总自由度规模的相应矩阵：和；
2) 势能表达式中的单元节点位移列阵换成结构整体位移列阵那么，上式立刻成为：
e
K e
P em
K em
P
e
a a
∑P a )( ∑∏-=
e
em
T e em T p a K a )(21式中，令：∑=
e
em
K K ，称为结构整体刚度矩阵； ，称为结构节点载荷列阵。
则总势能写成：∑=em P P e
P a Ka a T -=
∏T
p 2
1 这就是用求解区域上所有离散节点未知变量（节点位移）来表达的系统总势能泛函。 应用最小总势能原理，由驻值条件0=∏p δ，即：0=?∏?a
p ，得到有限元控制方程（节
该方程反映了有限元结构的总体平衡，即每个节点处的平衡。
5、单元刚度矩阵及其性质
对于三节点三角形单元，应变矩阵是常数，所以单元刚度矩阵计算如下：
点平衡方程）：
P
a K =
对于平面应力问题，其一个子块计算如下：
( r,s=i, j, m)
其中
由上述子块计算公式，立刻得到：
()K
K T
rs
=
sr 所以有： 性质1：对称性
为了考察单元刚度矩阵的物理意义，用最小势能原理建立有限元结构中一个单元的平衡：
P a K e
e e =
单元节点位移和单元节点载荷分量为：
因此，单元平衡方程的展开形式为：
方程反映了单元节点力的平衡—节点上外载荷和单元节点内力的平衡。 如果令(11=u a i 0),1632=====a a a ，由上式得到：
义是，第一个自由度位移为1，其它自由度位
16261211=????
??????=?
???????????
a P P K K 111????P K ??所以，单元刚度矩阵第一列元素的物理意
移为0时，要保持平衡须加在单元各节点自由度方向节点力分量。这些节点力组成平衡力系。
因此有： 0
0614121
513111
=++=++K K K
K K K
其它列元素的物理意义可以用同样的方法理解，都代表一个平衡力系。由此容易推出单元刚度阵的另一个性质：
性质2：奇异性
因为单元刚度矩阵行列式的值为0。
奇异性的物理解释：单元受满足平衡的节点力作用时，不能确定单元的节点位移。因为矩阵的另一个性质： 性质3：主元恒正
物理含义：使单元在某自由度方向产生一定位移，必须施加相同方向的节点力。
6、单元等效节点载荷列阵
对平面问题，单元载荷主要有两类：体力和面力 相应的等效节点力计算式已经得到：
体力：
面力：
平面问题的体力集度分量列阵和面力集度分量列阵。
要点：形函数和体力面力用与积分变量相同的参数表示。
7、结构总刚度矩阵和结构总节点载荷列阵的组集
e P 单元上可以迭加任意的刚体位移。
单元刚度tdxdy f
N P e
T e
b ?Ω=
?=T
e tdS T N P
e
S S
σ
其中，
f 和T 分别为主要是对不同形式的单元力，如何计算上述积分。 依据下列公式：
∑=K K
em
e
∑=e
P P
em
em
K
关键是如何把单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵转换成其扩大形式：和根据单元局部节点号i,j,m 对应的整体节点号，
将单元刚度矩阵、单元等效节点载荷列阵的各节点相关子块在扩大后的矩（列）阵中重新“对号入座”。
：
有限元模型中某单元i,j,m 为3，8，2。单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵的分块形式em
P
举例如下
为：
扩大后的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵分别为：
实际程序实施时，是根据上述原理，直接将单元信息的各个“子块”“对号入座”到
结构刚度阵和结构载荷列阵中：
=
K
em
P
em
=
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
The finite element analysis Finite element method, the solving area is regarded as made up of many small in the node connected unit (a domain), the model gives the fundamental equation of sharding (sub-domain) approximation solution, due to the unit (a domain) can be divided into various shapes and sizes of different size, so it can well adapt to the complex geometry, complex material properties and complicated boundary conditions Finite element model: is it real system idealized mathematical abstractions. Is composed of some simple shapes of unit, unit connection through the node, and under a certain load. Finite element analysis: is the use of mathematical approximation method for real physical systems (geometry and loading conditions were simulated. And by using simple and interacting elements, namely unit, can use a limited number of unknown variables to approaching infinite unknown quantity of the real system. Linear elastic finite element method is a ideal elastic body as the research object, considering the deformation based on small deformation assumption of. In this kind of problem, the stress and strain of the material is linear relationship, meet the generalized hooke's law; Stress and strain is linear, linear elastic problem boils down to solving linear equations, so only need less computation time. If the efficient method of solving algebraic equations can also help reduce the duration of finite element analysis. Linear elastic finite element generally includes linear elastic statics analysis and linear elastic dynamics analysis from two aspects. The difference between the nonlinear problem and linear elastic problems: 1) nonlinear equation is nonlinear, and iteratively solving of general; 2) the nonlinear problem can't use superposition principle; 3) nonlinear problem is not there is always solution, sometimes even no solution. Finite element to solve the nonlinear problem can be divided into the following three categories: 1) material nonlinear problems of stress and strain is nonlinear, but the stress and strain is very small, a linear relationship between strain and displacement at this time, this kind of problem belongs to the material nonlinear problems. Due to theoretically also cannot provide the constitutive relation can be accepted, so, general nonlinear relations between stress and strain of the material based on the test data, sometimes, to simulate the nonlinear material properties available mathematical model though these models always have their limitations. More important material nonlinear problems in engineering practice are: nonlinear elastic (including piecewise linear elastic, elastic-plastic and viscoplastic, creep, etc. 2) geometric nonlinear geometric nonlinear problems are caused due to the nonlinear relationship between displacement. When the object the displacement is larger, the strain and displacement relationship is nonlinear relationship. Research on this kind of problem Is assumes that the material of stress and strain is linear relationship. It consists
有限元复习资料 1．简述有限单元法的应用范围 答：①工程地质现象机制的研究；②工程区岩体应力边界条件或区域构造力的反馈；③工程岩土体位移场和应力场的模拟；④岩土体稳定性模拟 2．简述有限元单元法的基本原理 答：有限元单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域----飞机结构静，动态特性分析中应用的一种由此奥的数分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导。电磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析计算的思路和做法可归纳如下： ①物体离散化 将整个工程结构离散为由各个单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、树木等应是问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况但愿划分月息则描述变形情况月精确，及月接近实际变形，但计算两越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 ②单元特性分析 A．选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移为基本未知量称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算机自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移作为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如y=a其中a 是待定系数，y是与坐标有关的某种函数。 B．分析但愿的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，折中单元分析中的关键一部。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。C．计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续题，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元辩解上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移动节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。 ③单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 ④求解未知节点位移 解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分
《有限元分析及应用》课程标准 课程代码：汽车学分：3 建议课时数：64 英文名称： 适用专业：计算机辅助设计与分析 先修课程：《计算机辅助设计》 课程团队负责人及成员：陈良萍、刘宏强、王云、赵静、李蕾、黄艺、史俊玲、 毛新 1.课程定位和设计思路 1.1课程定位 本课程是为计算机辅助设计与分析专业本科生开设的一门专业核心课程，重点介绍有限元法的基本原理和方法、一些成熟的有限元软件功能和简单的分析步骤，同时结合工程实际，为他们进一步学习或实际应用及参加科研工作开辟道路。其任务是通过先修课程中所学知识的综合运用和新知识的获取，使学生初步掌握现代设计中的一种重要方法，开阔视野，提高能力，以适应科学技术发展的要求。 1.2设计思路 在教学中，首先通过力学中的矩阵位移法思想的对比教学，引出连续介质力学有限单元法的学习重点在于单元的插值函数如何构造。这因为，虽说矩阵位移法是对杆系结构而言的，但其结构的离散化和组建整体刚度方程的思想完全可以借鉴到连续介质力学，它们的不同点只是在单元刚度矩阵的建立；而不同单元类型的单元刚度矩阵的建立，又取决于对应单元插值函数的构造。这样处理，不但使学生抓住了本课程的教学重点，而且对有限单元法的整体思想有了宏观上掌握；起到主动学习而非被动接受的作用。在单元构造的教学中，理论学习的重点在于常规单元的介绍；通过常规单元介绍插值函数的完备性与收敛性等。接之，介绍高次单元、等参单元等教学内容。在理论教学中，强调数学论证的严谨性和工程应用的适应性。
结合工程实例教学，拓宽学生数值分析方面的应用能力在课内对不同的单元类 型进行介绍时，及时抓住不同单元在应用中的对比教学与其适用性，并结合工程实例介绍单元类型的合理选取和单元网格的合理划分等。为学生在实际问题的数值分析中如何选定单元和剖分单元奠定了一定的基础和经验。 2.工作任务和课程目标 2.1工作任务 由于采用有限单元法的分析计算软件大多已商业化，而熟悉应用这些中的常规软件也应是本门课程的主要教学内容。在课内学生学会使用软件建立分析模型的基本步骤，其中包括分析模型抽象、几何模型绘制、单元网格划分、材料定义、边界条件定义、方程求解方法等。因课内教学时数的不足，学生应利用课余时间学习，以提高对实际问题的数值分析能力。 2.2课程目标 从教学思想和方法上对原课程进行改革，使学生从较高层次上理解有限元方法的实质，掌握有限元分析的工具，并具备初步处理工程问题的能力;使该课程成为具有较宽口径和较大覆盖面的、面向计算机辅助设计方面的专业基础课；注意课程体 系的整体优化，强调课程的深度、广度与应用。 3.教学方针落实情况
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
3.5 ANSYS软件加载、求解、后处理技术 3.5.1 ANSYS 3.5.1 ANSYS 荷载概述荷载概述 在这一节中将讨论: 有限元分析软件及应用 8 有限元分析软件及应用 8 A. 载荷分类 3.5 ANSYS 软件加载、求解、后处理技术 3.5 ANSYS 软件加载、求解、后处理技术 B. 加载 C. 节点坐标系 D. 校验载荷 孙瑛 孙瑛 E. 删除载荷 哈哈尔尔滨滨工工业业大学空大学空间结间结构研构研究中心究中心 2010秋 2010秋 SSRC SSRC 1/ 76 S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A
理技术 A. 载荷分类 B. 加载 A. 载荷分类 B. 加载 ANSYS中的载荷可分为: 可在实体模型或 FEA 模型节点和单元上加载自由度DOF - 定义节点的自由度( DOF )值结构分析_ 沿单元边界均布的压力 沿线均布的压力 位移集中载荷 - 点载荷结构分析_力面载荷 - 作用在表面的分布载荷结构分析_压力 在关键点处 在节点处约 约束体积载荷 - 作用在体积或场域内热分析_ 体积膨胀、内生 束 成热、电磁分析_ magnetic current density等实体模型 FEA 模型惯性载荷 - 结构质量或惯性引起的载荷重力、角速度等 在关键点加集中力在节点加集中力 SSR SSRC C SSR SSRC C 2/ 76 3/ 76 S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A S Space pace S Stru truc ctu ture re R Res esear earc ch h C Center enter, H , HI IT, T, CH CHIN INA A
有限元分析及应用大作业 作业要求： 1）个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成，并将计算结果上交； 也可根据自己科研工作给出计算实例。 2）以小组为单位完成有限元分析计算； 3）以小组为单位编写计算分析报告； 4）计算分析报告应包括以下部分： A、问题描述及数学建模； B、有限元建模（单元选择、结点布置及规模、网格划分方案、载荷及边界 条件处理、求解控制） C、计算结果及结果分析（位移分析、应力分析、正确性分析评判） D、多方案计算比较（结点规模增减对精度的影响分析、单元改变对精度的 影响分析、不同网格划分方案对结果的影响分析等） 题一：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（注意ANSYS中用四边形单元退化为三节点三角形单元） 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 解：1.建模： 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作
用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况P=98000-9800*Y；建立几何模型，进行求解；假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3； 2：有限元建模过程： 2.1 进入ANSYS : 程序→ANSYS APDL 15.0 2.2设置计算类型: ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 2.3选择单元类型: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 182(三节点常应变单元选择Solid Quad 4node 182，六节点三角形单元选择Solid Quad 8node 183)→OK (back to Element Types window) →Option →select K3: Plane Strain →OK→Close (the Element Type window) 2.4定义材料参数： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY:0.3 →OK 2.5生成几何模型： 生成特征点： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →依次输入四个点的坐标：input:1(0,0),2(10,0),3(1,5),4(0.45,5) →OK 生成坝体截面： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接四个特征点，1(0,0),2(6,0),3(0,10) →OK 2.6 网格划分： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) lines: Set →依次拾取两条直角边:OK→input NDIV: 15 →Apply→依次拾取斜边:OK →input NDIV: 20 →OK →(back to the mesh tool window)Mesh:Areas, Shape: tri, Mapped →Mesh →Pick All (in Picking Menu) →Close( the Mesh Tool window) 2.7 模型施加约束： 给底边施加x和y方向的约束： ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →On lines →pick the lines →OK →select Lab2:UX, UY →OK 给竖直边施加y方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数： 98000-9800*{Y}；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file：将需要的.func文件打开，参数名取meng，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取竖直边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷为meng参数名→OK 2.8 分析计算： ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK(to close the solve Current Load
第1讲抛物问题有限元方法 1、椭圆问题有限元方法 考虑椭圆问题边值问题： （1） 问题（1）的变分形式：求使满足 （2） 的性质，广义解的正则性结果。 区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。 剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。 的逼近性质，逆性质： 这里，为的插值逼近。 问题（2）的有限元近似：求使满足 （3） （3）的解唯一存在，且满足。 （3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式： （4） 刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。 模误差分析：由（2）－（3）可得 （5） 由（5）可首先得到 则得到 （6） －模误差分析 设满足 用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 再利用模误差估计结果，得到 （7） 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） 利用（7），类似分析可得 （9） 2、抛物问题半离散有限元方法 考虑抛物型方程初边值问题：
（10） （10）的变分形式：求使满足 （11） （11）的半离散有限元近似：求使满足 （12） 令，代入（12），依次取可导出常微分方程组： （13） 其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。 求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。 定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计： （14） 证明：在（12）中取得到 整理为（注意是正定的） 对此式积分，证毕。 误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足 （15） 根据椭圆问题的有限元结果可知 （16） 分解误差： 的估计由（16）式给出，只须估计。 由（11），（12）和（15）知，满足 取，类似稳定性论证可得 （17） 可取为的投影，插值逼近等。 由（17）式，三角不等式和（16），得到 （18） 3、抛物问题全离散有限元近似 剖分时间区间：。 引进差分算子： 规定，当为连续函数时，，则有 由此得到 （19） （20） 定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足 （21） 将代入（21）可导出全离散方程组 （22）
有限元原理及工程应用 ——大作业 学院：机械工程学院 班级：硕4002班 小组成员：李追3114001089 陈草3114001080 2015.5.19
作业题目： 利用有限元方法对简支梁问题进行求解，梁的横截面为矩形，其约束情况如图1所示。 已知梁的几何尺寸和物理参数如下： （1）几何尺寸：长度40cm L =，截面尺寸2cm 02cm .b t ?=?； （2）物理参数：弹性模量70E =GPa ，泊松比0.3ν=，密度3 =2700kg/m ρ。 图1．梁及其横截面示意图 要求： (1) 至少划分五个节点（四个单元）； (2) 给出单元节点信息； (3) 给出单元刚度矩阵和质量矩阵； (4) 给出总刚度矩阵和总质量矩阵； (5) 求出梁各界固有频率及振型（五阶）； (6) 将所得结果与理论值进行对比，验证方法的可行性。
解：由有限元知识，根据Rayleigh-Ritz 法，解有限元分为四步：建立离散化、单元分析、形 成总体方程、解方程，具体步骤如下： （1）建立离散化 这里我们将矩形截面简支梁等分四等分，即分为六节点的五个杆单元，如图2所示： 每个单元尺寸40 cm=8cm 55 L l = =，这里只考虑杆在竖直平面的弯曲，每个节点只有y 方向位移和绕z 轴的旋转自由度。 （2）单元分析 构造一组Lagrange 插值基函数，在本节点值为1，其他节点值为0。从Rayleigh-Ritz 法可以看到，插值函数要p 次可微，最高阶导数出现在应变能表达式中；同样，我们可以这一原则适用于基函数的选择以及形状函数，否则我们将无法正确计算应变能当我们使用有限元逼近方法。 梁的弯曲问题，应变能计算公式： ()2 220,12L z v x t U EI dx x ???= ???? ? （1-1） 其中，E 为弹性模量，I z 为截面惯性矩。从公式可知，位移函数必须连续，并且二阶导数平方可积。 如图3，是一维杆单元模型，每个节点两个自由度，该单元含有四个自由度，即（,,,i zi j zj v v θθ）。本题中我们采用三次多项式插值函数： ()231234u x x x x αααα=+++ （1-2）
有限元方法理论及其应用
1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不 限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 将一维杆单元分成三段加以推导，并应用驻值条件0p D ?∏=?，我们得到节点的平衡 方程[K]{D}{R}=，即： 12 2341100112106012112600118u u AE cL u L u -?? ???? ?? ????--??????= ??????--??????????-???? ?? 我对此提出了几点疑问： 1) 为什么边界条件u 1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2) 为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3) 为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u 1=0之后就能解出一个唯一的近似解？ 4) 为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u 1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u 1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u 1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出了四个，显然这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。
有限元分析的典型应用领域 6-4：对该问题进行有限元分析的过程如下。 (1)进入ANSYS（设定工作目录和工作文件） 程序→ANSYS→ANSYS Interactive →Working directory（设置工作目录）→Initial jobname（设置工作文件名）：Press →Run →OK (2)设置分析特性 ANSYSMain Menu：Preferences…→Structural →OK (3)定义单元类型 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete... →Add…→Solid: Quad 4node 42 →OK（返回到Element Types窗口）→Options…→K3：Plane Strs w/thk（带厚度的平面应力问题）→OK →Close (4)定义材料参数 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic：EX：2.1e11（弹性模量），PRXY：0.3（泊松比）→OK →点击该窗口右上角的“×”来关闭该窗口 (5)定义实常数以确定平面问题的厚度 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Real Constants…→Add/Edit/Delete →Add →Type 1 PLANE42 →OK →Real Constant Set No：1（第1号实常数），THK：3.4（平面问题的厚度）→OK →Close （6）生成几何模型 生成上拱形梁 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →NPT Keypoint number：1，X，Y，Z Location in active CS：-4.5，8.5→Apply →同样输入后5个特征点坐标（坐标分别为（-2.25，8.5），（2.25，8.5），（4.5，8.5），（0，13），（0，10.75））→OK →Lines →Lines →Straight Line 用鼠标分别连接特征点1，2和3，4生成直线→OK→Arcs →By End KPs & Rad →用鼠标点击特征点2，3 →OK →用鼠标点击特征点6 →OK →RAD Radius of the arc：2.25→Apply （出现Warning对话框，点Close关闭）→用鼠标点击特征点1，4 →OK →用鼠标点击特征点5 →OK →RAD Radius of the arc：4.5→OK（出现Warning对话框，点Close关闭）→Areas →Arbitrary →By Lines →用鼠标点击刚生成的线→OK 生成下拱形梁 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →NPT Keypoint number：7，X，Y，Z Location in active CS：-4.5，-8.5→Apply →同样输入后5个特征点坐标（坐标分别为（-2.25，-8.5），（2.25，-8.5），（4.5，-8.5），（0，-13），（0，-10.75）→OK →Lines→Lines →Straight Line →用鼠标分别连接特征点7，8和9，10生成直线→OK →Arcs →By End KPs & Rad →用鼠标点击特征点8，9 →OK用鼠标点击特征点12 →OK →RAD Radius of the arc：2.25→Apply （出现Warning对话框，点Close关闭）→用鼠标点击特征点7，10 →OK →用鼠标点击特征点11 →OK →RAD Radius of the arc：4.5→OK（出现Warning对话框，点Close关闭）→Areas →Arbitrary →By Lines →用鼠标点击刚生成的线→OK 生成两根立柱 ANSYSMain Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X：-4.5，WP Y：-8.5，Width：2.25，Height：17→Apply →WP X：2.25，WP Y：-8.5，Width：2.25，Height：17→OK 粘结所有面
1有限元法简介 1.1有限单法的形成 在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。如图1-1所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解图1-2所示这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。 图1-1 平面桁架系统
图1-2 大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计（曾攀教授） 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。 图1-3 V6引擎的局部 下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件： t T c Q z T z y T y x T x ??=+??? ??????+??? ? ??????+??? ??????ρλλλ （1- 1） 初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的： () 00 x,y,z T T t == （1- 2） 通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式： ()f T-T h n T λ=??- （1- 3） 尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图1-3所示V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年会上介
1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问： 1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解？ 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出
了四个，显然
这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。