分离变量法例题
例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。求导体板间的电势。
解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。因此，本定解问题：
20??= ( x > 0，0 < y < d ) (1)
0x ?→∞= (2)
00y ?
== (x > 0) (3) 0y d
?== (x > 0) (4) 00x ??== (0 < y < d ) (5)
(2)的条件是我们通常的选择。实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。
因本问题为二维问题，(),x y ??=。(1)在直角坐标系中可写成：
2222
0x y ????+=?? 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。令
(,)()()x y X x Y y ?=
将其带入上式得：
2222d d 0d d X Y Y X x y
+= 将x 变量项和y 变量项整理为：
22221d 1d d d X Y X Y x y =-
上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。这样，我们就将变量分离了。在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板
y = d
对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。即：
222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3)
式中k 为实数常数，称为分离常数。为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。上式可分为两个微分方程：
2221d d X k X x
= 2221d d Y k Y y
=- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为：
kx kx X Ae Be -=+
sin()cos()Y C ky D ky =+
若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。式中A 、B 、C 、D 为积分常数，由边界条件确定。这样，我们得到：
[][sin()cos()]kx kx Ae Be C ky D ky ?-=++
由边界条件(2)，我们得到A = 0及k > 0。这就是为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2的原因。它可使电势φ在x 方向单调地增加或单调地减少而不是振荡。由边界条件(3)，我们得到D = 0。而边界条件(4)给出：
sin()0kd =
由此式及条件k > 0，我们得到：
,1,2,3,n k n d
π==? 我们不取n = 0的原因是因为它给出的是零解。因此，我们得到对应n 值的电势解： (,)sin(),1,2,3,n x d n n n x y B e y n d
ππ?-==? 其中C 已并入B n 。因拉普拉斯方程是线性方程，任何解的线性叠加也是方程的解。因此，我们将所有n 值的解叠加起来得到了更为一般的解：
1(,)sin()n x d n n n x y B e
y d
ππ?∞-==∑ 式中B n 为常数。此解满足边界条件(2)、(3)、(4)。由边界条件(5)， 我们有
01sin(
)n n n B y d
π?∞==∑ 上式是一在[0，d ]区间展开的正弦傅里叶级数，其系数B n 为：
00002sin d 2[1cos()]40d n n y B y d d
n n n n n π??ππ
?π==-??=???
?为奇数为偶数 最后，我们得到所求电势为：
1,3sin()4n x d n n e y d n ππ??π-∞=?=∑
由上式看出，级数中正弦的幅度随n 的增加而快速地减小。
第一章 分离变量法 1、求解定解问题： 2000 000 00,(01), ||0, ,(0),|(),(),|0,(0). tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==?≤≤??? =?-≤≤?- ???=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为 200 0000 00,(0),(0,)(,)0, ,(0),(,0)(),(), |0. tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =-=<<==-?<???? ==?==? ??===??=?
4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提示：定解问题为 20000,(0),||0,2 |2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====?-=<
分离参数法 1已知不等式2 210ax x -+>在[]1,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 2 不等式2 210x ax -+>在[]2,2x ∈-上恒成立.求实数a 的取值范围 3.若关于x 的方程22 210x x a a +?++=有实根，求实数a 的取值范围. 4.已知()()23132x x f x k =-+?+当x R ∈时，()f x 恒为正值，则k 的取值范围是 5.已知函数在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是
6若函数()211,2f x x ax x ??=+++∞ ??? 在是增函数，求a 的取值范围. 7.已知函数()()2111 x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意*x N ∈，()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 8.已知()2222x ax a f x x +-=在[)1+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 9.设()()1+24lg ,3 x x a f x a R +?=∈如果(]-1∞，时，()f x 有意义，求a 的取值范围 10已知函数()[]2 424g x x ax a =-+在，上有零点，求的取值范围 11已知函数()2 1,.2x x f x e ax a =---其中为实数
（1）当1,2a =-时求曲线()y f x =在()() 11f ，处的切线方程； （2）当()1 0.2x x f x a ≥≥时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围94a ??≤ ?? ? 12已知函数()ln .a f x x x =- （1 ）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性. （2）若()2 f x x <在()1+∞，上恒成立，求a 的取值范围.()1a ≥-
基因的分离定律 1.若选用玉米为实验材料，重现孟德尔的研究历程．下列因素对得出正确实验结论几乎没有影响的是( ) A ．所选实验材料是否为纯合子 B．所选相对性状的显隐性是否易于区分 C．所选相对性状是否受一对遗传因子控制 D．是否严格遵守实验操作流程和统计分析方法 2.孟德尔在豌豆杂交试验中，成功利用“假说一演绎法”发现了两个遗传定律。下列有关分离定律发现过程的叙述中不正确的是( ) A．提出的问题是：为什么F2出现了3∶ 1的性状分离比 B ．假设的核心是：F1 产生了数量相等的带有不同遗传因子的两种配子 C．根据假设对测交实验结果进行演绎并进行测交实验验证假设 D．做了多组相对性状的杂交试验，F2 的性状分离比均接近3∶1，以验证其假设 3.关于孟德尔的一对相对性状杂交实验和摩尔根的果蝇杂交实验，下列叙述不正确的是( ) A ．实验中涉及的性状均受一对等位基因控制 B．两实验都采用了统计学方法分析实验数据 C．两实验都设计了测交实验对推理过程及结果进行检验 D．前者采用“假说一演绎法”，后者采用“类比推理”的研究方法 4.在生物科学史上，有一些著名的假说，这些假说是科学家通过一定的实验后提出来的。以下对应关系正确的是( ) A．豌豆一对相对性状的杂交实验——不同的遗传因子在形成配子时自由组合 B．果蝇的眼色伴性遗传实验——遗传的染色体学说 C．肺炎双球菌的活体转化实验——S 型菌可能有遗传因子 D．达尔文父子的向光性实验——有某种化学物质从苗尖传递到了苗尖下部 5.在下列实例中，分别属于相对性状和性状分离的是( ) ①狗的长毛与卷毛 ②兔的长毛和猴的短毛 ③人的单眼皮和双眼皮 ④高茎豌豆与矮茎豌豆杂交，后代全为高茎豌豆⑤高茎豌豆与矮茎豌豆杂交，后代有高有矮，数量比接近1∶ 1 ⑥圆粒豌豆的自交后代中，圆粒豌豆与皱粒豌豆分别占3/4 和1/4 A．③⑥B．①④ C．②⑤D．③④ 6.孟德尔一对相对性状的杂交实验中，实现3 ∶1 的分离比必须同时满足的条件是( ) ①观察的子代样本数目足够多②F1形成的两种配子数目相等且生活力相同③雌、雄配子结合的机会相等④F2不同基因型的个体存活率相等⑤等位基因间的显隐性关系是完全的⑥F1 体细胞中各基因表 达的机会相等 A ．①②⑤⑥ B．①③④⑥ C．①②③④⑤ D．①②③④⑤⑥ 7.蜜蜂的雄蜂由未受精的卵细胞直接发育而成，雌蜂(蜂王) 、工蜂由受精卵发育而成。蜜蜂的体色中，褐 色相对于黑色为显性，控制这一相对性状的一对等位基因位于常染色体上，现有褐色雄蜂与黑色蜂王杂交， 则F1 的体色将( ) A ．全为褐色 B．褐色个体数：黑色个体数＝3∶1 C．蜂王、工蜂全为褐色，雄蜂全为黑色
1.1孟德尔的豌豆杂交实验(一)(I) 1．两株高茎豌豆杂交，后代高茎和矮茎植株数量的比例如图所示，则亲本的遗传因子组成可表示为() A．GG×gg C．Gg×Gg B．GG×Gg D．gg×gg 2．下列有关叙述中，正确的是() A．兔的白毛与黑毛、狗的长毛与卷毛都是相对性状 B．隐性性状是指生物体不能表现出来的性状 C．纯合子的自交后代中不会发生性状分离，杂合子的自交后代中不会出现纯合子 D．性状表现相同的生物，遗传因子组成不一定相同 3．下列叙述正确的是() A．生物体没有显现出来的性状称为隐性性状 B．亲本之中一定有一个表现为隐性性状 C．若子代中出现显性性状，则亲代中必有显性性状个体 D．在一对相对性状的遗传实验中，双亲只具有一对相对性状 4．水稻的晚熟和早熟是一对相对性状，晚熟受显性遗传因子(E)控制。现有纯合的晚熟水稻和早熟水稻杂交，下列说法不正确的是() A．F的遗传因子组成是Ee，性状表现为晚熟 1 B．F自交时产生的雌雄配子数量之比为1∶1 1 C．F自交后得F，F的遗传因子组成是EE、Ee和ee，其比例为1∶2∶1 122 D．F的性状表现为晚熟和早熟，其比例为3∶1 2 5．一对相对性状的亲本杂交子二代中()
A．所有的统计结果都等于3∶1B．统计的样本足够大时才符合3∶1 C．性状按3∶1的比例出现D．统计的样本越小越接近3∶1 6．下列为一对相对性状的杂交实验中性状分离现象的假设性解释，其中错误的是() A．生物的性状是由遗传因子决定的 B．体细胞中的遗传因子成对存在，互不融合 C．在配子中只含有每对遗传因子中的一个 D．生物的雌雄配子数量相等，且随机结合 7．孟德尔选用豌豆作为遗传实验材料的理由及对豌豆进行异花传粉前的处理是()①豌豆是闭花受粉植物②豌豆在自然状态下是纯种 ③用豌豆作实验材料有直接经济价值 ④豌豆各品种间具有一些稳定的、差异较大而且容易区分的性状 ⑤开花时期母本去雄，然后套袋⑥花蕾期母本去雄，然后套袋 A．①②③④；⑥C．①②④；⑥B．①②；⑤⑥D．②③④；⑥ 8．某水稻品种茎秆的高矮是一对相对性状，对两个纯合亲本杂交产生的F 1进行测交，其后代中杂合子的概率是() A．0B．25%C．50%D．75% 9．孟德尔在对一对相对性状进行研究的过程中，发现了分离定律。下列有关分离定律的几组比例中，能直接说明分离定律实质的是() A．F的性状表现比为3∶1B．F产生配子的比为1∶1 21 C．F的遗传因子组成比为1∶2∶1D．测交后代的比为1∶1 2 10．如图为豌豆的一对相对性状遗传实验过程图解，请仔细阅图后回答下列问题：
分离参数法解高考压轴题 新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。 一 洛必达法则介绍 如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim 0x g x f x x →或) ()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞ ∞． 1．（洛必达法则1） 00 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0 0==→→x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→) ()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）． 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立． 2（洛必达法则2） ∞ ∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0 0x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；
第4章 分离变量法 物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解. 从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结. 4.1 有界弦的自由振动 为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题. 根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题 22222 000,0,0; (4.1) 0, 0;(4.2) (),(). (4.3) x x l t t u u a x l t t x u u u u x x t ?ψ====????=<<>???? ==?? ??==??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3). 现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式(,)()()u x t X x T t =的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中(),()X x T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数. 由 (,)()()u x t X x T t = 得 2222''()(),()''(),u u X x T t X x T t x t ??==??
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
孟德尔的豌豆杂交实验一（基因分离定律） 一基础概念 【相对性状】（同种生物同一性状的不同表现类型） 1下列性状中不属于相对性状的是（） A.高鼻梁与塌鼻梁 B.卷发与直发 C五指与多指 D.眼大与眼角上翘 2.下列属于相对性状的是（） A.人的身高与狗的体重 B.兔的长毛与短毛 C.棉花的细绒与长绒 D.猫的白毛与狗的黑毛 3．下列各组中不属于相对性状的是（） A水稻的早熟与晚熟 B豌豆的紫花与红花 C家兔的长毛与细毛 D小麦的抗病和不抗病（易染病） 【选用豌豆原因】 4.豌豆做遗传实验是孟德尔获得成功重要原因之一,因为豌豆是（） ①自花传粉植物②异花传粉植物③闭花传粉植物 ④具有易于区分的相对性状⑤豌豆花大，易于去雄和人工授粉 ⑥是单性花，易于进行人工授粉 A ②③④⑥ B ①③④⑤ C ①③⑤ D ②④⑥ 5、进行豌豆杂交试验时,为避免其自花传粉,孟德尔采取的措施（） ①花蕾期,不去雄蕊②花蕾期,去雄蕊③去雄后,套上纸袋 ④去雄后,不套纸袋⑤待花成熟时,采集另一株植物花粉涂在去雌蕊柱头 ⑥待花成熟时,拿开纸袋任其在自然状况下传粉受精 A ②④⑥ B ①③⑥ C ②③⑤ D ②④⑥ 6科学研究过程一般包括发现问题,提出假设,实验验证,数据分析,得出结论等。在孟德尔探究遗传规律的过程中,导致孟德尔发现问题的现象是（） A．成对的遗传因子彼此分离 B．具一对相对性状亲本杂交，F2表现型之比为 3:1 C．F1与隐性亲本测交，后代表现型之比为1:1
D．雌雄配子结合的机会均等 7、分离定律的实质是（） A.F2（子二代）出现性状分离 B.F2性状分离比是3:1 C.成对的控制相对性状的遗传因子彼此分离 D.测交后代性状分离比为1:1 8、基因型为Aa的植物体产生的雌雄配子的数量是（） A．雌配子∶雄配子＝1∶1 B．雄配子比雌配子多 C．雄配子∶雌配子＝3∶1 D．雄配子A∶雌配子a=1∶3 9.有关纯合体与杂合体的叙述正确的是（） A.纯合体自交,后代不发生性状的分离 B.杂合体杂交,后代不发生性状分离 C.纯合体自交,后代发生性状分离 D.杂合体自交,后代不发生性状分离 10.以豌豆的一对相对性状为研究对象,将纯合显性个体和隐性个体间行种植, 隐性一行植株上所产生的子一代将表现为（） A、显隐性个体的比例为1:1 B、都是隐性个体 C、显隐性个体的比例为3:1 D、都是显性个体 【显隐性判断及基因型判断测交性状分离】 11.对隐性性状的正确表述是（） A 后代中表现不出来的性状 B后代中不常出现的性状 C 杂种F1未出现的亲本性状 D F2未出现的亲本性状 12.一对有耳垂的父母生了一个无耳垂的孩子,这说明（） A有耳垂为显性性状 B无耳垂为显性性状 C有耳垂为隐性性状 D不能说明问题 13.大豆白花和紫花是一对相对性状,下四组杂交能判断显性和隐性关系（） ①紫花×紫花→紫花，②紫花×紫花→301 紫花＋101白花， ③紫花×白花→紫花，④紫花×白花→98紫花＋102白花。 A ①和② B ③和④ C ①和③ D ②和③ 14.下列杂交组合（遗传因子E控制显性性状,e控制隐性性状）产生的后代, 哪一组符合性状分离的概念会发生性状分离（） A EE×ee B EE×Ee C EE×EE D Ee×Ee 15.绵羊的白毛（W）对黑毛（w）为显性,一只白毛绵羊与一只黑毛绵羊杂交, 生了6只小羊,其中3白3黑,这两个亲本的遗传因子组合可能性最大的是（）
基因分离定律练习题一
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1.１孟德尔的豌豆杂交实验(一)(Ｉ) １．两株高茎豌豆杂交,后代高茎和矮茎植株数量的比例如图所示,则亲本的遗传因子组成可表示为( ) A．GG×gｇ?Ｂ．GG×Ｇｇ C.Gg×Gg Ｄ.gg×gｇ 2.下列有关叙述中，正确的是( ) A．兔的白毛与黑毛、狗的长毛与卷毛都是相对性状 Ｂ．隐性性状是指生物体不能表现出来的性状 C.纯合子的自交后代中不会发生性状分离，杂合子的自交后代中不会出现纯合子 Ｄ．性状表现相同的生物,遗传因子组成不一定相同 3.下列叙述正确的是( ) A.生物体没有显现出来的性状称为隐性性状 B.亲本之中一定有一个表现为隐性性状 C．若子代中出现显性性状，则亲代中必有显性性状个体 Ｄ.在一对相对性状的遗传实验中,双亲只具有一对相对性状 ４.水稻的晚熟和早熟是一对相对性状，晚熟受显性遗传因子(E）控制。现有纯合的晚熟水稻和早熟水稻杂交，下列说法不正确的是( ) A.F1的遗传因子组成是Ee,性状表现为晚熟 B.Ｆ1自交时产生的雌雄配子数量之比为1∶1 C．F1自交后得F2，Ｆ２的遗传因子组成是ＥE、Eｅ和ee，其比例为１∶2∶１ D.F2的性状表现为晚熟和早熟，其比例为3∶1 5．一对相对性状的亲本杂交子二代中( )
A.所有的统计结果都等于３∶1 B.统计的样本足够大时才符合3∶１ C．性状按3∶1的比例出现 D.统计的样本越小越接近3∶1 ６．下列为一对相对性状的杂交实验中性状分离现象的假设性解释,其中错误的是( ) Ａ.生物的性状是由遗传因子决定的 B.体细胞中的遗传因子成对存在,互不融合 C．在配子中只含有每对遗传因子中的一个 D．生物的雌雄配子数量相等,且随机结合 ７.孟德尔选用豌豆作为遗传实验材料的理由及对豌豆进行异花传粉前的处理是( ）①豌豆是闭花受粉植物②豌豆在自然状态下是纯种 ③用豌豆作实验材料有直接经济价值 ④豌豆各品种间具有一些稳定的、差异较大而且容易区分的性状 ⑤开花时期母本去雄,然后套袋⑥花蕾期母本去雄,然后套袋 Ａ．①②③④;⑥ B.①②;⑤⑥ C．①②④;⑥Ｄ．②③④；⑥ 8.某水稻品种茎秆的高矮是一对相对性状,对两个纯合亲本杂交产生的Ｆ１进行测交,其后代中杂合子的概率是( ) A.0 Ｂ．２5% C.5０% D.７5％ 9.孟德尔在对一对相对性状进行研究的过程中,发现了分离定律。下列有关分离定律的几组比例中，能直接说明分离定律实质的是( ） A．Ｆ2的性状表现比为３∶1Ｂ．F1产生配子的比为１∶1 C．F2的遗传因子组成比为１∶2∶1 D．测交后代的比为１∶1 １０．如图为豌豆的一对相对性状遗传实验过程图解,请仔细阅图后回答下列问
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
基因分离定律测试题
基因分离定律质量检测 生物试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共40分。满分100分。 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束后，第Ⅱ卷和答题卡一并收回。 第Ⅰ卷（选择题共60分） 本卷共40小题，每小题1分，每小题只有一个选项最符合题意。 1、在某种牛中，基因型为AA的个体的体色是红褐色的，aa是红色的。基因型为Aa的个体中雄牛是红褐色的，而雌牛是红色的。一头红褐色母牛生了一头红色小牛，这头小牛的性别及基因型为 A.雄性或雌性，aa B.雄性，Aa C.雌性，Aa D.雌性，aa或Aa 2、通过饲养灰鼠和白鼠(基因型未知)的实验，得到结果如右 表，如果亲本一栏中杂交组合Ⅳ中的灰色雌鼠和杂交组合Ⅱ中的 灰色雄鼠交配，子代表现为( ) A.都是灰色 B．都是白色 C.3/4是灰色 D.1/4是灰色 3、给你一粒黄色玉米(玉米是雌雄同株、雌雄异花的植物)，请你从下列方案中选一个既可判断其基因型又能保持纯种的遗传特性的可能方案( ) A．观察该黄色玉米，化验其化学成分 B．让其与白色玉米杂交，观察果穗 C．进行同株异花传粉，观察果穗 D．让其进行自花受粉，观察果穗 4、有关一对相对性状遗传的叙述，正确的是( ) A．在一个种群中，若仅考虑一对等位基因，可有4种不同的交配类型 B．最能说明基因分离定律实质的是F2的表现型比为3∶1 C．若要鉴别和保留纯合的抗锈病(显性)小麦，最简便易行的方法是自交 D．通过测交可以推测被测个体产生配子的数量 5、某男性与一正常女性婚配，生育了一个白化病兼色盲的儿子。右图为此男性的一个精原细胞示意图(白化病基因a、色盲基因b)。下列叙述错误的是( ) A．此男性的初级精母细胞中的染色体数等于其神经细胞的染色体数 B．在形成此精原细胞的过程中不可能出现四分体 C．该夫妇所生儿子的色盲基因一定来自于母亲 D．该夫妇再生一个表现型正常男孩的概率是3/8 6、某种品系的鼠毛色灰色和黄色是一对相对性状，科学家进行了大量的杂交实验得到了如下结果，由此推断 不正确的是( ) A.杂交A后代不发生性状分离，亲本为纯合子B．由杂交B可判断鼠的黄色毛基因是显性基因C．杂交B后代黄色毛鼠既有杂合子也有纯合子D．鼠毛色这对相对性状的遗传符合基因的分离定律杂交亲本后代 杂交A 灰色×灰色灰色 杂交B 黄色×黄色2/3黄色，1/3灰色杂交C 灰色×黄色1/2黄色，1/2灰色
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
课后·分层训练 (时间：30分钟满分：100分) 1.(2016·深圳调研)基因分离定律的实质是() A.子二代出现性状分离 B.子二代性状分离比为3∶1 C.等位基因随同源染色体的分开而分离 D.测交后代分离比为1∶1 解析基因分离定律的实质是减数分裂过程中等位基因随着同源染色体的分开而分离，C正确。 答案 C 2.某养兔场有黑色兔和白色兔，假如黑色(B)对白色(b)为显性，要想鉴定一头黑色公兔是杂种(Bb)还是纯种(BB)，最合理的方法是() A.让该公兔充分生长，以观察其肤色是否会发生改变 B.让该黑色公兔与黑色母兔(BB或Bb)交配 C.让该黑色公兔与多只白色母兔(bb)交配 D.从该黑色公兔的表现型即可分辨 解析鉴定显性表现型动物个体的基因型可采用测交的方法，即让该黑色公兔与多只白色母兔(bb)交配，如果后代全为黑色兔，说明该黑色公兔的基因型为BB，如果后代中出现了白色兔，说明该黑色公兔的基因型为Bb。 答案 C 3.基因型为Aa的大豆植株产生的配子及比例是() A.雌A∶雄a＝1∶1 .雌A∶雄a＝3∶1 C.雄A∶雄a＝3∶1 .雌A∶雌a＝1∶1 解析基因型为Aa的大豆植株产生的雄配子数量远多于雌配子，根据基因分离定律可知，Aa产生的雄配子和雌配子各有A、a两种，并且两种雄(或雌)配子的数量相等。 答案 D 4.(2016·山东日照调研)下列遗传实例中，属于性状分离现象的是()
①高茎豌豆与矮茎豌豆杂交，后代全为高茎豌豆②高茎豌豆与矮茎豌豆杂交，后代有高有矮，数量比接近1∶1③圆粒豌豆的自交后代中，圆粒豌豆与皱粒豌豆分别占3/4和1/4④开粉色花的紫茉莉自交，后代出现红花、粉花、白花三种表现型 A.①③ B.①④ C.②③ D.③④ 解析①中后代无性状分离现象；②中不符合性状分离的条件。 答案 D 5.(经典题)在家鼠中短尾(T)对正常尾(t)为显性。一只短尾鼠与一只正常尾鼠交配，后代中正常尾与短尾比例相同；而短尾类型相互交配，子代中有一类型死亡，能存活的短尾与正常尾之比为2∶1，则不能存活类型的基因型可能是() A.TT B.Tt C.tt D.TT或Tt (短尾鼠)∶tt(正常尾鼠)＝2∶1，解析由题干可知，Tt(短尾鼠)×Tt(短尾鼠)→T － 又因短尾鼠×tt(正常尾鼠)→正常尾鼠∶短尾鼠＝1∶1，得出存活的短尾鼠一定是杂合子(Tt)，所以排除其他致死因素，则致死的小鼠一定是纯合短尾鼠。 答案 A 6.(2017·西安模拟)豌豆的圆粒(R)对皱粒(r)为显性，其控制性状的基因在染色体上。将纯种圆粒豌豆与纯种皱粒豌豆杂交，产生的F1全是圆粒；然后将F1自交，获得的F2中圆粒与皱粒之比约为3∶1(第一个实验)。再进行测交实验(第二个实验)。根据题意回答： (1)上述实验是由________及其________两个实验构成的。 (2)观察第一个实验，由此提出的问题是____________________________。 (3)观察第一个实验，由此提出的假说是____________________________。 (4)第二个实验得出的结果是______________________________________。 (5)由此可见，分离规律的细胞学基础是________；研究分离规律的方法是________；分离规律的实质是杂合子在形成配子时，存在于一对同源染色体上的具有独立性的________________的分开而分离，独立地随配子遗传给后代。 解析(1)题干中的实验包括杂交实验(两纯种亲本杂交及F1自交)和测交实验。
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
第四章 分离变量法 一、分离变量法的精神和解题要领 1．分离变量法的精神 将未知函数按多个单元函数分开，如，令 )()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u = 从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解 2．分离变量法的解题步骤 用分离变量法求解偏微分方程分4步 （1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。 （2）求解特征值问题 （3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。 （4）叠加（如∑= n u u ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从 而得到偏微分方程定解问题的解。 3．特征值问题 在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。 常涉及到的几种特征值问题： （1）? ??===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ 特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x l n C x X n n π （2）? ??='='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)( l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x l n C x X n n π （3）?? ?='==-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)21(πμl n + -=，特征值函数Λ,2,1,0 21 sin )(=+ =n x l n C x X n n π （4）?? ?=='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ
基因分离定律经典例 题(1)
基因分离定律经典例题 1.下面对有关概念之间关系的叙述，不正确的是( ) A．基因型决定了表现型 B．等位基因控制相对性状 C．杂合子自交后代没有纯合子 D．性状分离是由于基因分离 解析：基因型对表现型起决定作用，基因型相同，表现型一般相同，环境条件也影响表现型，A项正确；等位基因是指位于同源染色体的同一位置，控制着相对性状的基因，B项正确；杂合子自交，后代中有纯合子出现，C项错误。 2.下列有关孟德尔豌豆杂交实验的叙述正确的是() A．孟德尔在豌豆开花时进行去雄和授粉，实现亲本的杂交 B．孟德尔研究豌豆花的构造，但无需考虑雌蕊、雄蕊的发育程度 C．孟德尔根据亲本中不同个体表现型来判断亲本是否纯合 D．孟德尔利用了豌豆自花传粉、闭花受粉的特性 解析：豌豆是严格的自花传粉、闭花受粉植物，应在未开花前去雄和授粉，实现杂交；花的主要结构是雄蕊和雌蕊，雄蕊和雌蕊发育不良，会影响受粉；孟德尔依据子代不同个体的表现型来判断亲本是否纯合。 3、高茎豌豆（Dd）能产生含有哪种遗传因子的配子（） （A）只有含D的配子B）有含D的配子，也有含d的配子 （C）只有含d的配子 D）只有含D的配子，或只有含d的配子4、下列杂交组合（遗传因子E控制显性性状，e控制隐性性状）产生的后代， 哪一组符合性状分离的概念（） （A）EE×ee （B）EE×Ee （C）EE×EE （D）Ee×Ee 5.鸡的毛腿（B）对光腿（b）为显性。现让毛腿雌鸡甲、乙分别与光腿雄鸡丙交配，甲的后代有毛腿，也有光腿，比为1：1，乙的后代全部是毛腿，则甲、乙、丙的基因型依次是( ) A．BB、Bb、bb B．bb、Bb、BB C．Bb、BB、bb D．Bb、bb、BB
绝密★启用前 2015-2016学年度学校9月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．纯种甜玉米和纯种非甜玉米间行种植，收获时发现甜玉米果穗上有非甜玉米籽粒，而非甜玉米果穗上无甜玉米籽粒。原因是（） A．甜是显性性状 B．非甜是显性性状 C．相互混杂 D．环境影响 【答案】B 【解析】 试题分析：在纯种甜玉米中，产生的配子都含控制甜这种性状的基因，但结的子粒中有非甜的，说明接受了非甜的花粉后，子粒中含有的非甜基因被表达出来，所以既含甜基因，又含非甜基因，而表现为非甜性状，则说明非甜是显性．同理，在纯种非甜玉米中，也有接受了甜玉米花粉的个体，它们的子粒中既含甜基因，又含非甜基因，也表现出非甜性状，说明非甜是显性性状。考点：本题以玉米为素材，考查性状的显、隐性关系，首先要求考生明确玉米是单性花，可以进行杂交，也可以进行自交；掌握显性性状和隐性性状的概念，能根据题中信息准确判断显隐性关系。 2．人类多指畸形是一种显性遗传病。若母亲为多指（Aa），父亲正常，则他们生一个患病女儿的可能性是（） A．50% B．25% C．75% D．100% 【答案】B 【解析】 试题分析：已知人类多指畸形是一种显性遗传病，母亲为多指，基因型为Aa，父亲正常，基因型为aa，则后代的基因型及比例是Aa：aa=1：1，因此该夫妇生一个患病女儿（Aa）的可能性是1/2×1/2=1/4（25%）。 考点：本题考查基因的分离规律的实质及应用的相关知识点，意在考查学生对所学知识的理解与掌握程度，培养了学生分析题意、获取信息、解决问题的能力。 3．水稻的非糯性（W）对糯性（w）是一对相对性状。含W的花粉遇碘变蓝，含w的花粉遇碘不变蓝，把WW和ww杂交得到的F1种子播下去，长大开花后取出一个成熟的花药，取其中的全部花粉，滴一滴碘液，在显微镜下观察，可见花粉（） A．全部变蓝 B．全不变蓝 C．1/2变蓝 D．3/4变蓝