课题：双曲线的第二定义
【学习目标】
1、掌握双曲线的第二定义；
2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；
一、双曲线中的基本元素
（1）.基本量: a 、b 、c 、e
几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；
相互关系： )0(,222>>=
+=a c a
c e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心
（3）.基本线: 对称轴
二．双曲线的第二定义的推导 例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2
:a l x c
=的距离的比是常数(0)c c a a >>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ????=??????
|，
c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设2
22c a b -=，就可化为22
221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．
由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a
=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．
对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2
a x c
=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2
a x c
=-，所以双曲线有两条准线． 例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12
，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =，
又定点(40)F ，
与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线， 所以2c a =，2
1a c c
-=，解得2433a c ==，． 所以双曲线中心为803O ??' ???
，． 又2
43b =，故双曲线方程为22
(38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．
三．第二定义的应用
1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 2
3±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线136
642
2=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线124
252
2=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线136
642
2=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2
=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ） （A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 4
5 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ） （A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916
x y -= （D ）22
12516x y -= 7．双曲线22
134
x y -=的两条准线间的距离等于（A ） （A ）76
7 （B ）73
7 （C ）185 （D ）165
8．若双曲线22
16436
y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）
（A ）10 （B （C ）27 （D ）325 9．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）
（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=8
10．以y =±
32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ） （A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=36
11．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2）
12．从双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (19
162
2=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2
=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (1532
2=-y x ) 15．已知双曲线136642
2=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离596）
四、课后作业
1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）
（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22
193
x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22
139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）
（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）2212
11e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±
31x ，则这条双曲线的方程是（C ） （A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）22
1183
x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±4
3x ，则双曲线的离心率为（C ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215
5．如果双曲线22
1169
x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ） （A ）245 （B ）6910
（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）
（A ）32 （B ）―3
2 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线22
14x y k
+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线22
1169
x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)
10．在双曲线22
11213
y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B
C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)
第三讲 双曲线的第二定义
知识梳理
（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e ? 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x ?
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。 （二）焦点三角形的面积公式。
S?
1 ? r1r2 sin ? ? b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
b x a a2 x?? c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 ? a y??
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
a x b a2 y?? c y??
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0 ? a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 ?a r右 =|MF2 |=-ex 0 ? a
典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x ? 2 y ? 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y ? ?
16 13 ，求双曲线的标准方程。 13
3 x 2
1
2019-2020年高二数学第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的 第二定义优秀教案 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念 3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 4．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 顶点： 特殊点： 实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样 的双曲线叫做等轴双曲线
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x 轴，当时焦点在y 轴上 5．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程 就一定是： )0(1)()(2 2 22>±=-k kb y ka x 或写成 6．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 7．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它
圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用 北京一零一中学数学组 何效员 圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。 但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下： ① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠， 直线去掉一点； ② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±-- (1)x ≠，两条直线去掉一点； ③ 当1e <时，点的轨迹不存在。 下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。 例1 已知椭圆22 143 x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。 分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ， 则2222 ||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+， 求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ， ||1 2 MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2 4a x c == M P F M x = 4 O y x
的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26 ( ,1)3 -. 例2 已知椭圆方程为22 221(0)y x a b a b +=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得 它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。 分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标， 继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时 的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双 曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。 设所求双曲线方程为 22 2 21(,0)y x m n m n -=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1 2PR l ⊥于R ， 22 1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c === -=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am y c =，代入椭圆方程22221y x a b +=，得 1bn x c = ，利用双曲线与椭圆的对称性知 22 1122 4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤?=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22 2 2 2 a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点
第10讲 椭圆及双曲线的第二定义 一． 椭圆 1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （0
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗 双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0c e c a a = >>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相 对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 2 2:=。 3
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。 设双曲线)0,0( 122 22>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点， e d MF =11 ， ∴ e c a x MF =+ 2 01，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ex MF a ex ?=+?? =-?? 同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ey MF a ey ?=+??=-??（ 其中12F F 、分 别是双曲线的下、上焦点） 点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果 要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，下加上减（带绝对值号）。 4、焦点弦： 过焦点的直线截双曲线所成的弦。 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点()()1122,,A x y B x y 、， （1）当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关， ①过左焦点与左支交于两点时：()122c AB a x x a =-- +； ②过右焦点与右支交于两点时：()122c AB a x x a =-++。 （2）当双曲线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关， ①过下焦点与下支交于两点时：()122c AB a y y a =--+； ②过上焦点与上支交于两点时：()122c AB a y y a =-++。 5、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。直接应用焦点弦公式，得到a b d 2 2=。
人教版高中数学精品资料 1.课题:双曲线第二定义 学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 教学目标 知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义； 3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用； 情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取 的精神． 教学过程： 学生探究过程：复习回顾 1．椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为 3 2 2，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4 2 27± =y ）. 2．短轴长为8，离心率为 5 3 的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为 20 . 引入课题 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为 116 252 2=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点 ① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 . ② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？ 解：2 2 )34(||y MF +-=且 116 2542 2=+y 代入消去20y 得51325169||==MF
双曲线的第二定义及其应用 课题：双曲线的第二定义及其应用 课型：新课 班级：高二（1）班 时间：2002年12月31日 授课人：潘际栋 【教学目标】 1、知识目标：进一步学习双曲线的几何性质，理解并掌握双曲线的第二定义，能运用双曲线的第二定义优化解题方法。 2、能力目标：在与椭圆的第二定义的类比中获得双曲线的第二定义，能对知识进行归纳与迁移，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 3、情感目标：通过发挥类比联想的同时，注意培养学生有根有据、求同存异、实事求是的科学态度和品质，并从中去领略数学中的美。 【教材分析】 1、重点：双曲线的第二定义的的概念及推导。（解决方法：通过与椭圆的第二定义进行类比联想，使学生掌握它们的区别与联系） 2、难点：正确运用双曲线的第二定义于解题中。（解决方法：通过变换题目、一题多解等手段进行巩固、归纳） 【教学方法】 直观发现和严格证明相结合，诱思探究的方法。 【教学手段】 多媒体演示 【教学过程】 （一）知识回顾 椭圆的第二定义：平面内点M 与一个定点F 的距离和它到一定直线的距离的比是常数e （0
2019-2020年高二数学上-第八章-圆锥曲线方程：-8.4双曲线的第二定义教案
4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上 5．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22 22b y a x 6．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 7．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e ==22，叫做双曲线的离
心率 范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：11222 22-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 8．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222≠=-λλk y x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上 二、讲解新课： 9． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a c e 的点的轨迹是双曲线其中，
双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0c e c a a = >>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相 对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 2 2:=。 3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0( 122 22>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点， e d MF =11 ， ∴e c a x MF =+ 2 01，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ex MF a ex ?=+?? =-?? 同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ey MF a ey ?=+??=-??（ 其中12F F 、分 别是双曲线的下、上焦点） 点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果 要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，下加上减（带绝对值号）。 4、焦点弦： 过焦点的直线截双曲线所成的弦。 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点()()1122,,A x y B x y 、， （1）当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关， ①过左焦点与左支交于两点时：()122c AB a x x a =-- +； ②过右焦点与右支交于两点时：()122c AB a x x a =-++。 （2）当双曲线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关， ①过下焦点与下支交于两点时：()122c AB a y y a =--+； ②过上焦点与上支交于两点时：()122c AB a y y a =-++。 5、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。直接应用焦点弦公式，得到a b d 2 2=。
课题：双曲线的第二定义 【学习目标】 1、掌握双曲线的第二定义； 2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题； 一、双曲线中的基本元素 （1）.基本量: a 、b 、c 、e 几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率； 相互关系： )0(,222>>= +=a c a c e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心 （3）.基本线: 对称轴 二．双曲线的第二定义的推导 例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2 :a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a >>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ????=?????? |， c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设2 22c a b -=，就可化为22 221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）． 由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a =>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率． 对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2 a x c =，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2 a x c =-，所以双曲线有两条准线． 例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12 ，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =， 又定点(40)F ， 与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线， 所以2c a =，2 1a c c -=，解得2433a c ==，． 所以双曲线中心为803O ??' ??? ，． 又2 43b =，故双曲线方程为22 (38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．
第一篇圆锥曲线专题02第二定义的使用方法 圆锥曲线第二定义并不属于考纲范围（江苏除外），但是却是一个比较实用的工具。第二定义涉及离心率问题，所以当出现离心率问题时或者两条线段比值是定值时或者出现动点到定点的距离时都可以考虑使用第二定义来解决。 第二定义：椭圆或双曲线中的一点P ，满足条件2PF e PD =（右准线对应右焦点），其中2PF 称作焦半径，准线公式2 a x c =±例：在平面直角坐标系xoy 中双曲线2213 x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其中焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______.
由于该定义中涉及长度，离心率，故出题类型有如下三种： 一、焦半径公式已知椭圆22 221x y a b +=，00(x ,y )P 为椭圆上任一点，12,F F 分别是椭圆的左右焦点，则椭圆的焦半径公式为：1020||x ,||x PF a e PF a e =+=-（长加短减a 在前）； 同理，双曲线的焦半径公式为：1020||x ,||x PF e a PF e a =+=-（长加短减a 在后） 例1：设12,F F 是双曲线2214 x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ?∠=，则12PF F ?的面积是 二、离心率问题 例2：倾斜角为6 π的直线过椭圆22221x y a b +=的左焦点F ，交椭圆于A,B 两点，且有||3|B |AF F =，求
椭圆的离心率. 三、距离和最值问题 例3：已知双曲线22 1169 x y -=，点(6,2)M ,P 为双曲线右支上的一动点，12,F F 为双曲线的左右焦点，求24||||5 PM PF +的最小值. 本次课重点需要注意三点： 一是第二定义的用法； 二是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论； 三需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的方法，例在椭圆中1a c PF a c -≤≤+