不等式与一次函数专题练习
题型一：方程、不等式的直接应用
典型例题1：（株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．．
每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．
（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内． 解：（1）如果孔明同学卖出1000份报纸，则可获得：1000?0.1=100元，没有超过140元，从而不能达到目的.（注：其它说理正确、合理即可.）
（2）设孔明同学暑假期间卖出报纸x 份，由（1）可知x>1000，依题意得：
???1000?0.1+0.2(x-1000)≥140 1000?0.1+0.2(x-1000)≤200
解得 1200≤x ≤1500
答：孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1200～1500份之间.
注：解决问题的关键是找准相等关系和不等关系
典型例题2：（福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：
假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资为b 元． （1）求a ，b 的值；
（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？
解：（1）依题意，得y=ax+b ，所以???1400=200a+b 1250=150a+b
，解得a =3，b=800． （2）依题意，得y≥1800，即3x+800≥1800，解得x ≥33313
． 答：小俐当月至少要卖服装334件．
配套练习：
1、(益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3
本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本
共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.
解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元
依题意得：?
??x+3y=182x+5y=31 解得：???x=3y=5
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元
(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本
依题意得：???≥-≤-+a
a a a 48200)48(53 解得：2420≤≤a
所以，一共有５种方案．
即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25, 24，2
2、（济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计
件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：
（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？
（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 解：（1）设职工的月基本保障工资为x 元，销售每件产品的奖励金额为y 元
由题意得20018001801700x y x y +=??+=?
解这个方程组得8005
x y =??=? 答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元.
（2）设该公司职工丙六月份生产z 件产品
由题意得80052000z +≥
解这个不等式得240z ≥
答：该公司职工丙六月至少生产240件产品
3、（青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本
） 解：（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得：
6800032000102x x
-=， 解这个方程，得200x =．
经检验，200x =是所列方程的根．
22200200600x x +=?+=．
所以商场两次共购进这种运动服600套．
（2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得：
600320006800020%3200068000
y --+≥， 解这个不等式，得200y ≥，
所以每套运动服的售价至少是200元
题型二：方案设计
典型例题3、（深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明
（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，
依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-??+-?≤≤解得：3331
x x ???≤≥，∴3133x ≤≤ ∵x 是整数，x 可取31、32、33，
∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个，B 种园艺造型19个；②A 种园艺造型32个，B 种园艺造型18个；③A 种园艺造型33个，B 种园艺造型17个．
（2）方法一：由于B 种造型的造价成本高于A 种造型成本．所以B 种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）
方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；
方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；
方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．
典型例题4：(湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。
⑴、请填写下表，并求出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x 的值；
w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。
依题意得：20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x) x=200
⑵、w 与x 之间的函数关系式为：w=2x+9200
依题意得：240-x ≥0 x-40≥0 x ≥0 300-x ≥0 ∴40≤x ≤240
在w=2x+9200中，∵2>0，∴w 随x 的增大而增大，故当x =40时，运费最小
⑶、w=(2-m)x+9200 ∴0 配套练习： 1．（牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： （1）冰箱厂有哪几种生产方案？ （2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？ （3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种． 解：（1）设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得： 47500(28002200)(30002600)(100)48000x x -+-?-≤≤ 解得：37.540x ≤≤ x 是正整数 x ∴取38，39 或40． （2）设投入成本为y 元，由题意有： 22002600(100)400260000 y x x x =+-=-+ 4000-< y ∴随x 的增大而减小 ∴当40x =时，y 有最小值． 即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱50台，该厂投入成本最少 此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()?+??=元 （3）实验设备的买法共有10种． 2．光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．?现将这50台联合收割机派往A ，B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区． （1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y （元），求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，?说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。 解：（1）派往A 地区的乙型收割机为x 台，则派往A 地区的甲型收割机为（30－x ）台，派 往B 地区的乙型收割机为（30－x ）台，派往B 地区的甲型收割机为（x －10）台，则： y=1600x+1800（30－x ）+1200（30－x ）+1600（x －10） =200x+74000（10≤x ≤30，x?是正整数）． （2）由题意得200x+74000≥79600，解得x≥28，由于10≤x≤30，所以x 取28，29，30三个值，所以有三种分配方案（方案略）． （3）由于一次函数y=200x+74000的值是随着x 的增大而增大的，所以当x =30时，?y 取最大值．建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A 地区，20?台甲型收割机全部派往B 地区，可使公司获得的租金最高． 7.（抚顺）某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x 块． （1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？ （2）设加工两种巧克力的总成本为y 元，求y 与x 的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？ 解：（1）根据题意，得 135(50)410414(50)520 x x x x +-??+-?≤≤ 解得1820x ≤≤ x 为整数 181920 x ∴=，， 当18 x=时，50501832 x -=-= 当19 x=时，50501931 x -=-= 当20 x=时，50502030 x -=-= ∴一共有三种方案：加工原味核桃巧克力18块，加工益智巧克力32块；加工原味核桃巧克力19块，加工益智巧克力31块，加工原味核桃巧克力20块，加工益智巧克力30块．6分 （2） 1.22(50) y x x =+- =0.8100 x -+ 0.80 -< y ∴随x的增大而减小 ∴当20 x=时，y有最小值，y的最小值为84． ∴当加工原味核桃巧克力20块、加工益智巧克力30块时，总成本最低．总成本最低是84元． 评析：注重实际问题向数学问题的转化，本题依据图象语言体现数据，注重了数形结合思想． 题型三：不等式与一次函数的实际应用 典型例题5：（南充市）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元． （1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象； （2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？ 典型例题6：(朝阳)某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们 的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆， 租车总费用为y元． （1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系 式，指出自变量的取值范围； （2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的 甲种客车乙种客车 载客量（人/辆）45 30 租金（元/辆）280 200 租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？ （1）280(6)200801200(06)y x x x x =+-?=+≤≤ （2）可以有结余，由题意知80120016504530(6)240x x x +?? +-?≤≥ 解不等式组得：5 458 x ≤≤ ∴预支的租车费用可以有结余． x 取整数 x ∴取4或5 800k => y ∴随x 的增大而增大． ∴当4x =时，y 的值最小． 其最小值48012001520y =?+=元 ∴最多可结余1650-1520=130元 典型例题7：(唐山)送家电下乡活动开展后，某家电经销商计划购进A 、B 、C 三种家电共70台，每种家电至少要购进8台，且恰好用完资金45000元。设购进A 种家电x 台，B 种家电y 台。三种家电的进价和预售价如下 表： ⑴、用含x ，y 的式子表示购进C 种家电的台数； ⑵、求出y 与x 之间的函数关系式； ⑶、假设所购进家电全部售出，综合考虑各种因素，该家电经销商在购销这批家电过程中需另外支出各种费用共1000元。 ①、求出预估利润P(元)与x (台)的函数关系式； ②、求出预估利润的最大值，并写出此时购进三种家电各多少台。 ⑴、70-x-y ⑵、由题意得：500x+800y+700(70-x-y)=45000 整理得：y=2x-40 ⑶、①、P=-100x +13000 ②、购进C 种家电的台数为：110-3x 得：x ≥8 2x -40≥8 110-3x ≥8，110-3x ≥8 解得：24≤x ≤34 ∴x 的取值范围为24≤x ≤34且x 为整数 ∵P 的x 一次函数，，∴P 随x 的减小而增大 典型例题8：.(河北)某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图） 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A.B 两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式； （3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式， 并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？ 【关键词】函数的运用 【答案】解：（1）0 ，3． （2）由题意，得 2240x y +=， ∴11202 y x =-． 23180x z +=，∴2603 z x =-． （3）由题意，得 121206023 Q x y z x x x =++=+-+-． 整理，得 11806 Q x =-． 由题意，得? ??120-12x ≥060-23x ≥0 解得 x ≤90． 【注：事实上，0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】 由一次函数的性质可知，当x =90时，Q 最小． 此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张． 配套练习： 1、(保定)水果经销商计划将一批苹果从我市运往某地销售，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下： 设我市到某地的路程为x 千米，这批水果在途中的损耗为150元/时，若选用汽车运输，其运输工具 途中平均速度 途中平均费用 装卸费用 汽车 75 8 1000 火车 100 6 2000 ⑴、分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； ⑵、请你为水果经销商设计省钱的运输方案，并说明理由。 ⑴、依题意，得：y 1=8x+150x 75+1000 y 2=6x+150x 100+2000 ⑵、当y 1= y 2时，有x =400，运费一样；当y 1>y 2时，有x >400，选火车运输；当y 1 2、（莆田）某工厂计划招聘A 、B 两个工种的工人共120人，A 、B 两个工种的工人月工资分别为800元和1000元． (1)若某工厂每月支付的工人工资为ll000O 元，那么A 、B 两个工种的工人各招聘多少人?设招聘A 工种的工人x 人。根据题设完成下列表格，并列方程求解． (2)若要求B 工种的人数不少于A 工种人数的2倍，那么招聘A 工种的工人多少人时，可使工厂每月支付的工人工资最少? 解：(Ⅱ)填表按行如下： 第一行：800 800x 第二行：l000 l20-x l000(120一x)………………………………………2分 依题意得：800x+l000(120-x)=110000……………………………………4分 解得：x=50 120-x=70………………………………………………………………………5分 (2)由120一x≥2x 解得x≤40． 设工厂每月支付的工人工资为y 元，则： y=800x+1000(120一x)=一200x+120000…………………………………8分 ∴当x=40时，y 有最小值为11000…………………………………………9分 答：(l)A 、B 两工种工人分别招聘50人和70人． (2)当招聘A 工种40人时，工厂每月支付的工人工资最少． 3、（清远）某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元． （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式． （2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表 可使y 值最小，最小值是多少？ ．解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+ （2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2) x x x x +-??+-?≤…………≤……… 解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥ ∴不等式组的解集为2830x ≤≤ 150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤ ∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时， 成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元） 4、（铁岭）为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、 二、三等奖．学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．各种奖品的单价如下表所示．如果计划一等奖买x 件，买50件奖品的总钱数是w 元． （1）求w 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？ 解：（1）1210(210)5[50(210)]x x x x ω=+-+--- 17200x =+． 由02100[50(210)]05[50(210)] 1.510(210) x x x x x x x >??->??--->??---?-?≤ 得1020x <≤ ∴自变量的取值范围是1020x <≤，且x 为整数． （2）∵170k =>，∴ω随x 的增大而增大，当10x =时，有ω最小值． 最小值为1710200370ω=?+=． 答：一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的钱数最少， 最少钱数是370元 5、（梧州）某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元． （1）设招聘甲种工种工人x 人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y 元，写出y （元）与x （人）的函数关系式； （2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？ 解：（1）)150(1000600x x y -+= 150000400+-=x y （2）依题意得，1502x x -≥ 50x ≤ 因为－400＜0，由一次函数的性质知，当x=50时，y有最小值 所以150－50=100 答: 甲工种招聘50人，乙工种招聘100人时可使得每月所付的工资最少．（8分） 6、(河南)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台。三种家电的进价和售价如下表所示： 进价(元/台) 售价(元/台) 电视机2000 2100 冰箱2400 2500 洗衣机1600 1700 洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？ ⑵、国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在⑴的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？ 解（1）设购进电视机、冰箱各x台依题意得：15-2x≤0.5x 2000x+2400x+1600(15-2x)≤32400 解这个不等式组得：6≤x≤7x=6、7 （2）方案1补贴：(6×2100+6×2500+3×1700) ×13%=4251；方案2补贴：(7×2100+7×2500+1×1700) ×13%=4407 7、（河北省）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表： 手机型号A型B型C型 进价（单位：元/部）900 1200 1100 预售价（单位：元/部）1200 1600 1300 （1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数； （2）求出y与x之间的函数关系式； （3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元． ①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式； （注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部． 解：（1）60-x-y； （2）由题意，得900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，整理得y=2x-50． （3）①由题意，得P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500， 整理得P=500x+500． ②购进C型手机部数为：60-x-y =110-3x．根据题意列不等式组，得 解得29≤x≤34． ∴x范围为29≤x≤34，且x为整数．（注：不指出x为整数不扣分） ∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大． ∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元． 此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部． 评析：求实际问题中的一次函数关系式时，常常将实际问题转化为数学模型——函数及方程不等式来完成． 8、（最佳方案设计题）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，?其原材料成本 价（含设备损耗）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨废渣产生，为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫，脱氯等处理，现有两种方案可供选择． 方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元， 并且每月设备维护及损耗费为20万元； 方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理一吨废渣需付0.1?万元的 处理费． 问：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出方案一和方案二处理废渣时，y 与x 之间的关系式（利润=总收入－总支出）； （2）若你作为该厂负责人，如何根据月产量选择处理方案，?既可达到环保要求又最 合算？ 解：（1）y 1=x －0.55x －0.05x －20=0.4x －20； y 2=x －0.55x －0.1x=0.35x （2）若y 1>y 2，0.4x －20>0.35，x>400； 若y 1=y 2，0.4x －20=0.35x ，x=400； 若y 1 所以当月生产量为400件时，两方案获利一样； 当月生产量小于400件时，选择方案二； 当月生产量多于400件时，选择方案一． 9.（襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元． （1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？ （3）我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地 方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投 入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分 别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？ 解：（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依 题意得：22302205 a b a b +=??+=? 解之得6085a b =??=? 答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元． （2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则 60851575m n += 173151212 m n =-+ ∵A 类学校不超过5所 ∴17 31551215 n - +≤ ∴15n ≥ 即：B 类学校至少有15所． （3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得： ()()507064*********x x x x +-???+-?? ≤≥ 解之得14x ≤≤ ∵x 取整数 ∴1234x =，，， 即：共有4种方案． 评析：本题是一个综合性较大的题，但是层层有铺垫，学生以解决。分别借助二元一次方 程组、一次函数、一元一次不等式、及不等式组等基本知识使问题得以解决。 10．（丽水市）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y （米）与跑步时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题： (1) 他们在进行 ▲ 米的长跑训练，在0＜x ＜15的时 段内，速度较快的人是 ▲ ； (2) 求甲距终点的路程y （米）和跑步时间 x （分）之间的函数关系式； (3) 当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的时段内，求两人速度之差． 题型四：不等式与一次函数图象性质的应用 典型例题9：（江西）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB 、OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程．．．．．．．S ． （米）与所用时间t （分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）： （1）求点B 的坐标和AB 所在直线的函数关系式； （2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？ 解：（1）解法一： 从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟 1分 设小明步行的速度为x 米/分，则小明父亲骑车的速度为3x 米/分 依题意得：15x+45x =3600． ··························2分 解得：x =60． 所以两人相遇处离体育馆的距离为 60×15=900米． 所以点B 的坐标为（15，900）． ····················3分 设直线AB 的函数关系式为s =kt+b （k ≠0）． ····4分 由题意，直线AB 经过点A （0，3600）、B （15，900）得： ???b=360015k+b=900,解之，得???k=-180b=3600 ∴直线AB 的函数关系式为：s=-180t+3600 ·················································· 6分 解法二： 从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟． ································ 1分 设父子俩相遇时，小明走过的路程为x 米． 依题意得：360031515 x x -= ···································································· 2分 解得x =900，所以点B 的坐标为（15，900） ··············································· 3分 以下同解法一． （2）解法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为：9005603 =? ································· 7分 小明取票花费的时间为：15+5=20分钟． ∵20<25 ∴小明能在比赛开始前到达体育馆．··············································· 8分 解法二：在1803600S t =-+中，令S =0，得01803600t =-+． 解得：t =20． 即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟，因而小明取票的时间 也为20分钟． ∵20<25，∴小明能在比赛开始前到达体育馆． ······························· 8分 典型例题10：（江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式； （3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？ 典型例题11：（黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求： （1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A 村到县城共用多长时间？ 【关键词】一次函数的实际问题 【答案】(1) 4千米, (2)解法一: 41608016=-- 84604 1 6=+ 84+1=85 解法二: 求出解析式2141+- =t s 84,0==t s 84+1=85 (3) 写出解析式520 1+-=t s 20,6-==t s 20+85=105 配套练习 1．（贵州贵阳)如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s （千米）和行驶时间t （小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题： （1）写出甲的行驶路程s 和行驶时间t(t ≥0)之间的函数关系式．（3分） （2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度．（4分） （3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条．（3分） 解:s=2t （1）在0< t < 1时，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在t > 1时，甲的行驶速度大于乙的行驶速度． （3）只要说法合乎情理即可给分。如:乙在第三小时追上甲 评析：一次函数实际问题与图像结合是近几年考查的重点。这类问题通常是从函数图像中得出需要的信息。 2、（南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y 甲（元）与铺设面积x(m 2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y 乙（元）与铺设面积x(m 2)满足函数关系式：y 乙＝kx ． （1）根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y 甲（元）与铺设面积x(m 2)的函数关系式； （2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m 2，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？ 【关键词】一次函数的实际问题 【答案】解：（1）当0500x ≤≤时，设1y k x =甲，把()50028000，代入上式得： 11280002800050056500 k k =∴==， 56y x ∴=甲 当500x ≥时，设2y k x b =+甲，把()50028000，、()100048000，代入上式得： 2250028000100048000 k b k b +=??+=? 解得：2408000 k b =??=? 408000y x ∴=+甲 ()() 560500408000500x x y x x 1600y k =乙 ①当y y <乙甲时，即：720001600k < 得：45k > ②当y y >乙甲时，即：720001600k > 得：045k << ③当y y =乙甲时，即720001600k =，45k ∴= 答：当45k >时，选择甲工程队更合算，当045k <<时，选择乙工程队更合算，当45k =时，选择两个工程队的花费一样． 3．（娄底）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y （m ）与挖筑时间x （天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题： （1）请你求出： ①在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式； ②在x≥2时间段内，y与x的函数关系式. （2）用所求的函数解析式预测完成1620 m的路基工程，需要挖筑多少天？ 【关键词】一次函数的图像和解析式 【答案】 解：（1）①当0≤x＜2时，设y与x的函数关系式为y=kx ∴40=k ∴y与x的函数式为y=40x（0≤x＜2） ②当x≥2时，设y与x的函数式为y=kx+b 115=3k+b 255=7k +b k=35 解之得 b=10 ∴y与x的函数式为y=35x+10（x≥2） （2）当y =1620时，35x +10=1620 x=46 答：需要挖筑46天 一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2 8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函 数解读式为4． 1 / 7 ②当k 一元一次不等式与一次函数 1．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ） (5) A ．x＜ B ． x＜3C ． x＞ D ． x＞3 2．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ） A ．x＜﹣1B ． x＞﹣1C ． x＞1D ． x＜1 3．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（ ） A ．x＞1B ． x＞2C ． x＜1D ． x＜2 4．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（ ） A ．x＞1B ． x＜1C ． x＞﹣2D ． x＜﹣2 5．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（ ） A ．x＞0B ． x＞﹣3C ． x＞2D ． ﹣3＜x＜2 6．如图，函数y=kx和y=﹣x+3的图象相交于（a，2），则不等式kx＜﹣x+3的解集为（ ） A ．x＜ B ． x＞ C ． x＞2D ． x＜2 7．（如图，直线l是函数y=x+3的图象．若点P（x，y）满足x＜5，且y＞，则P点的坐标可能是（ ） (6) (8) A ．（4，7）B ． （3，﹣5）C ． （3，4）D ． （﹣2，1） 8．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是（ ） A ．x＜5B ． x＞5C ． x＜﹣4D ． x＞﹣4 9．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）与（0，3），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ） (10) (11) A ．x＜2B ． x＞2C ． x＜3D ． x＞3 10．如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（ ） A ．0B ． 1C ． 2D ． 3 二．填空题（共8小题） 11．如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为 _________ ． 12．如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入＞成本）时，销售量必须 _________ ． 精心整理 一次函数与一元一次不等式训练题及答案 一、选择题（共10 小题；共30 分） 1.如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是 A. B. C. D. 2.将一次函数的图象向上平移个单位，平移后，若，则的取值范围是?() A. B.4 C. D. 3.如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是 A. B. C. D.或 4.一次函数的图象如图所示，则方程的解为?() A. B. C. D. 5.如图，直线是函数的图象．若点满足，且，则点的坐标可能是?()． A. B. C. D. 6.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解 集是 ?() A. B. C. D. 7.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示）， 则所解的二元一次方程组是 ?()． A. B. C. D. 8.已知函数，，的图象交于一点，则值为?() A. B. C. D. 精心整理 A. B. C. D. 10.已知关于的一次函数在上的函数值总是正的，则的取值范围是 A. B. C. D.以上答案都不对 二、填空题（共 5 小题；共15 分） 11.如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程组的解是?． 12.一次函数与的图象如图，则的解集是?． 13.如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是?． 14.方程组的解是则直线和的交点坐标是?． 15.观察函数的图象，根据图所提供的信息填空： （ 1）当?时，； （ 2）当?时，； （ 3）当?时，； （ 4）当?时，． 三、解答题（共 5 小题；共55 分） 16.如图，函数和的图象相交于点， （1）求点的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 17.已知一次函数的图象过点，，求函数表达式并画出它的图象，再利用图象求： （ 1）当为何值时，，，； （ 2）当时，的取值范围； （ 3）当时，的取值范围． 18.甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地 的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了 ? ； （2）求线段对应的函数解析式； （3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 19.如图，直线经过点，． （ 1）求直线的解析式； （ 2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （ 3）根据图象，写出关于的不等式的解集． 20.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运 动． （ 1）求直线的解析式． （ 2）求的面积． 中考专题复习 二次函数与方程（组）或不等式 ◆知识讲解 （1）最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为（0，c ）． （3）与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点（h ，ah 2+bh+c ）． （4）抛物线与x 轴的交点． 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交． ②有一个交点（顶点在x 轴上）?△=0?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离． （5）平行于x 轴的直线与抛物线的交点． 同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，?两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根． （6）一次函数y=kx+n （k≠0）的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点；③方程组无解时?L 与G 没有交点． （7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x 轴的交点，?再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分． 一次函数与方程和不等式典型练习 1、一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则方程kx +b =0的解为( ) A ．x =2 B ．y =2 C ．x =1- D ．y =1- 2、一次函数y =ax +b 的图象如图所示，则不等式ax +b ＞0的解集是( ) A ．x ＜-2 B ．x ＞-2 C ．x ＜1 D ．x ＞1 3、已知一次函数y =ax +b 的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点(2，0)，则关于x 的不等式a (x -1)-b ＞0的解集为( ) A ．x ＜-1 B ．x ＞-1 C ．x ＞1 D ．x ＜1 4、如图，已知函数y =ax +b 和y =kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二 元一次方程组y ax b y kx =+=??? 的解是 ． 5、(1)已知关于x 的方程mx +n =0的解是x =-2，那么，直线y =mx +n 与x 轴的交点坐标是 ． (2)如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y =kx +b 与直线OA ：y =mx 相交于点A (-1，-2)，则关于x 的不等式kx +b ＜mx 的解是 ． 6、(1)已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，那么，直线y=2x+1与直线y=-x+4的交点坐标是__ __ ． (2)在平面直角坐标系中，直线y=kx+1关于直线x=1对称的直线l刚好经过点(3，2)，则不等式3x＞kx+1的解集是__ __ ． (3)如图，直线l1、l2交于点A，试求点A的坐标． 8、如图，已知一次函数的图象经过点A(-1，0)、B(0，2)． (1)求一次函数的关系式； (2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，求点C的坐标． 9、如图，已知直线y=kx+b经过点A(1，4)，B(0，2)，与x轴交于点C，经过点D(1， 0)的直线DE平行于OA，并与直线AB交于点E． (1)求直线AB的解析式； (2)求直线DE的解析式； (3)求△EDC的面积． 10、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P的个数为个． 11、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2，0)、(2，4)，点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有个． 方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用） 题型一：方程、不等式的直接应用 典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知： 在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．． 每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份． （2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内． 典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资 为b 元． （1）求a ，b 的值； （2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？ 配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元 买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运 会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五 月份的工资情况信息： （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 题型二：方案设计 典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。 初二下期一元一次不等式组与一次函数应用题专项练习 例：光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区． （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议． 1、某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元。 (1)若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？ (2)该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润(利润=售价-进价)不少于600元，但又不超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案。 2、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 3、某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价) （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件? （2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案? 并直接写出其中获利最大的购货方案. 数学是科学的大门和钥匙--培根 数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚 一次函数与一元一次不等式（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集?y ax b =+的函数值大于y cx d =+的 函数值时的自变量x 取值范围?直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ） A ．x ＞－3 B ．x ＜－3 C ．x ＞3 D ．x ＜ 3 【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集. 基本不等式与对勾函数 一、基本不等式 前提条件是：0,0>>b a 取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证. 练习1已知0 例5函数9 )(2+=x x x f 的最大值为 例6函数1 11)(-+ -=x x x f 的最小值为 例7若正数b a ,满足3++=b a ab ，求：①ab 的取值范围②b a +的取值范围 例8已知0,0>>y x ，且12=+y x ，求y x 1 1+的最小值 练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则b a 1 21+的最小值为 练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围 练习7已知不等式（x y +） 1a x y +（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 例9若10< 练习8.若320< 一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（） A． x＜B．x＜3 C． x＞ D．x＞3 3．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 5．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2 6．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2 7．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 8．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣9 9．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 10．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________． 11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________． 12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________． 13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________． 2011年中考复习二轮材料 函数、方程、不等式综合应用专题 一、专题诠释 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。 这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。 二、解题策略和解法精讲 函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。 利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解： （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2． （3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。 三、考点精讲 考点一：函数与方程（组）综合应用 例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______ 【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。 很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上，他们之间的联系非常紧密。如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。 ★函数与方程之间的关系。 先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。举例说明如下： 例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3 (,0)2 ，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。接下来推广到二次函数： 例如函数2 252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程2 2520x x -+=的解。 如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。 在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。有时候只需要作出大致图像即可。 既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢 函数2 252y x x =-+对应的方程是2 2520x x -+=，先求出这个方程的两个解。很容 易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为 1 2 和2。这样，根据函数 一次函数与方程（或不等式）结合的问题 一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低 析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点 （2，0），（0，30），所以，解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 （3）由题意得，解得。 ； 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制 方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用） 题型一：方程、不等式的直接应用 典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知： 在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．． 每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份． （2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内． 典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资 为b 元． （1）求a ，b 的值； （2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？ 配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元 买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运 会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五 月份的工资情况信息： （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 题型二：方案设计 典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。 一次函数与不等式应用题 【例题经典】 例1（2006年武汉市）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1 甲乙 矿石（吨）10 4 煤（吨） 4 8 煤的价格为400元/400元，?甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，?乙产品每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完 ．．．．，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元． （1）写出m与x之间的关系式； （2）写出y与x的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？?最大利润是多少？ 【点评】主要考查的是一次函数与不等式的实际应用． 例2（2006年黄冈市）我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿花市场销售单价y（元）?与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、?种植技术有关外，某种植的成本单价z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示． （1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t>0）?的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t>0）?的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克．） 【点评】主要考查同学们从两个图像中获取信息的能力． 【考点精练】 1．（2006年广安市）某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．?甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、?乙两种的费用分别为y1和y2元． （1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中画出y1，y2的图像； （3）根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？ 2．为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．?若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；?父母是如何奖励小强家务劳动的？ （2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式； （3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 中考一次函数与不等式数形结合专题讲义 一次函数与正比列函数的的概念： 1. 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2. 如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数。当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数． 一次函数的图像与性质： 1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条 直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常 取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－b k ，0）就行了． 2.一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）?个单位得到一次 函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、?右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同 步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－b k ，0）， 与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S△=1 2 ·│－ b k │·│ b│． 例1 一次函数y=kx+3?的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．答案：k=±? 例2.已知直线L1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）． （1）求直线L1的解析式； （2）若△APB的面积为3，求m的值． 答案：（1）y=x+1；（2）m=1或m=﹣3 例3.如图，直线y=kx+b经过A(-3,0)和B（2，m 式组2x+m-4﹤kx+b≤0的解集为__________ ? a及函数的图 像图像 与x 轴相 交的 情况 对应 方程 的实 数根 对应不等式的解集 图像上的最 高（低）点单调区间及单调性极（最）值 0 >? > a 与x 轴有 两个 交点 有两 个不 相等 的实 数根 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 2< + +c bx ax的解集是). , ( 2 1 x x x∈ 顶点是函数 图像上的最 低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减 函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最） 小值 a b ac 4 42 -0 < a 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( 2 1 x x x∈0 2< + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 顶点是函数 图像上的最 高点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为增 函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为减函数 a b x 2 - =时，函数有极（最） 大值 a b ac 4 42 - 0 =? > a 与x 轴有 一个 交点 有两 个相 等的 实数 根 2> + +c bx ax的解集是 . , 2 1 x x x x≠ ≠ 顶点是函数 图像上的最 低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减 函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最） 小值0 0a 与x 轴没有交点 没有实数根 02>++c bx ax 的解集是 .R x ∈02<++c bx ax 的解集是空集. 顶点是函数图像上的最低点 )2,(a b x - -∞∈时为减函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为增函数 a b x 2- =时，函数有极（最）小值a b a c 442 - 0++c bx ax 的解集是空集. 02<++c bx ax 的解集是.R x ∈ 顶点是函数图像上的最高点 )2,(a b x - -∞∈时为增函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为减函数 a b x 2- =时，函数有极（最）大值a b a c 442 -一次函数与方程和不等式的关系
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