10
9)(2--+=x x x x f 的最大值
类型七：函数)0()(2
≠+++=a c
bx ax m
x x f 例7求函数2
1
)(2
++-=
x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值 解：当1=x 时，0)1(=f 当1≠x 时，3
1411
1
4
)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=
x x x x x x x x x f
问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为
练习：1.求函数2
3
2)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值
类型八：函数a
x b x x f ++=
)(
此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-+
+=+-++=
a b a
x a b a x a
x a
b a x x f
例8求函数1
3)(-+=
x x x f 的最小值
解： 1
411
41)(-+
-=-+-=x x x x x f
练习： 1．求函数1
5)(++=x x x f 的值域
2.求函数3
2
)(++=x x x f 的值域
类型九：函数
)0()(2
2>++=
a a
x b x x f
此类函数可变形为标准形式：
)()()(2
22
22o a b a
x a b a x a
x a
b a x x f >-+-+
+=+-++=
例9求函数4
5)(2
2++=
x x x f 的最小值
解：4
5)(2
2++=x x x f 4
144
14)(2
22
2++
+=+++=
?x x x x x f
练习：1. 求函数17
1
)(22++=x x x f 的值域
例10已知2
0,a >求函数
解：2
=
令t ≥则1
t t +y=
1即1a ≥时，
min y
1即01a <<时，2min y =
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0) ____a b +（ ） ——形式二： 2 a b +≥ (a__0,b__0) __ (a >0,b >0) 2 a b + ——形式三：2 2a b ab +?? ≤ ??? （ ） (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +？ 用分析法证明：要证 2 a b + （1） 只要证 a b +≥ （2） 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4） 显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立. 探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等 思考：（1）已知y=x+x 1 ( x>0 ) ，求y 的范围. （2）已知y=x+x 1 ( x≠0 ) ，求y 的范围.
例题拓展 【例1 】已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ） A ．xy y x 2≥+ B ．21 ≥+x x C ．xy y x 222≥+ D ． xy xy y x 1 2≥ + 【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ） 基础回顾 1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.
2、基本不等式：对于____ _ ,a b ,则2 a b +___ _时，不等式取等号. 注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _ 【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋ 81 x ，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 （3）y x x =++23 122 的最小值是 （4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________ （5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________ 【 例2】设x ，y 为正数， 求14 ()()x y x y ++的最小值 【例4 】若0,0,x y >>且 21 1x y +=，则2x y +的最小值为________
集合不等式函数测试试卷.doc
集合不等式函数测试试卷 （： 120 分分：120分） 班姓名分 一．（本大共10 小；每小 4 分，共 40 分. 在每小出的四个中，只有 一是符合目要求的） 1．集合 {1,2, 3}的真子集共有（） A、 5 个 B、 6 个 C、 7 个 D、 8 个 2．中的阴影表示的集合是（） A ．A C u B B．B C u A A B C．C u( A B) D．C u( A B) U 3. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛ 0,1,2｝；②｛1,2｝；③｛ 0,1,2 ｝＝｛ 2,0,1 ｝；④0 ； ⑤ A A ，正确的个数有（） A ．1 个B． 2 个C．3 个D． 4 个 4．已知y f x 是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ① y f x ② y f x ③ y xf x ④ y f x x A．①③B．②③C．①④D．②④ 5．函数y x 4 ）| x | 的定域（ 5 A．{ x | x 5} B．{ x | x 4} C．{ x | 4 x 5} D. x x 4且x 5 6．若函数f (x) x 1, ( x 0) ， f ( 3) 的（）f ( x 2), ( x 0) A ．5 B．－ 1 C．－ 7 D ．2 7．已知函数y f x ， x a,b ，那么集合 x, y y f x , x a,b x, y x 2 中元素的个数?（） A ． 1B． 0C． 1 或 0D． 1 或 2 8．已知函数 f (x) 的定域 [ a, b] ，函数 y f (x) 的象如甲所示，函数y f ( x )
的象是乙中的()
专题讲解--对勾函数
读万卷书行万里路 学大教育个性化教学学案姓名年级性别 课题对勾函数 教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像 教学重难点 运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。 教学过程（内容可附后）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。 (接下来写作f(x)=ax+b/x )。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x 叠“加” 而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0a<0 b<0 对勾函数的图像( ab 同号) 当a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。 )
对勾函数的图像（ab 异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ，b>0 。之后当a<0，b<0 时，根据对称就很 容易得出结论了。 （二）对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0 时， 错误!未找到引用源。。 当x<0时，错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： （三）对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
集合不等式知识点整理(答案)
1 集合不等式知识点整理 一． 集合及其表示法 1、我们把_能确切指定的一些对象的全体_叫做集合。集合中各个对象叫做__元素_，他们的特征是：①__确定性__②__互异性__③__无序性__. 2、数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示： 全体自然数的集合，记作_N _，不包括零的自然数组成的集合，记作_* N _； 全体整数组成的集合，记作_Z _； 全体有理数组成的集合，记作_Q _； 全体实数组成的集合，记作_R _. 正整数集，负整数集，正有理数集，负有理数集，正实数集，负实数集分别表示为_,,,,,Z Z Q Q R R +-+-+-_ 3、我们把含有有限个数的集合叫做__有限集_，含有无限个元素的集合叫做_无限集_. 我们引进空集，规定空集_不含有任何元素_，记作__ φ __. 4、集合的表示方法有：_列举法、描述法、文氏图_. 5、元素与集合之间应用__,∈?_ 二． 集合之间的关系 1、对于两个集合A 和B ，如果__A 中的任意元素也都是B 中的元素___，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作_A B ?_，数学的表达式是_,x A x B ?∈∈__. 2、如果__A 是B 的子集，B 也是A 的子集__，那么叫做集合A 和集合B 相等，记作__A B =_ 【用来证明两个集合相等的方法】 3、对于两个集合，如果__A 是B 的子集且B 中至少有一个元素不属于A _，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作 A B ? ，数学的表达式是_,x A x B ?∈∈且,b B b A ?∈?_. 4、 数集*,,,,N N R Q Z 之间的关系是_*N N Z Q R ????_. 5、空集是任何集合的_子集__，是任何非空集合的_真子集__.【任何涉及到子集和真子集问题，要考虑空集！】 6、若集合是有限集，元素有n 个，则这个集合的子集有___2n _个，真子集有__21n -___
高考数学题汇编(集合函数不等式充分必要条件)
高考题汇编 一．集合 1、已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A 、A∩B={x|x ＜0} B 、A ∪B=R C 、A ∪B={x|x ＞1} D 、A∩B=? 2、设集合A={1，2，4}，B={x|x 2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（ ） A 、{1，﹣3}B 、{1，0}C 、{1，3}D 、{1，5} 3、已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2=1}，B={（x ，y ）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 4.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R|﹣1≤x≤5}，则（A ∪B ）∩C=（ ） A 、{2} B 、{1，2，4} C 、{1，2，4，5} D 、{x ∈R|﹣1≤x≤5} 5.已知集合P={x|﹣1＜x ＜1}，Q={x|0＜x ＜2}，那么P ∪Q=（ ） A 、（﹣1，2）B 、（0，1）C 、（﹣1，0）D 、（1，2） 二．充分必要条件 1.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.已知R a ∈，则“1a >”是“ 1 1a <”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 4.设 ， ，则“ ”是“ ”的 A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.设，都是不等于的正数，则“ ”是“ ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 三．求函数值，计算 7.设()(),0121,1x x f x x x ?<
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
集合、不等式、函数练习题
集合、不等式、函数练习题 1．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．—1 C ．1或—1 D ．1或—1或0 2．．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取 A ．(－∞，3] B ．(0,3] C ．[3，＋∞) D ．(－3,0) 3．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、 ()u M P C S D 、 ()u M P C S 4．设{}022=+-=q px x x A ，{}05)2(62=++++=q x p x x B ，若? ?? ???=21B A ，则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 5．函数2x y -=的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222????-∞ ? ????? D 、11,,222????-∞ ? ?? ??? 6.不等式3≤|5－2x |<9的解集是 A ．(－∞, －2)∪(7, +∞) B .[1, 4] C .[－2, 1]∪[4, 7] D .(－2, 1]∪[4, 7) 7.若不等式x >ax +2 3的解集为(4, b )，则a , b 的值分别为 A ．36, 81 B .81, 36 C .41, 9 D .9, 4 1 8.设? ??<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 9.设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-??=-<
对勾函数求最值
对勾函数年级：高二科目：数学时间：9/6/2009 16:25:27 新5961438 请问对勾函数的最值如何求。 答：同学，你好，现提供以下资料供你参考： 函数的单调性． 显然此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），用描点法可作出此函数的图象为： 从图象上可看出，函数在（0，）上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，在（－∞，－]上单调递增，在[－，0）上单调递减． 我们可用单调性的定义验证它的单调性（证明略）． 很容易看出f(x)是一个奇函数，所以它的图象是关于原点对称的，我们只需记住它在（0，]、[，＋ ∞）上的单调性就可以了，而且我们用这个函数解题时，通常只用这两个区间上函数的单调性． 特殊地，当k=1时，，它在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增． 一般地，对于函数，我们也可把它转化为的形式，即为， 此时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 说明：因课本并没有介绍此函数的单调性，所以在利用它时应在答题中将它的单调性证一遍 例：甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全部运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（1） （2）依题意知s，a，b，v都为正数，故，
当且仅当，即v=时上述等号成立． 若≤c，则当时v=时，全程运输成本y最小． 若>c，，此函数在（0，]上单调递减， 则在（0，c]上也单调递减，所以y≥，当v=c时取等号． 综上知，为使全程运输成本y最小，当≤c时行驶速度应为v=，当＞c时，行驶速度应为v=c． 同学，你好，你要记住做每件事情要有决心。决心决定一切，要努力地去做，让你每一天都充满光彩。学习更上一层楼！
高职单招数学集合不等式函数试
高职单招数学集合不等式函数试
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
数学周末练习《集合》 刘素卿 2015.6.13 1.,{|32}.{|32}.{|32}.{|32}.{|32} U U R A x x C A A x x x B x x x x x x D x x x ==-≤<= ≤-≥≤-><-><-≥设全集集合，则 或 或 C 或 或 2．已知集合{1,1}M =-，{1,2}N =，则M N U 等于 (A){1} (B){1,1}- (C){1,2} (D){1,1,2}- 3.己知全集U={}8,7,6,5,4,3,2,1 ，{}5,4,3=A ，{}6,3,1=B ，则集合{}8,7,2是（ ） A. B A ? B. B A ? C . B C A C U U ? D. B C A C U U ? D 4.设集合A ＝{}x|－2＜x ＜3，B ＝{}x|x ＞1，则集合A ∩B 等于 A.{}x|x ＞－2 B. {}x|－2＜x ＜3 C.{}x|x ＞1 C. {}x|1＜x ＜3 5.集合A ＝{} 3|≤x x ，则下面式子正确的是 （ ） A ．2∈A B ．2?A C ．2?A D ．{}?2 A 6.设2:3,:230p x q x x =--=，则下面表述正确的是 （ ） A ．p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但p 不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充要条件 D ．p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件 7．若集合{}{}|13,|2A x x B x x =<≤=>，则A B I 等于 (A) {}|1x x > (B) {}|3x x ≤ (C) {}|23x x <≤ (D){}|12x x << (A)0 (B) 1 (C)2 (D)3 8．集合{1,2,3}的子集共有 个 9．满足条件{1,2}{1,2,3}M ??的集合M 的个数为
对勾函数最值的十种求法
关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 0112=+-?+=yx x x x y 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()??? ? ??--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2112 +??? ? ??-=+=x x x x y x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又Θ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y
五、求一阶导 2'111x y x x y -=?+= 当()1,0∈x 时，0'y ，函数单调递增。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 六、三角代换 令αtan =x ，?? ? ??∈2,0πα，则αcot 1=x α αα2sin 2cot tan 1=+=+=x x y ??? ? ?∈2,0πα()πα,02∈? ∴当4π α=，即22π α=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x 七、向量 b a x x x x y ?=?+?=+=1111， ()1,1,1,=?? ? ??=b x x a b a ?θcos b a ?=θcos 2a 根据图象，a 为起点在原点，终点在x y 1=()0>x 图象上的一个向量，θcos a 的几何意义为a 在b 上 的投影，显然当b a =时，θcos a 取得最小值。 此时，1=x ，222min =?=y 八、图象相减 ?? ? ??--=+=x x x x y 11，即y 表示函数x y =和x y 1-=两者之间的距离 求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值
专题：基本不等式与对勾函数
基本不等式与对勾函数 一、基本不等式 前提条件是：0,0>>b a 取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证. 练习1已知0x ，则1 1 -+x x 的最小值为 练习3：已知关于x 的不等式72 2≥-+a x x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求a 的取值范围 练习4函数9 19)(2 2++ +=x x x f 的最小值为
例5函数9 )(2+=x x x f 的最大值为 例6函数1 11)(-+ -=x x x f 的最小值为 例7若正数b a ,满足3++=b a ab ，求：①ab 的取值范围②b a +的取值范围 例8已知0,0>>y x ，且12=+y x ，求y x 1 1+的最小值 练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则b a 1 21+的最小值为 练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围 练习7已知不等式（x y +） 1a x y +（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 例9若10<练习8.若320<b a ，12 2 2 =+b a ，则21b a +的最大值为
数学公式(集合&不等式&函数)
高中数学常用公式及常用结论（集合&不等式&函数） 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若
最新对勾函数讲解与例题解析
对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候，2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax
对勾函数专题讲解
1 专题对勾函数及其应用 1．对勾函数定义 对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b x (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。 2．对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的性质 (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a )，(b a ，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． 3．y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a . 求分界点方法：令ax ＝b x ?x ＝±b a . 特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x 的单调区间的分界点：±a . 4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x ≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a 时取等号． 例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]． 变式训练 已知函数f (x )＝ x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值． 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2 (0≤x ≤3)的值域．
2 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1 ，x ∈[]2，5的值域． 强化训练 1．下列函数中最小值是4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x - D ．y ＝x 2＋1x 2 ＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x ，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5)C ．[133 ，4) D ．(4,5) 3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2 的最小值是________． 5．已知x >0，则2＋x ＋4x 的最小值是________． 6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________． 7．若函数y ＝x a x y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+ -a a 恒成立，求a 的取值范围． 9．已知函数f (x )＝x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12 时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a . 10 求函数()f x = 的最大值.（较难）
集合不等式函数测试试卷
集合不等式函数测试试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 班级 姓名 评分 一．选择题（本大题共10小题；每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合{1,2,3}的真子集共有（ ） A 、5个 B 、6个 C 、7个 D 、8个 2．图中的阴影表示的集合是（ ） A ．B C A u ? B ．A C B u ? C ．)(B A C u ? D ．)(B A C u ? 3. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0,1,2｝；②??｛1,2｝；③｛0,1,2｝＝｛2,0,1｝；④?∈0；⑤A A =??， 正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知()x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①()x f y = ②()x f y -= ③()x xf y = ④()x x f y += A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 5．函数5 ||4 --= x x y 的定义域为（ ） A ．}5|{±≠x x B ．}4|{≥x x C ．}54|{<应用题专题训练--函数(对勾函数)
应用题综合复习----对勾函数 1、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。 ①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？2、某森林出现火灾，火势正以每分钟2 m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2 m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元． （1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式； （2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
3、某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元 (1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道 面积S 与r 的函数关系S(r ) (2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时, 运动场造价最低?（精确到元） 4、已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。 ⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率； ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值 原有价值 ；在切割过 程中的重量损耗忽略不计）
对口升学函数测试卷
集合不等式函数考试 一、选择题（共88分每题4分） 1、在“① 难解的题目；② 方程x 2 ＋1＝0在实数集内的解；③ 直角坐标平面上第四象限内的所有点；④ 很多多项式”中，能够组成集合的是( )． (A) ②③ (B) ①③ (C) ②④ (D) ①②④ 2、下列集合中，有限集是( )． (A) {x |x <10，x ∈N} (B) {x |x <10，x ∈Z} (C) {x |x 2<10，x ∈Q} (D) {x |x ＝y ＋10，y ∈R} 3、已知集合A ＝{0，1}，B ＝{y |y 2＝1－x 2，x ∈A }，则A 与B 的关系是( )． (A) A ＝B (B) A B (C) A ∈B (D) A B 4、若集合M ＝{0，1，2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M }，则N 中元素的个数为( )． (A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2 5、若集合M ＝{x ||x |≤2}，N ＝{x |x 2－3x ＝0}，则M ∩N ＝( )． (A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3} 6、若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P ＝( )． (A) (1，－1) (B) {x ＝1}∪{y ＝－1} (C) {1，－1} (D) {(1，－1)} 7、P ：四边形四条边长相等，Q ：四边形是平行四边形，则P 是Q 的( )． (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 8、已知a ，b ，c ，d 都是实数，则“a ＝b 且c ＝d ”是“a ＋c ＝b ＋d ”的( )． (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9、已知x 是实数，则“x ≠1”是“x 2－4x ＋3≠0”的( )． (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 10、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＞0 C 、0a b < D 、－a ＞－b 11、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ） A 、a ＋t ＞a B 、a ＋t ＜a C 、a ＋t ≥a D 、不能确定 12、方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 13、已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 14、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )
易错回顾(三)集合不等式函数
山西大学附中高中数学（必修1）易错题回顾（三） 意的3.函数()(1)f x a a =+?是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇且偶函数 4.若函数)1,0(1≠>-+=a a b a y x 的图象经过第一、三、四象限,则一定有( ) A ．1,1<>b a B ．0,10<<<b a 5．函数22) 21(++-=x x y 得单调递增区间是( ) A ．]21,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞ D ．]2,2 1[ 6．若21,x x 是方程02lg 3lg lg )2lg 3(lg lg 2=?+++x x 的两根，则21x x ?的值是 （ ） A ．2lg 3lg ? B ．6lg C ．6 D ． 61 7．函数)176(log 22 1+-=x x y 的值域是（ ） A ．R B ．),8[+∞ C ．]3,(--∞ D ．),3[+∞7． 已知函数 8.()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +等于 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 9. 已知函数f (x )＝? ???? x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若)1()3(2a f a f +>-，则a 的取值范围是（ ） A. (－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2) C. (－2,1) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 10．设)(x f 的定义域为R ，下列函数①|()|y f x =；②2 ()y xf x =；③()y f x =--；④()()y f x f x =+-；⑤(||)y f x =中必为偶函数的是____ _____． 11．已知)(x f 是奇函数,定义域为}0,|{≠∈x R x x ,又)(x f 在区间),0(+∞上是增函数,且0)1(=-f ,则满足0)(>x f 的x 的取值范围是__________． 12．已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g ． 13．若函数()|2|(4)f x x x =-?-在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围为__________．
专题对勾函数
基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<
此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0(b a 作图如下 性质： ②0,0>++=ac x c bx ax x f 此类函数可变形为 b x c ax x f ++ =)(，则)(x f 可由对勾函数x c ax y +=上下平移得到 例1作函数x x x x f 1 )(2++=的草图 解：11 )(1)(2++=?++= x x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数 )0,0()(≠>++ =k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移， 上下平移得到 例2作函数2 1 )(-+ =x x x f 的草图 解： 221 2)(21)(+-+-=?-+ =x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++= 23 )(的作图： 解：12 1 2211212)(23)(-+++=+++=++++=?+++= x x x x x x x x f x x x x f
