2017年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）2017的倒数是（）
A．B．2017 C．﹣2017 D．﹣
2．（3分）十八大以来，以习近平同志为核心的党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的突出位置，2013﹣2017年这5年约有6600万人将脱贫，相当于一个法国的人口，将“6600万”这个数用科学记数法表示是（）
A．6.6×103B．6.6×107C．6.6×108D．6.6×1011
3．（3分）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（）
A． B． C．D．
4．（3分）在射击训练中，小强哥哥射击了五次，成绩（单位：环）分别为：8，9，7，10，9，这五次成绩的众数和中位数分别是（）
A．9，9 B．7，9 C．9，7 D．8，9
5．（3分）“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题，曾浩同学答对了x道题，答错了y道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是（）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（）
A． B．C．D．
7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）
A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4
8．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）
A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）
11．（3分）湖南省2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩=笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是86分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（）
A．2.4分B．4分C．5分D．6分
12．（3分）已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲
线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是．
14．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．
15．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S
1，S
2
，S
3
中的两个，能让灯泡
L
1
发光的概率是．
16．（3分）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是千米（结果精确到1千米）
17．（3分）刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第个．
18．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是（用含m的代数式表示）
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：﹣（）﹣1﹣4cos45°+（π﹣）0．
20．（6分）先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查的学生共有多少人？
（2）将折线统计图补充完整；
（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．
22．（8分）数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC为38.7°，再由
A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：0.6，请你求出仙女峰的高度（参考数据：tan38.7°≈0.8）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）坐火车从上海到娄底，高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米，G1329的平均速度是K575的2.5倍．
（1）求K575的平均速度；
（2）高铁G1329从上海到娄底只需几小时？
24．（9分）如图，在?ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2=AB?EF．
26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE 沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．
2017年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2017?娄底）2017的倒数是（）
A．B．2017 C．﹣2017 D．﹣
【考点】17：倒数．
【分析】依据倒数的定义求解即可．
【解答】解：2017的倒数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2017?娄底）十八大以来，以习近平同志为核心的党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的突出位置，2013﹣2017年这5年约有6600万人将脱贫，相当于一个法国的人口，将“6600万”这个数用科学记数法表示是（）
A．6.6×103B．6.6×107C．6.6×108D．6.6×1011
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【解答】解：将6600万用科学记数法表示为6.6×107．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017?娄底）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（）
A． B． C．D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（3分）（2017?娄底）在射击训练中，小强哥哥射击了五次，成绩（单位：环）分别为：8，9，7，10，9，这五次成绩的众数和中位数分别是（）
A．9，9 B．7，9 C．9，7 D．8，9
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】出现次数最多的数据叫做众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间一个数字就是这组数据的中位数．
【解答】解：出现次数最多的是9，故众数是9；
将这组数据按照从小到大的顺序排列为：7、8、9、9、10．
故中位数为9．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．
5．（3分）（2017?娄底）“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题，曾浩同学答对了x道题，答错了y道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是（）
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选A，
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．
6．（3分）（2017?娄底）如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（）
A． B．C．D．
【考点】U1：简单几何体的三视图；R5：中心对称图形．
【分析】球是主视图是圆，圆是中心对称图形．
【解答】解：球是主视图是圆，圆是中心对称图形，
故选C．
【点评】本题考查三视图、中心对称图形等知识，解题的关键是熟练掌握三视图、
中心对称图形的概念，属于中考常考题型．
7．（3分）（2017?娄底）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（）
A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠0．
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
8．（3分）（2017?娄底）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．
【分析】先根据k的符号，得到反比例函数y=与一次函数y=kx﹣1都经过第一、
三象限或第二、四象限，再根据一次函数y=kx﹣1与y轴交于负半轴，即可得出结果．
【解答】解：当k＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误；
∵一次函数y=kx﹣1与y轴交于负半轴，
∴D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k 的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．
9．（3分）（2017?娄底）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠2=60°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠1的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠2=60°，
∵∠A=45°，
∴∠1=60°﹣45°=15°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
10．（3分）（2017?娄底）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A （3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）
A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用旋转的性质得出OB′的长，进而得出答案．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴AO=3，BO=4，
∴AB==5，
∴AB=AB′=5，故OB′=8，
∴点B′的坐标是（8，0）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，正确得出AB′的长是解题关键．
11．（3分）（2017?娄底）湖南省2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩=笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是86分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（）
A．2.4分B．4分C．5分D．6分
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】设小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，她的面试成绩必须比竞争对手多x分，根据小红姐姐的笔试成绩×60%+多出的面试成绩×40%=竞争对手的笔试成绩×60%，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，她的面试成绩必须比竞争对手多x分，
根据题意得：82×60%+40%x=86×60%，
解得：x=6．
答：小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多6分．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据小红姐姐的笔试成绩×60%+多出的面试成绩×40%=竞争对手的笔试成绩×60%，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
12．（3分）（2017?娄底）已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在
x轴上的双曲线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范
围是（）
A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
【考点】G4：反比例函数的性质．
【分析】根据解不等式组的方法解答即可．
【解答】解：∵+=1表示焦点在x轴上的双曲线，
∴＞
＜
，
解得：﹣3＜m＜2，
故选D．
【点评】本题考查了不等式组的解集，正确的解答不等式组是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2017?娄底）要使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14．（3分）（2017?娄底）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是AB=DC ．
【考点】KC：直角三角形全等的判定．
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt △DCB，添加的条件是：AB=DC．
【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
故答案为：AB=DC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
15．（3分）（2017?娄底）在如图所示的电路中，随机闭合开关S
1，S
2
，S
3
中的两
个，能让灯泡L
1
发光的概率是．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让
灯泡L
1
发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L
1
发光的有2种情况，
∴能让灯泡L
1
发光的概率为：=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比
16．（3分）（2017?娄底）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是5500 千米（结果精确到1千米）
【考点】S2：比例线段．
【分析】由比例尺的定义计算可得．
【解答】解：我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握比例尺的定义是解题的关键．
17．（3分）（2017?娄底）刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第2017 个．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】仔细观察发现每增加一个正六边形其火柴根数增加5根，将此规律用代数式表示出来即可，然后代入10086求解即可．
【解答】解：由图可知：
第1个图形的火柴棒根数为6；
第2个图形的火柴棒根数为11；
第3个图形的火柴棒根数为16；
…
由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加5，
所以可以得出规律：搭第n个图形需要火柴根数为：6+5（n﹣1）=5n+1，
令5n+1=10086，
解得：n=2017．
故答案为：2017．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可．
18．（3分）（2017?娄底）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是（m+2）（用含m的代数式表示）
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】先判断出∠ADE=∠BDF，进而判断出△ADE≌△BDF得出AE=BF，DE=DF，利用勾股定理求出EF即可得出结论．
【解答】解：如图，
连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴BD=AD=CD，∠DBC=∠A=45°，∠ADB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
∠∠
在△ADE和△BDF中，
，
∠∠
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，DE=DF，
在Rt△DEF中，DF=DE=m．
∴EF=DE=m，
∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+m，
故答案为：（m+2）
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出DF=DE．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）（2017?娄底）计算：﹣（）﹣1﹣4cos45°+（π﹣）0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】分别根据二次根式的化简、负指数幂的运算、特殊三角函数值和零次幂的计算分别求值，再求和即可．
【解答】解：
﹣（）﹣1﹣4cos45°+（π﹣）0
=2﹣3﹣4×+1
=2﹣3﹣2+1
=﹣2．
【点评】本题主要考查实数的有关计算，掌握二次根式的化简、负指数幂和零次幂的计算是解题的关键．
20．（6分）（2017?娄底）先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】化简整式得原式=﹣ab，根据韦达定理可得ab=﹣2，即可得出答案．【解答】解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+ab
=﹣ab，
∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴ab=﹣2，
则原式=﹣ab=2．
【点评】本题主要考查整式的化简求值和韦达定理，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及韦达定理是解题的关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）（2017?娄底）为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查的学生共有多少人？
（2）将折线统计图补充完整；
（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．
【考点】VD：折线统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】（1）根据政治科目的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以历史科目的百分比可得其人数，从而补全折线图；
（3）总人数乘以样本中物理科目人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）由图知把政治作为首选的324人，占全校总人数的百分比为
36%，
全校总人数为：324÷36%=900人，
答：被抽查的学生共有900人．
（2）本次调查中，首选历史科目的人数为900×6%=54，
补全折线图如下：
（3）40000×=8000，
答：估计首选科目是物理的人数为8000人．
【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）（2017?娄底）数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC 为38.7°，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：0.6，请你求出仙女峰的高度（参考数据：tan38.7°≈0.8）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】如图，过点B作BD⊥AC于点D，通过解直角△ABD和坡度的定义来求BD的长度即可．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵山坡BC的坡度为1：0.6，
∴=，
则CD=0.6BD．
∵∠BAC为38.7°，
∴tan38.7°==．
∵AC=377米，tan38.7°≈0.8，
∴≈0.8，
解得BD=725（米）．
答：仙女峰的高度约为725米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）（2017?娄底）坐火车从上海到娄底，高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米，G1329的平均速度是K575的2.5倍．
（1）求K575的平均速度；
（2）高铁G1329从上海到娄底只需几小时？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】（1）设K575的平均速度为x千米/小时，根据高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时列出分式方程，解方程即可；
（2）求出G1329的平均速度，计算即可．
【解答】解：（1）设K575的平均速度为x千米/小时，则G1329的平均速度是2.5x千米/小时，
由题意得，=+9，
解得，x=84，
答：K575的平均速度为84千米/小时；
（2）高铁G1329从上海到娄底需要：=6（小时），
答：高铁G1329从上海到娄底只需6小时．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．（9分）（2017?娄底）如图，在?ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，进而判定△ABG≌△CDE；
（2）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；
（3）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG=AB=3，AG=3=CE，BF=BC=2，
CF=2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．
【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，
∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，
∵?ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，
∴∠BAG=∠DCE，
同理可得，∠ABG=∠CDE，
∵在△ABG和△CDE中，
∠∠
，
∠∠
∴△ABG≌△CDE（ASA）；
（2）四边形EFGH是矩形．
证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，
∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，
∵?ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，
即∠AGB=90°，
同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，
∴四边形EFGH是矩形；
（3）依题意得，∠BAG=∠BAD=30°，
∵AB=6，
∴BG=AB=3，AG=3=CE，
∵BC=4，∠BCF=∠BCD=30°，
∴BF=BC=2，CF=2，
∴EF=3﹣2=，GF=3﹣2=1，
∴矩形EFGH的面积=EF×GF=．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）（2017?娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2=AB?EF．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MB：直线与圆的位置关系．
【分析】（1）在Rt△BCD中，解直角三角形即可；
（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；
（3）首先证明EF是△ADC的中位线，再证明△ACD∽△ABC即可解决问题；【解答】解：（1）∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，
∴BD=BC?sin36°=10?sin36°≈5.9．
（2）连接OD．
∵AE=EC，OB=OC，
∴OE∥AB，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在△EOD和△EOC中，
∠∠，
∴△EOD≌△EOC，
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（3）∵OE⊥CD，
∴DF=CF，∵AE=EC，
∴AD=2EF，
∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2=AD?AB，
∵AC=2CE，
∴4CE2=2EF?AB，
∴2CE2=EF?AB．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）（2017?娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；
（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4﹣4t，由于直线AC的解析式为：y=x+2，
得到E（2t﹣4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；
（3）求得直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入y=ax2+bx+c得，，
∴，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣bx+2，
对称轴为：直线x=﹣；
（2）存在，
∵AD=2t，
∴DF=AD=2t，
∴OF=4﹣4t，
∴D（2t﹣4，0），
∵直线AC的解析式为：y=x+2，
∴E（2t﹣4，t），
∵△EFC为直角三角形，
①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，
∴，即=，
解得：t=，
②当∠FEC=90°，