复变函数教案
课程性质
《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
章节名称：第一章复数与复变函数
学时安排：10学时
教学要求：使学生掌握复数的概念，理解复数的几何意义及熟悉平面点集系列概念。
教学内容：复数及其代数运算；复数的乘幂与方根；平面点集；复变函数；复变函数的极限与连续
教学重点：复数几何意义及复变函数的极限与连续。
教学难点：理解扩充复平面的相关概念。
教学手段：课堂讲授
教学过程：
一、引言复数的产生和复变函数理论的建立
1，1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。
2，1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的。
3，19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的。
4，20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。
5，复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系。其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较。
§1、复数及其代数运算
1，复数概念：
（1）称),(R y x iy x z ∈+=为复数；
（2）称z x Re =为复数),(R y x iy x z ∈+=的实部；
称z y Im =为复数),(R y x iy x z ∈+=的虚部；
（3）纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；
（4）两个复数相等；
（5）虚数不能比较大小。
（6）共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数。记z 的共轭复数为z 。
2，复数的代数运算：
设111iy x z +=，222iy x z +=，
（1）加减法：±+)(11iy x )(22iy x +)()(2121y y i x x ±+±=；
（2）乘法：?+)(11iy x )(22iy x +)()(21122121y x y x i y y x x ++-=；
（3）除法：0222≠+=iy x z ，
222221122121221121)()(y x y x y x i y y x x iy x iy x z z +-++=++=； （4）共轭复数的运算：
1）2121z z z z ±=±，2121z z z z ?=，2121)(
z z z z =； 2）z z =；
3）2222)][Im()][Re(y x z z z z +=+=?；
4）)Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+。
显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
3，应用举例：
例1，设i z 551-=，i z 432+-=，求)(,2
121z z z z ； 例2，设i
i i z ---=131， 求z Re 、 z Im 、z z ?； 练习：求)(1
cos 1cos ?ηθηθηi e z =+-=的实部和虚部。 §2、复数的几何表示
1，复平面
（1）复数z 表示为复平面上的点
因为复数),(R y x iy x z ∈+=由一对有序实数),(y x 唯一确定，从而复数全体与直角坐标平面上点的全体构成一一对应关系，所以，复数),(R y x iy x z ∈+=可以用复平面上的点),(y x 来表示。
我们把直角坐标系中的X 轴称为实轴，而把Y 轴称为虚轴，把实轴和虚轴决定的平面称为复平面或Z 平面。
下面我们利用复平面上的点对应的以原点为起点的向量来定义模和辐角的概念。
（2）复数z 表示为复平面上的向量
1)模的定义：显然，在复平面上，复数z 与从原点指向点),(R y x iy x z ∈+=的平面向量一一对应，因此复数z 能用向量表示。向量的长度称为z 的模或绝对值，记为22y x r z +== 显然，)Im()Re(z z z +≤；z z ≤)Re(；z z ≤)Im(；22z z z z ==；
z z =；2121z z z z +≤±；)Re(2212221221z z z z z z ±+=±
2)辐角
在0≠z 时，以正实轴为始边，以表示z 的向量为终边的角的弧度数θ称为z 的輻角，记为
x
y Argz Argz ==)tan(,θ 任何一个复数0≠z 有无穷多个輻角，如果1θ是其中一个，则
为整数）
k k Argz (21πθ+= 给出了z 的全部輻角。
輻角主值：在0≠z 的所有輻角中，满足πθπ≤<-0的0θ称为πθk Argz 21+=的主值，记作z arg 0=θ
????
?????=<<><±<>=±<=>>==)0,0(,)0,0,0(,arctan )0,0,0(,2)0,0,0,0(,arctan arg 0y x y y x x y y y x y y y x x y z πππθ （3）复数的三角形式和指数形式
称)sin (cos θθi r z +=；θi re z =分别为复数z 的三角形式和指数形式。
应用举例：
例1，将下列复数化为三角形式与指数形式
i z 212--=； 5
c o s 5s i n ππi z += 例2，设21,z z 为两个任意复数，证明：
2121z z z z =；2121z z z z +≤±
练习题1：试将复数)0(sin cos 1πθθθ≤≤+-i 化为三角形式与指数形式。 练习题2：若11 1<--z z z z 。 2，复球面 复数可以表示为复平面上的点及向量（几何表示）本节用复球面上的点来表示复数。 1）球面上的点，除去北极N 外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。 2）为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一对应起来，我们规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”，它与球面上的北极N 相对应。相应地规定： 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并记作∞。 这样一来，球面上的每一个点，就有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面。 3）包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面或称复平面。 §3、复数的乘幂与方根 1，乘积与商 1）定理1两个复数乘积的模等于它们的模的成绩；两个复数成绩的輻角等于它们的輻角的和。 2）定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的輻角等于被除数与除数的輻角之差。 3）应用举例： 已知正三角形的两个顶点为i z z +==2,121，求它的另一个定点。 2，幂与根 1）棣莫弗公式：θθθθn i n i n sin cos )sin (cos +=+ 2）方根公式：)2sin 2(cos ),sin (cos n k i n k r i r n n πθπθωθθω+++=+= )1,,2,1(-=n k 3）应用举例：求41i + 1，区域的概念： 1）邻域：平面上以0z 为中心，δ（任意正数）为半径的圆：δ<-0z z 内部的点的集合称为0z 的邻域，而称由不等式δ<-<00z z 所确定的点集为0z 的去心邻域。 2）内点：设G 为平面点集，0z 为 G 中任意一点，如果存在0z 的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G ，那么称0z 为G 的内点。 3）开集：如果G 内的每个点都是它的内点，那么称G 为开集。 4）区域：平面点集D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件：D 是一个开集；D 是连通的（即D 中任何两点都可以完全属于D 的一条折线连接起来）。 5）边界点（边界）：设D 为平面内的一个区域，如果点P 不属于D ，但在P 的任意小的邻域内总含有D 中的点，这样的点P 称为D 的边界点；D 的所有边界点组成D 的边界。（区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成） 6）区域D 与它的边界一起构成闭区域。 7）如果一个区域D 可以被包含在一个以原点为中心的圆里面，即存在正数M ，使区域D 的每个点z 都满足M z <，即称D 为有界的。否则称为无界的。 2，单连通域与多连通域 1）连续曲线：如果)(),(t y t x 是两个连续的实变函数，那么，方程组)(),(t y y t x x == )(b t a ≤≤代表一条平面曲线，称为连续曲线。 2）按段光滑曲线：如果在区间b t a ≤≤上)(),(''t y t x 都是连续的，且对于t 的每一个值，有0)]([)]([2'2'≠+t y t x ，那么这曲线称为光滑的。由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。 3）简单曲线或JORDAN 曲线：没有重点的连续曲线称为简单曲线。 4）单连通域和多连通域：复平面上的一个区域B ，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B ，就称为单连通域。一个区域如果不是单连通域，就称为多连通域。 §5、复变函数 1，定义：设G 是一个复数，iy x z +=的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G 中的每一个复数iy x z +=，就有一个或几个复数iv u w +=与之对应，那么称复变数iv u w +=是iy x z +=的函数（简称复变函数），记)(z f w =。 1）定义域与值域与实变函数类似； 2）单值函数与多值函数。 2映射的概念： 1）对于复变函数，由于它反应了两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面内的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系。 2）如果用z 平面上的点表示自变量z 的值，而用另一个平面上的点表示函数的值，那么函数)(z f w =在几何上就可以看做是把z 平面上的一个点集G 变到平面上的一个点集的映射。 3）反函数 假定)(z f w =的定义集合为z 平面上的集合G ，函数值集合为ω平面上的集合*G ，那么*G 中的每一点ω必将对应着G 中的一个（或几个）点。按照函数定义，在*G 上就定义了一个单值（或多值）函数)(w f z =，它称为函数)(z f w =的反函数（也称映射)(z f w =的逆映射）。 §6、复变函数的极限和连续 1，复变函数的极限： 1）定义：设函数)(z f w =定义在0z 的去心邻域ρ<-<00z z 内，如果有一确定的数A 存在，对于任意给定的0>ε，相应地必有一正数)0)((ρδεδ≤<，使得当δ<-<00z z 时有 ε<-A A f )( 那么称A 为)(z f 在0z z →时的极限，记作：A z f z z =→)(lim 0 。 2）几何意义：当变点z 一旦进入0z 的充分小)0)((ρδεδ≤<去心邻域时，它的象点)(z f 就落入A 的预先给定的ε邻域中，跟一元实变函数极限的几何意义相比十分类似。只是用圆形邻域代替了那里的邻区。 3）定义中z 趋向0z 的方式是任意的，即无论z 从什么方向、以何种方式趋于0z ，)(z f 都要趋向于同一个常数A ，这比对一元实变函数极限定义的要求苛刻得多。 4）定理1：设),(),()(y x iv y x u z f +=，00000,iy x z iv u A +=+=，则 A z f z z =→)(lim 0的充分必要条件为0),(lim 00u y x u y y x x =→→，0),(lim 0 0v y x v y y x x =→→。 此定理将复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=的极限问题转化为求两个二元实变函数的极限问题。 5）定理2：如果A z f z z =→)(lim 0，B z g z z =→)(lim 0 ，则 B A z g z f z z ±=±→)]()([lim 0；AB z g z f z z =→)()(lim 0；)0()()(lim 0≠=→B B A z g z f z z 例，证明z z z f )Re()(=当0→z 时极限不存在。 2，复变函数的连续性： 1）定义：如果)()(lim 00 z f z f z z =→，那么我们说)(z f 在0z 处连续。如果)(z f 在区域D 内处处连续，我们说)(z f 在D 内连续。 2）定理3：函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=处连续的充要条件是),(),,(y x v y x u 在),(00y x 处连续。 3）定理4：在000iy x z +=连续的两个函数的和、差、积、商（分母不为零）在000iy x z +=仍连续 4）函数在曲线上连续和有界：函数在曲线C 上000iy x z +=处连续是指 C z z f z f z z ∈=→),()(lim 00 ； 函数在曲线上有界是指，存在一正数M ，在曲线上恒有M z f <)(。 三、教学小结： 本章学习了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。 1，复数的概念、运算及其表示方法虽然大多在中学已经学过，但由于它们是今后学习的基础，因此仍应通过复习，做到熟练掌握，灵活应用。 2，复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》中相应概念的推广，它们既有相似之处，又有不同之点；既有联系，又有区别，学生在学习过程中应善于比较，深刻理解，决不可忽视。 四、作业布置： 第一章习题（P.31） 1（2，4）；2；8（3，4）；11；21（5，6） 复变函数练习题第三章复变函数得积分 系专业班姓名学号 §1 复变函数积分得概念§4原函数与不定积分 一.选择题 1.设为从原点沿至得弧段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 2、设就是,从1到2得线段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 3.设就是从到得直线段,则[ ] (A) (B)(C)(D) 4.设在复平面处处解析且,则积分[ ] (A) (B) (C) (D)不能确定 二.填空题 1．设为沿原点到点得直线段,则 2 。 2．设为正向圆周,则 三.解答题 1.计算下列积分。 (1) (2) (3) (4) 2.计算积分得值,其中为正向圆周: (1) (2) 3.分别沿与算出积分得值。 解:(1)沿y=x得积分曲线方程为 则原积分 (2)沿得积分曲线方程为 则原积分 1 20 1 1 3224300 [()](12)3112 [32(1)][()]2.2233I i t it it dt t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+?? 4.计算下列积分 (1) ,C:从到得直线段; C 得方程: 则原积分 (2) ,C:上沿正向从1到。 C 得方程: 则原积分 复变函数练习题 第三章 复变函数得积分 系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理得推广－复合闭路定理 一、选择题 1． 设在单连通区域内解析,为内任一闭路,则必有 [ ] (A) (B) (C) (D ) 2.设为正向圆周,则 [ ] (A) (B ) (C) (D) 3.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分 [ ] (A) (B) (C ) (D)不能确定 二、填空题 1.设为正向圆周,则 2.闭曲线取正方向,则积分 0 。 三、解答题 利用柯西积分公式求复积分 (1)判断被积函数具有几个奇点; (2)找出奇点中含在积分曲线内部得, 若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零; 若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式; 若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式、 1.计算下列积分 (1) 、 第一章 复数与复变函数 教学课题：第二节 复平面上的点集 教学目的：1、理解关于平面点集的几个基本概念； 2、理解区域与约当曲线这两个重要概念； 3、了解约当定理和区域的连通性。 教学重点：平面点集的几个基本概念 教学难点：区域与约当曲线 教学方法：启发式教学 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。 教学过程： 1、平面点集的几个基本概念： 定义1.1 设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为 },,|| |{C z r a z z ∈<- 称集 },,|| |{C z r a z z ∈≤- 为以a 为中心，r 为半径的闭圆盘，记为),(r a U 。 定义1.2设C a C E ∈?,， 若E r a U r ?>?),(,0中有无穷个点，则称a 为E 的极限点； 若0>?r ，使得E r a U ?),(，则称a 为E 的内点； 若E r a U r ?>?),(,0中既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则称a 为E 的边界点； 集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界，记为E ?； E E ??称为E 的闭包，记为E ； 若0>?r ，使得}{),(a E r a U =?，则称a 为E 的孤立点（是边界点但不是聚 点）； 定义1.3 开集：所有点为内点的集合； 闭集E ：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E ；则任何集合E 的闭包E 一定是闭集； 定义1.4如果0>?r ，使得),0(r U E ?，则称E 是有界集，否则称E 是无界集； 复平面上的有界闭集称为紧集。 例1、圆盘),(r a U 是有界开集；闭圆盘),(r a U 是有界闭集； 例2、集合}|||{r a z z =-是以a 为心，半径为r 的圆周，它是圆盘),(r a U 和闭圆盘),(r a U 的边界。 例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。 例4、集合}||0|{r a z z E <-<=是去掉圆心的圆盘。圆心E a ?∈，它是E ?的孤立点，是集合E 的聚点。 无穷远点的邻域：0>?r ，集合},|||{∞∈>C z r z z 称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。 ∞C 我们也称为C 的一点紧化。 2、区域、约当（Jordan ）曲线： 定义1.5复平面C 上的集合D ，如果满足： （1）、D 是开集； （2）、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。 则称D 是一个区域。 结合前面的定义，有有界区域、无界区域。 性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。 区域D 内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。 扩充复平面∞C 上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C 第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 第三章 复变函数的积分习题与解答 3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？ 【答案 单连通 无关，复连通 有关】 3.2 计算积分 ||z ? 【答案 0】 3.3 计算积分 22d L z z a -? :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πi a -】 3.4 计算积分 Im d C z z ?，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 3.5 计算积分 d ||C z z z ? 的值， (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 3.6 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 3.7计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =? ；（2）2||2d z ze z =? 21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++?? 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi 4i +】 3.8 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+?????? 【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】 3.9 计算积分 （1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 13(1)s i n 1c o s 1; (2)i ; (3)1c o s 1i [s i n (1)1]- -+-】 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 第二章 解析函数 解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用． 本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质． 一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下： 复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞． 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15 66 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22 32 (4) C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02i z i i z i i i e dz e e e ππππππ---= =-=? （2） 2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππ ππππ------?? ==- ????? --=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分 ||C z dz z ?的值，其中C 为正向圆周： （1） 第一章复数与复变函数 教学课题：第二节复平面上的点集 教学目的：1、理解关于平而点集的儿个基本概念； 2、理解区域勾约当曲线这W个重要概念； 3、了解约当定理和区域的连通性。 教学重点：平血点集的几个基木概念 教学难点：区域与约当曲线 教学方法：启发忒教学 教学手段：多媒体与板15相结合教材分析：理解关于〒面点集的儿个基本概念、掌握区域与约当llh线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。 教学过程： 1、平面点集的几个基本概念： 定义1.1 设6/ e C,r G (0,+oo), tz 的r-邻域［/(fz，r)定义为 {z\\z-a\< r,zeC}, 称集 {z\\z-a\ 若3/、〉0,使得= 则称6/为￡的孤立点(是边界点但不是聚 点）; 定义1.3开集：所冇点为内点的集合； 闭集或者没冇聚点，或者所冇聚点都展于￡;则任何集合￡的闭包互一定是闭集； 定义1.4如果3r〉0，使得￡c=t/（O，r），则称￡是有界集，否则称￡是无界 集； 复平面上的宥界闭集称为紧集。 例1、岡盘［/（^，r）是有界开集；闭闢盘fGz，r）是宥界闭集； 例2、集合｛z||z- p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d = [0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz 习题1 第一章 复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及 解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+ 54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5． 设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+- 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + 第三章 教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论 教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理； 2、了解柯西高阶导数分公式； 3、切实掌握解析函数的无穷可微性； 4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。 教学重点：柯西积分公式； 教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。 教学过程： 1、柯西积分公式： 定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有 其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 证明：设D z ∈，显然函数在z f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。 以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 说明：f(z)沿C 的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在； （2）在上述闭圆盘上0 )(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。作以为 0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得 因此，I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关。令θρi e z z =-0， 则有 由于I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即 事实上，当ρ趋近于0时，有 由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>?>?，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此 即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210 =-?，因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2、解析函数的无穷可微性 定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数 ,...)3,2,1( )()(2!)(1 )(=-=?+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。设D h z ∈+是D 内另一点。 只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且 《复变与积分变换教案》 第二次课 1教学目标：使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处理法，重温二元微积分，并赋以复的外衣而导出复变量，复数列，复变函数增量和复积分等知识。 2讲课段落： 平面曲线(定向)和区域；复变函数的分量处理法；二维平面图形的复形式；复变量，复数列，复变函数的极限和连续性; 复变函数的增量； 复积分定义和计算，复积分的性质。 3知识要点: 无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。数学上可证明任 条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是 任一条简单闭曲线总是有有限长度的。 对给定点P (x o,y o)和正数0，称 u (P) (X, y)J(x X o)2 (y y。)2 为P的一个邻域。 平面上的区域D为可用折线连通的开集. 本课程中经常出现的多连域D为有限条简单闭曲线C0,C i,C2, ,C m按以下 方式围成的区域：设D O,D1,D2, , D m分别为C o,C1,C2, ,C m的内部区域, m 1 j k m, (3) C j C k 满足(1) D j D o, (2) D j D k j 1 m 称此多连域D为复围线：C o'GG'L ,C m围成的区域,即D D O D j。 j 1 w f (z) u u(x,y) V v(x,y) max max a n max U x x o , y y o X o , b n f Z o X o , y o iv x Z o X X o y o y o Z n Z o a n X o b n y o x o ,y o U y x o ,y o iV y X o ,y o E u iE v f 1 z u x x o ,y o iv x X o ，y o U y X o ，y o iV y X o ，y o C: F(x,y) 0, 经变换 若平面曲线参数方程为 则其复数表示为 z z(t): x(t) iy(t), 所以一个复变函数相当于两个二元函数，即 也称为D 的边界。而数学上称D 0 m D j 即D 连同C o ,G,C 2, ,C m 一起的 j 1 集合为多连域D 的闭包，也记为D 。 而复围线 ：C o ,C 1,C 2, ,C m 的正向 定义为，在C o 上取逆时针方向，而在 C 1,C 2, , C m 上都取顺时针方向。 得到C 的复数表示 z z 2i X y (t) (t). 《复变函数》教案 目录 第一次课………………复数 第二次课………………复平面上的点集 第三次课………………复变函数复球面与无穷远点 第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程 第五次课………………初等解析函数 第六次课………………初等多值函数 第七次课………………复积分的概念及其简单性质 第八次课………………柯西积分定理 第九次课………………柯西积分公式及其推论 第十次课………………解析函数与调和函数的关系 第十一次课……………复级数的基本性质 第十二次课……………幂级数 第十三次课……………解析函数的泰勒展式 第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理 第十五次课……………解析函数的洛朗展开式 第十六次课……………解析函数的孤立奇点 第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚 纯函数的概念 第十八次课……………留数 第十九次课……………用留数计算实积分 第二十次课……………辐角原理及其应用 第二十一次课…………解析变换的特性 第二十二次课…………分式线性变换 第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共 形映射的黎曼存在定理和边界对应定理 第二十四次课…………总复习 第一次课：复数 一．教学目的： 1．掌握复数的四则运算及共轭运算； 2．熟练掌握复数的各种表示法； 3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。 二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。 三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。 六．教学过程： [引言]：（约10分钟）简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。 ●复数的基本概念（约5分钟） 1．虚数单位。 2．实部与虚部。 3．共轭复数。 ●复数的四则运算（约20分钟） 1．复数的加、减、乘和除法运算。 2．复数运算的性质。 举例并让学生穿插进行练习。 ●复数的几何表示（约20分钟） 1．复平面。 2．复数的模与幅角。 3．复数模的三角不等式。 利用几何图形直观地解释。 ●复数的三角表示（约25分钟） 1．复数的三角表示 2．用复数的三角表示作乘除法。 3．复数的乘方与开方 举例并让学生穿插进行练习。 七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习内容（约5分钟） 第二次课：复平面上的点集 一. 教学目的： １．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念； ２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。 二. 教学重点：正确理解区域、单连通域与多连通域、简单曲线等概念 三. 教学难点：求复平面上曲线的复方程。 四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等 六．教学过程： [引言]：（约5分钟） 第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 教学课题：第一节解析函数的洛朗展式 教学目的：1、了解双边幕级数在其收敛圆环内的性质； 2、充分掌握洛朗级数与泰?勒级数的关系； 3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数 教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：洛朗级数是推广了的幕级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程： 1、双边基级数 在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 00 + （Z - Z（）+ 0_2（Z - Z（）尸 + ??? + 0_〃（Z-Z（））-" +??? 其屮堤复常数。此级数可以看成变量丄的幕级数；设这幕级 z_z° 数的收敛半径是心如果ovRv+oe,那么不难看出，此级数在|z-z01>丄内绝 R 对收敛并且内闭一致收敛，在|Z-Z O |<1内发散。同样，如果/? = +oo,那么此级 R 数在|z-z（） |> 0内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果/?二0,那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在z = z。没有意义。于是根据定理2.3,按照不同情形，此级数分别在 | z-z0 |>^ = 7?,（0< /?<4-OO）及I z-Zo |>0 内收敛于一个解析函数。 R 2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数 工0“（Z-Zo）", 这里勺,爲3=0±口2…是复常数。当级数 乞伏（z - z°y及乞仇d - 川=0 /?=-! +8 都收敛吋，我们说原级数￡A（Z-Z0）W收敛，并且它的和等于上式屮两个级数的”=-oo 和函数相加。设上式中第一个级数在|z-z0\ 第七章 共形映射 教学课题：第三节 黎曼存在定理 教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义； 2、充分了解边界对应定理； 3、了解线性变换的不动点； 4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。 教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。 教学过程： 8、实例： 在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数 1 1 '-+= z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。 由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。 平面-z O ) 1(-B )(i D -) 0(A C 平面-'w C )1(-D ) 1(B )0(A C 平面 -w 显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1 1 '， 半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。 根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2 'arg π π< 《复变函数》教案 目录 第一次课………………复数 第二次课………………复平面上的点集 第三次课………………复变函数复球面与无穷远点 第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程 第五次课………………初等解析函数 第六次课………………初等多值函数 第七次课………………复积分的概念及其简单性质 第八次课………………柯西积分定理 第九次课………………柯西积分公式及其推论 第十次课………………解析函数与调和函数的关系 第十一次课……………复级数的基本性质 第十二次课……………幂级数 第十三次课……………解析函数的泰勒展式 第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理 第十五次课……………解析函数的洛朗展开式 第十六次课……………解析函数的孤立奇点 第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚 纯函数的概念 第十八次课……………留数 第十九次课……………用留数计算实积分 第二十次课……………辐角原理及其应用 第二十一次课…………解析变换的特性 第二十二次课…………分式线性变换 第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共 形映射的黎曼存在定理和边界对应定理第二十四次课…………总复习 第一次课：复数 一．教学目的： 1．掌握复数的四则运算及共轭运算； 2．熟练掌握复数的各种表示法； 3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。 二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。 三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。 四．教学方法：启发式、讨论式 五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。 六．教学过程： [引言]：（约10分钟） 简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。 ●复数的基本概念 （约5分钟） 1．虚数单位。 2．实部与虚部。 3．共轭复数。 ●复数的四则运算（约20分钟） 1．复数的加、减、乘和除法运算。 2．复数运算的性质。 举例并让学生穿插进行练习。 ●复数的几何表示（约20分钟）1．复平面。 2．复数的模与幅角。 3．复数模的三角不等式。 利用几何图形直观地解释。 ●复数的三角表示（约25分钟）1．复数的三角表示 2．用复数的三角表示作乘除法。 3．复数的乘方与开方 举例并让学生穿插进行练习。 七．课程小结（约5分钟） 八．布置作业和预习内容（约5分钟） 第二次课：复平面上的点集 一. 教学目的： １．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念； ２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。第三章 复变函数得积分(答案)
复变函数教案1.2
复变函数论第三版课后习题答案 2
第三章 复变函数的积分习题与解答
复变函数习题答案第3章习题详解
复变函数第二章学习方法导学
第三章复变函数的积分(答案)
复变函数教案12.doc
复变函数习题解答(第3章)
复变函数论作业及答案
复变函数习题答案第3章习题详解
复变函数教案3.3
《复变与积分变换教案》.
复变函数教案
复变函数教案51.docx
复变函数教案7.3.2
2010复变函数教案
相关主题
文本预览