历届奥数数论竞赛题讲解精选

历届奥数竞赛题讲解精选

1. 假设n 是自然数， d 是2n2 的正约数．证明：n2＋ d 不是完全平方．

【题说】1953 年匈牙利数学奥林匹克题2．

【证】设2n2＝kd，k 是正整数，如果n2＋d 是整数x 的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2 与n2 都是完全平方，而由k2< k2＋2k<（k＋1）2 得出k2＋2k 不是平方数．

试证四个连续自然数的乘积加上 1 的算术平方根仍为自然数．

【题说】1962 年上海市赛高三决赛题 1 ．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．

1. 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：

此级数一定含有无穷多个完全平方数．

【题说】1963 年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．

【证】设此算术级数公差是 d ，且其中一项 a ＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2

对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．

2. 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．

【题说】1964 年全俄数学奥林匹克十一年级题 1 ．

【解】设n2 满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0

n >10a，即n≥10a＋1．因此

b＝n2100a2≥20a＋1

由此得20a ＋1<100，所以a≤4．

经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n>41则n2－402≥422－402>100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412

1. 求所有的素数p，使4p2＋1 和6p2＋1 也是素数．

【题说】1964 年～1965年波兰数学奥林匹克二试题 1 ．

【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2 ＋1．当p≡± 2（mod 5）时，5|6p2 ＋1．所以本题只有一个解p＝5．

2. 证明存在无限多个自然数 a 有下列性质：对任何自然数n，z＝

n4＋a 都不是素数．

【题说】第十一届（1969年）国际数学奥林匹克题1，本题由原民主德国提供．【证】对任意整数m>1 及自然数n，有

n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2

＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）

而n2 ＋2mn＋2m2> n2－2mn＋2m2

＝（n－m）2＋m2≥m2>1

故n4 ＋4m4不是素数．取 a ＝4·24，4·34，?就得到无限多个符合要求的 a ．

1.如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？

【题说】第十九届（1993 年）全俄数学奥林匹克九年级一试题1．【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2 －m2＝（2k＋m）（2k－m）．

因为5n＋3>（3n＋1）＋2＝m2＋2>2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k＋m）（2k－m）是合数．

2.能够表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？

【题说】第十一届（1993 年）美国数学邀请赛题6．

【解】答495．

连续9 个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第 5 项与第 6 项之和的 5 倍；连续11个整数的和是第 6 项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11 整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋?＋59＝45＋46＋?＋54＝40＋41＋?＋50

3.021 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10 项，使这10 项之和大于或等于A．

【题说】第一届（1992 年）中国台北数学奥林匹克题6．

【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋?＋2000＝1500500，将它分为100 段，每段10 项，至少有一段的和≥15005，所以

A≥15005

另一方面，将1001～2000 排列如下：

2000 1001 1900 1101 1800 1201 1700 1301 1600 1401

1999 1002 1899 1102 1799 1202 1699 1302 1599 1402

1901 1100 1801 1200 1701 1300 1601 1400 1501 1300

并记上述排列为

a1，a2，?，a2000

（表中第i 行第j 列的数是这个数列的第10（i －1）＋j 项，1≤i ≤20，1≤j ≤10）

令Si ＝ai＋ai ＋1＋?＋ai＋9（i ＝1，2，?，1901）

则S1＝15005，S2＝15004．易知若i 为奇数，则Si ＝15005；若i 为偶数，则

Si ＝15004．

综上所述A＝15005．

1. n 为怎样的自然数时，数

32n＋1－22n＋1－6n

是合数？

【题说】第二十四届（1990 年）全苏数学奥林匹克十一年级题 5 【解】32n ＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）

当n>l 时，3n－2n>1，3n＋1＋2n＋1>1，所以原数是合数．当n ＝1时，原

数是素数13．

2. 求证：对任何正整数n，存在n 个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．

【题说】第三十届（1989 年）国际数学奥林匹克题5．本题由瑞典提供．

【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2≤k≤n＋1），被k 整除而不被k2 整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k 是质数的整数幂pl，则k ＝pj（l、j 都是正整数），但a2被p2j 整除因而被pj ＋1整除，所以a2＋k被pj 整除而不被pj ＋1 整除，于是a2＋k＝pj ＝k，矛盾．因此

a2＋k（2≤k≤n＋1）

这n 个连续正整数都不是素数的整数幂．

1. 求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n≤5）个数的和为合数．

【题说】第二十一届（1987年）全苏数学奥林匹克十年级题 1 ．【解】由n 个数

ai ＝i ·n！＋1，i ＝1，2，?，n 组成的集合满足要求．

因为其中任意k 个数之和为

m· n！＋k（m∈ N，2≤ k≤ n）

由于n！＝1·2·?·是n k 的倍数，所以m·n！＋k 是k 的倍

数，因而为合数．对任意两个数ai 与aj （i >j ），如果它们有公共的质因数p，则p也是ai －aj ＝（i－j）n！的质因数，因为0

得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．

设正整数 d 不等于 2 、5、13．证明在集合｛2，5，13，d｝中可以

找到两个不同元素a、b，使得ab－1 不是完全平方数．

【题说】第二十七届（1986 年）国际数学奥林匹克题1．本题由原联邦德国提供．

【证】证明2d－1、5d－1、13d－1 这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设

5d－1＝x2 （1）

5d－1＝y2 （2）

13d－1＝z2 （3）

其中x、y、z 是正整数．

由（1）式知，x 是奇数，不妨设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即

d＝2n2－2n＋1 （4）

（4）式说明 d 也是奇数．

于是由（2）、（3）知y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以 4 有

2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）

因2d 是偶数，即q2－p2 是偶数，所以p、q 同为偶数或同为奇数，从而q＋p 和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．

1. 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于 3 个．【题说】第十八届（1984 年）全苏数学奥林匹克八年级题8 ．

【证】若不同数字多于 3 个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139 除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，104×M与上述7 个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字

1、3、7、9 的数不是绝对素数．

2.证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．【题说】第五届（1973年）加拿大数学奥林匹克题3．

【证】因为p是奇数，所以2是p＋1的因数．

因为p、p＋1、p＋2 除以 3 余数不同，p、p＋ 2 都不被 3 整除，所以p＋1 被 3 整除．

于是6是p＋1的因数．

奥数赠品数论50题

数论50题 1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为14 为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位为1 该数最大为875413。 2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 【分析】 75=3×25 若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32 所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8 先任给一个去掉8的，17925即满足要求 1）若去掉8 则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法 因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数 2）若去掉2 则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法 所以有6个满足要求 综上所述，满足要求的五位数有18个。 3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？ 【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8 □中的数字是1 4．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除 因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。 111考了优秀，一次考试中，某班同学有考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知该5．723班同学的人数不超过50，求有多少人不及格？ 【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，111--）×42=1人 1-所以只能是42人，因此不及格的人数为（7326．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ （2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？ （第14届迎春杯考题） 【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

小学奥数数论专题

名校真题测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题） 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 （04年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。 第十讲小升初专项训练数论篇（一） 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题

小学奥数9. 数论综合(二).

第十一讲 数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那 么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．

小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总

数论专题典型结论汇总 整除 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ， c ︱b ，那么c ︱(a ±b )． 性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ， c ∣b ，那么c ∣a ． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那 么b ∣a ，c ∣a ． 性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b 与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ，那么bm ｜am （m 为 非0整数）； 性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果 b ｜ a ，且d ｜c ，那么bd ｜ac ； 质数合数 一、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即： 312123k a a a a k n p p p p =????

小学奥数-数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等； 2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数） 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差

小学奥数专题之数论

1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。1359 ，1935，3195，3915，9135，9315 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数45 是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 可以分析出甲甲是偶数，是135的倍数，且是完全平方数 而135=5*3*3*3，最小再乘以15即为完全平方数，若要为偶数则需再乘4 于是丙为60，甲为90，乙为4050 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( D) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？4456 预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？4.14 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是____．1331 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.518=7=511 666-10=656 888,511,656除以这个数，余数相同 888-511=377 888-656=232 这个数为377与232的公因数，且大于10 377=13×29 232=8×29 所以这个自然数为29 2 （三帆中学考题）

(完整)小学六年级奥数基础知识——数论

行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得

完整版六年级奥数数论综合

第19讲数论综合 知识点精讲 特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4 (或25)整除的数的特征： 4) 能被8 (或125)整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法： 特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题 技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。 三、质数合数 1. 基本定义 【质数】一一 【合数】一一 注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一 【分解质因数】一一 用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且

a 1

【互质数】 【偶数】 【奇数】 2. 质数重要性质 1）100以内有25个质数： 2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3）1既不是质数，也不是合数 4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数 5）最小的质数是2?最小的奇质数是3 6）有无限多个 3. 质数的判断： 1）定义法：判断整除性 2）熟记100以内的质数 3）平方判断法： 例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.

4. 合数 1）无限多个 2）最小的合数是4 3）每个合数至少有三个约数 5. 互质数 1）什么样的两个数- -定是互质数？ 注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21. 6. 偶数和奇数 1） 2） 偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数 3） 4） 数是他们乘积的一半 5）?因此，要分解的合数应写在等号左边，如： 0属于偶数 十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是 除2外所有的正偶数均为合数 相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍 奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇

六年级奥数-.数论综合.教师版

数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次， 那么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968． 【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998 的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=??，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个． 【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．

小学奥数之第10讲_数论综合(一)

数论综合 1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少? 2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 3．如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数； ②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5． 那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数． 4．在555555的约数中，最大的三位数是多少? 5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?

6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案． 7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组? 8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A 出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

9．设a与b是两个不相等的非零自然数． (1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值? (2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 1 4 2 米，黄鼠狼每次跳 3 2 4 米，它们每秒钟都只跳一 次．比赛途中，从起点开始每隔 3 12 8 米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多 少米? 11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

小学奥数数论专题精讲 六年级奥数-数论专题

小学奥数数论专题精讲六年级奥数-数论专题 导读：就爱阅读网友为您分享以下“六年级奥数-数论专题”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持! 【例15】（难度级别※※※） 如图，相同的文字代表相同的数字，不同的文字代表不同的数字，并且已知和代表的五位数能被5整除。那么加数“华罗庚学校”代表的五位数最大是多少？ 华罗庚学校+好好学习=中学数学好 【例16】（难度级别※※※）

在下面这个算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么“5湖4海”代表的四位数最大是多少？ 1塔湖图+3泉映月=5湖4海 【例17】（难度级别※※※） 下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知BAD不是3的倍数，GOOD不是8的倍数，那么ABGD代表的四位数是多少？ B?G BO AAO DDD 【例18】（难度级别※※※）

在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立． 【例19】（难度级别※※※） 在图7-3所示的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数．问被除数是多少 ? 【例20】（难度级别※※※※） 已知p,q都是大于1的正整数，并且 2p?1q 和

2q?1p 都是整数，那么p+q的值是多少？ 【例21】（难度级别※※※※） □□□÷□=□□+□-□ ，请将2、4、6、8分别填入算式左端的四个方框，将1、3、5、7分别填入右边的四个方框，使其成为正确的等式。 【作业】 1、老师在黑板上写了15个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是 11．92．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是什么?

(完整版)小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】(可编辑修改word版)

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14 的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14. 2.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求a 和b 的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b 是124 和96 的公约数.而 (124,96)=4,所以 b=4.那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27. 3.除以99,余数是. 分析：所求余数与19×100,即与 1900 除以99 所得的余数相同, 所以所求余数是 19. 4.求下列各式的余数： (1)2461×135×6047÷11 (2)19992000÷7 分析：(1)5;(2)1999÷7 的余数是 4,19992000 与 42000 除以 7 的余数相同.然后再找规律,发现 4 的各次方除以 7 的余数的排列规律 是4,2,1,4,2,1......这么 3 个一循环,所以由2000÷3余 2 能够得到42000 除以7 的余数是 2,故19992000÷7的余数是 2 . 【第二篇】 (小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有 240 个,桔子有313 个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余 2 个不够

分,桔子分到最后还余 7 个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加 分水果 分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除 240 余2, 除313 余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为 240 被这个数除余 2,意味着 240- 2=238 恰被这个数整除,而 313 被这个数除余 7,意味着这 313—7=306 恰为这个数的倍数,我们只需求 238 和306 的公约数便可求出小朋友最 多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) . 【第三篇】 有一个大于 1 的整数,除 45,59,101 所得的余数相同,求这个数. 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少, 但是因为所得的余数相同,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14 的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14. 【第四篇】 1.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的 余数都是 3,求a 和b 的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b 是124 和96 的公约数.而 (124,96)=4,所以 b=4.那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27. 2.除以99 的余数是. 分析：所求余数与19×100,即与 1900 除以99 所得的余数相同, 所以所求余数是 19. 【第五篇】

小学奥数 数论问题 第八讲 提高篇之数论综合

第八讲提高篇之数论综合 课上习题 【例1】有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数。这个正整数是多少？ 【例2】已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998。满足上述条件的数一共有多少组？ 【例3】数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数。同学们，你们知道这个数可能是多少吗？ 课后习题 基础篇 【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？ 【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？ 提高篇 【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23- 2 16 ，16 就是一个“智慧数”。请问：从1 开始的自然数数列中，第2008 个“智慧 5 数”是多少？ 【闯关4】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？ 巅峰篇 【闯关5】有4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3 个数整除。请写出这4 个数。

第八讲提高篇之数论综合 课后习题： 基础篇 【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？ 解析：26460÷6=4410=2×3^2×5×7^2约数个数（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36。 26460 除去2 与3 的因数，剩下为5×7^2，约数个数6 个，这6 个均与6 互质。 【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？ 解析：11 个连续两位数，至多3 个5 的倍数，那么还有1 个25 的倍数。把25 放最后一个是最小，这八个数为15～25。 提高篇 【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23- 2 16 ，16 就是一个“智慧数”。请问：从1 开始的自然数数列中，第2008 个“智慧 5 数”是多少？ 解析：所有的奇数均可，a^2-b^2=(a-b)(a+b),所有4 的倍数均可，所有除以4 余2 的均不行。2008÷3=669……1,669×4=2676,2676+4=2680 所以第2008个智慧树是2680 【闯关4】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？ 解析：假设三数为k，2k，3k，乘积是6k^3，只要令k=6 即满足 此时三数分别是6，12，18 巅峰篇 【闯关5】有4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3 个数整除。请写出这4 个数。 解析：设为a、b、c、d，和是a、b、c 的倍数，且a

2015年小学奥数数论专题——数位与进制

2015年小学奥数数论专题——数位与进制 1．某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差； 2．ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差； 3．ab 与ba 的和被11除，商等于______与______的和。 4．(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 5．将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数． 6．如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。 7．有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？ 8．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数． 9．用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 10．从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 11．a ，b ，c 分别是09中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数 之和是2234，那么另一个三位数是几？ 12．在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。 13．一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。 14．将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数． 15．已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求. 16．已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少． 17．有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到

高斯小学奥数六年级上册含答案第16讲 数论综合提高二

第十六讲 数论综合提高二 本讲知识点汇总： 一、约数、倍数 1． 基本概念 （1） 如果a 能被b 整除（也就是），则b 是a 的约数（因数），a 是b 的倍数； （2） 约数具有“配对”性质：大约数对应小约数． 2． 约数个数 （1） 分解质因数，指数加1再相乘； （2） 平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数． 3． 约数和公式 （1） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； （2） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； 二、公约数、公倍数 1． 基本概念 （1） 如果a 是若干个数公有的约数，则称a 是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数； （2） 如果b 是若干个数公有的倍数，则称b 是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数； （3） 公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数． 2． 计算方法 （1） 短除法； （2） 分解质因数法； （3） 辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数）． 3． 基本性质 （1） ； （2） 两个数的最大公约数是它们和或差的约数； （3） 已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来： 例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和5b ，其中a 、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab ． 4． 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数： ()[],,a b a b a b ?=? ()()()2111a b c c +?+?++ 2a b c ?? ()()22311a a b b b ++?+++ 23a b ? |b a

； 一、 约数、倍数 1． 约数的配对思想； 2． 约数个数与完全平方数的关系； 3． 求约数个数； 4． 求约数的和； 5． 利用约数个数反推原数的质因数分解形式． 二、 公约数、公倍数 1． 基本计算； 2． 带有应用题背景的公约数公倍数计算； 3． 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题； 4． 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配． 例1． 庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活 动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？ 「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律． 练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……，依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 经典题型 []()a c a c b d b d ??=????,,, ()[]a c a c b d b d ??= ???,,,