一、 完全平方数常用性质
1. 特征
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2. 性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因
数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．
性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一
个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3. 一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
知识框架
平方数、奇偶性、位值原理
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个
“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不
是完全平方数。
4.重点公式回顾：平方差公式：22()()
-=+-
a b a b a b
二、奇数和偶数
1.定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
3.两个实用的推论
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶
三、位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝
给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 a) 位值原理的定义：
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
b) 位值原理的表达形式：
以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。 c) 解位值一共有三大法宝：
（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【巩固】 1234567654321(1234567654321)?++++++++++++是 的平方．
例题精讲
重难点
【例 2】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【例 3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
【巩固】考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是.
【例 4】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
【巩固】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一
个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．
【例 5】 计算1111L 1232004个1
－2222L 142431002个2
=A ×
A ，求A ．
【巩固】 ①220044
20038
444488889A L L 1424314243个个，求A 为多少?
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
5后是5次方数．
【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【例 7】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？
【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？
【例 8】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10
（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？
【例 9】有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、L L、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章
的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？
【巩固】一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺序）。第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故
事是从奇数页开始的。
【例 10】能否将1~16这16个自然数填入44
的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；
如果不能填，请说明理由．
【巩固】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3(如
图)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问：是否有一种拼合
方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?
1
2
3
1
3
2
H G
F
E
D C
B
A
【例 11】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第名．
【巩固】甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放
到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两
张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否
唯一．
【例 12】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，
得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过
程，是否能得到（859，263，597）？
【巩固】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋
子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中
白棋子放回大盒内．问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它
们都是什么颜色？
________．
【巩固】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发
现美洲新大陆是在公元___________年。
【例 2】一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。
【巩固】有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．
【例 3】把7位数2ABCDEF变成7位数2
ABCDEF，已知新7位数比原7位数大3591333，聪明的宝贝来求求：（1）原7位数是几，（2）如果把汉语拼音字母顺序编为1～
26号，且以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数2A和BC所对应的
拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一
个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。
【巩固】设六位数abcdef满足fabcde f abcdef
=?，请写出这样的六位数．
【随练1】
A是由2002个“4”组成的多位数，即
20024
4444
L
14243
个
，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
课堂检测
【随练2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【随练3】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．
【随练4】在“88
?”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子．若要求8行、8列、30条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“88
?”的方格中最多可以放多少枚棋子？
第11题
【随练5】有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
【作业1】下面是一个算式：112123123412345123456
+
?+??+???+????
+?????，这个算式的得数能否是某个数的平方？
【作业2】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为
0，试求满足上述条件的最小的正整数．
【作业3】各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．家庭作业