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概率论与数理统计之古典概型和伯努利概型
概率与数理统计是考研数学的一大模块，一般常出现在填空题、选择题、计算题和证明题中，下面是我对古典概型、几何概型、伯努利概型进行分析，希望大家在基础复习阶段就能记住，打好基础。
古典型概率：
当试验结果为有限n个样本点,且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件A由n(A)个样本点组成，则事件A的概率为
P（A)=n(A)/n=A所包含的样本点数/样本点总数
称有限等可能试验中事件A 的概率P(A)为古典型概率。
几何型概率：
几何型概率
n重伯努利试验：
n重伯努利试验
题型一：古典概型的计算
例1：一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率是多少？
解题思路：应用古典概型计算。
解：分别计算出总样本个数和事件A的样本个数
题型二：几何概型的计算
例2：（2017年考研真题)在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于0.5的概率是多少。
解题思路：几何概型的计算。
解：分别计算出总样本空间对应区域的面积和事件A对应区域的面积
xx方程原理以及在实际生活中的运用 67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。 xx方程 p+ρρv 2=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g 为重力加速度；c为常量。它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。 相关应用 （1）等高流管中的流速与压强的关系 根据xx方程在水平流管中有 ρv 2=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。下面就是一些实例 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。三、伯努利方程的应用： 1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。 4.球类比赛中的“旋转球”具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程发展和原理应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z1++=z2+++h w
总流伯努利方程的物理意义和几何意义： Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； ----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：
流体实验 华北电力大学
目录 实验一不可压缩流体恒定流能量方程(伯诺里方程)实验 (2) 实验二雷诺实验 (5) 实验三管道沿程阻力实验 (7)
伯努利方程实验 一、实验目的和要求 1. 通过定性分析实验，提高对动水力学诸多水力现象的实验分析能力； 2. 通过定量测量实验，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性，验 证流体恒定总流的伯努利方程，掌握测压管水头线的实验测量技能与绘制方法； 二、实验装置 1．实验装置简图 实验装置及各部分名称如图1所示。 321 5 132467 8911 13 15 110 12 146 5 4151617 1113973519 1719 18 101112 13 14 789 图1 伯努利方程实验装置图 1. 自循环供水器 2. 实验台 3. 可控硅无级调速器 3. 溢流板 5. 稳水孔板 6. 恒压水箱 7. 实验管道 8. 测压点①~○19 9. 弯针毕托管 10. 测压计 11. 滑动测量尺 12. 测压管①~○19 13. 实验流量调节阀 1 4.回水漏斗 1 5. 稳压筒 1 6.传感器 1 7. 智能化数显流量仪 2．装置说明 (1) 流量测量——智能化数显流量仪 智能化数显流量仪系统包括实验管道内配套流量计、稳压筒15、高精密传感器16和智能化数显流量仪17（含数字面板表及A/D 转换器）。该流量仪为管道式瞬时流量仪，测量精度一级。 流量仪的使用方法，需先排气调零，待水箱溢流后，间歇性全开、全关管道出水阀13数次，排除连通管内气泡。再全关阀13，待稳定后将流量仪调零。测流量时，水流稳定后，流量仪所显示的数值即为瞬时流量值。 (2) 测流速——弯针管毕托管 15 1617
伯努利方程实验 一、实验目的： 1.通过实验，加深对伯努利方程式及能量之间转换的了解。 2.观察水流沿程的能量变化，并了解其几何意义。 3.了解压头损失大小的影响因素。 二、实验原理： 在流体流动过程中，用带小孔的测压管测量管路中流体流动过程中各点的能量变化。当测压管的小孔正对着流体的流动方向时，此时测得的是管路中各点的 动压头和静压头的总和，即 以单位质量流体为衡算基来研究流体流动的能量守恒与转化规律。对于不可压缩流体，在导管内作稳态流动时，则对确定的系统即可列出机械能衡算方程： ∑+++=+++f e h p gZ p u Z ρ ωρ22 2212112u 2g 当测压管的小孔垂直于流体的流动方向时，此时测得的是管路中各点的静压 头的值，即 。 将在同一流量下测得的hA 、hB 值描在 坐标上，可以直观看出流速与管径的关系。 比较不同流量下的hA 值，可以直观看出沿程的能量损失，以及总能量损失与流量、流速的关系。通过hB 的关系曲线，可以得出在突然扩大、突然缩小处动能与静压能的转换。 三．实验装置
四．实验步骤 1.将低位槽灌有一定数量的蒸馏水，关闭离心泵出口上水阀及实验测试导管出口流量调节阀和排气阀、排水阀，打开回水阀和循环水阀而后启动离心泵。 2.逐步开大离心泵出口上水阀当高位槽溢流管有液体溢流后，利用流量调节阀出水的流量。 3.流体稳定后读取并记录各点数据。 4.关小流量调节阀重复步骤。 5.分析讨论流体流过不同位置处的能量转换关系并得出结果。 6.关闭离心泵，实验结束。 五．实验注意事项： 1.测记压头读数时，必须保持水位恒定。 2.注意测压管内无气泡时，方可开始读数。 3.测压管液面有波动时，读数取平均值为宜。 4.阀门开关要缓慢，否则影响实验结果。 六．数据处理
“伯努利原理”的误解 伯努利是一位数学家和物理学家，他在1738年发现，当流体的流速提高，表面的静压力会降低。这个现象称为“伯努利原理”，而几乎所有的物理学教材和科普文章，都使用这个原理，讨论机翼升力的产生。为了解释这个原理，通常，他们首先会让你拿出两片纸，并用力在纸的中间吹气，瞧，两张纸像粘在一起了！ 记忆的上表面是拱起的，而下表面是平坦甚至凹进去。当气流通过机翼表面，机翼上方空气流速较快，而下面空气流速较慢。根据“伯努利原理”，下面气流造成的静压力大于上方气流的压力，于是，机翼受到一个向上的作用力，飞机就飞了起来。 遗憾的是，这是完全错误的。而使用“伯努利原理”解释飞机的升空也是“白努力”。 伯努利效应可以解释一部分升力的来源，但这是非常小的一部分。如果飞机仅仅根据“伯努利原理”飞行，机翼形状必须非常“拱起”，或者，必须要飞得非常快才行。 飞机的升力主要由另外两个效应提供。一个是康达效应；另一个是气流冲击效应。 康达效应指的是，气流流经机翼曲面时，气流会紧贴机翼表面（这当然也有一点伯努利效应的含义）。这样，机翼的形状有效地改变了气流的方向，使离开机翼的气流相对飞机作向下的高速运动。机翼推开气流，但这个运动受力的反作用力作用于机翼上，相当于气流也在推开机翼，这个力使得机翼向上举起。 另一个重要的效应是气流冲击效应。当一块平板的方向不是与气流运动方向严格垂直，那么，平板会受到气流的冲击。飞机的机翼与其自身有一定倾角4°左右，特别是，当飞机起飞时，要把机头高高抬起，形成更大的倾角，这样在低速时，也可以获得较大的气流冲击效应，以便使几十吨的飞机起飞。但是，机翼的倾角并不是完全用于提供升力，更多的是为了维持飞机本身的气动布局，以保证飞机在飞行时候的气动平衡。 飞机是一个非常复杂的气动力学系统，设计师必须保证飞机载x,y,z几个方向上受力平衡。这就是飞机为什么需要机翼、尾翼、垂直尾翼的原因（那种像飞碟一样的无尾翼飞机设计起来是非常麻烦的）；此外，为了操控飞机，机翼上都开有活动襟翼，因此要仔细分析飞机的受力很不容易。这也是飞机设计原型为什么要进行风洞试验的原因。 1、根据谐音的方法，写出几组谐音而意思不同的词语 例如：伯努利——白努力 （）——（）（）——（）（）——（）（）——（）2、根据上文所讲述的内容看，“伯努利原理”会造成（）。
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用 67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。 伯努利方程 p+ρgh+(1/2)*ρv2=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。 相关应用 （1）等高流管中的流速与压强的关系 根据伯努利方程在水平流管中有 p+(1/2)*ρv2=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。下面就是一些实例 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。三、伯努利方程的应用： 1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
例1 某织布车间有30台自动织布机，由于检修、 上纱等各种工艺上的原因，每台织布机经常停车.设各台织布机是否停车相互独立.如果每台织布机在任一时刻停车的概率为31，试求在任一时刻里有10台织布 机停车的概率. 解 显然本例为30重伯努利试验，织布机停车的概率31=p ，故30台织布机中有10台停车的概率为 ()1020 10 3030111010.15333P C ????=-≈ ? ????? 例2 设有甲、乙两队举行对抗赛，其中甲队实力 占优.当一个甲队队员与一个乙队队员比赛时，甲队队员获胜的概率为0.6.现两队商定比赛方式，提出三种方案进行比赛： （1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人. 三种方案均以得胜人数多的一方为胜，试问对乙 队来说，哪一种方案最有利？ 解 因为不管各队出多少人，每场比赛只有两种结果，且各场比赛结果如何相互影响不大，因此可看成
相互独立，从而问题可看成是多重伯努利概型.设A ={甲队队员获胜}，则()0.6P A =，从而有： （1）双方各出3人的情况下，乙队获胜的概率为： ()()()()()()0 312013333010.60.40.60.40.3520P P C C +=+= （2）双方各出5人的情况下，乙队获胜的概率为： ()()()()()()()()()0514230 1 25555550120.60.40.60.40.60.40.3174 P P P C C C ++=++=（3）双方各出7人的情况下，乙队获胜的概率为： ()()()33777 000.60.40.2898k k k k k P k C -====∑∑ 例3 某厂自称产品的次品率不超过0.5%，经抽样检查，任抽200件产品就查出了5件次品，试问：上述的次品率是否可信？ 解 如果该厂的次品率为0.5%，若任取一件检查的结果只有两个，即次品与非次品，且每次检查的结果相互不受影响，看作是独立的，即视为伯努利概型，005.0,200==p n ，200件中恰有5件次品的概率为： ()()()5195520020050.0050.9950.00298P C =≈ 这个概率相当小，可以说在一次抽查中是不大可 能发生的，因而该厂产品的次品率不超过0.5%是不可信的，很可能次品率在0.5%以上.
伯努利原理讲解 对我们搞流体机械的很重要，此文好懂又有趣！
光德流控
伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782） 伯努利，瑞士物理学家、数学家、医学家。 他是伯努利这个数学家族（4 代 10 人）中最杰出的代表， 16 岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位， 17～20 岁又学习医学，于 1721 年获医学硕士学位，成为外科名 医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
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伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还 有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等。
实例篇——伯努利原理 丹尼尔·伯努利在 1726 年首先提出：“在水流或气流里， 如 果 速 度 小 ，压 强 就 大 ；如 果 速 度 大 ，压 强 就 小 ” 。我 们 称 之 为 “伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向 外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气 被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有 流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了 一起。 这就是“伯努利原理”原理的简单示范。
1 列车(地铁)站台的安全线 在列车（地铁）站台上都划有黄色安全线。
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这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快 速运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身 体前后会出现明显的压强差，身体后面较大的压力将把旅客推向 列车而受到伤害。
所以，在火车（或者是大货车、大巴士）飞速而来时，你绝 对不可以站在离路轨（道路）很近的地方，因为疾驶而过的火车 （汽车）对站在它旁边的人有一股很大的吸引力。
有人测定过，在火车以每小时 50 公里的速度前进时，竟有 8 公斤左右的力从身后把人推向火车。
看懂“伯努利”原理后，等地铁再也不敢跨过那条黄线了吧 （分享给身边的人哦~~）
2 船吸现象
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1 柏努利实验 一、实验目的 l 、研究流体各种形式能量之间关系及转换，加深对能量转化概念的理解; 2、深入了解柏努利方程的意义。 二、实验原理 l 、不可压缩的实验液体在导管中作稳定流动时，其机械能守恒方程式为： ∑+ + + =++ + f e h p u g z W p u g z ρ ρ 2 2 221 2 112 2 （1） 式中：u l 、u 2一分别为液体管道上游的某截面和下游某截面处的流速，m ／s ； P 1、P 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面处的压强，Pa ； z l 、z 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面中心至基准水平的垂直距离，m; ρ一流体密度，Kg ／m ； We —液体两截面之间获得的能量，J ／Kg; g 一重力加速度，m ／s 2 ； ∑h f 一流体两截面之间消耗的能量，J ／Kg 。 2、理想流体在管内稳定流动，若无外加能量和损失，则可得到： ρ ρ 2 2 221 2 112 2 p u g z p u g z + + =+ + （2） 表示1kg 理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，但各截面上每一种形式的机械能并不一定相等，但各种形式的机械能之和为常数，能量可以相互转换。 3、 流体静止，此时得到静力学方程式： ρ ρ 2 21 1p g z p g z + =+ （3） 所以流体静止状态仅为流动状态一种特殊形式。 三、实验装置及流程 试验前，先关闭试验导管出口调节阀，并将水灌满流水糟，然后开启调节阀，水由进水管送入流水槽，流经水平安装的试验导管后，试验导管排出水和溢流出来的水直接排入下水道。流体流量由试验导管出口阀控制。进水管调节阀控制溢流水槽内的溢流量，以保持槽内液面稳定，保证流动系统在整个试验过程中维持稳定流动。
伯努利方程（伯努利原理）小谈 材料科学与工程学院 材型1602 李傲奇 学号：201614020207 摘要：参考课本及网络资料，加上一些自己的理解，进行伯努利方程（伯努利原理）的介绍和推导，并运用其解释一些实际问题。 关键词：伯努利伯努利方程（伯努利原理）理想流体流体运动实际应用 正文： 一、简介：丹尼尔·伯努利，(Daniel Bernoulli 1700～1782)瑞士物理学家、数学家、医学家。1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、伦理学、医学。1721年取得医学硕士学位。伯努利在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授，1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。他一生获得过多项荣誉称号，最著名的成就为提出了伯努利方程（伯努利原理）。 二、原理内容：丹尼尔·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”：在稳定流体中，沿同一流线单位体积流体的动能，重力势能，与该处的压强之和为常量。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利原理往往被表述为p +12 ρv 2+ρgh =C （C 为常数），这个式子被称为伯努利方程。式中p 为流体中某点的压强，v 为流体该点的流速，ρ为流体密度，g 为重力加速度，h 为该点所在高度，C 是一个常量。它也可以被表述为p 1+12ρv 12+ρgh 1=p 2+12ρv 22+ρgh 2。（Ps ：需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体。） 三、推导证明：使用伯努利定律必须符合以下假设，即理想流体必须满足的条件，方可使用： ? 定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。 ? 不可压缩流:密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(M)<0.3。 ? 无摩擦流:摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。 ? 流体沿着流线流动:流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。 现有一符合上述假设的流体，如图所示： 可得如下公式---流体因受力所得的能量：12mv 22?12mv 12=12ρA 2v 2?tv 22?12 ρA 1v 1?tv 12 流体因引力做功所损失的能量：p 1A 1v 1?t ?p 2A 2v 2?t +ρgA 1v 1?t?1?ρgA 2v 2?t?2=12ρA 2v 2?tv 22?12ρA 1v 1?tv 12 流体所得的动能可以改写为：ρA 1v 1?tv 1 22+ρgA 1v 1?t?1+p 1A 1v 1?t =ρA 2v 2?tv 2 22+ρgA 2v 2?t?2+p 2A 2v 2?t 根据能量守恒定律:流体因受力所得的能量+流体因引力做功所损失的能量=流体最终所得的动能。 A 2v 2=A 1v 1=C （C 为常数） 合各式最终得到：12ρv 2+ρgh +p =C （C 为常数）即为伯努利方程。
应用举例⒈ 飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 应用举例⒉ 喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。 应用举例⒊ 汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。 应用举例⒋ 球类比赛中的＂旋转球＂具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。 应用举例⒌ 表示乒乓球的上旋球，转动轴垂直于球飞行的方向且与台面平行，球向逆时针方向旋转。在相同的条件下，上旋球比不转球的飞行弧度要低下旋球正好相反，球要向反方向旋转，受到向上的力，比不转球的飞行弧度要高。 应用举例6. 环保空调就是这个原理，一面进风，一面进水，来保持室内的温度的，环保空调又叫“水帘空调”. 应用举例7. 列车候车为啥要设定等候限距线？ 列车进站的时候速度很快，车厢附近的空气被带着也会快起来，越靠近车厢的空气流速越快，越远的地方空气流速越慢。还是根据伯努利原理，靠近车厢的地方压力小，远离车厢的地方压力大，二者之间有压力差，因此，在站台上候车，如果你靠轨道太近，就会感觉后面好像有人推你往前，很可能造成事故，其实是因
伯努利试验的推广及应用 摘要伯努利（Bernoulli）试验作为一类典型的概率模型，可以引申拓展得到多种广泛应用的概率分布模型.文章介绍了由伯努利概型拓展推广得到的两点分布，二项分布，几何分布，多项分布以及帕斯卡分布等重要分布，并介绍了这些重要分布在生产实际中的简单应用. 关键字伯努利试验；两点分布；二项分布；几何分布；多项分布；帕斯卡分布；应用 伯努利（Bernoulli）试验作为史上最早被研究的概率模型之一，它从本质上反映一类试验：具有“二值”属性的随机试验.伯努利试验的应用十分广泛，在企业产品的质量控制管理与检测，金融行业的风险预测与控制，以及生物学上的群体遗传等方面都具有尤为突出的理论地位. 若在一次随机试验中，试验的结果只有两种“成功”或者“失败”，为方便描述记为基本事件和，且，则随机试验称为伯努利试验. 1伯努利试验推广的概率分布 重伯努利试验：伯努利试验在相同条件下独立重复地进行次，即进行随机试验其中试验代表一次伯努利试验，而且任意两次试验的结果相互之间不干扰，在每次子试验中事件发生的概率不变为，则试验称为重伯努利试验. 推广的伯努利试验：在一次随机试验中，试验有种不同的两两互斥的结果，试验结果为的概率为且，则称随机试验为推广的伯努利试验. 广义重伯努利试验：随机试验需要进行次重复的伯努利试验，即随机试验，其中试验指一次伯努利试验，试验的结果由基本事件和组成，在第次伯努利试验中事件发生的概率为不发生的概率为，且，当事件发生的概率与试验序数有关时，则称随机试验为广义重伯努利试验. 由伯努利试验、重伯努利试验以及推广的伯努利试验和广义重伯努利试验不难拓展推广得到以下的概率分布. 1.1两点分布 两点分布是从一次伯努利试验中提炼出来的简单离散型概率分布。为方便随机事件发生概率的描述，在一次伯努利试验中引入随机变量，伯努利试验的结果由和组成，定义随机变量：且.只进行一次伯努利试验的随机试验满足的分布称为两点分布，即，其中.两点分布又称为伯努利分布和分布. 1.2二项分布
通俗讲解伯努利原理及其应用 当年的流体力学是那么的难学，如果有人这么给我们解释，我相信，我肯定能通过考试的。现在想起来，都是满满的回忆呀。本文从实例篇、理论篇、应用篇三个方面展开，肯定让您不虚此行。 天才/学霸/大神——伯努利 伯努利 （Daniel Bernouli,1700～1782） 伯努利，瑞士物理学家、数学家、医学家。他是伯努利这个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位，17～20岁又学习医学，于1721年获医学硕士学位，成为外科名医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等。 实例篇——伯努利原理 丹尼尔·伯努利在1726年首先提出：“在水流或气流里，如果速度小，压强就大；如果速度大，压强就小”。我们称之为“伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了一起。这就是“伯努利原理”原理的简单示范。
列车(地铁)站台的安全线 在列车（地铁）站台上都划有黄色安全线。这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快速运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后会出现明显的压强差，身体后面较大的压力将把旅客推向列车而受到伤害。 所以，在火车（或者是大货车、大巴士）飞速而来时，你绝对不可以站在离路轨（道路）很近的地方，因为疾驶而过的火车（汽车）对站在它旁边的人有一股很大的吸引力。有人测定过，在火车以每小时50公里的速度前进时，竟有8公斤左右的力从身后把人推向火车。 看懂“伯努利”原理后，等地铁再也不敢跨过那条黄线了吧（分享给身边的人哦~~） 2
第五章补充内容：伯努利概型 设随机试验只有A 和A 两种可能的结果，则称这样的试验为伯努利(Bernoulli)试验. 记 (),()1(01,1)P A p P A p q p p q ==-=<<+= 将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行n 次，称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验，或简称为伯努利概型(Bernoulli probability model). n 重伯努利试验是一种很重要的概率模型，在实际问题中具有广泛的应用.其特点是：事件A 在每次试验中发生的概率均为p ，且不受其它各次试验中A 是否发生的影响. 定理（伯努利定理） 设在一次试验中，事件A 发生的概率为p (0
烟囱的流体力学解释 烟囱根部的吸力靠烟囱内热废气的浮力产生，猜想与烟囱高度有关。烟囱结构示意图如图1所示。 此问题可以用流体力学中的伯努利方程近似地去解决。首先空气和废气可看做是理想流体、不可压缩流体，质量力为重力，流动参数不随时间变化为定常流动并且是沿流线的一维流动，所以符合伯努利方程的应用条件。 首先取烟囱底部1-1截面和烟囱顶部2-2截面作为研究对象分析，废气从底部流向顶部的伯努利方程为： 2211221222V p V p gz gz ρρ ++=++ （1）
其中，V1和V2为烟气速度，z1和z2为两截面高度，p1和p2为两截面处烟气的压强，ρ为烟气密度。 接着研究烟囱外空气，烟囱外空气可看做静止，V=0，列出伯努利方程： ' '1212=p p z g z g ρρ++空空 （2） 其中，p1`和p2`是两处空气压强，ρ空 为空气密度，且由于烟气温度高，体积膨胀，空气密度大于烟气密度。 由（2）式减去（1）式得： ()()()()22''12221121()2V V p p p p g z z ρρρ----=--+空 （3） 方程左侧为两截面处的压强差的差值即烟囱的吸力，右侧空气密度减去烟气密度大于零，V1和V2可在不考虑烟囱及烟道尺寸变化时近似看做相等，因此可得出一个结论：烟囱的吸力大小近似正比于高度差。 提高烟囱高度可有效提高烟囱拔火力。 参考文献 [1] 归柯庭，汪军，王秋颖.工程流体力学.北京:科学出版社，2010. [2] 薛永生.烟道温度与烟囱吸力关系的讨论.科技风，2013（17）. 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word 文本 --------------------- 方便更改
伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程 发展和原理 应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z 1+g p ρ1+g v 2121α=z 2+g p ρ2+g v 2222α+h w 总 流 伯 努 利 方 程 的 物 理 意 义 和 几 何 意 义 ：
Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； g p ρ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； g 2v 2 α----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子： ※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。内文丘里管由一圆形测量管和置入测量管内并与测量管同轴的特型芯体所构成。特型芯体的径向外表面具有与经典文丘里管内表面相似的几何廓形，并与测量管内表面之间构成一个异径环形过流缝隙。流体流经内文丘里管的节流过程同流体流经经典文丘里管、环形孔板的节流过程基本相似。内文丘里管的这种结构特点，使之在使用过程中不存在类似孔板节流件的锐缘磨蚀与积污问题，并能对节流前管内流体速度分布梯度及可能存在的各种非轴对
工程流体力学 综合报告 学院：机械工程学院专业：机械工程 班级： 学号： 学生姓名： 任课老师： 提交日期：2017年12月27 日
关于伯努利方程的应用 摘要 “伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程公式及原理应用流体力学 1 伯努利方程 伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。 需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体 1.1 流线上的伯努利方程 流线上的伯努利方程：
适于理想流体（不存在摩擦阻力）。式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ ）。 1.2 总流的伯努利方程 总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。管中水流多数也属于这种情况，此时总流与流线上的伯努利方程形式上无区别。 g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++g V g p z g V g p z C g v g p z 222222221112++=++=++ρρρ
伯努利原理 丹尼尔·伯努利在1726年首先提出：“在水流或气流里，如果速度小，压强就大；如果速度大，压强就小。”我们将它称之为“伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往中间吹气，会发现纸不但不会向外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了一起。这就是“伯努利原理”原理的简单示范。 1912年秋天，“奥林匹克”号轮船正在大海上航行，距离它100米处，有一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号正在向前疾驶，两艘船靠得比较近，平行着驶向前方。忽然，正在疾驶中的“豪克”号仿佛被大船吸引似地一头向“奥林匹克”号撞去。最后，“豪克”号的船头撞在“奥林匹克”号的船舷上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故。 究竟是什么原因造成了这次意外的船祸？在当时，谁也说不上来。直到后来人们才明白，这次海面上的飞来横祸，是“伯努利原理”现象。我们知道，根据流体力学的“伯努利原理”，流体的压强与它的流速有关，流速越大，压强越小；反之亦然。用这个原理来审视这次事故，就不难找出事故的原因了。 原来，当两艘船平行着向前航行时，在两艘船中间的水比外侧的水流得快，中间水对两船内侧的压强，也就比外侧对两船外侧的压强要小。于是，在外侧水的压力作用下，两船渐渐靠近，最后相撞。又由于“豪克”号较小，在同样大小压力的作用下，它向两船中间靠拢时速度要快的多。因此，造成了“豪克”号撞击“奥林匹克”号的事故。现在航海上把这种现象称为“船吸现象”。 当我们用洗衣机洗衣服时，衣裤兜常常被“莫名其妙”地翻转过来，这是为什么呢?其实，这也是有关于伯努利原理。洗衣机滚动时，衣裤兜口在外面，直接接触翻滚水流，速度较大；而兜底处在里头，水流速度较小；这样，兜底处的压强就比兜口附近的大。随着洗衣机反复转动，这种压力差就驱使水流从兜底一次次冲向兜口而最终“翻兜”。 伯努利原理在现代科技上也有应用。科学家们设计的飞机机翼截面，大致呈流线型。因为伯努利效应，飞机飞行时就得到了升力。当飞机速度足够大时，这个升力就会大于飞机的重量。当飞机起飞时，通常要逆风飞行，这样，就可以使飞机获得速度相对较大的气流，使机翼产生更大的升力，从而缩短起飞的距离。 由此可见，伯努利现象在我们生活中无处不在，且在科技中也有着广泛的应用。
1.开场： 那么今天啊大家相聚在这里呢，咱们一起来聊一聊，有关于啊。咱们在家中就可以玩儿的。科学小实验。在家庭当中，就利用身边的很多很多的一些个。利用家中小的设备和小的物品也是可以成为一名小小的科学家的。 2.吹风机的日常用途和使用安全问题。（提问互动） 3.尝试与猜测： 我的问题很简单，如果我连图片都不给大家提示的情况下，大家准备好吹风机，准备好小乒乓球儿。一会儿把电源打开，把这个小乒乓球儿放在风口的上方的时候有哪几种可能？先稍微试一下。你一只手啊，拿着吹风机，吹风机的风口一定要竖直向上，第二个把小乒乓球儿放上风口。 有哪些可能我给你三个问题提示答案吧。 第一、球掉下去了，你说有没有这个可能？太有可能了，小球儿挺轻的，是不是有的同学会有这种猜测？ 第二、我这个风啊。吹的就是比他大，那你说这乒乓球就是被这个风吹跑了，有没有可能完全有可能 第三、球没跑，没掉下去，你说还有什么可能吗？ A是掉下去。B是浮浮着浮上去，C才是悬浮，你们ABC你们选哪个？ 现在这个同学们做的实验，真的太棒了，大家一边儿发咱们一边儿往下讨论。 4.倾斜一点儿点儿的时候，儿是掉还是不掉？同学们可能陆续尝试一下，也能够把这个答案。 一会儿唐老师就要在这个群里发一下儿我做的实验视频，给大家公布一下答案。注意让这个小球儿不断的抖动起来，跳动起来，不动起来，这都可以，你想想办法。不借助其他更多的东西。你就用吹风机，小乒乓球时你可以用手啊，你可以用你身上的肢体，但是大家一定要注意安全。 我们还可以让你小球儿5.跳舞呢，你相信吗？就给大家提示到这儿，我们看一下谁能够做成功，我等你们一分钟的时间，你看怎么样？ 把小球儿的上方用手指。张牙舞爪的状态的时候，扣在我们乒乓球上，你看看是不是可以成功。我们的球儿顺利地抖动起来，颤抖起来了，好像有了生命。 我给大家使用一个方法，很简单，张牙舞爪，是啊，大家可以记住啊。所以今天的悬空魔球儿。是一组实验，就是用我们简单的吹风机架小乒乓球儿倾斜，也不掉，然后我们把手打开之后。这个吹风机呀，还能让它跳动起来，那我们不禁要思考的。 怎么一个简直简单的俩人儿东西就能够给我们体现出来，这样的试验效果。同学们在课后，今天讲完课之后，你稍微试试你把你那个。球儿换掉不用圆的，你来一个跟球差不多大 小的来一块儿6.方形橡皮泥。 那你来个方法，你来个三角锥体的橡皮泥。跟球儿跟你那个乒乓球儿大小差不多，重量差不多，你猜猜你往上放一下试试他们掉你不掉。过几天可以给我结果啊，你橡皮泥捏会儿，咱们今天主要讨论这个实验好玩儿吗？我光交给你们，你们觉得有意思吗？咱们作为一个科学实验爱好者呀，同学们。咱不能说，只去了解。 这个现象就完了，咱们是不是得了解这个科学背后的7.原理，为什么这么回事儿啊。其实啊。这个现象，很多同学在科技馆玩儿过。但是你要知道，其实在我们百年以前呀，咱