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相似三角形难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H，过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG．设点 D 运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求 t 的值．
（1）当 x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能说明理由．
2. 如图，在△ ABC 中， ABC ＝ 90°， AB=6m， BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动．同时，动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为 t 秒．（1）①当 t=2.5s 时，求△CPQ 的面积； ②求△CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值．
5.如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ， BC=6cm ，点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动．如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。（1）当 t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45°，求这个正比例函数的表达式． 3.如图 1，在 Rt△ABC 中， ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E，EM ⊥BD，垂足为 M，EN⊥CD，垂足为 N．（1）当 AD＝CD 时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？
7.在△ABC 中，AB= ，AC=4， BC=2，以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长． 4.如图所示，在△ABC 中，BA＝ BC＝20cm，AC＝30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时， Q 点随之停止运动．设运动的时间为 x．

8.在△ABC 中， AC=BC， ∠ACB=90°，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．
求证：
13.在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E 为 AD 边上的任意一点，EF∥AB，且 EF 交 BC 于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1) 当 9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E．那么 D 点的坐标为（） EF= (3) 当；时，时， EF= ； (2) 当时，
A. B. C. D. 10..已知，如图，直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A、B 两点．以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 1﹕2。求 C、D 两点的坐标。
EF= ．当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明．
三、构造相似辅助线 ——A、X 字型 11.如图：△ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。求证：
14.已知：如图，在 △ABC 中， M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上的两点，且 BE＝EF ＝FC。求 BN：NQ：QM．
12.四边形 ABCD 中， AC 为 AB、 AD 的比例中项，且 AC 平分 ∠DAB。

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
19.已知，在△ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a．求证：．
四、相似类定值问题 16.如图，在等边△ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点，D 为 MN 上任意一点，BD、CD 的延长线分别交 AC、AB 于点 E、F．求证：．
17.已知：如图，梯形 ABCD 中，AB//DC，对角线 AC、BD 交于 O，过 O 作 EF//AB 分别交 AD、BC 于 E、F。求证：．
五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图 1，点在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交于点．求证：（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形 ABCD 的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明）；
18.如图，在△ABC 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH 的四个顶点分别在△ABC 上。求证：．

23.已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H. 求证：
21.已知：如图， △ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF ．
24.已知，如图，锐角△ABC 中， AD⊥BC 于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在 AD 上有一点 P，且∠BPC 为直角．求证： PD2＝AD·DH 。
六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高， E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。 22.如图，已知ΔABC 中，AD，BF 分别为 BC，AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于 H。求证： DE2=EG?EH 求证：

26 如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DH⊥BM 且与 AC 的延长线交于点 E. 求证：（1）△AED∽△CBM；（2）
27.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D， E 是 AC 的中点， ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F. （1）求证： . （2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由.
七、相似基本模型应用 30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°， △DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图 2，将△DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
28.如图，四边形 ABCD、 DEFG 都是正方形，连接 AE、 CG,AE 与 CG 相交于点 M ， CG 与 AD 相交于点 N ．求证：．
29.如图，BD、CE 分别是△ ABC 的两边上的高，过 D 作 DG⊥BC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H。求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH
31.如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q．（ 1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；（2）求 BP：PQ：QR．

答案：1.答案：解：（1）∵ ∠ACB=90°，AC=3，BC=4 ∴AB=5 又∵AD=AB，AD=5t ∴t=1，此时 CE=3， ∴DE=3+3-5=1 32.如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于 F。求证：（2）如图当点 D 在点 E 左侧，即：0≦t≦ DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG 与△ACB 相似，有两种情况： ①△DEG∽△ACB，此时即：，求得：t= ；，；，时，
②△DEG∽△BCA，此时即：，求得：t=
如图，当点 D 在点 E 右侧，即： t> DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG 与△ACB 相似，有两种情况： ③△DEG∽△ACB，此时即：，求得：t= ；，．，
时，
④△DEG∽△BCA，此时即：，求得：t=
综上，t 的值为或或或． 3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD ∴∠A=∠ACD ∵DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E ∴∠CDE=∠BDE ∵∠CDB 为△CDB 的一个外角

∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD ∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE ∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （2）①∠NCE=∠MBE ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△CNE，如图
解得：（2）能，AP= cm 或 AP=20cm ，即（舍）
①△APQ∽△CBQ，则解得：此时：AP= 或 cm
②△APQ∽△CQB，则 ∵∠NCE=∠MBE ∴BD=CD 又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90° ∴∠ACD=∠A ∴AD=CD ∴AD=BD= AB ∵在 Rt△ABC 中， ACB＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10 ∴AD=5 ②∠NCE=∠MEB ∵EM⊥BD，EN⊥CD， ∴△BME∽△ENC，如图解得：此时：AP= （符合题意） cm
，即
故 AP= cm 或 20cm 时，△APQ 与△CQB 能相似． 5.答案：解：设运动时间为 t，则 DQ=t， AQ=6-t， AP=2t， BP=12-2t．（1）若△QAP 为等腰直角三角形，则 AQ=AP，即： 6-t=2t，t=2（符合题意） ∴t=2 时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90° ①当△QAP∽△ABC 时，解得：（符合题意）；，即：，，即：，
②当△PAQ∽△ABC 时，解得： ∵∠NCE=∠MEB ∴EM∥CD ∴CD⊥AB ∵在 Rt△ABC 中， ACB＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10 ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB ∴△ACD∽△ABC ∴ ∴ 综上：AD=5 或时，△BME 与△CNE 相似． 4. 答案：解（ 1 ）由题意： AP=4x ， CQ=3x ， AQ=30-3x ，（符合题意）．
∴ 当或时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似． 6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限
过点 A 作 AB⊥OA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ＝90°
当 PQ∥BC 时，
，即：
∴

∵A（2，1），＝45° ∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D 点坐标为（2，3） ∴B 点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限
情形二：
过点 A 作 AB⊥OA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45° ∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB ∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2 ∴D 点坐标为（3，1） ∴B 点坐标为（3，﹣1） ∴此时正比例函数表达式为：y＝ x ＝90°
情形三：
7.答案：解：情形一：
8.答案：证明：方法一：连接 PC，过点 P 作 PD⊥AC 于 D，则 PD//BC 根据折叠可知 MN⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM

∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC∽MCN ∴MC：CN=PD：DC ∵PD=DA ∴MC：CN=DA：DC ∵PD//BC ∴DA：DC=PA：PB ∴MC：CN=PA：PB 10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G，过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F，交 GC 的延长线于 E。 ∵直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A、B 两点 ∴A（1,0），B（0,2）方法二：如图，过 M 作 MD⊥AB 于 D，过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直模型，可以推知 △ PMD ∽ NPE ，则，根据等比性质可知 PM=CM，PN=CN， ∴MC：CN=PA：PB 9.答案：A ，而 MD=DA， NE=EB， ∴OA=1，OB=2，AB= ∵AB：BC=1:2 ∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90° ∴∠CBG=∠BAO 又∵∠CGB=∠BOA=90° ∴△OAB∽△GBC ∴ ∴GB=2，GC=4 ∴GO=4 ∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO，得 ∴DF=2，AF=4 ∴OF=5 ∴D（5,2） 11.答案：证明：（方法一）如图解题思路：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 M，交 x 轴于点 N，则∠M=∠DNA=90°，由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，又由 B（1，3） ∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90° ∴ ∠1+∠2=90° ∵ ∠DNA=90° ∴ ∠3+∠2=90° ∴ ∠1=∠3 ∴ △DMC∽△AND， ∴ 设 CM=x，则 DN=3x，AN=1＋x，DM＝ ∴3x＋ ∴x＝＝3 ∴ ∵CM=AB，AD=AC ∴ ，则。答案为 A
延长 AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CM ∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴ △BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM ∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF ∴△MCF∽△ADF
∴

（方法二）过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF ∴ ， ∵AD=AC，BE=CE ∴
证明：过点 E 作 PQ∥BC 分别交 BA 延长线和 DC 于点 P 和点 Q ∵AB∥CD，PQ∥BC ∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形 ∴PB＝EF＝CQ，又∵AB＝b，CD＝a ∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF ∴ ∴
12.答案：证明：过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延长线于点 F，则∠2=∠3 ∵AC 平分∠DAB ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AD=DF ∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3 ∴△BEA∽△DEF ∴ ∵AD=DF ∴ ∵AC 为 AB、AD 的比例中项 ∴ 即又∵∠1=∠2 ∴△ACD∽△ABC ∴
14.答案：解：连接 MF ∵M 是 AC 的中点，EF＝FC ∴MF∥AE 且 MF＝ AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝ BE：BF＝NE：MF ∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设 NE＝x，则 MF＝2x，AE＝4x ∴AN ＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF ＝3:2 ∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM ＝5:3:2
∴
∴ 13.答案：解：
15.答案：证明：（1）如图 1，AD、BE 为△ABC 的中线，且 AD、BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE，交 AD 的延长线于点 F ∵CF∥BE 且 E 为 AC 中点 ∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE ∵∠EAO＝∠CAF ∴△AEO∽△ACF ∴

∵D 为 BC 的中点，∠ODB＝∠FDC ∴△BOD≌△CFD ∴BO＝CF ∴ ∴ 同理，可证另外两条中线 ∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
∴ ∴
，
∵DP＝DQ＝PQ＝ ∴ AB（
BC＝）＝
AB
∴ 17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC ∴EF//DC ∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA ∴ ∴ （2）如图 2，AD 为△ABC 的角平分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD 的延长线于 E 则∠BAD=∠E ∵AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠E=∠CAD ∴AC＝CE ∵CE∥AB ∴△BAD∽△CED ∴ ∴ ∴ 18.答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB ∴ ， ∵ ， ∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB ∴ ∵EF＝EH ∴ ∴ 19.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC ∴ ， ∵ ， ∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC ∴ ∴ ∵EF＝DE＝a ∴ 20.答案：（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS ∴△DRP∽△BSP ∴ 同理由 AB∥CD 可证△PTD∽△PQB ，，，
16.答案：证明：如图，作 DP∥AB，DQ∥AC 则四边形 MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形 ∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ ∵M、N 分别是边 AB，AC 的中点 ∴MN＝ BC＝PQ ∵DP∥AB，DQ∥AC ∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC

∵ ∴ ∴ ∴ （2）证明：成立，理由如下：在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS ∴△DRP∽△BSP ∴ 同理由 AB∥CD 可证△PTD∽△PQB ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴△BEG∽△HEA ∴ ∴ 23. ＝答
＝90°且
案
∴DE2=EG•EH ：证明
：
∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6 ∴△PAH∽△PCG ∴ 又∵∠3=∠4 ∴△APE∽△CPF ∴
21.答案：证明: ∵AB＝AC，AD 是中线， ∴AD⊥BC,BP=CP ∴∠1=∠2 又∵∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4 ∵CF∥AB ∴∠3=∠F,∠4=∠F 又∵∠EPC=∠CPF ∴△EPC∽△CPF ∴ ∴BP2＝PE·PF 即证所求 22.答案：证明：∵DE⊥AB ∴ ＝90° ∵ ＝90° ∴ ∵ ∴△ADE∽△DBE ∴ ∴DE2= ∵BF⊥AC ∴ ＝90°
∴ 24.答案：证明：如图，连接 BH 交 AC 于点 E，
∵H 为垂心 ∴BE⊥AC ∴∠EBC+∠BCA=90° ∵AD⊥BC 于 D ∴∠DAC+∠BCA=90° ∴∠EBC=∠DAC 又∠BDH=∠ADC=90° ∴△BDH∽△ADC
∴ ，即 ∵∠ BPC 为直角，AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝

AD·DH 25.答案：证明：∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点 ∴CE=EB=DE ∴∠B=∠BDE=∠FDA ∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90° ∴∠B=∠ACD ∴∠FDA=∠ACD ∵∠F=∠F ∴△FDA∽△FCD ∴ ∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD ∴△ACD∽△CBD ∴ ∴ 即 26.答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90° ∴∠A＋∠ACD＝90° ∠BCM＋∠ACD＝90° ∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD ∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH ∴∠ADE＝∠CMB ∴△AED∽△CBM （2）由上问可知：故只需证明 ∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC ∴△ACD∽△ABC ∴ ∴ 27.答案：（1）将结论写成比例的形式，，可以考虑证明△FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F） Rt△ACD 中，E 是 AC 的中点 ∴DE=AE ∴∠A=∠ADE ∵∠ADE=∠FDB ∴∠A=∠FDB 而∠A+∠ACD=90° ∠FCD+∠ACD=90° ∴∠A=∠FCD ∴∠FCD=∠FDB 而∠F=∠F ∴△FBD∽△FDC ∴ ，即，即即可
∴ （2）判断：GD 与 EF 垂直 Rt△ CDB 中，G 是 BC 的中点， ∴GD＝GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB （1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90° ∴GD⊥EF 28.答案：证明：由四边形 ABCD、DEFG 都是正方形可知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中
∴ ≌ 则∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND ∴△ANM∽△CND 则 ∴ 29.答案：证明：找模型。（1）△BCD、△BDG，△CDG 构成母子型相似。∴△ BDG∽△DCG ∴ ∴DG2＝BG·CG （2）分析：将等积式转化为比例式。 BG·CG＝GF·GH ∵ ∠ GFC= ∠ EFH ，而 ∠ EFH+ ∠ H=90 ° ， ∠ GFC+ ∠ FCG=90° ∴∠H=∠FCG 而∠HGB=∠CGF=90° ∴△HBG∽△CFG ∴ ∴BG·CG＝GF·GH． 30.答案：（1）证明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45° ＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC＝∠EMB 又∵∠B= ∠C ∴△BEM∽△CNE （2）△COE∽△EON 证明：∵ ∠OEN=∠C＝45°，∠COE＝∠EON ∴△COE∽△EON 31. 答案：解：（1）△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR， △ABP∽△CQP，△DQR∽△ABP （2）∵AC∥DE ∴△BCP∽△BER ∴ ∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形 ∴AD=BC，AD=CE ∴BC=CE，即点 C 为 BE 的中点 ∴ 又∵AC∥DE ∴△CQP∽△DQR

∴ ∵点 R 为 DE 的中点 ∴DR=RE ∴ 综上：BP：PQ：QR＝3：1：2
32.答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB ∴△ADB∽△AED ∴ ∴AD2＝AE AB 同理可证：AD2＝AF AC ∴AE AB＝AF AC
反比例函数典型例题 1、（2011?宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在
2 反比例函数 y= x （x＞0）的图象上，顶点 A1、B1 分
别在 x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形
2 P2P3A2B2，顶点 P3 在反比例函数 y= x （x＞0）的图
象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 P2 点的坐标为 ___________，则点 P3 的坐标为__________。
答案： P2 （2， 1） P2

（ 3 +1， 3 -1）
4 答案：（1） y= x
( 5 ?1 , 5 -1 )
(2)
3 6 4、两个反比例函数 y= x ，y= x 在第一象限内的图象
如图所示，点 P1、P2 在反比例函数图象上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点
3 N，若点 N（m，n）恰好在 y= x 的图象上，则 NP1 与
NP2 的乘积是______。答案：3
答案：3 （2007?泰安）已知三点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），
k P3（1，-2）都在反比例函数 y= x 的图象上，若 x1
＜0，x2＞0，则下列式子正确的是（ A．y1＜y2＜0 2、已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两个实数根的倒数和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）x2+3x-2a=0 有实根，且 k 为正整数，正方形 ABP1P2 的顶点 P1、 P2 在反比例函数 B．y1＜0＜y2 ）答案：D C．y1＞y2＞0
1 如图，已知反比例函数 y= x 的图象上有点 P，过 P 点
分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，使四边形 OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点 P1，过点 P1 分别作 BP 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A1、 B1，使四边形 BA1P1B1 为正方形，则点 P1 的坐标是 ________。
k ?1 y= x （x＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴
的正半轴上，求点 P2 的坐标．
6 答案：（2， 1）或（ 6， 2 ）
3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC 的边长为 2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标．
答案：
? 5 ? 1 5 -1 ? ? ? ? 2 ，2 ? ? ?
1 在反比例函数 y= x （x＞0）的图象上，有一系列点
P1、P2、P3、?、Pn，若 P1 的横坐标为 2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 2．现分别过点 P1、P2、P3、?、Pn 作 x 轴与 y 轴的垂线段，

构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 S1、S2、S3、?、Sn，则 S1+S2+S3+? +S2010=________。
答案：1 如图，四边形 ABCD 为正方形，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y
k 轴上，且 OA=2，OB=4，反比例函数 y= x (k≠0)在第一象
限的图象经过正方形的顶点 D．求反比例函数的关系式；将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移_____个单位长度时，点C 恰好落在反比例函数的图象上．
4 8 两个反比例函数 y= x ，y=- x 的图象在第一象限，第 4 二象限如图，点 P1、P2、P3?P2010 在 y= x 的图象
12 y? x 答案：（1）
上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列 1， 3， 5，7，9，11，?，过点 P1、P2、P3、?、P2010 分（2）
2 如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、?均为等腰
8 别作 x 轴的平行线，与 y=- x 的图象交点依次是 Q1、
Q2 、 Q3 、 ? 、 Q2010 ，则点 Q2010 的横坐标是 ______________。
4 直角三角形，直角顶点 P1、P2、P3、?在函数 y= x （x
＞0）图象上，点 A1、A2、A3、?在 x 轴的正半轴上，则点 P2010 的横坐标为________________。
答案：-8038
答
案
：如图所示，正方形 OABC，ADEF 的顶点 A，D，C 在坐
2 2010? 2 2011
1 标轴上；点 FAB 上，点 B，E 在反比例函数 y= x （x
＞0）的图象上．正方形 MNPB 中心为原点 O，且 NP∥BM，求正方形 MNPB 面积．求点 E 的坐标．答案：（1）正方形 MNPB 面积=4×正方形 OABC 的面积

=4×1×1=4
? 5 ? 1 5 -1 ? ? ? ? 2 ，2 ? ? （2） ?
答案 A
(2011 十堰）如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点
k E，双曲线 y= x （k＞0）经过 A，E 两点，若平行四边形
AOBC 的面积为 24，则 k=________。答案：8
如图，已知点 A 的坐标为（ 3 ，3），AB 丄 x 轴，垂
k 足为 B，连接 OA，反比例函数 y= x （k＞0）的图象
与线段 OA、AB 分别交于点 C、D．若 AB=3BD，以点 C
5 为圆心，CA 的 4 倍的长为半径作圆，则该圆与 x 轴
的位置关系是________。（填”相离” ， “相切”或“相交“）．
k 如图，梯形 AOBC 中，对角线交于点 E，双曲线 y= x （k
＞0）经过 A、E 两点，若 AC：OB=1：3，梯形 AOBC 面积为 24，则 k=（）
108 7
35 B、 2
65 C、 4
27 D、 2
答案：相交 14、(2011?武汉)如图，?ABCD 的顶点 A、B 的坐标分
k 别是 A（-1，0），B（0，-2），顶点 C、D 在双曲线 y= x
上，边 AD 交 y 轴于点 E，且四边形 BCDE 的面积是△ ABE 面积的 5 倍，则 k=_______。

答案：12 解：如图，过 C、D 两点作 x 轴的垂线，垂足为 F、G，DG 交 BC 于 M 点，过 C 点作 CH ⊥ DG ，垂足为 H ， ∵ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC， ∵BO∥DG，∴∠OBC=∠GDE，∴∠HDC=∠ABO，∴△CDH≌ △ ABO （ ASA ）， ∴CH=AO=1，DH=OB=2，设 C（m+1，n），D（m，n+2），则（m+1）n=m（n+2）=k，解得 n=2m，则 D 的坐标是（m， 2m+2），设直线 AD 解析式为 y=ax+b，将 A、D 两点坐标代入得
?
?a ?b?0① ma?b?2m?2②
,
由①得： a=b，代入②得： mb+b=2m+2，即b （m+1） =2 （m+1），解得 b=2，∴a=b=2
1 ∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，∴S△ABE= 2 ×BE×AO=2， 1 ∵S 四边形 BCDE=5S△ABE=5× 2 ×4×1=10， ∴S△ABE+S
四边形 BEDM=10，即 2+4×m=10，解得 m=2，∴n=2m=4， ∴ k= （ m+1 ） n=3 × 4=12 ．

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：△CDF ∽△BGF ；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ．求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点．（1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．

史上最全!!!!相似三角形难题精选

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.

相似三角形经典大题(含答案)

相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边E F 上的高为1h ，则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2 912248 y x x =-+-，取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1

相似三角形证明题精选

1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. E A A B P D C 相似三角形证明专题训练 1、已知:如图,DE ∥BC,AF ∶FB=AG ∶GE 。求证:ΔAFG ∽ΔAED 。 2、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证:ΔAEF ∽ΔACB. 3、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD 的长 4、已知，如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点，△ADQ 与△QCP 是否相似？为什么？ 5、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。 6、如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、 AC E F AF AD BE BD 于、。则吗？说说你的理由。= 7、如图，在⊿ABC （AB >AC ）的边AB 上取一点，在边AC 上取一点E ，使AD=AE ，直线 DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP ：CP=BD ：CE 8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥AB ，AD 交于点E ，DC ⊥BC ，与AD 交于点D ．求证：AC 2＝AE ·AD ． 9、已知：如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 边的中点， ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：△AFD ∽△DFB ． 10、已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AC 于点O ，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，求证：AO 2＝OE · OF ． 11、己知:如图,AB ∥CD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC 2=GF ·GD. 12、已知:如图,ΔABC 中,∠ACB=900,F 为AB 的中点,EF ⊥AB.求证:ΔCDF ∽ΔECF. 13、已知:如图,DE ∥BC,AD 2=AF ·AB 。求证:ΔAEF ∽ΔACD 。 14、已知:如图,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC.求证:AB ·BC=AC ·CD. 15、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD. 16、已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:ΔDBE ∽ΔABC. 17、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即AE = 3 1 AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF = FB 18、如图，∠B=900，AB=BE=EF=FC=1。求证：ΔAEF ∽ΔCEA. 19、如图，在梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC 。（1）△ABD 与△DCB 相似吗？请说明理由。（2）如果AD=4，BC=9，求BD 的长。 20、已知:如图，在△PAB 中,∠APB=120O ,M 、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形。求证: BM ·PA=PN ·BP 21、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长. 22、已知:如图,ΔABC 中,∠ACB=900,F 为AB 的中点,EF ⊥AB.求证:ΔCDF ∽ΔECF. 23、如图：三角形ABC 是一快锐角三角形余料，边BC ＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ 24、已知：如图：FGHI 为矩形，AD ⊥BC 于D ，9 5 =GH FG ，BC ＝36cm,AD ＝12cm 。求：矩形FGNI 的周长。 25、如图ABC ?中，边BC=60，高AD=40，EFGH 是内接矩形，HG 交AD 于P ，设HE=x, ⑴求矩形EFGH 的周长y 与x 的函数关系式； ⑵求矩形EFGH 的面积S 与x 的函数关系式。 26、已知：如图18—98，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．(8分) 27、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,DM ⊥CE,AB=6,求DM 的长。 28、已知:如图，在△PAB 中,∠APB=120O ,M 、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形。求证: BM ·PA=PN ·BP 29、己知:如图,AD 是ΔABC 的角平分线,EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F.求证:FD 2=FB ·FC. [提示:连结AF] 30、已知:如图,ΔABC 中,∠ACB=900,CD ⊥AB,DE ⊥BC,AC=6,DE=4,求CD 和AB 的长 31、如图，已知△ABC 中，D 为BC 中点，AD=AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 交于E ，EC 与AD 相交于点F ，△ABC 与△FCD 相似吗？请说明理由； 32、已知：如图所示，D 是AC 上一点，BE//AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2。则BF 是FG 、EF 的比例中项吗？请说明理由 33、如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点E 、F 在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF ∽BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE=2S. 34、如图，在中,过点B 作BE ⊥CD,垂足为E,连结AE,F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下, 若AD=3,求BF 的长. 35、如图,已知点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点,且∠BAC= ∠BDC=∠DAE.（1）求证:BE ·AD=CD ·AE ；（2）根据图形特点,猜想BC DE 可能等于哪两条线段的比（只需写出图A D E B B C D A E C D A F E O B C D A E F 45A E F B C A C E F D B

相似三角形经典证明题解析

相似三角形经典证明题 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？

2．如图，已知直线128:33 l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

3．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ N

相似三角形解答题难题含答案个人精心整理

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线 AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值．点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥ BC？（2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积； ② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t 的值． 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿 AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。（1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E， EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1），正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB= ，AC=4， BC=2，以AB 为边在 C点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形， 4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ，

相似三角形经典题集锦

相似三角形经典题集锦姓名 1、（开放题）如图l －4－31，已知Rt △ABC 与Rt △ DEF 不相似，其中∠C 、∠F 为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC 分成的两个三角形与ADEF 所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案． 2、(探究题）如图l －4－32，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动，设运动的时间为x. ⑴当x 为何值时，PQ ∥BC ？ ⑵当P 13BCQ B Q AB C ABC S S S S ????=时，求的值。 ⑶ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长，若不能，请说明理由． 3、如图，在yABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且 ∠BFE ＝∠C ．⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ； ⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE 的长； ⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF 的长. 4、如图，Rt 三角形ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能经过B 、C ），过D 作∠ADE=45度，DE 交AC 于E 。（1）图中有无与三角形ABD 一定相似的三角形，若有，请指出来并加以说明（2）设BD=x,AE=y,求y 与x 的函数关系，并写出其定义域；（3）若三角形ADE 恰为等腰三角形，求AE 的长

5、已知：∠A=90°，矩形DGFE 的D 、E 分别在AB 、AC 上，G 、F 在BC 上（1）如果DGFE 为正方形，BG=22，FC=2，求正方形DGFE 的边长；（2）若AB=12cm,AC=5cm ，DGFE 的面积为 y 平方厘米,写出y 关于x 的函数解析式，并求由矩形面积为10平方厘米时, 求AD 的长 6、如图，矩形EFGD 的边EF 在ABC ?的BC 边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知5AB AC ==，6BC =，设BE x =，EFGD S y =矩形．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）联结EG ，当GEC ?为等腰三角形时，求y 的值． 7、在Rt ABC ?中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点, 且CE =1 3AC ,BF =1 3BC . (1 )求证∶AC BC =CD BD . (2 )求EDF ∠的度数. F E D C B A A D G B E F C

全等相似三角形证明经典50题与相似三角形

2016专题：《全等三角形证明》 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 4. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 A C D E F 2 1 D A B

5.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 6.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 7.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．D C B A F E A B C D

8.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA

9.已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 10.如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 11.如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

12.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 13.如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。 14.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 15.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

相似三角形经典的题目型

实用标准文案精彩文档相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段 b a,的长度分别为n m,，那么就说这两条线段的比是 n m b a ，或写成n m b a ::．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b ． ②()a c a b c d b d 在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即a b b d ：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2 b ad 。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC ，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC ，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5≈0.618AB ．即 512 AC BC AB AC 简记为： 51 2 长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为 0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a ::；②2 ::a b b c b a c ．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad ，除了可化为d c b a ::，还可化为d b c a ::，b a d c ::，c a d b ::，c d a b ::，b d a c ::，a b c d ::，a c b d ::．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c ．

全等三角形相似三角形证明(中难度题型)

全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A

10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A

初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

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初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0

(完整版)相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1）又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2）由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2）由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。【解题技巧点拨】

相似三角形难题集锦

相似三角形 1.如图，在△中，∠90°，3，4，过点B作射线1∥．动点D从点A出发沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒3 个单位的速度运动．过点D作⊥于H，过点E作⊥交射线1于F，G 是中点，连接．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，，并求出此时的长度；（2）当△与△相似时，求t的值． 2.如图，在△中，＝90°，6m，8m，动点P以2的速度从A点出发，沿向点C移动．同时，动点Q以1的速度从C点出发，沿向点 B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当2.5s时，求△的面积；②求△的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在△中，＝90°，＝6，＝8，点D在边上运动，平分交边于点E，⊥，垂足为M，⊥，垂足为N．（1）当＝时，求证：∥；（2）探究：为何值时，△与△相似？ 4.如图所示，在△中，＝＝20，＝30，点P从A点出发，沿着以每秒4的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿以每秒3的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，∥？（2）△与△能否相似？若能，求出的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形中，12，6，点P沿边从A开始向点B以2的速度移动；点Q沿边从点D 开始向点A以1的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似？ 6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数的图象与线段的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△中，，4，2，以为边在C点的异侧作△，使△为等腰直角三角形，求线段的长． 8.在△中，，∠90°，点M是上的一点，点N是上的一点，沿着直线折叠，使得点C恰好落在边上的P点．求证：：：． 9.如图，在直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线翻折B点落在D点的位置，且交 y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D. 10..已知，如图，直线﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以为短边在第一象限做一个矩形，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。

相似三角形证明题精选题

E A A B P D C 相似三角形证明专题训练精选1、已知:如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。求证:ΔAFG∽ΔAED。 2、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB. 3、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD的长 4、已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似为什么 5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗说明理由。 6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、 AC E F AF AD BE BD 于、。则吗？说说你的理由。 7、如图，在⊿ABC（AB>AC）的边AB上取一点，在边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC 的延长线交于点P，求证：BP：CP=BD：CE 8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，DC⊥BC，与AD交于点D．求证：AC2＝AE·AD． 9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是AC边的中点，ED 的延长线与AB的延长线交于点F． B C D A E A E

求证：△AFD ∽△DFB ． 10、已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AC 于点O ，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，求证：AO 2＝OE · OF． 11、己知:如图,AB ∥CD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC 2 =GF ·GD. 12、已知:如图,ΔABC 中,∠ACB=900 ,F 为AB 的中点,EF ⊥AB.求证:ΔCDF ∽ΔECF. 13、已知:如图,DE ∥BC,AD 2 =AF ·AB 。求证:ΔAEF ∽ΔACD 。 14、已知:如图,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC.求证:AB ·BC=AC ·CD. 15、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD. 16、已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:ΔDBE ∽ΔABC. 17、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即AE = 3 1 AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF = FB D A B C E 18、如图，∠B=900，AB=BE=EF=FC=1。求证：ΔAEF ∽ΔCEA. B C D A F E O

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