2019-2020年高中数学重点中学第23课时平面向量教材分析教案湘教版必
修2
这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约25课时，具体安排如下：
5.1向量约1课时
5.2向量的加法与减法约2课时
5.3实数与向量的积约2课时
5.4平面向量的坐标运算约2课时
5.5线段的定比分点约l课时
5.6平面向量的数量积及运算律约2课时
5.7平面向量数量积的坐标表示约1课时
5.8平移约1课时
5.9正弦定理、余弦定理约4课时
5.10解斜三角形应用举例约2课时
5.11实习作业约2课时
5.12研究性课题向量在物理中的应用约3课时
小结与复习约2课时
(一)本章内容
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法
本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等
第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等
正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题
为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施
为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”
本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等本章的难点是向量的概念，
向量运算法则的理解和运用等
(二)本章教学要求
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加法与减法
3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件
6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式
7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力通过实习作业和研究性课题，培养学生从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索的能力
本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念
向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础
在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量
在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件
在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质
通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式
向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用
对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；
一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等
这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题
关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作，则就是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作则由向量加法的平行四边形法则知，由于b+(-a)=b-a，即就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可
(三)注意培养学生的思维能力
注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考
(四)注意数学思想方法的渗透
在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想
由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想
(五)突出知识的应用
(1)加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等
(2)加强向量在物理中的应用
为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用对于一个物理问题，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象
(3)注意联系实际
在这一章中，把联系实际分成三个层次：
第一层次，在知识的引入上联系实际例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入
第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等
第三层次，安排实习作业安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识
2019-2020年高中数学重点中学第24课时小结与复习（2）教案湘教版必修
2
教学目的：
1熟悉向量的性质及运算律； 2能根据向量性质特点构造向量；
3熟练平面几何性质在解题中应用；4熟练向量求解的坐标化思路
5认识事物之间的内在联系；
6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识
教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用
教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法:启发引导式
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向
量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识
对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力教学过程：
一、讲解范例：
例1利用向量知识证明下列各式
(1)x 2＋y 2≥2xy
(2)｜x ｜2＋｜y ｜2≥2x ·y
分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求
证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系
(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证
证明：(1)设a ＝（x ，y ），b ＝（y ，x ）则a ·b ＝xy ＋yx ＝2xy
｜a ｜·｜b ｜＝2
22222y x y x y x +=+?+
又a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜cos θ(其中θ为a ，b 夹角)
≤｜a ｜·｜b ｜
∴x 2＋y 2≥2xy
(2)设x ，y 的夹角为θ，
则x ·y ＝｜x ｜·｜y ｜cos θ≤｜x ｜·｜y ｜≤
∴｜x ｜2＋｜y ｜2≥2x ·y
评述： (1)上述结论表明，重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，无论对于实数还是向量，都成立
(2)在(2)题证明过程中，由于｜x ｜，｜y ｜是实数，故可以应用重要不等式求证
例2利用向量知识证明
(a1b1＋a2b2)2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识
求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
则a·b＝a1b1＋a2b2，
｜a｜2＝a12＋a22，｜b｜2＝b12＋b22
∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜ (其中θ为a，b夹角)
∴（a·b）2≤｜a｜2·｜b｜2
∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会
例3已知ｆ（x）＝
求证：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）
分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的也可考虑构造向量法，利用向量的
性质求证下面给出两种证法
证法一：∵ｆ（a）＝，
ｆ（b）＝，
∴要证明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜
只需证明｜－｜2＜｜a－b｜2
即 1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab
即＞1＋ab
只需证明（）2＞（1＋ab）2
即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2
即a2＋b2＞2ab
∵a2＋b2≥2ab又a≠b
∴a2＋b2＞2ab
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜
证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）
则｜a｜＝，｜b｜＝
a
－b＝（O，a－b）
｜a－b｜＝｜a－b｜
由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，
（其中当｜a｜＝｜b｜即a＝b时，取“＝”，而a≠b
∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜
即｜－｜＜｜a－b｜
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜
评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的认识
上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用
例4已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线
求证AC ⊥BD 分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件
证法一：∵＝＋，
＝－，
∴·＝（＋）·（－）
＝｜｜2－｜｜2＝O
∴⊥
证法二：以OC 所在直线为x 轴，以B 为原点建立直角坐标系，
设B (O ，O)，A (a ，b )，C （c ，O ）则由｜AB ｜＝｜BC ｜得a 2＋b 2＝c 2
∵＝－＝（c ，O ）－（a ，b ）＝（c －a ，－b ），
＝＋＝（a ，b ）＋（c ，O ）＝（c ＋a ，b ）
∴·＝c 2－a 2－b 2＝O
∴⊥ 即 AC ⊥BD
评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握
例5 若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b
分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法证法一： (根据平面图形的几何性质)
设＝a ，＝b ，
由已知可得a 与b 不平行，
由｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜得以、为邻边的平行四边形OACB 的对角线和相等
所以平行四边形OACB 是矩形，
∴⊥，∴a ⊥b
证法二：∵｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜
∴（a ＋b ）2＝（a －b ）2
∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2
∴a ·b ＝O ，∴a ⊥b
证法三：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），
｜a ＋b ｜＝，
｜a －b ｜＝，
∴
＝，
化简得：x 1x 2＋y 1y 2＝O ，
∴a ·b ＝O ，∴a ⊥b
例6 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标
分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a 的终点坐标，然后表示a 的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程
解：设a 的终点坐标为（ｍ，ｎ）
则a ＝（ｍ－3，ｎ＋1）
由题意???=++-=++--1)1()3(0
)1(4)3(322n m n m ①
②
由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得
25ｍ2－15O ｍ＋2O9＝O 解得???
????-==???????-==.58,511.52,5192211n m n m 或 ∴a 的终点坐标是（
评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有
联系又有区别，二者不能混淆
上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来 二、课堂练习：
1已知a ＝（1，O ），b ＝（1，1），当λ为何值时，a ＋λb 与a 垂直
解：a ＋λb ＝（1，O ）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）
∵（a ＋λb ）⊥a ∴（a ＋λb ）·a ＝
O
∴（1＋λ）＋O ·λ＝O ∴λ＝－1
即当λ＝－1时，a ＋λb 与a
垂直
2已知｜a ｜＝，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为3O °，
求｜a ＋b ｜，｜a －b
｜
解：｜a ＋b ｜2＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝｜a ｜2＋2·｜a ｜·｜b ｜cos3O °＋｜b ｜2
＝（）2＋2××2×＋22＝
13
∴｜a ＋b ｜＝，
∵｜a －b ｜2＝（a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2
＝｜a ｜2－2｜a ｜·｜b ｜·cos3O °＋b
2
＝（）2－2××2×＋22＝
1
∴｜a －b ｜＝
1
3已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为6O °，c ＝3a ＋5b ，d ＝ｍa －3b 当ｍ为何值时，c 与d 是否垂直
?
解：若c ⊥d ，则c ·d ＝
O
∴（3a ＋5b ）（ｍa －3b )＝
O
∴3ｍ｜a ｜2＋（5ｍ－9）a ·b －15｜b ｜2＝
O
∴3ｍ｜a ｜2＋（5ｍ－9）｜a ｜｜b ｜cos6O °－15｜b ｜2＝
O
即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O ＝O ，解得ｍ＝
4已知a ＋b ＝c ，a －b ＝
d
求证：｜a ｜＝｜b ｜c ⊥
d
证明：(1)c ⊥
d
（a ＋b ）（a －b ）＝
O a 2－b 2＝
O
a 2＝
b 2 ｜a ｜＝｜b
｜，
(2)｜a ｜＝｜b ｜
a 2＝
b 2 a 2－b 2＝O （a ＋b ）（a －b ）＝
O c ⊥
d
三、小结 通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在
解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法
四、课后作业：
五、板书设计（略）
六、课后记及备用资料：
1三角形内角和性质
定理：在△ABC 中，A 、B 、C 分别为三个内角，则A ＋B ＋C ＝18O °
推论(1)B ＝6O °2B ＝A ＋C
推论(2)若A ＜9O °，则有
sin B ＞cos C ，cos B ＜sin C ，tan B ＞cot C ，cot B ＜tan
C
推论(3)sin （A ＋B ）＝sin C ，cos （A ＋B ）＝－cos C ，
tan （A ＋B ）＝－tan C ，cot （A ＋B ）＝－cot
C
推论(4) .2tan 2cot ,2cot 2tan ,2sin 2cos ,2cos 2sin
C B A C B A C B A C B A =+=+=+=+ 2
三角形内角和性质应用举例
例1 △ABC 中，若求证：A 、B 、C 成等差数列 证明：由条件得A
C A C B C B sin sin sin )sin()sin(-=+-， 由推论(3)得sin （B ＋C ）＝sin A ∴sin （B －C ）＝sin A －sin C
∴sin （B －C ）－sin （B ＋C ）＝－sin C ，即2cos B sin C ＝sin
C
∵sin C ≠O ，∴cos B ＝，∴B ＝
故由推论(1)得2B ＝A ＋C 所以A 、B 、C
成等差数列
例2 在锐角△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C
证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＜9O °，根据推论(2)有：sin B ＞cos C ①
B ＜9O °，根据推论(2)有：sin
C ＞cos A
②
C ＜9O °，根据推论(2)有sin A ＞cos B ③ ∴①＋②＋③得：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos
C
例3已知△ABC ，求证(a －b )cot ＋(b －c )cot ＋(c －a )cot ＝
O
证明：根据正弦定理和推论(4)，有
(a －b )cot ＝2Ｒ(sin A －sin B )tan ＝4Ｒsinsin ，
∴（a －b ）cot ＝2Ｒ（cos B －cos A ）
同理，（b －c ）cot ＝2Ｒ（cos C －cos B ）；
（c －a ）cot ＝2Ｒ（cos A －cos C ) 三式相加可得（a －b ）cot ＋（b －c ）cot ＋（c －a ）cot ＝O
平面向量的实际背景及基本概念练习题 、选择题: 1.下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A .质量 2 .设O 是正方形 A .平行向量 3. A . 4 ?在下列说法中，正确的是（ ） A .两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ?模为0的向量与任一非零向量平行 彳 c .向量就是有向线段 D ?若4，则a b 5?下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方 向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量； （4）共线向量是可以移动到同 一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个 *6. ABC 中，D 、 E 、 F 分别为 BC > CA 、AB 的中点，在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与 EF 共线的向量有（ ） A . 2个 B . 3个 C . 6个 D . 7个 二、填空题： 7.在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4） 相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是 共线向量中，说法错误的是 _____________________________ . E 、 F 、O 为端点的向量中: （1） 与a 相等的向量有 （2） 与b 相等的向量有 B .有相同终点的向量 C .相等向量 D .力 ） D .模相等的向量 &如图，0是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形 OAED 、OCFB 是正方形，在图中所 示的向量中, （1 ）与A0相等的向量有 ___________________ ； （2） 与呂共线的向量有 ____________________ ； （3） 与"Ag 模相等的向量有 _____________________ ； （4） 向量A0与CO 是否相等？答： ________________________ 9 . 0是正六边形 ABCDEF 的中心，且 70 ,OB b , AB c , 在以A 、 B .速度 ABCD 的中心，向量 B . |a| |b F 列命题中, |a| |b| C A B
高中数学竞赛讲义（八） ──平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos
平面向量”教材分析与教学建议 一、内容与要求 （一）本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。 第二大节是“解斜三角形” 。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。 正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。 为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。 本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。 （二）本章教学要求 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2.掌握向量的加法与减法。 3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 6.掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 二、新教材的特点在本章的体现 （一）注意知识的系统性与学生的可接受性相结合 我们知道，数学是一门系统性很强的学科，知识的编排要符合逻辑顺序的要求，即后面的概念要用前面的概念来定义，后面的命题要用前面的命题来证明。不允许有循环定义，也不能有循环证明，只有这样的逻辑严格性才能保证结论的正确性和确定性。 1．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容。例如，在引言中用小船的位移引入向量的概念，使学生明确向量既有大小，又有方向，又如，一开始就介绍向量的几何表示 有向线段，并将几何表示贯穿向量运算的始终。再如，利用物理中功的
平面向量的实际背景及基本概念 向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 教学目标 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) [基础·初探] 教材整理1 向量及其几何表示 阅读教材P 74～P 75例1以上内容，完成下列问题． 1．向量与数量 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB →，CD →. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小．( ) (2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量．( ) (3)某个角是一个向量．( ) (4)体积、面积和时间都不是向量．( ) 解：因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 向量的有关概念 阅读教材P 75第十八行以下至P 76例2以上内容，完成下列问题. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单位向量都平行．( ) (2)零向量与任意向量都平行．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (4)|AB →|＝|BA →|.( )
第一章空间几何体 （一）学情分析： 本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的．例如，对于棱柱，在义务教育阶段直观认识正方体、长方体等的基础上，进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积．因此，在教材内容安排中，特别注意了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接． 本章中的有关概念，主要采用分析详尽实例的共同特点，再抽象其本质属性空间图形而得到.教学中应充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何体的本质属性，从而形成概念． 柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体，繁复的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的.有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较繁复的几何体的基础.本章研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等.运用直观感知、操作确认、度量计算等方法,认识和探索空间几何图形及其性质． （二）教材分析： 1．核心素养 我们在高中阶段要培养学生数学的三大能力：计算能力，思维能力，空间想象能力.本章的主要任务就是培养学生的空间想象能力. 值得注意的是在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透空间想象能力面的训练．由于受有关线面位置关系知识的限制，在讲解空间几何体的结构时，我们应该多强调感性认识.要确凿把握这方面的要求，防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技术在学习中的严重作用. 2．本章目标 （1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．
①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形． ②运用空间几何体的特征描述现实生活中简单物体的结构． （2）空间几何体的三视图和直观图 ①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简捷组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图． ②通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的例外表示形式． ③完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）． （3）空间几何体的表面积和体积 ①了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．②会使用球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式计算一些简单几何体的体积和表面积． 3．课时安排 本章教学时间约需12课时，详尽分配如下： 3课时 3课时 1.1空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积和体积 章末检测题 4．本章重点3课时
平面向量教材分析 这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等。本章教学时间约20课时，具体安排如下： 2．1 向量的概念及表示约1课时 2．2 向量的线性表示约4课时 2．3 向量的坐标表示约2课时 2．4 向量的数量积约3课时 2．5 向量的应用约2课时 1．1 正弦定理约2课时 1．2 余弦定理约2课时 1．3 解斜三角形应用举例约2课时 小结与复习约2课时 (一)本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括：向量的概念及表示、向量的线性表示、向量的坐标表示、向量的数量积点等内容。 第二大节是“解斜三角形”。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例等。 正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题。 本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。 本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。 (二)本章教学要求 1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2．掌握向量的加法与减法。 3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、
课时跟踪检测（十五） 平面向量的实际背景及基本概念 层级一 学业水平达标 1．下列说法不正确的是( ) A ．向量的模是一个非负实数 B ．任何一个非零向量都可以平行移动 C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D ．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 解析：选D 显然，选项A 、B 、C 说法正确．方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 说法不正确． 2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和 终点都在方格的顶点处，则与AB ―→平行且模为2的向量共有( ) A ．12个 B ．18个 C ．24个 D ．36个 解析：选C 由图知，与AB ―→平行且模为2的向量共有24个． 3．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量只能是a |a | . A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选D 根据单位向量、共线向量、相等向量的概念，可知①②③明显错误，对于 ④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a |a | ，④也是错误的．故选 D. 4.如图，在?ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与 AE ―→平行的向量有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选C 根据向量的基本概念可知与A E ―→平行的向量有BE ―→，FD ―→，FC ―→，共3个． 5．设O 为△ABC 的外心，则AO ―→，BO ―→，CO ―→是( )
A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量 解析：选C ∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，即|AO ―→|＝|BO ―→|＝|CO ―→|. 6．已知|AB ―→|＝1，|AC ―→|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC ―→|＝________. 解析：由勾股定理可知，BC ＝ AC 2－AB 2＝3，所以|BC ―→|＝ 3. 答案： 3 7．设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1， 所以|a 0|＋|b 0|＝2. 答案：③ 8．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)． 解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b . 答案：①③④ 9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)写出与向量FC ―→共线的向量； (2)求证： BE ―→＝FD ―→. 解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC ―→共线的向量有： CF ―→，BC ―→，CB ―→，BF ―→，FB ―→，ED ―→，DE ―→，AE ―→，EA ―→，AD ―→，DA ―→. (2)证明：在?ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴ED 綊BF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE 綊FD ， ∴BE ―→＝FD ―→. 10．已知四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→且|AB ―→|＝|AC ―→|，tan D ＝3，判断四边形ABCD 的形状．
第一节平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 例1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线 C ．不可能都是零向量 D ．不可能都是单位向量 例2．.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u r 等价于四边形 ABCD 为平行四边形；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 等价于|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．④⑤ CA 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 三角形法则 (1)交换律： a ＋ b ＝b ＋a ； (2)结合律： (a ＋b )＋ c ＝ a ＋( b ＋ c ) 平行四边形法则 减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差 三角形法则 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 例3：化简AC －BD ＋CD －AB 得( ) D ．0 例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA u u u r ＋CD u u u r ＋EF u u u r ＝( ) A ．0 B ．BE u u u r C ．A D u u u r D ．CF u u u r (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2 3BC .若DE u u u r ＝λ1AB u u u r ＋λ2AC u u u r (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 巩固练习： 1．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________．
第五章《平面向量》教材分析 一、平面向量在教材中的地位和作用 1、地位 （1）改变传统教材结构 在几十年来的国内外数学教育改革中，向量进入中学是一个重要的特征。平面向量的集中讲授，在我国高中数学教材中是首次，其目的之一是系统地学习向量知识，目的之二是以向量知识作为工具，改变传统的综合几何、平面三角等内容的讲法。向量、向量的加法与减法在传统教材的复数中讲授，线段的定比分点、平面两点间的距离、平移在传统教材在解析几何中讲授，正弦定理、余弦定理在传统教材的三角中讲授，新教材把这些内容糅合到一章。用向量的观点来处理，大大地改变了传统教材的编排体系。 按照新教材的编排体系，平面向量作为工具性内容在安排上尽量提前。由于介绍向量的数量积要用到有关三角知识，因此将平面向量安排在紧随三角函数之后作为第五章。又由于讲斜三角形解法可以用到平面向量，新教材又作了将斜三角形解法移入平面向量这一章的调整。需要指出的是，在平面向量这章还运用向量方法解决了解析几何入门的有关知识，为学习解析几何做好了准备。同时，在后续的第七章直线与圆的部分向量知识立刻就能应用，在学习立体几何之后安排空间向量，让向量的应用得到完善和深化。这样的安排是科学的、合理的。 （2）改变传统教材内容 用向量的观点来处理，由于向量具有几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。因此，向量的引入不仅使高中数学教材采取混编体系成为一件别无选择的事，而且使它在研究其它许多问题时获得了广泛的应用。新高中数学课程为了有利于精简教学内容，提高教学效益，有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用，将代数、几何等内容综合编排。向量的引入，使高中数学各部分内容的联系加强了；使高中教学内容与大学内容衔接更加紧密。 2、作用 （1）工具性和方法性 向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。纵观平面向量这一章，如果除去应用性知识，纯属向量知识约占10课时，教材上大量的篇幅是突出向量的应用，突出向量的工具性和方法性。例如用向量方法推出线段定比分点坐标公式、平面上两点间距离公式、平移公式、正弦定理、余弦定理，而且与物理学中力学等内容的学习相互呼应。在后续的解析几何、立体几何、复数等内容的学习中，向量仍将继续发挥其重要作用。仅花费10课时的代价换来这么大的效益是十分合算的。 向量有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。 向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在引进向量知识时，教材充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。 （2）沟通代数与几何 向量是除函数外的另一条主线，使几何代数化、符号化、形式化。向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角的工具。新教材引进向量，充分体现了新课程理念。由于它的引入，使几何与代数变得更加紧密，一维二维和三维过度更加顺畅；有效克服了繁琐和技巧导致的“双基异化”。它是知识、是方法、是思想。 （3）突出新教材的理念……注重应用 向量的概念是从生活实践中抽象出来的，反过来又成为解决物理学和工程技术中有关问题的重要工具。教材中十分注重理论和实际的结合，更加注重应用。用例如从速度、位移、力、加速度
平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念 向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 教学目标 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) [基础·初探] 教材整理1 向量及其几何表示 阅读教材P 74～P 75例1以上内容，完成下列问题． 1．向量与数量 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB →，CD →. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小．( ) (2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量．( ) (3)某个角是一个向量．( ) (4)体积、面积和时间都不是向量．( ) 解：因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 向量的有关概念 阅读教材P 75第十八行以下至P 76例2以上内容，完成下列问题. 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a 、b 平行，记作a ∥b 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a 与b 相等，记作a ＝b 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单位向量都平行．( ) (2)零向量与任意向量都平行．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (4)|AB →|＝|BA →|.( )
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。
西安高新第三中学导学案 学科编写校对班级小组学生评价 向量可以用有向线段表示 _________________________。向量a
_____________________。若a与b是一对相反向量，则______________________ 8、平行向量（共线向量）:______________ __叫做平行或共线向量a与b平行,通常记作_______ 我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b,都有__________________. 引领探究1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作 3.有向线段：具有方向的线段叫做，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个 向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也 是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫，记作 .0的方向是 . 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫 . 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向或的非零向量叫平行向量；②我们规定0与平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：且的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作a＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且 与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段 的起点无关）. 1.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共 线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2.若a与b平行，那么a与b的方向相同吗？ 3.什么叫自由向量？在自由向量的前提下,平行向量和共线向量有什么关系？ 课堂精彩记录 A(起点) B （终点） a
平面向量讲义 §2、1 平面向量得实际背景及基本概念 1.向量:既有________,又有________得量叫向量. 2.向量得几何表示:以A 为起点,B 为终点得向量记作________. 3.向量得有关概念: (1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量. (3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________. ②规定:零向量与__________平行. 考点一 向量得有关概念 例1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. ①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →＝DC → ,则A 、B 、C 、D 四点就是平行四边形得四个顶 点;③在平行四边形ABCD 中,一定有AB →＝DC → ;④若向量a 与任一向量b 平行,则a ＝0;⑤若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ;⑥若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 、 变式训练1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ; (2)若向量|a |＝|b |,则a 与b 得长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a |＝|b |,且a 与b 得方向相同,则a ＝b ; (4)向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. 考点二 向量得表示方法 例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD → |、 考点三 相等向量与共线向量 例3 如图所示,O 就是正六边形ABCDEF 得中心,且OA →＝a ,OB →＝b ,OC → ＝c 、 (1)与a 得模相等得向量有多少个？ (2)与a 得长度相等,方向相反得向量有哪些？ (3)与a 共线得向量有哪些？ (4)请一一列出与a ,b ,c 相等得向量. §2、2 平面向量得线性运算 1.向量得加法法则 (1)三角形法则 如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →＝a ,BC → ＝b ,则向量________叫做a 与b 得与(或与向量),记作__________,即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝________、上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三角形法则. 对于零向量与任一向量a 得与有a ＋0＝________＋______＝______、 (2)平行四边形法则
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计 高中数学 一、教学目标 1、知识与技能 掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义 2、过程与方法 （1）通过平面向量数量积的定义，让学生体会类比归纳的思维方法； （2）通过本节学习，体会求解一些比较简单向量数量积的方法。 《 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会类比归纳思想。 二、重点、难点 1、教学重点： 平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。 2、教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解；平面向量数量积的应用。 三、教学方法与教学手段 < 本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主导、学生为主体，让
学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。 教学方法是综合法，多媒体辅助教学。 四、教学过程
3、几何意义 θ cos b a b a= ? ） 例2、在三角形ABC中， 设向量 CB=a ,CA=b ,a ·b<0 ，AD为BC边上的 高，AD=2.5，a=3，b =5, 求a与b的夹角 \ 学生独立解决，教师进提问、引导、评价 ￥ 师生互动，教师给出数量积的几何意义。 幻灯片展示题目，师生互动，从不同的角度 对向量夹角进行求解。 “温故而知 新”，用学生已 有的知识体系， 构建新的知识 体系。 ^ 教材上对这一 知识点仅只概 念而已，因此， 有必要及时检 测学生对几何 意义这一知识 点的掌握情况， 查缺补漏。
能 力 提 升 一、选择题 1．下列命题中正确的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．模相等的两个平行向量是相等向量 C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b D ．两个相等向量的模相等 [答案] D 2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量A B →的长度与向量BA → 的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动 C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D [解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确． 3．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝b B ．它们方向相同或相反 C ．所在直线平行或重合 D ．都与零向量共线 [答案] A 4．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB → 的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 [答案] D
5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A ．零向量与任一非零向量平行 B ．零向量与单位向量的模不相等 C ．平行向量方向相同 D ．平行向量一定是共线向量 [答案] C 6．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反 B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD → C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量 D ．若非零向量AB →与CD → 平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 [答案] C 二、填空题 7．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD → 中，相等的有________对． [答案] 2 [解析] AB →＝DC →，BC →＝AD → .其余不等． 8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向
中学数学竞赛讲义——平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λf 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作 a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos