六年级奥数(精品)数论综合

第19讲数论综合

知识点精讲

一、特殊数的整除特征

1.尾数判断法

1)能被2整除的数的特征：

2)能被5整除的数的特征：

3)能被4（或25）整除的数的特征：

4)能被8（或125）整除的数的特征：

2.数字求和法：

3.99的整除特性：

4.奇偶位求差法：

5.三位截断法：

特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

二、多位数整除问题

技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质

2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数

1.基本定义

【质数】——

【合数】——

注：自然数包括0、1、质数、合数.

【质因数】——

【分解质因数】——

用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×a n，其中a1、a2、a3……a n都是合数N的质因数，且a1

【互质数】——

【偶数】——

【奇数】——

2.质数重要性质

1)100以内有25个质数：

2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是：

3)1既不是质数,也不是合数

4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数

5)最小的质数是2.最小的奇质数是3

6)有无限多个

3.质数的判断：

1)定义法：判断整除性

2)熟记100以内的质数

3)平方判断法：

例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数. 4.合数

1)无限多个

2)最小的合数是4

3)每个合数至少有三个约数

5.互质数

1)什么样的两个数一定是互质数？

注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：

21=3?7,不能写成：3?7=21.

6.偶数和奇数

1)0属于偶数

2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数

3)除2外所有的正偶数均为合数

4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半

5)奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇

奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶

四、约数与倍数

1.约数与倍数概念：

2.一个数约数的个数：

3.平方数与约数个数的关系：

4.最大公约数与最小公倍数求法：

分解质因数：

辗转相除法：

5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

6.分解质因数的作用。

整除问题

例题1求无重复数字，能被75整除的五位数365

A B．

例题2将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？

x y同时是11与25的倍数，求这个五位数．

例题3一个五位数475

例题4（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？例题5在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？

例题6有5个连续质数的乘积是一个形如“□△□□△□”的六位数，如果其中的“□”和“△”各代表一个数字，那么这个六位数是．

例题7如果六位数7337

□□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？

例题8一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除．这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？

例题9将自然数1，2，3，……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”．当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被90整除．请问：N是多少？

质数与合数

例题10请把下面的数分解质因数：

（1）2635 （2）22425

例题11算式92417514095

???的计算结果的末位有多少个连续的0？

例题12100！末尾有多少个连续的0？

例题13甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪．三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？

例题14（1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？

（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？

例题15把从1开始的若干个连续的自然数1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾13位恰好都是0．请问：

（1）最后出现的自然数最小应该是多少？

（2）若称除以12为一次操作，设（1）中出现的最小自然数为n，对n！至少进行几次操作，最后的结果才会出现余数？

例题16把39、45、49、56、60、70、78、84、91这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等？

例题17从1！，2！，3！，…，100！这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数．请问：去掉的那个数是什么？

约数与倍数

例题18480有多少个约数？1440的所有约数的和是多少？

例题19求一组分数21

25

、

9

20

、

7

2

10

的最大公约数．

例题20已知两个自然数的差为4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为252，求这两个自然数．

例题21两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，那么这两个数的差有几种可能？

例题22已知a有6个约数，b有10个约数，且a、b的最大公约数是12，求a与b．

例题23甲数有15个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数的最小公倍数是720，求甲、乙两数各是多少？例题24两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？

例题25老师在黑板上写下三个数：108,396，A，让同学们求它们的最小公倍数．小马虎误将108当做180进行计算，结果竟然与正确答案一致．A最小等于几？

例题26 大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步

长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下60个脚印．问这个花圃的周长是多少？

余数计算、物不知数与同余

例题27 有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，

最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根？

例题28 一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？

例题29 有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？

例题30 100多名小朋友站成一列．从第一人开始依次按1，2，3，

，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，

，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：

一共有多少名小朋友？

例题31 20093

333???个的个位数字是________

例题32 23456789?除以4、5、9所得的余数分别是_______、_______、_______．

例题33 一个自然数除以2的商是一个自然数的平方，而除以3的商是一个自然数的立方，符合条件的最

小的自然数是 ．

综合练习题

例题34 求满足下面条件的整数a 、b ：

1）33|1998a b 2）99|14758a b

例题35 一个能被99整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少？

例题36 用1,2,3,4,5,6,7七个数字组成三个两位数和一个一位数,并且使这四个数之和等于100,要求最大的

两位数尽可能大,那么,最大的两位数是__________.

六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

知识框架 」、整除的定义： 当两个整数a和b （b工0, a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a,也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a,记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整 除； 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的 过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3X2 = 7,所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9>2= 595 , 59- 5X2= 49,所以6139是7的倍数，余类推。 8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」 的过程，直到能清楚判断为止。 MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.整除问题（ABC级）.学生版Page 1 of 14

小学奥数数论专题

名校真题测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题） 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 （04年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。 第十讲小升初专项训练数论篇（一） 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题

六年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

(完整)小学六年级奥数基础知识——数论

行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得

小学奥数9. 数论综合(二).

第十一讲 数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那 么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．

六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

一、整除的定义： 当两个整数a 和b （b≠0），a 被b 除的余数为零时（商为整数），则称a 被b 整除或b 整除a ，也把a 叫做b 的倍数，b 叫a 的约数，记作b|a ，如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a ，记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整 除； 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」知识框架 数的整除

完整版六年级奥数数论综合

第19讲数论综合 知识点精讲 特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4 (或25)整除的数的特征： 4) 能被8 (或125)整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法： 特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题 技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。 三、质数合数 1. 基本定义 【质数】一一 【合数】一一 注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一 【分解质因数】一一 用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且

a 1

【互质数】 【偶数】 【奇数】 2. 质数重要性质 1）100以内有25个质数： 2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3）1既不是质数，也不是合数 4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数 5）最小的质数是2?最小的奇质数是3 6）有无限多个 3. 质数的判断： 1）定义法：判断整除性 2）熟记100以内的质数 3）平方判断法： 例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.

4. 合数 1）无限多个 2）最小的合数是4 3）每个合数至少有三个约数 5. 互质数 1）什么样的两个数- -定是互质数？ 注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21. 6. 偶数和奇数 1） 2） 偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数 3） 4） 数是他们乘积的一半 5）?因此，要分解的合数应写在等号左边，如： 0属于偶数 十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是 除2外所有的正偶数均为合数 相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍 奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇

小学奥数专题之数论

1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。1359 ，1935，3195，3915，9135，9315 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数45 是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 可以分析出甲甲是偶数，是135的倍数，且是完全平方数 而135=5*3*3*3，最小再乘以15即为完全平方数，若要为偶数则需再乘4 于是丙为60，甲为90，乙为4050 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( D) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？4456 预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？4.14 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是____．1331 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.518=7=511 666-10=656 888,511,656除以这个数，余数相同 888-511=377 888-656=232 这个数为377与232的公因数，且大于10 377=13×29 232=8×29 所以这个自然数为29 2 （三帆中学考题）

六年级奥数.数论.整除问题

数的整除 知识框架 一、整除的定义： 当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整 除； 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是

六年级奥数-.数论综合.教师版

数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次， 那么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968． 【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998 的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=??，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个． 【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．

小学奥数数论专题精讲 六年级奥数-数论专题

小学奥数数论专题精讲六年级奥数-数论专题 导读：就爱阅读网友为您分享以下“六年级奥数-数论专题”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持! 【例15】（难度级别※※※） 如图，相同的文字代表相同的数字，不同的文字代表不同的数字，并且已知和代表的五位数能被5整除。那么加数“华罗庚学校”代表的五位数最大是多少？ 华罗庚学校+好好学习=中学数学好 【例16】（难度级别※※※）

在下面这个算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么“5湖4海”代表的四位数最大是多少？ 1塔湖图+3泉映月=5湖4海 【例17】（难度级别※※※） 下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知BAD不是3的倍数，GOOD不是8的倍数，那么ABGD代表的四位数是多少？ B?G BO AAO DDD 【例18】（难度级别※※※）

在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立． 【例19】（难度级别※※※） 在图7-3所示的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数．问被除数是多少 ? 【例20】（难度级别※※※※） 已知p,q都是大于1的正整数，并且 2p?1q 和

2q?1p 都是整数，那么p+q的值是多少？ 【例21】（难度级别※※※※） □□□÷□=□□+□-□ ，请将2、4、6、8分别填入算式左端的四个方框，将1、3、5、7分别填入右边的四个方框，使其成为正确的等式。 【作业】 1、老师在黑板上写了15个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是 11．92．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是什么?

小学奥数之第10讲_数论综合(一)

数论综合 1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少? 2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 3．如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数； ②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5． 那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数． 4．在555555的约数中，最大的三位数是多少? 5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?

6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案． 7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组? 8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A 出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

9．设a与b是两个不相等的非零自然数． (1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值? (2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 1 4 2 米，黄鼠狼每次跳 3 2 4 米，它们每秒钟都只跳一 次．比赛途中，从起点开始每隔 3 12 8 米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多 少米? 11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

六年级奥数_数论教师版

数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密， 但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 【例 1】 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数． 【分析】 现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性 质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手． 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989． 【例 2】 已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与 一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一个完全平方 数，则符合条件的数仅为16、36，当1B =时，满足AB 是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合； 当3B =，满足AB 是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合． 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???，若a 、b 、c 、d 都是质数，则a b c d +++的最小值是 多少 【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A ，则 最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是： 第 5讲 数论(一)

2018最新小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总

数论专题典型结论汇总 整除 一、常见数字的整除判定方法 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个 数能被11整除. 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这 个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则 拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ，c ︱b ，那么c ︱(a ±b )． 性质2如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ， c ∣b ，那么c ∣a ． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那 么b ∣a ，c ∣a ． 性质4如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b 与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12． 性质5如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果b ｜a ，那么bm ｜am （m 为 非0整数）； 性质6如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果b ｜ a ，且d ｜c ，那么bd ｜ac ；质数合数 一、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即： 312123k a a a a k n p p p p =????

小学奥数 数论问题 第八讲 提高篇之数论综合

第八讲提高篇之数论综合 课上习题 【例1】有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数。这个正整数是多少？ 【例2】已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998。满足上述条件的数一共有多少组？ 【例3】数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数。同学们，你们知道这个数可能是多少吗？ 课后习题 基础篇 【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？ 【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？ 提高篇 【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23- 2 16 ，16 就是一个“智慧数”。请问：从1 开始的自然数数列中，第2008 个“智慧 5 数”是多少？ 【闯关4】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？ 巅峰篇 【闯关5】有4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3 个数整除。请写出这4 个数。

第八讲提高篇之数论综合 课后习题： 基础篇 【闯关1】26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与6 互质的有多少个？ 解析：26460÷6=4410=2×3^2×5×7^2约数个数（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36。 26460 除去2 与3 的因数，剩下为5×7^2，约数个数6 个，这6 个均与6 互质。 【闯关2】11 个连续两位数乘积的末4 位都是0，那么这11 个数的总和最小是多少？ 解析：11 个连续两位数，至多3 个5 的倍数，那么还有1 个25 的倍数。把25 放最后一个是最小，这八个数为15～25。 提高篇 【闯关3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如23- 2 16 ，16 就是一个“智慧数”。请问：从1 开始的自然数数列中，第2008 个“智慧 5 数”是多少？ 解析：所有的奇数均可，a^2-b^2=(a-b)(a+b),所有4 的倍数均可，所有除以4 余2 的均不行。2008÷3=669……1,669×4=2676,2676+4=2680 所以第2008个智慧树是2680 【闯关4】已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？ 解析：假设三数为k，2k，3k，乘积是6k^3，只要令k=6 即满足 此时三数分别是6，12，18 巅峰篇 【闯关5】有4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3 个数整除。请写出这4 个数。 解析：设为a、b、c、d，和是a、b、c 的倍数，且a

高斯小学奥数六年级上册含答案第16讲 数论综合提高二

第十六讲 数论综合提高二 本讲知识点汇总： 一、约数、倍数 1． 基本概念 （1） 如果a 能被b 整除（也就是），则b 是a 的约数（因数），a 是b 的倍数； （2） 约数具有“配对”性质：大约数对应小约数． 2． 约数个数 （1） 分解质因数，指数加1再相乘； （2） 平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数． 3． 约数和公式 （1） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； （2） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； 二、公约数、公倍数 1． 基本概念 （1） 如果a 是若干个数公有的约数，则称a 是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数； （2） 如果b 是若干个数公有的倍数，则称b 是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数； （3） 公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数． 2． 计算方法 （1） 短除法； （2） 分解质因数法； （3） 辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数）． 3． 基本性质 （1） ； （2） 两个数的最大公约数是它们和或差的约数； （3） 已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来： 例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和5b ，其中a 、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab ． 4． 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数： ()[],,a b a b a b ?=? ()()()2111a b c c +?+?++ 2a b c ?? ()()22311a a b b b ++?+++ 23a b ? |b a

； 一、 约数、倍数 1． 约数的配对思想； 2． 约数个数与完全平方数的关系； 3． 求约数个数； 4． 求约数的和； 5． 利用约数个数反推原数的质因数分解形式． 二、 公约数、公倍数 1． 基本计算； 2． 带有应用题背景的公约数公倍数计算； 3． 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题； 4． 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配． 例1． 庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活 动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？ 「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律． 练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……，依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 经典题型 []()a c a c b d b d ??=????,,, ()[]a c a c b d b d ??= ???,,,

高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一

第十五讲数论综合提高 本讲知识点汇总： 一. 整除 1. 整除的定义 如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a . 如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不整除a. 2. 整除判定 (1)尾数判断法 能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除； 能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除； 能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除. (2)截断求和法 能被9、99、999及其约数整除的数的特征. (3)截断求差法 能被11、101、1001及其约数整除的数的特征. (4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互 质的整数，分别验证整除性. 3. 常用整除性质 (1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c) (2)已知ab |ac，则b |c . (3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ? (4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c . 4. 整除的一些基本方法： (1)分解法： ①分解得到的数有整除特性； ②两两互质. (2)数字谜法： ①被除数的末位已知； ②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.

(3)试除法： ①除数比较大； ②被除数的首位已知 (4) 同除法： ①被除数与除数同时除以相同的数； ②简化后的除数有整除特性? 二、质数与合数 1. 质数与合数的定义 质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除 的数. 2. 分解质因数 分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ? 典型题型 一.整除 1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字； (1)9的考点：乱切法； (2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段 和. 2. 整除性质的使用； 3. 整除与位值原理； 4. 整除方法在数字谜中的应用. 二.质数合数 1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性; 2. 判断大数是否为质数：逐一试除法； 3. 末尾0的个数问题：层除法. 例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?

六年级奥数数论题：整数的裂项与拆分

六年级奥数数论题：整数的裂项与拆分 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子 里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放 到小球数最少的盒子里去.再把盒子重排了一下.小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子.问：一共有多少只盒子? 分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只， 因为小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a 个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球. 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球. 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原 来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数. 所以将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分 法有多少个加数，据此解答. 解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，因 为小聪没有发现有人动过小球和盒子， 这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有 (a+1)个小球. 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球. 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等， 故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数. 将42分拆成若干个连续整数的和，

因为42=6×7，故能够看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数; 又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数; 又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数. 所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子. 答：一共有7只、4只或3只盒子.