第三节
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
[知识能否忆起]
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：
不等式 表示区域
Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．
2．线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量x
，y 组成的不等式(组)
线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等
线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )
A ．2x －y －3＜0
B ．2x －y －3＞0
C ．2x －y －3≤0
D ．2x －y －3≥0
解析：选B 将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0.
2．(教材习题改编)已知实数x 、y 满足????
?
x ≥1，y ≤2，
x －y ≤0，则此不等式组表示的平面区域的面
积是( )
A.1
2 B.14 C ．1
D.18
解析：选A 作出可行域为如图所示的三角形，∴S △＝12×1×1＝1
2.
3．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件????
?
x ≥0，x ＋2y ≥3，
2x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )
A ．－3
B ．0 C.3
2
D ．3
解析：选A
根据????
?
x ≥0，x ＋2y ≥3，
2x ＋y ≤3
得可行域如图中阴影部分所示，根据z ＝x －y 得y ＝x －z ，平移直线
y ＝x ，当其经过点(0,3)时取得最小值－3.
4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．
解析：由可行域知不等式组为????
?
x ≤0，0≤y ≤1，
2x －y ＋2≥0.
答案：????
?
x ≤0，0≤y ≤1，
2x －y ＋2≥0
5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人数的约束条件是________．
答案：?????
50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *
，
y ∈N *
1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
2．最优解问题
如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．
二元一次不等式(组)表示平面区域
典题导入
[例1] (2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组?????
x ≥0，
y ≥0，x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20
表示的平面区
域的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．
直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且斜率k ＝－2＜k AB ＝－4
3，即直
线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．
[答案] B
由题悟法
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
以题试法
1．(1)(2012·海淀期中)若满足条件????
?
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是
指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
(2)(2012·北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组????
?
x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，
x ≤a 所表示的平面
区域的面积是9，则实数a 的值为________．
解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0
时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.
(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC ，且A (－
2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )，若a ≤0，则有△ABC 的面积S △ABC ≤4，故a ＞0，BC 的长为2a ＋4，由面积公式可得△ABC 的面积S △ABC ＝1
2
(a ＋2)·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1.
答案：(1)C (2)1
求目标函数的最值
典题导入
[例2] (1)(2012·新课标全国卷)设x ，y 满足约束条件?????
x －y ≥－1，
x ＋y ≤3，
x ≥0，
y ≥0，
则z ＝x －2y 的取
值范围为________．
(2)(2012·广州调研)已知实数x ，y 满足????
?
x ≥0，y ≤1，
2x －2y ＋1≤0，
若目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)
取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为________．
[自主解答] (1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线y ＝12x －z
2过点B (1,2)
时，z 取得最小值为－3；当直线过点A (3,0)
时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．
(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线ax ＋y ＝0，可知当平移到与直线2x －2y ＋1＝0重合，即a ＝－
1时，目标函数z ＝ax ＋y 的最小值有无数多个．
[答案] (1)[－3,3] (2)－1
若本例(2)条件变为目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)仅在点????
12，1
处取得最小值，其它条件不变，求a 的取值范围．
解：由本例图知，当直线ax ＋y ＝0的斜率k ＝－a ＞1，
即a ＜－1时，满足条件， 所求a 的取值范围为(－∞，－1)．
由题悟法
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z
b ，通过求
直线的截距z
b
的最值间接求出z 的最值．
(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －b
x －a .
注意：转化的等价性及几何意义．
以题试法
2．(1)设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足????
?
x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________；
z 的最小值为________．
(2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域????
?
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2
上的一个动点，
则|OA ＋OM
|的最小值是________．
解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线
2x ＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直
线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.
(2)依题意得，OA ＋OM ＝(x ＋1，y )，|OA ＋OM |＝
(x ＋1)2＋y 2可视为点(x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，
且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA ＋OM |的最小值是|－1＋0－2|2
＝32
2
.
答案：(1)2 －2 (2)32
2
线性规划的实际应用
典题导入
[例3] (2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A ．1 800元
B ．2 400元
C ．2 800元
D ．3 100元
[自主解答] 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的
利润为z 元，则????
?
x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，
x ≥0，y ≥0，
z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画
出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．
[答案] C
由题悟法
与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约
束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．
以题试法
3．(2012·南通模拟)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：
a b (万吨) c (百万元)
A 50% 1 3 B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
解析：可设需购买A 铁矿石x 万吨，B 铁矿石y 万吨， 则根据题意得到约束条件为?????
x ≥0，y ≥0，
0.5x ＋0.7y ≥1.9，
x ＋0.5y ≤2，
目标函数为z ＝3x ＋6y ，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.
答案：
15
1．(2012·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )
A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 2．已知实数对(x ，y )满足????
?
x ≤2，y ≥1，
x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )
A ．6
B ．3
C ．(2,2)
D ．(1,1)
解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝
3.
3．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件????
?
x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，
4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的
取值范围是( )
A.????－3
2，6 B.????－3
2，－1 C ．[－1,6]
D.?
???－6，32 解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函
数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A (2,0)处取得，最小值在点B ????
12，3处取得，即最大值为6，最小值为－32
.
4．在不等式组????
?
x －y ≤0，x ＋y ≥0，
y ≤a
确定的平面区域中，若z ＝x
＋2y 的最大值为3，则a 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A 如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目标函数z ＝x ＋2y 在点A (a ，a )处取得最值，故a ＋2a ＝3，解得a ＝1.
5．(2012·石家庄质检)已知点Q (5,4)，动点P (x ，y )满足????
?
2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，
则|PQ |的最小值为( )
A ．5 B.4
3 C ．2
D ．7
解析：选A 不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB 的
方程为x ＋y －2＝0，过Q 点且与直线AB 垂直的直线为y －4＝x －5，即x －y －1＝0，其与直线x ＋y －2＝0的交点为????32，12，而B (1,1)，
A (0,2)，因为3
2＞1，所以点Q 在直线x ＋y －2＝0上的射影不在线段AB 上，则|PQ |的最小值
即为点Q 到点B 的距离，故|PQ |min ＝(5－1)2＋(4－1)2＝5.
6．(2013·山东烟台模拟)已知A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足
???
3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，
设 Z 为OA 在OP
上的投影，则Z 的取值范围是( )
A ．[－3， 3 ]
B ．[－3,3]
C ．[－3，3]
D ．[－3， 3 ]
解析：选B 约束条件所表示的平面区域如图．OA 在OP 上的投影为|OA
|·cos θ＝23
cos θ(θ为OA 与OP
的夹角)，
∵∠xOA ＝30°，∠xOB ＝60°， ∴30°≤θ≤150°， ∴23cos θ∈[－3,3]．
7．(2013·成都月考)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________.
解析：由题意可得?????
|4m －9＋1|5＝4，
2m ＋3＜3，解得m ＝－3. 答案：－3
8．(2012·“江南十校”联考)已知x ，y 满足????
?
y －2≤0，x ＋3≥0，
x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为
________．
解析：作出如图所示的可行域．
x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A (－3，－4)处取最大值(－3)2＋(－4)2＝25.
答案：25
9．(2012·上海高考)满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．
解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x ＝2，y ＝0时，目标函数z ＝y －x 取得最小值－2.
答案：－2
10．画出不等式组????
?
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方
的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．
所以，不等式组????
?
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x ∈???
?－5
2，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知?
???
?
－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .
当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y ) ＝2x ＋3y ＋300.
(2)约束条件为
????
?
5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，
整理得????
?
x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，
x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，
目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．
初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值．
由????? x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得?????
x ＝50，y ＝50，
最优解为A (50,50)， 所以W max ＝550(元)．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元． 12．变量x 、y 满足????
?
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z ＝y
x ，求z 的最小值；
(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．
解：由约束条件????
?
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1
作出(x ，y )的可行域如图所示．
由?
????
x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ?
???1，22
5. 由?????
x ＝1，
x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由?
????
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)z ＝y x ＝y －0x －0表示的几何意义是可行域中的点与原点O 连线的斜率.
观察图形可知z min ＝k OB ＝2
5
.
(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围为[2,29]．
1．(2012·龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中，不等式组????
?
x ＋2y ≥0，2x －y ≥0，(a ＞0)
x ≤a
表示的
平面区域的面积为5，直线mx －y ＋m ＝0过该平面区域，则m 的最大值是________．
解析：平面区域如图所示，A (a,2a )，B ????a ，－a
2.
∴S △OAB ＝12×5a 2×a ＝5
4a 2＝5，
∴a ＝2，即A (2,4)，B (2，－1)．
又mx －y ＋m ＝0过定点(－1,0)，即y ＝mx ＋m ，斜率m 的最大值为过A 点时的值为
42－(－1)＝4
3
.
答案：4
3
2．(2012·济南质检)已知实数x ，y 满足|2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|，且－1≤y ≤1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．－3
解析：选B |2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|等价于(2x ＋y ＋1)2≤(x ＋2y ＋2)2，即x 2≤(y ＋1)2，即|x |≤|y ＋1|.又－1≤y ≤1，作出可行域如图阴影部分所示．
则当目标函数过C (2,1)时取得最大值， 所以z max ＝2×2＋1＝5.
3．若x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2
的最值．
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．
平移初始直线12x －y ＋1
2＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最
大值1.
∴z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－
a