布朗运动的定义
悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动
例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形
观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它
是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约
1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，
导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大
分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布
应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机
涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。
这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。
布朗运动与伊藤引理的运用 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所着名数学家的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（）和斯科尔斯（）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了着名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳（Winener）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z在t?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t?的关系满足下式： z?= 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t?，z ?的值相互独立。
布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论
的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 假定在t?=0时刻粒子位于x=0处，即ρ（x，0）=δ（x），扩散方程的解是： 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t，x和x2的平均值分别是： 〈x〉=0，〈x2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。
1、引言 布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。 2.维纳过程 2.1独立增量过程 维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。 定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。 若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量 )()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ 是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。 我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。 如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。
关于布朗运动的理论 爱因斯坦 1905年12月 在我的论文《热的分子［运动］论所要求的[静］液体中悬浮粒子的运动》发表后不久，（耶那的）西登托普夫（Siedentopf）告诉我：他和别的一些物理学家——首先是（里昂的）古伊（Gouy ）教授先生一一通过直接的观测而得到这样的信念，认为所谓布朗运动是由液体分子的不规则的热运动所引起的。不仅是布朗运动的性质，而且粒子所经历路程的数量级，也都完全符合这个理论的结果。我不想在这里把那些可供我使用的稀少的实验资料去同这个理论的结果进行比较，而把这种比较让给那些丛实验方面掌握这个问题的人去做。 下面的论文是要对我的上述论文中某些论点作些补充。对悬浮粒子是球形的这种最简单的特殊情况，我们在这里不仅要推导出悬浮粒子的平移运动，而且还要推导出它们的旋转运动。我们还要进一步指明，要使那篇论文中所给出的结果保持正确，观测时间最短能短到怎样程度。 要推导这些结果，我们在这里要用一种此较一般的方法，这部分地是为了要说明布朗运动同热的分子［运动］论的基础有怎样的关系，部分地是为了能够通过统一的研究展开平动公式和转动公式。因此，假设α是一个处于温度平衡的物理体系的一个可量度的参数，并且假定这个体系对于α的每一个（可能的）值都是处在所谓随遇平衡中。，
按照把热同别种能量在原则上区别开的古典热力学，α不能自动改变；按照热的分子〔运动］论，却不然。下面我们要研究，按照后一理论所发生的这种改变必须遵循怎么样的定律。然后我们必须把这些定律用于下列特殊情况：—— 1、 α是（不受重力的作用的）均匀液体中一个球形悬浮粒子的重心的 X 坐标。 2、α是确定一个球形粒子位置的旋转角，这个粒子是悬浮在液体中的，可绕直径转动。 §1、热力学平衡的一个情况 假设有一物理体系放在绝对温度为 T 的环境里，这个体系同周围环境有热交换，并且处干温度平衡状态中。这个体系因而也具有绝对温度T ，而且依据热的分子［运动］论，它可由状态变数p p n 1完全地确定下来。在所考查的这个特殊情况中，构成这一特殊体系的所有原子的坐标和速度分量可以被选来作为状态变数p p n 1。 对于状态变数p p n 1在偶然选定的一个时刻处于一个 n 重的 无限小区域（p p n d d 1）中的几率，下列方程成立—— （1） p p e n E RT N d d C dw 1-= 次处C 是一个常数，R 是气体方程的普适常数，N 是一个克分子中实际分子的数目，而E 是能量。假设α是这个体系的可以量度的参数，并且假设每一组值p p n 1都对应一个确定的α值，我们要用 αAd 来表示在偶然选定的一个时刻参数α的值处在α和ααd +之间的几率。于是
布朗运动理论一百年1 布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1927年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 科学前沿与未来 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D 的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 22D t x ρρ??=?? 假定在t =0时刻粒子位于x =0处，即ρ（x ，0）=δ（x ），扩散方程的解是： ()241,4πx Dt x t e Dt ρ-= 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t ，x 和x 2的平均值分别是： 〈x 〉=0，〈x 2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。
金融市场的布朗运动和分数布朗运动(马金龙) [转帖2005.08.27 00:49:37] 1 布朗运动及其在金融市场的应用 1.1 布朗运动 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。 原始意义的布朗运动(Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特?维纳(Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程(Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。 1.2 布朗运动在金融市场的应用 将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。 1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。遗憾的是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创了理论金融经济学新时代。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Arrow和Denreu(1954)提出一般经济均衡存在定理；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；以及稍后的Sharpe(1964)和Linther(1965)、Mossin(1966)等的资本资产定价模型(CAPM)；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)
布朗运动与伊藤引理的运用 唐雨辰3112352013 统计2107 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所著名数学家H.P.McKean的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定
义是维纳（Winener ）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t ?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z 在t ?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t ?的关系满足下式： z ?= (2.1) 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t ?，z ?的值相互独立。 从特征1可知，z ?本身也具有正态分布特征，其均值为0为t ?。 从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z 在一段较长时间T 中的变化情形。我们用z （T ）-z （0）表示变量z 在T 中的变化量，它可被看作是在N 个长度为t ?的小时间间隔中z 的变化总量，其中/N T t =?，因此， 1()(0)N i z T z ε=-=∑ (2.2) 其中(1,2,)i i N ε= 是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，i ε是相互独立的，因此z （T ）-z （0）也具有正太分布特征，其均值为0，方差为N t T ?=， 由此我们可以发现两个特征：○ 1在任意长度的时间间隔T 中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，○ 2对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。 当0t ?→时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： dz = （2.3） （2）、普通布朗运动
金融市场布朗运动研究的发展与状况 马金龙1,2马非特2 （1．中国科学院广州地球化学研究所，广东广州，510640, 2. 长沙非线性特别动力工作室，湖南长沙，410013） 摘要：布朗运动的理论构筑了主流金融经济学（数理金融学）的完整体系；分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机；而基于复杂系统科学的有限尺度布朗运动进行金融市场交易价格波动投机指明了方向。 关键词：金融市场，布朗运动，分形，分数布朗运动，有限尺度布朗运动 1 布朗运动及其在金融市场的应用 1.1 布朗运动 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。 原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特丒维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
布朗运动 在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1定义 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗最先用显微镜观察悬浮在水中花粉的运动而发现的。作布朗运动 的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。布朗运动可在气体和液体中进行。 2特点 无规则 每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力，由于分子运动的无规则性，每一瞬间，每个分子撞击时对小颗粒的冲力大小、方向都不相同，合力大小、方向随时改变，因而布朗运动是无规则的。 永不停歇
浅谈布朗运动 吉林大学 物理学院
浅谈布朗运动 摘要: 布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。本文对应用随机过程中的布朗运动理论进行了介绍，对布朗运动的背景，定义，性质及应用进行了阐述。 关键词: 布朗运动的定义;布朗运动的性质;布朗运动的应用 一、 概述 1827年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动.爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动.1918年,维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运动的简明数学公式和一些相关的结论。 如今,布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学中, 布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述. 从数学角度来看,布朗运动是一个随机过程。具体的说,是连续时间、连续状态空间的马尔科夫过程。 二、 布朗运动的定义 随机过程}0t t {X ≥），（如果满足： 1、00X =）（ . 2、}0t t {X ≥），（有独立的平稳增量. 3、对每个 t > 0，）（t X 服从正态分布) t 2,0N(σ
则称}0t t {X ≥），（为布朗运动，也称维纳过程。 常记为B(t),T ≥0或W(t), T ≥0。 如果1=σ，称之为标准布朗运动，标准布朗 运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳 随机函数。 皮兰1908的布朗运动实验 三、布朗运动的性质 1、它是高斯随机函数。 2、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是： {}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ?--=≤=?21/22 2()2()exp 2()y x t s t s πσσ-??-??=--????-?? 可以看出它对空间和时间都是均匀的。 3、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。 （1）、2 1( )(/)X t c Xtc = （c ＞0为常数，t ≥0） （2）、2()()()X t Xt h Xh =+- （h ＞0为常数，t ≥0） （3）、1 3()(0)()0 (0) tX t t X t t -?> =? =? 4、标准布朗运动的协方差函数2 (,)min(,)C s t s t σ=。 5、标准布朗运动非均方可微。 由于布朗运动()X t 是维纳随机函数，而后者按照定义应有 2 2 [()()] W t s W t h σ+-=。因而令()()X t W t =后，必有：2 2 ()()X t h X t h h σ+-?? = ? ?? ，
气溶胶灭火剂的性能（3） 作者： 三、气溶胶的动力学性质 1．气溶胶粒子的力学问题 一般而言，气溶胶粒子受到以下三种力的作用： （1）外力：如重力、电场力或离心力等； （2）周围介质的作用力：如气体介质对粒子运动的阻力，流体作为连续介质所形成的流体动力，流体中个别分子对粒子无规则撞击的热动力等； （3）粒子间相互作用的势力：如范德华力、库仑力等； 气溶胶粒子的力学现象虽然形形色色，若从基本过程考虑，大体有三类： （1）粒子在重力作用下的沉降过程和外力作用下的沉淀过程或扬起过程； （2）粒子之间在三种力联合作用下的碰并过程； （3）粒子上的物质与传热过程。 气溶胶粒子体系是一个多粒子体系，因此气溶胶粒子沉降等力学现象在大多数情况下是多粒子相互作用而产生的力学现象。多粒子力学即使在低雷诺数（Re）条件下也很难求解，为此在研究过程中总是把气溶胶粒子简化为一个孤粒子力学问题，同时又假定粒子形状为球形。因此，目前对气溶胶粒子的动力学研究仍较多地局限于球形粒子范围内。 2．气溶胶的动力学 气溶胶的动力学特性主要表现在三个方面：布朗运动、扩散、沉降与沉降平衡。其中最主要的是布朗运动，它是后两个特性的基础。另外，气溶胶还具有碰并和凝并的特点。（1）布朗运动 1827年，英国植物学家布朗（Brown）在显微镜下观察到悬浮于水中的花粉粒子处于不停息的，无规则的运动状态。以后发现凡是线度小于4×10-6m的粒子，在分散介质中皆呈现这种运动，由于这种现象是由布朗首先发现的故称为布朗运动。 气溶胶微粒的无规则热运动，是由于分散介质中气体分子的无规则热运动造成的。悬浮于气体中的微粒，处在气体分子的包围之中，气体分子一直处于不停的热运动状态，它们从四面八方连续不断地撞击着这些微粒。如果这些微粒相当大，则某一瞬间气体分子从各个方面对粒子的撞击可以彼此抵消，粒子便不会发生位移；若这些微粒较小时，则此种撞击便会不平衡，这意味着在某一瞬间，微粒从某一方向得到的冲量要多一些，因而会向某一方面发生位移，而在另一时刻，又从另一方向得到较多的冲量，因而又使其向另一方向运动，这样我们便能观察到微粒在不停地如图3-1所示的连续的、不断的、不规则的折线运动，由此可见，布朗运动是分子热运动的必然结果，是胶体粒子的热运动。 1905年爱因斯坦用几率的概念和分子运动论的观点，创立了布郎运动的理论，并推导出爱因斯坦——布朗平均位移公式： X=（RTt/3NAπrη）1/2 式中：X——t时间间隔内粒子的平均位移； r——微粒的半径； η——分散介质的粘度系数； T——温度； R——摩尔气体常数； NA——阿佛加德罗常数。 由上式可知，当其它条件一定时，微粒的平均位移与其粒径的平方根呈反比，这就是说粒径越小，微粒的布朗运动越剧烈。
43 布朗运动 华东理工大学化学系 胡 英 43.1 引 言 1827年，英国植物学家布朗(Brown R)在光学显微镜下发现了悬浮 在水中的花粉颗粒进行着无休止的不规则运动，他正确地将这种以后被 称为布朗运动的起因归结于物质的分子本性。但争论一直延续，直到 1888年古艾(Gouy G)做了排除了其它可能原因如机械振动、对流和光照 的实验后，才告消除。正如佩兰(Perrin J)在1910年指出的，颗粒的独立 运动并不受到密度和组成的影响。 在《物理化学》6.4中对布朗运动已有了初步的讨论，导得了爱因 斯坦(Einstein A)-斯莫鲁霍夫斯基(Smoluchowski M von)方程， Dt z 22>=<，其中><2z 是颗粒在t 时的均方位移，D 是扩散系数； 又导得斯托克斯(Stokes G G)-爱因斯坦方程，) π6/(L r RT D η=， r 是颗粒半径，η是粘度。在本章中将进行更深入的介绍。我们将从计入随机 力的朗之万(Langevin P)方程开始，首先对单个粒子的运动解出其速度和 位移，并引入时间相关函数；然后讨论在位形和速度相空间中找到颗粒 的概率，导出其随时间的演变，得出扩散方程。最后在结语中简要提及 不同颗粒运动间的相关。对布朗运动的进一步了解，将为研究稠密流体 包括高分子熔体中的传递打下良好的基础。 43.2 朗之万方程 设在粘度为η、密度为ρ的流体中，有一半径为a 质量为m 的中 性球体颗粒漂浮着，颗粒密度可视为与流体密度相同，因此有 3/43ρa m π=。如果时间尺度比起ηρ/2a 足够长(后者称为粘滞弛豫 viscous relaxation ，来源见后)，运动的幅度又比a 小时，这时流体的粘 滞响应可用准稳态的斯托克斯拖曳力来表示，可以应用斯托克斯定律 u f a ηπ=6，f 即拖曳力或摩擦力，t d /d r u =是颗粒的运动速度，r 是 位置，f 、u 、r 均为矢量。这种处理将流体分子作用于颗粒上的力分解 为两部分：一是平均的拖曳力f ， 另一个则为随时间涨落的随机的布朗
随机过程在金融领域的作用 14 王颖浅谈布朗运动在金融领域的应用 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么人们是迷惑不解的。在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。 到了70——80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。植物学家耐格里(1879)从真菌、细菌等通过空气传播的现象，认为这些微粒即使在静止的空气中也可以不沉。联系到物理学中气体分子以很高速度向各方向运动的结论，他推测在阳光下看到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向撞击
气溶胶灭火剂得性能（３） 作者： ?三、气溶胶得动力学性质 １。气溶胶粒子得力学问题?一般而言,气溶胶粒子受到以下三种力得作用：（１)外力：如重力、电场力或离心力等；?（２)周围介质得作用力：如气体介质对粒子运动得阻力，流体作为连续介质所形成得流体动力，流体中个别分子对粒子无规则撞击得热动力等； （3）粒子间相互作用得势力:如范德华力、库仑力等；?气溶胶粒子得力学现象虽然形形色色,若从基本过程考虑，大体有三类： （1）粒子在重力作用下得沉降过程与外力作用下得沉淀过程或扬起过程; ?(2）粒子之间在三种力联合作用下得碰并过程; ?(3）粒子上得物质与传热过程。 ?气溶胶粒子体系就是一个多粒子体系，因此气溶胶粒子沉降等力学现象在大多数情况下就是多粒子相互作用而产生得力学现象。多粒子力学即使在低雷诺数(Ｒｅ）条件下也很难求解，为此在研究过程中总就是把气溶胶粒子简化为一个孤粒子力学问题，同时又假定粒子形状为球形。因此,目前对气溶胶粒子得动 2.气溶胶得动力学?气溶胶得动力学研究仍较多地局限于球形粒子范围内。? 力学特性主要表现在三个方面：布朗运动、扩散、沉降与沉降平衡。其中最主要得就是布朗运动,它就是后两个特性得基础。另外,气溶胶还具有碰并与凝并得特点。 （１）布朗运动 18２7年,英国植物学家布朗（Brｏwｎ)在显微镜下观察到悬浮于水中得花粉粒子处于不停息得,无规则得运动状态。以后发现凡就是线度小于４×10—6m得粒子,在分散介质中皆呈现这种运动，由于这种现象就是由布朗首先发现得故称为布朗运动. 气溶胶微粒得无规则热运动,就是由于分散介质中气体分子得无规则热运动造成得.悬浮于气体中得微粒,处在气体分子得包围之中，气体分子一直处于不停得热运动状态，它们从四面八方连续不断地撞击着这些微粒.如果这些微粒相当大，则某一瞬间气体分子从各个方面对粒子得撞击可以彼此抵消,粒子便不会发生位移；若这些微粒较小时,则此种撞击便会不平衡,这意味着在某一瞬间，微粒从某一方向得到得冲量要多一些,因而会向某一方面发生位移，而在另一时刻，又从另一方向得到较多得冲量，因而又使其向另一方向运动，这样我们便能观察到微粒在不停地如图3－1所示得连续得、不断得、不规则得折线运动,由此可见，布朗运动就是分子热运动得必然结果,就是胶体粒子得热运动。?1９０5年爱因斯坦用几率得概念与分子运动论得观点，创立了布郎运动得理论，并推导出爱因斯坦——布朗平均位移公式：?Ｘ=（RTｔ／３NAπrη)１/ ２?式中：X—-ｔ时间间隔内粒子得平均位移； r——微粒得半径; η——分散介质得粘度系数； T——温度； R——摩尔气体常数; ?NA-—阿佛加德罗常数。?由上式可知，当其它条件一定时,微粒得平均位移与其粒径得平方根呈反比,这就就是说粒径越小,微粒得布朗运动越剧烈。 (２）扩散 在有浓度梯度存在时,物质粒子因热运动而发生宏观上得定向迁移得现象,称
大学物理设计性实验 姓名：徐名霞 专业：应用化学 班级：107 学号：1002010724
布朗运动及其相关的理论研究 摘要:布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证明了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。本文就布朗运动的发现及概念、相关物理学理论、数学中的布朗运动、前人对布朗运动的研究过程、爱因斯坦在布朗运动方面做的工作等几个方面进行了介绍，并对布朗运动研究的前景进行了展望。 关键字：布朗运动、扩散定律、随即过程、爱因斯坦（1879-1955） 一、什么是布朗运动？ 悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫布朗运动（Brownian movement）。 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。 它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循波尔兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确的测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。 二、与布朗运动相关的物理学概念 布朗运动的发现、研究实验和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动了统计物理学的特别是涨落理论的发展。 由于布朗运动代表一种随即涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 下面列举的是一些与布朗运动相关的物理学中德概念：
爱因斯坦与布朗运动 摘要：爱因斯坦从理论和定量的角度对布朗运动进行了研究，他巧妙地在物理学中运用数学，在1905年发表的关于布朗运动的研究使这场科学上关于原子、分子非实在性的争论宣告结束．本文就对其布朗运动的研究做粗浅的介绍。 关键词：爱因斯坦；布朗运动；1905 Abstract：Einstein use theory and quantitative point of brownian motion carried out research, he subtly in physics, mathematics, and in 1905 make use of brownian motion a study of the science of atoms, molecules not really a debate the article ，To the brown of the study of a crude. keywords: Einstein；Brownian motion；1905 从古至今，人类一直在探索宇宙的本原．古希腊人认为，亘古以来就存在着无数的原子，原子既不能创生，也不能消灭。由于宗教影响，原子论沉浸了两千年之久。17、18世纪，由于对蒸汽机的研究和改进，对蒸汽和真空的实验研究也取得了一定的成绩。因此，原子论的研究再度兴起．引发了一场长久的原子—分子论。 为了使分子动理论成为一种精确的物理理论，对分子大小的精确测定是19世纪末至20世纪初一个重要的研究课题．爱因斯坦在大学时就开始关注原子—分子的论战，并不畏权威地站到玻耳兹曼这边。布朗最早用显微镜观察悬浮在液体中的花粉粒子的运动，并于1827年8月发表有关布朗运动的文章．但当时科学家们并没有把它与分子运动联系起来，古伊1888年才认识到布朗运动是由于液体内部的扰动引起的．可惜他的研究是定性的，没有引起玻耳兹曼及其他坚持分子运动论的科学家的注意，因此对当时的论战没产生什么影响．爱因斯坦运用统计方法对布朗运动进行了深入的理论研究，得出了很多重要结论。 到1905年，对于分子大小的测定已有几种实验方法．但当时测定的都是气体分子的大小．爱因斯坦的论文——《分子大小的新测定》，首次给出了一种用液体中的现象来测定分子大小的方法：不离解的稀溶液中溶质的分子的大小，可以从溶液和纯溶剂的内摩擦，以及从溶质在溶剂里面的扩散(率)求出来．只要一个溶质的分子的体积大于一个溶剂分子的体积就行了。该文将流体力学的技巧与扩散理论相结合，创造了一种测定分子大小和阿伏伽德罗常量的精确度很高的新方法． 1905年5月11日爱因斯坦完成了《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》论文，文中用统计方法得出悬浮粒子不规则运动的均方根位移公式：间接证明了分子的存在。 爱因斯坦的第三篇论文是《关于布朗运动的理论》，他给出了在室温下，直径为1 μm和密度ρ=1 g／cm3的小物体，在水中发生平动和转动的最小时间间隔大约是10-1s． 爱因斯坦研究布朗运动的基本思路是这样的：他首先利用流体力学的知识，把水看成是一种不可压缩的均匀的流体，而糖分子则是全同的刚性球形粒子．然后用统计的方法，得出糖分子扩散的规律．在此基础上，再考虑糖分子会增加水的粘滞性，把糖在水中的迁移率和粘滞度代入相关方程，很自然就得到了阿伏伽德罗常数．所以美国物理学家施塔赫尔称赞说：“布朗运动的论文也扩大了经典力学概念的应用范围．”
浅谈布朗运动在金融领域的应用 摘 要：布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机 过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。布朗运动贯穿于金融领域中，在现代金融领域中占有重要地位。 关键词： 布朗运动、金融、应用 一．布朗运动及其性质 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。可用函数表示：如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。 1）、21()(/)X t cX t c = （c ＞0为常数，t ≥0） 2）、2()()()X t X t h X h =+- （h ＞0为常数，t ≥0） 3）、13()(0)()0(0)tX t t X t t -?>=?=? 具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。 二．布朗运动在金融领域的发展 1900年法国的巴施利叶在博士论文《投机理论》中将股票价格的
涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符当然，巴施利叶所谓的“布朗运动”，实质上指的是股市的价格变动，换句话说，他把股价的变动，理想化为布朗运动．可见，在物理学界尚未把布朗运动研究清楚之前，它象征“无规行走的意义，早就被经济研究所吸纳了。控制论创始人维纳于1923年对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，因而是一种马尔科夫过程，数学界也常把布朗运动称为维纳过程。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定价理 三．布朗运动在金融领域的应用 布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。 将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，