立体几何平行垂直问题专题复习

立体几何平行、垂直问题

【基础知识点】

一、平行问题

1．直线与平面平行的判定与性质

定义判定定理性质性质定理图形

条件a∥α

结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b

2.

判定

性质

定义定理

图形

条件α∥β，aβ

结论α∥βα∥βa∥b a∥α

平行问题的转化关系：

二、垂直问题

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则

该直线与此平面

垂直

推论

如果在两条平行

直线中，有一条垂

直于平面，那么另

一条直线也垂直

这个平面

文字语言图形语言符号语言

性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意

直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

二、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一个

平面的垂线，则这

两个平面垂直

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于

F

D

C1

A1C

交线的直线垂直于

另一个平面

【典例探究】 类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，

2AC BC ==，14AA =，22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中

点.

（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．

【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。

（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ； （3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。

二、线面平行与垂直的性质

例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，

AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，

225AB DC ==

（1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．

A

B C

A 1

B 1

C 1

M

N

M

D

P

B

C

例4、如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，.3

1= （I ）求证：PC BC ⊥； （II ）求三棱锥C —DEG 的体积；

（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。若存在，求AM 的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.

(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(Ⅱ) A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行证明你的结论.

三、三视图与折叠问题

例5

若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ；

（1） 证

明：BD ∥面PEC

； （2） 求三棱锥E PBC -的体积。

例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB DE BAD DC AB ⊥?=∠==,45,1,3（如图1）。现将ADE ?沿DE 折起，使得EB AE ⊥（如图2），连结AB AC ,。 （I ）求证：平面⊥ADE 平面ACD ；

（II ）试在棱AB 上确定一点M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比1:2:=MECB ADCME V V ；

（III ）在点M 满足（II ）的情况下，判断直线AD 是否平行于平面EMC ，并说明理由。

A

B

E

P

D

C 侧视图

俯视图

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E 为PD 中点.

（I ）求证：PB C PAB

-λ=FA

PF

λ⊥PA 【变式4】如图1所示，正ABC ?的边

长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点。现将ABC ?沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD （如图2）

（1）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；

（2）求三棱锥C-DEF 的体积。 四、立体几何中的最值问题

例7.图4，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A= AB=2. (1)求证: BC ⊥平面A 1AC ；

(2)求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.

例8. 如图，在=2,2

ABC B AB BC P AB π?∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC

于 点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ??⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；

（2）若点P 为AB 的中点，E 为'

'.AC

B DE ⊥的中点，求证：A 【变式5】如图3，已知在?A B

C 中，∠=?C 90，P A ⊥平面ABC ，A E P B ⊥于E ，A

F P C ⊥于F ，A P A B ==2

，∠=A E F θ，当θ变化时，求三棱锥PA E F -体积的最大值。 图1

图2

图4

A B

C A 1

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）

【典例探究】

例1解：（Ⅰ）∵M AB 为中点,D 为PB 中点, ∴MD ∥AP ，又∴MD APC ?平面 ∴DM ∥APC 平面

（Ⅱ）∵△PMB 为正三角形,且D 为PB 中点，∴

MD PB ⊥

又由（1）∴知,MD AP ⊥ ∴AP PB ⊥ 又已知AP PC ⊥ ∴AP PBC ⊥平面， ∴AP BC ⊥，又∵AC BC ⊥

∴BC APC ⊥平面,∴平面ABC ⊥平面PAC , （Ⅲ）∵20AB =，∴10MB =,∴10PB = 又4BC =

，PC ===

∴1

1142

44BDC PBC S S PC BC ??==?=??=

∴11

33

D BCM M BCD

BDC V V S DM --?==?=?= 例2.（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC

又因为CN ?平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ……………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点， 所以CN AB ⊥. ………………………………………… 2分

因为1

AA AB A =， …………………………………………… 3分

所以CN ⊥平面11ABB A ．

…………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，

因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，

A

B

C A 1

B 1

C 1

M N

G

所以1//NG BB ，112

NG BB =. 又因为1//CM BB ，11

2

CM BB =， 所以//CM NG ，CM NG =.

所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分

所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分

因为CN ?平面1AMB ，GM ?平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分

所以1

1

MN M N 1124

423223

B A AB V V --==??

??=. ………………………… 13分 变式1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证1AF B F ⊥，在根据勾股定理的

逆定理证明1B F EF ⊥；（3）由于点D 是线段1AB 的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的12

，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 【解析】（1）取AB 中点O ，连接DO CO ,

∴=∴=

,,//,2

1

,//11CE DO CE DO AA DO AA DO 平行四边形DOCE ，?∴DE CO DE ,//平面ABC ，?CO 平面ABC ，//DE ∴平面ABC 。 （4分）

（2）等腰直角三角形ABC ?中F 为斜边的中点，BC AF ⊥∴ 又 直三棱柱111C B A ABC -，∴面⊥ABC 面C C BB 11， ⊥∴AF 面B C 1，F B AF 1⊥∴

设EF F B E B EF F B E B EF F B AA AB ⊥∴=+∴===

∴==121221111,,2

3,23,26,1 又,F EF AF = ⊥∴F B 1面AEF 。 （8分）

（3）由于点D 是线段1AB 的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距

O

P

D C B

A

离的12。2

2126

22B F a a a ??=+= ? ???

，所以三棱锥D AEF -的高为6a ；在Rt AEF ?中，32,EF a AF a =

=，所以三棱锥D AEF -的底面面积为2

6a ，故三棱锥D AEF -的体积为231661

316

a a a ??=。（12分） 二、线面平行与垂直的性质

例3.（1）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，25AB =，

∴222

AD BD AB +=. ……

2分

∴ AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ?平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD . …… 4分

（2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .

又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分 ∵PAD △是边长为2的等边三角形， ∴3PO =. 由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中，

斜边AB 边上的高为45

5AD BD h AB ?=

=. …… 8分

∵AB DC ∥，∴

1145

52

225ACD S CD h =?=??=△. …… 10分

∴

11232333A PCD P ACD ACD V V S PO --==?=??=

△. …… 14分 例4、（I ）证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴

又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ， ∵PDICE=D ， ∴BC ⊥平面PCD

又∵PC ?面PBC ，∴PC ⊥BC

（II ）解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G —DEC 的高。

∵E 是PC 的中点，1)222

1(212121=???===∴???PDC EDC EDC S S S

（III ）连结AC ，取A C 中点O ，连结EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，则PA MEG PA MEG EO 平面平面??, OCG ?∴OAM ?,32==∴CG AM .3

2明：(Ⅰ)直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC . 又∵∠BAD =∠ADC =90°，AB =2AD =2CD =2， ∴AC =2，∠CAB =45°，∴BC =2，∴BC ⊥AC . 又BB 1∩BC =B ，BB 1，BC ?平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C . (Ⅱ)存在点P ，P 为A 1B 1的中点。

证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1=2

1AB . 又∵DC ∥AB ，DC =2

1

AB ，∴DC ∥PB 1，且DC =PB 1，

∴DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP .又CB 1∥?ACB 1,DP ?面ACB 1，∴DP ∥面ACB 1. 同理，DP ∥面BCB 1.

例5、

（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥面ABCD ， PA ∥EB ，2 4.PA EB

== ,PA AD =F 为PD 中点，.PD AF ∴⊥

又,,CD DA CD PA ⊥⊥,CD AF ∴⊥AF ⊥面PCD 。

（2）取PC 的中点M ，AC 与BD 的交点为N ，1,2MN PA

∴=MN ∥PA ， ,MN EB ∴=MN ∥EB ，故BEMN 为平行四边形，

EM ∴∥BN ，BD ∴∥面PEC 。

A B

E P

D

C

4

4

2

2

4

4

4 正视图

侧视图

俯视图

（3）1116()323

E PBC C PBE V V BE AB BC --=== 例6.答案略

变式3.解：（１）由三视图得，四棱锥底面ABCD 为菱形, 棱锥的高为3,设AC BD O ?=,则PO 即是棱锥 的高,底面边长是2，连接OE ，,E O 分别 是,DP DB 的中点，OE ∴∥BP ，

,OE AEC BP AEC ??面面PB ∴∥AEC 面

（2）1111(223)332232V V V ??

===?????=????三棱锥C-PAB 三棱锥P-ABC 四棱锥P-ABCD

（3）过O 作3

,,3,3,232

OF PA POA PO AO PA AF ⊥====

在Rt 中----10分 :3,,

,,PF FA OF PA PO BD AC BD PO AC O BD PAC

λ∴=⊥⊥⊥?=∴⊥时即=3时面---------------12分

,BD PA OF PA BD OF O PA BDF ∴⊥⊥?=∴⊥由且面---------------14分

变式4.解：（1）判断：AB2分 证明：

因在ABC ?中，E ，F 分别是

AC ，BC 的中点，有

EF5分 又因

AB ?平面DEF ，

EF ?平面DEF…………..6分 所以

图（2）

图（1）

F

E

F

E

A

C

A

B

D

C

D M

AB7分

（2）过点E 作EM ⊥DC 于点M ，

面ACD ⊥面BCD ，面ACD 面BCD ＝CD ，而EM ?面ACD

故EM ⊥平面BCD 于是EM 是三棱锥E-CDF 的高……………………………..9分

又?CDF

的面积为21112224

CDF BCD S S CD BD a a ??==??== EM ＝1

122

AD a =……………………………………………………………………11分 故三棱锥C-DEF 的体积为 四、立体几何中的最值问题

例7.证明:∵C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，

AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC ⊥AC, (2)

分 ∵AA 1⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴AA 1⊥BC ， ……4分 ∵AA 1∩AC=A ，AA 1平面AA 1 C ，AC 平面AA 1 C ， ∴BC ⊥平面AA 1C. ……6分 (2)解法1：设AC=x ，在Rt △ABC 中，

BC ==……7分

故1

A -ABC ABC 11

1111

V =S

AA AC BC AA 3323

?=????= ……9分

即1

A -ABC 1

V =3=

=……11分 ∵0

三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为2

3

. ……14分

图4

A

B

C A 1

解法2: 在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2=4， ……7分

1A -ABC ABC 1

11

11

V =S

AA AC BC AA 3

32

?=???? ……9分 22211AC BC 1AB 2AC BC 332323

+=?≤?=?=. ……11分 当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时2.

例8.解：（1）设x PA =，则)2(31312

x

x x S PA V PDCB PBCD

A -=?='底面- 令)0(,632)22(31)(3

2>-=-=x x x x x x f

则2

32)(2

x x f -='

单调递增

极大值

单调递减

由上表易知：当3

3

2==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。 证明：

（2）作B A '得中点F ，连接EF 、FP

由已知得：FP ED PD BC EF ////2

1

//? PB A '?为等腰直角三角形，PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.

变式6. 解：因为P A ⊥平面ABC

B C ?平面ABC ，

所以P A B C ⊥

又因为B C A C P A A C A ⊥?=,，

所以B C ⊥平面PAC ， 又A F ?平面PAC ， 所以B C A F

⊥， 又A F P C P C B C C ⊥?=,，

所以A F ⊥平面PBC ，即A F E F ⊥。 EF 是AE 在平面PBC 上的射影， 因为A E P B ⊥， 所以E F P B ⊥， 即P E ⊥平面AEF 。 在三棱锥PA E F

-中， A P A BA E P B ==⊥2,，

所以P E A E ==22,，

因为02

<<θπ

，

所以02021<<<≤θπθ

，s i n

因此，当θπ

=

4

时，V P A E F

-取得最大值为26。

立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法

有关平行、垂直问题常见判定方法 一、 线线平行的判定 1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c 2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行． 3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线 与交线平行． a ∥α，a ?β， αβ=b ==> a ∥b β αb a 4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β, γα=a , γβ=b ==> a ∥b γ β αb a 5、 平行于同一平面的两直线互相平行． a ⊥α， b ⊥α ==> a ∥b αb a 二、 线面平行的判定 1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a

平面平行． a ?α， b ?α，a ∥b ==> a ∥α αb a 2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行． α∥β，a ?α ==> a ∥β α βa 3、 α⊥β，a ⊥β，a ?α ==> a ∥α β α a 4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ?α ==> a ∥α α a b 三、 面面平行的判定 1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行． a ?α， b ?α， a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥β

O α β a bα β a 2、垂直于同一直线的两个平面互相平行． a⊥α，a⊥β==> α∥β(见上图) 3、平行于同一平面的两个平面互相平行． α∥γ，β∥γ==> α∥β α γ β 4、柱体的上下底面互相平行 四、线线垂直 1、线线垂直的定义：a与b所成的角为直角． 2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a⊥α，b?α==> a⊥b α a b 3、a⊥α，b∥α==> a⊥b

立体几何平行垂直问题专题复习

立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 2.面面平行的判定与性质 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面a内的 ____________ 都垂直，就说直线丨与平面a互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论

该直线与此平面 垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另 一条直线也垂直这个平面 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言付号语言 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直 线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言付号语言 判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言付号语言性质定理 两个平面垂直，则 一个平面内垂直于

交线的直线垂直于 另一个平面 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC 中，AP PC, AC BC, M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△ PMB 为正三角形。(I)求证： DM //平面 APC ； (U)求证：平面 ABC 平面APC ； (川)若BC 4，AB 20，求三棱锥 D BCM 的体积。 例2.如图，已知三棱柱 ABC A ,BQ 中，AA ,底面ABC ， AC BC 2，AA , 4， AB 22，M 占 八、、? (I)求证：CN 平面ABB iA ； (U)求证：CN // 平面 AMB ,； (川)求三棱锥的体积. 【变式1】?如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA i 平面ABC ， ABC 为等 腰直角三角形， BAC 90，且 AB AA 1， D,E,F 分别是 B 1A,CC 1,BC 的中点。 (1)求证：DE//平面ABC ; 2)求证：B 1F 平面AEF ; (3)设AB a ，求三棱锥D AEF 的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4,在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD ， AB // DC ， △ PAD 是等边三角形，已知BD 2AD 4， AB 2DC 2 5 . (1)求证：BD 平面PAD ; (2)求三棱锥A PCD 的体 B1 积. M N 分别是棱CC i ，AB 中 A i B A

高一立体几何平行垂直解答题精选

高一立体几何平行、垂直解答题精选 2017.12.18 1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN. 2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由. 3．在正方体1111ABCD A B C D 中， M ， O 分别是1,A B BD 的中点.

（1）求证： //OM 平面11AA D D ； （2）求证： 1OM BC ⊥. 4．如图， AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====. （1）求证：平面AFC ⊥平面CBF ； （2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由. 5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中， 13AA =， 2AB =， N 为棱AB 的中点． （1）求证： 1AC P 平面1NB C ． （2）求证：平面1CNB ⊥平面11ABB A ． （3）求四棱锥111C ANB A -的体积．

6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AF AC AD λλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC ； （2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ? 7．如图，在菱形ABCD 中， 60,ABC AC ∠=o 与BD 相交于点O ， AE ⊥平面ABCD ， //,2CF AE AB AE ==. （I ）求证： BD ⊥平面ACFE ； （II ）当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为10时，求证： EF BE ⊥； （III ）在（II ）的条件下，求异面直线OF 与DE 所成的余弦值. 8．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .

立体几何平行与垂直经典证明题

N M P C B A 新课标立体几何常考证明题汇总 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面平行的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面垂直的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C

立体几何平行垂直问题专题复习

立体几何平行、垂直问题【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题

一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言性质定理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直

线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中， ,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB

F D E C1 A1 C A 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =， 22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点. （Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角 三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ； （3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC == A B C A 1 B 1 C 1 M N

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C

立体几何平行垂直有关定理总结

立体几何有关平行垂直定理总结 BHS 文字语言图形语言符号语言 1 线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （线线平行?线面平行） 2 线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （线面平行?线线平行） 3 面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. （线面平行?面面平行） 4 面面平行的性质如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任何一条直线都平行于另 外一个平面 （面面平行?线面平行） a a αβ β α ? ? ? ?? ∥ ∥ 5 面面平行定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行. （线线平行?面面平行） 6 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行. （面面平行?线线平行） 7 线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. （线线垂直?线面垂直） 8 线面垂直的定义如果一条直线垂直于一个平面，那 么这条直线就垂直于这个平面内的 任何一条直线。 （线面垂直?线线垂直） a a b b α α ⊥? ?⊥ ? ?? 9 面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直. （线面垂直?面面垂直） b aβ α b a β α O // /// // //,// , , a a b b a b O a b O a b a b // a/ b/ b a β α O

高三数学复习：立体几何的平行与垂直证明(教师)

高三数学复习 ——立体几何中的平行与垂直的证明 一、平面的基本性质 公理1： 公理2： 推论1： 推论2： 推论3： 公理3： 二、空间中直线与直线的位置关系 平行： 相交： 异面： 三、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α

平行问题的转化关系： 四、垂直问题 （一）、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． （二）、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直

2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 例2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =， 22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点. （Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． A B C A 1 B 1 C 1 M N M D P B C

立体几何平行问题专题(学生版)

高三复习——立体几何平行问题专题（学生版） ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结 面面平行 线面平行线线平行

二、概念理解——判断下列命题真假 （1）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（ ） （2）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；（ ） （3）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点；（ ） （4）平行于同一平面的两条直线互相平行；（ ） （5）αα//,//a b b a ??； （ ） （6）b a b a ////,//?αα； （ ） （7）αα////,//a b b a ?； （ ） （8）b a b a //,//??αα； （ ） （9）已知平面 α，β 和直线 m ，若,//,m m αβ?，则 α

练习：如图13，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 .求证：PQ∥平面BCE． 点P、Q，且AP DQ

解法二：（简要过程） A B C D F E P Q 解法三：（简要过程） A B C D F E P Q 四、举一反三 1．（17文科1）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2．（17文科2）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 2 AD ,

∠BAD =∠ABC =90°．证明：直线BC∥平面PAD ； 3．（16文科3）如图，四棱锥中，平面，AD BC ，AB ， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB .

高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系

高中数学总复习- 第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系 【知识结构图】 第3课空间中的平行关系 【考点导读】 1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1．若b a、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交

2．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假． 命题的个数是 4 个。 3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。 4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ?a ∥b ；③α∥c ，β∥c ?α∥β； ④α∥r ，β∥r ?α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ?a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ?a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。 【范例导析】 例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面． ∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH 面ABC ，GF 面ABD ， 由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB ∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ． 例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.

立体几何平行垂直问题专题复习

【基础知识点】 」、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 2.面面平行的判定与性质 、垂直问题 、直线与平面垂直 1 .直线和平面垂直的定义： 直线I 与平面a 内的 ___________________ 都垂直，就说直线 I 与平面a 互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 立 体 几 何 平 行 垂 直 问 题 平行问题的转化关系: 41*

面，那么另一条直线也 垂直这个平面 文字语言图形语言付号语言 性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 ②垂直于同一个平面的两条直线平彳 _____ ③垂直于同一条直线的两平面平彳 ______ 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言付号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直 2 文字语言图形语言付号语言 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平 面 【典例探究】类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥 A BPC中，AP PC, AC BC, M为AB中点，D为

PB中点，且△ PMB为正三角形。（I）求证: DM // 平面APC ; （U）求证：平面ABC 平面APC ; （川）若BC 4，AB 20，求三棱锥 D 例2. 如图，已知三棱柱ABC ABC,中，

AC BC 2, AA 4 , AB 2.2 , M , N 分别是棱CC,, AB 中点? (I)求证：CN 平面ABB,A ； (U)求证：CN// 平面AMB,; (川)求三棱锥B, AMN的体积. 【变式11 .如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA i平面ABC，ABC为等腰直角三角形，BAC 90，且AB AA1 , D,E,F分别是 点。 (1)求证：DE//平面ABC ; (2)求证：B1F 平面AEF ; (3)设AB a，求三棱锥D AEF的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4,在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD， AB 〃DC，△ PAD是等边三角形，已知BD 2AD 4， AB 2DC 2.5 . (1)求证：BD 平面PAD ；(2)求三棱锥A PCD的体 积. 例4、如图，四棱锥P—ABCD中, PD 平面ABCD底面ABCD为正方形，BC=PD=2 E为PC的中点，CG ^CB. (I )求证：PC BC ; (II )求三棱锥 3 C- DEG W 体积； (III ) AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG若存在，求AM的长；否则，说明理由。 【变式2】直棱柱ABCDABCD底面ABCD是直角梯形，/ BAD^Z AD G90°，AB= 2AD= 2CD= 2. (I)求证：AC 平面BBCQ; ( II) A1B上是否存一点P，使得DP与平面BCB B1 B1A, CC1, BC

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β a b a =?? βαβ α ∥b a ∥?b a b a //// ??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα ∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα ??α ∥a ?

立体几何中的向量方法：平行与垂直

立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础知识在线】 知识点一 空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系 【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向，这个向量a 叫做直线的方向向量. 2. 直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a r ，则向量a r 称为平面α的法向量. (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法 （1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x =由?????=?=?,00得???=++=++,00 321 321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中 的任一个赋值，求出另两个，所得即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为,，平面βα,的法向量分别为,，则 线线平行：;,////R k k m l ∈=?? 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=??⊥?⊥b a b a m l

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?三、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

3.1立体几何平行垂直有关定理总结

立体几何有关平行垂直定理总结 文字语言图形语言符号语言 1 线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （线线平行?线面平行） 2 线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （线面平行?线线平行） 3 面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. （线面平行?面面平行） 4 面面平行的性质如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任何一条直线都平行于另 外一个平面 （面面平行?线面平行） a a αβ β α ? ? ? ?? ∥ ∥ 5 面面平行定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行. （线线平行?面面平行） 6 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行. （面面平行?线线平行） 7 线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. （线线垂直?线面垂直） 8 线面垂直的定义如果一条直线垂直于一个平面，那 么这条直线就垂直于这个平面内的 任何一条直线。 （线面垂直?线线垂直） a a b b α α ⊥? ?⊥ ? ?? 9 面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直. （线面垂直?面面垂直） b aβ α b a β α O // /// // //,// , , a a b b a b O a b O a b a b a a b b ? ? 烫 烫 //a b T a/ b/ b a β α O

空间几何体证明平行、垂直问题

证明共线、共面、线交于一点问题 1、正方体中ABCD A B C D ''''-中，,,,,,E F G H K L 分别为,,,,,AB BC CC C D D A AA ''''''的中点.求证：这六点共面 2、如图，在四棱锥ABCD 中，,E G 分别为,BC AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有::2:3DF FC DH HA ==，求证：,,EF GH BD 交于一点 3、如图所示，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若,EG DC 的延长线交于M ;,FG BC 的延长线交于N ;,EF DB 的延长线交于P .求证：,,M N P 三点共线 A O C E B H F G D P A D N M B E F G C

证明线面、面面平行问题 4、在正方体''''ABCD-A B C D 中，E 是'DD 的中点，求证：'B D //平面''A C E 5、已知,,AB BC CD 是不在同一平面内的三条线段，求证：经过,,AB BC CD 的中点,,E F G 的平面平行于AC 和BD 6、已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：//PD 平面MAC C ' C B ' A ' A D ' B E D A C F B E G D P C D A M B

7、已知,E F 分别为正方体--ABCD A B C D ''''的棱,BC C D ''的中点，求证：//EF 平面 BB D D '' 8、在正方体--ABCD A B C D '' ''中，,,E F G 分别为,,B C A D A B ''''''的中点，求证：平面//EBD 平面FGA 证明线面垂直问题 9、已知PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上任意一点，经过A 作⊥AE PC 于点E ，求证：⊥AE 平面PBC C ' B A A ' D B ' E D ' F E C C ' B A A ' D B ' D ' F G E

立体几何中平行与垂直的证明

D 1 B 1 D A B C E 1 A 1 C 立体几何中平行与垂直的证明 姓名 【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系; 2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法. 例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1． 【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法： 【变式一】如图，在长方体1 111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。 求证：E D 1⊥D A 1； 【反思与小结】1．证明线线垂直的方法： 1． 谈谈对“点E 在棱AB 上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体 【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩 形，且,22 1 ==AD AF G 是EF 的中点， （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2 ）求空间四边形AGBC 的体积。 反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A 】的图复原有什么新的认识？ D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C

【变式二B 】. 如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)111 A B C A B C -中，8A B =， 6A C =，10B C =， D 是B C 边的中点. （Ⅰ）求证： 1A B AC ⊥； （Ⅱ ）求证：1A C ∥ 面1AB D ； 【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？ 【变式三】如图组合体中，三棱柱111A B C A B C -的侧面11A B B A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111 A B C C B -与圆柱的体积比． 【反思与小结】 1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。 2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会 【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE. 【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？

高中数学-立体几何平行垂直

立体几何位置关系-平行与垂直 高中立体几何的学习，重点在于证明和体积表面积求解，难点在于二面角的求解。 考试题型以解答题和选择题为主，高考难度划分属于中档题。 （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平 行。 （4）、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （9）、如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 （11）、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （12）、垂直于同一平面的两直线平行。 （13）、垂直于同一条直线的两个平面平行。 （14）、一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （15）、一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 （16）、如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 公理4 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 三垂线逆定理 三垂线定理 ⑴ ⑵ ⑷ ⑶ ⑸ ⑹ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⑼ ⑽ ⒂ ⒃ ⑺ ⑻

立体几何中的平行与垂直问答作业任务任务答案解析

立体几何中的平行与垂直问题作业 1.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点． (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：BB1⊥AC. 2.(2019·苏锡一模)如图29-7，正三棱柱ABCA1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D 是棱CC1上靠近C的三等分点． 求证：(1)B1M∥平面A1BN； (2)AD⊥平面A1BN.

立体几何中的平行与垂直问题作业答案 1.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点． (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：BB1⊥AC. （1）证明：因为在三棱柱ABC－A1B1C1中， 所以四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行 四边形， 又因为E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对 角线的交点， 所以E，F分别是AB1，CB1的中点， 所以EF∥AC，又因为EF?平面ABC，AC?平面ABC， 所以EF∥平面ABC; （2）证明：因为四边形AA1B1B为矩形， 所以BB1⊥AB， 又因为平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1?平面AA1B1B，平面AA1B1B

∩平面ABC＝AB， 所以BB1⊥平面ABC， 因为AC?平面ABC所以BB1⊥AC. 2.(2019·苏锡一模)如图29-7，正三棱柱ABC-A1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1， AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点． 求证：(1) B1M∥平面A1BN； (2)AD⊥平面A1BN. （1）证明：连接MN，正三棱柱ABC-A1B1C1 中，四边形AA1C1C是平行四边形，AA1∥CC1 且AA1＝CC1，因为点M，N分别是棱A1C1， AC的中点，所以MN∥AA1且MN＝AA1， 又正三棱柱ABC-A1B1C1中AA1∥BB1且AA1＝BB1， 所以MN∥BB1且MN＝BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M∥BN，又B1M 平面A1BN，BN?平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN. （2）证明：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1， 在正△ABC中，N是AC的中点，所以BN⊥AC，又AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC＝A， 所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C，所以AD⊥BN， 由题意得，AA1＝6，AC＝2，AN＝1，CD＝ 6 3 ，所以 AA1 AC＝ AN CD ＝ 3 2 ， 又∠A1AN＝∠ACD＝ π 2 ，所以△A1AN∽△ACD，则∠AA1N＝∠CAD，