一、选择题
1.若0
()
lim
1sin x x x
φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||x
B.ln(1)x -
C.
1
1.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()
lim 1tan sin x f x x x
→=-则'''f (0)=（ ）
A.5
B.3
C.1
D.0 2.
【
答
案
】
B.
解
析
由
洛
必达
法
则
可
得
300
02()
'()
''()
lim
lim
lim
1
tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x
x x -→→→==-+-42200''()''()
lim lim 16cos sin 2cos cos 21
x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3x
B.3
4
x C.3
2
x
D.x
3.【答案】A.解析
.1
2
2
33
31233
2000311(1)1133lim lim (1)3313
x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n
n x
x x π→∞=+的间断点有（ ）个
A.4
B.3
C.2
D.1
4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故
20.5sin 12lim
1(2(0.5))2n x π
→--
=-
+⨯-， 20.5sin
12lim
1(20.5)2n x π
→=
+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x
f x a e
=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）
A.a>0，b>0
B.a ≤0，b>0
C.a ≤0，b<0
D.a>0，b<0
5.【答案】B 。解析：0
lim ()lim 0,0b
bx
bx x x a e b x f x a a e be ∞→∞→∞⎧-=∞>⎧⎪==⇒⎨⎨≤--=∞⎪⎩⎩
。 6.
关于曲线y x = ） A.只有水平渐近线，没有斜渐近线 B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线 C.只有斜渐近线，没有水平渐近线
D.既有水平渐近线，又有斜渐近线
6.【答案】C 。解析：由题意可知，无水平渐近线
；
()lim 2,lim[()]lim[2]
11
],222x x x x x x f x a b f x ax x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞====-====-=-。 7.若f(x)在x=a 处为二阶可导函数，则'20()()()
lim h f a h f a hf a h
→+--=( ) A.f"(a)/2
B.f"(a)
C.2f"(a)
D.-f"(a)
7.【答案】A 。解析：'''''200()()()()()()
lim lim 22
h h f a h f a hf a f a h f a f a h h →→+--+-==。 8.设()232x
x
f x =+-，则当x 趋近于0时，有（ ） A.f （x ）是x 的等价无穷小
B.f （x ）与x 同阶但非等价无穷小
C.f （x ）是比x 高阶的无穷小
D.f （x ）是比x 高阶的无穷小
8.【答案】B 。解析：0232
()232,lim
ln 2ln 3x x x
x
x f x x
→+-=+-=+，所以()232x x f x =+-与x 是同阶但非等价的无穷小。
9.2222
3
n n n a n ++=-，则lim n n a →∞的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
9.【答案】A 。解析：2222414
lim
lim lim 23
22n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===-。 10.已知函数2
37
()23
x f x x x +=
--的间断点（ ）
A.X=7
B.X=-
73
C.X=-1或X=3
D.X=1或X=-3
10.【答案】C 。解析：2
37()23
x f x x x +=--，2
230,3,1x x x --==-，所以3，-1是函数的间断点。
11.设当x (0,)∈+∞时1
f ()sin x x x
=则在（0，+∞）内（ ） A.f ()x 与'
f ()x 都无界 B.f ()x 有界，'
f ()x 无界 C.f ()x 与'f ()x 都有界
D.f ()x 无界，'f ()x 有界
11.【答案】B.解析0
1lim ()lim sin
0x x f x x x →→==，01
lim ()lim sin 0x x f x x x
→∞→==故f(x)有界，
111'()sin cos f x x x x
=-，0
lim '()x f x →=∞，无界，选B. 12.在区间[0.1]上，函数n
f ()(1)x nx x =-的最大值记为M （n ）,则lim ()n M n →∞
的值为（ ） A.1e -
B.e
C.2e
D.3e
12.【答案】A.解析.2
1
1'()(1)(1)(1)(1)n
n n f x n x xn x n x x nx --=---=---所以f(x)的驻点
有两个,分别是x=1和11x n =
+,且11x n =+是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以1
1
x n =+也是最大值点，所以(1)(1)
11()()()(1)111
n n n M n f n n n ++===-+++所以当n →∞时. (1)(1)11
lim ()lim()lim(1)11n n n n n n M n n n e
++→∞→∞→∞==-=++所以极限为1/e 。选A 。 13. ( )
A.
B.0
C.1
D.
13.【答案】D 。解析：由，故选D 。 14.计算：（ ）. A. B. C.
D. 14.【答案】B
2+1
lim [123...]x n n →∞++++=∞12
()
22+1112lim [123...]lim 2
x x n n n n n →∞→∞+++++==33
2321
lim 752
x x x x x →∞+-=-+1237322
5
15.已知=2，其中a.b ,则a-b 的值为（ ） A.6
B.-6
C.2
D.-2
15.【答案】C.解析：由=2可得
,所以
16.设f(x)=sinx/x ，则x=0是函数f(x)的（ ） A ．连续点
B.跳跃间断点
C.第二类间断点
D.可去间断点
16.【答案】D 。解析：
，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。
17.设，则x=0是函数f(x)的（ ）. A.可去间断点
B.无穷间断点
C.连续点
D.跳跃间断点
17．【答案】D
18.设函数f (x )在x =0处连续，且220)(lim n
n f n →=2，则（ ） A.f (0)=1且f ˊ(0)=2 B. f (0)=0且f ˊ(0)=2 C. f (0)=1且f +ˊ(0)=2
D. f (0)=0且f +ˊ(0)=2
18.【答案】B ．【解析】2'2'200()2()
lim lim (0)2,(0)02n n f n nf n f f n n
→→====，答案选B 。 19.设函数f （x ）=x 2
+t ，且2
lim ()1x f x →=，则t=（ ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
19.【答案】A ．【解析】2
lim ()1,(2)1,(2)41,3x f x f f t t →===+==-。
20.计算极限：0
lim →x (l+ 2x)x 1
，正确的结果为( )。
A ．0
B.1
C.e
D.e 2
20.【答案】D.解析：2
2
210
])21[(lim e x x x =+→.故选择D. 21．x=O 为函数f(x)=sinx.sin x
1
的（ ） A.可去间断点
B ．跳跃间断点
C.无穷间断点
D.振荡间断点
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+∞→b ax x x x 12lim 2R ∈22222lim lim 11x x x x ax ax bx b
ax b x x →∞→∞⎛⎫------= ⎪++⎝⎭
2,2a a b =--=0, 2.b a b =-=0sin lim
1x x
x
→=0()0 0x f x x ≠=⎪=⎩
21.【答案】A.解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即01
sin
sin lim 0
=⋅→x
x x . 但是x=0是函数没有定义.因此x=0为函数f(x)=sinx.sin
x
1
的可去间断点. 22.设函数f （x ）=
1
x 21-e asinx
x 0
x =≠在x=0处连续，则常数a 的值为( )。 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
22.【答案】B.解析：由题设可知1x 21
-e lim asinx 0=→x .当0→x 时，有0sin →x a ，则
12sin sin 1lim sin 0=⋅-→x
x
a x a e x a x ，即满足12=a ，所以2=a .故选择B. 23.已知f （x ）=1
2
sin x e o
t dt -⎰
，g （x ）=33x +4
4
x ，则当x →0时，f （x ）是g （x ）的（ ）
A.高阶无穷小
B.低阶无穷小
C.等价无穷小
D.同阶但非等价无穷小
23.【答案】C 。解析：
()()()()()
000'lim 0,lim lim 'x x x f x f x f x g x g x →→→=∴=，()()2
'sin 1x x f x e e =-， ()2
223
230
0sin 1lim
lim 1x x
x
x x e e x e x x x x
→→-==++，()f x ∴是g(x)的等价无穷小。 24.如果222lim 2
x x ax b
x x →++--=2，则ab 的值为（ ）
A ．2
B ．-4
C ．8
D ．-16
24.【答案】D 。解析：222lim 2
x x ax b
x x →++--= 2
2lim (2)(1)x x ax b x x →++-+因为x 趋向于2，所以要消去x-2，
即2x ax b ++可分解为(2)()x x c -+的格式即
2
2lim (2)(1)x x ax b x x →++-+=2lim 21
x x c x →+=+，所以c=4，所以2(2)(4)28x x x x -+=+-，所以a=2，b=-8，所以ab=-16。
25．设f (x )在x =0的某个邻域内连续，f (0)=0，0
2
()lim
12sin
2
x f x x
→=，则f (x )在x =0处（ ）
A ．可导
B ．可导且f '(0)≠0
C ．取得极大值
D ．取得极小值
25.【答案】D 。解析：()f x 在x =0的某个邻域内连续，所以'
()f x 存在，由
''''00002()()()()lim lim lim 1lim 11sin cos 2sin 4sin cos 2222x x x x f x f x f x f x x x x x x →→→→===⇒=⨯⨯⨯
得'
''
lim ()0()=10x f x f x →=>且，所以x=0为极小值。
27、关于曲线y=
1
x
的渐近线的正确结论是（ ） A.没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B.x=0为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线
D.只有水平渐近线
27.【答案】C.
28.下列说法正确的是（ ）
A.若f(x)在x=x 0连续，则f(x)在x= x 0可导
B.若f(x)在x=x 0不可导，则f(x)在x=x 0不连续
C.若f(x)在x=x 0不可微，则f(x)在x=x 0极限不存在
D.若f(x)在x=x 0不连续，则f(x)在x=x 0不可导
28.【答案】D.解析：例如函数f(x)=∣x ∣在x=0处连续，但不可导，所以排除A 、B 、C ；函数若f(x)在x=x 0可导，则f(x)在x= x 0连续，根据逆否命题与其等价，可知D 正确。
29.当x→0时，（ ）是无穷小。 A ．
sin x
x
B. 2x -
C.
1x
x
-
D. 1cos x -
29.【答案】D.解析：当0x →时，1cos 0x -→，所以当0x →时，1cos x -是无穷小。 30.极限0
1
lim sin
x x x
→= （ ） A.0
B.1
C.2
D.-1
30.【答案】A.解析：0
1
lim sin
0x x x
→=。 31.下列变量中，无穷小量的是（ ） A.ln 1
x （x →0+
）
B.lnx(x →1)
C .cosx(x →0)
D.
2
2
4
x x --
31.【答案】B.解析：0
1
lim ln x x
+
→=∞所以A 错误；1limln 0x x →=B 正确；0limcos 1x x →=C 错误；
22
2
lim
14
x x x →-=-故D 错误. 32.曲线1
||
y x =
的渐近线情况是（ ）。 A.只有水平渐近线
B.只有垂直渐近线
C.既有水平渐近线又有垂直渐近线
D.既无水平渐近线又无垂直渐近线
32.【答案】C.解析：方法一：画出函数图像可知。方法二：1lim 0x x
→∞
=，01
lim x x →=∞，所以既
有水平渐近线，又有垂直渐近线。
33.设1
1
2--=x x y ，则1=x 为y 的（ ）
A.连续点
B.跳跃间断点
C.无穷间断点
D.可去间断点
33.【答案】D 。解析：211
lim 21
x x x →-=-，在1=x 处左右极限存在，但是没有定义，所以是可去
间断点。
二、填空题
1.计算
44
sin tan cos x
xdx dx x
π
π
==⎰
⎰_____. 1.【答案】
1
ln 22
。中公教育解析：根据凑微分法：44440
0sin 1
1
tan cos ln cos ln 2cos cos 2
x xdx dx d x x
x
x π
π
π
π==-=-=⎰
⎰
⎰。 2. .
+=2lim 1-1x
x x →∞⎛⎫ ⎪⎝
⎭
2.【答案】4.解析：
3.极限=________.
3.【答案】.解析：.
4.
________. 4.【答案】2。解析：
5. =________. 5.【答案】3.
解析：31
lim ln(3)n n n n
n e
→∞+=，根据洛必达法则，31
lim ln(3)n n n n
e
→∞+=
3
4
5
22
2
3
4
32
63(ln3)3(ln3)3(ln3)33ln363(ln3)lim
lim
lim
lim
lim
ln363(ln3)63(ln3)3(ln3)333ln3
3n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n
e e e
e
e
e →∞→∞→∞→∞
→∞+++++++======。
6.函数f (x )=e 2,0
,0x x k x ⎧+≠⎨=⎩
在x =0处连续，则k =________.
6.【答案】3.【解析】根据连续的定义，0e 23k +==。
7.2lim 1n
n n -→∞
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=________. 7.【答案】2e -。【解析】根据两个重要极限2
2222lim 1lim{1}n n
n n e n n ---→∞
→∞
⎛⎫⎛⎫
+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
。 8.斜渐近线方程________.
8.【答案】2-=x y .
解析：根据题意可假设斜渐近线方程为b kx y +=，则有
++=-12lim 1lim 1-1x
x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭
-+e ===e e -21
1lim 11lim 1x
x x x x x →∞→∞
⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪⎝⎭
1lim 1x
x x →∞
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
1e 1
1111lim 1lim 1x
x x x x x ---→∞→∞⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦e e 22123
lim 1x x x x →+-=-22123lim 1
x x x x →+-=-213
lim 1=++→x x x n
n n n 3lim 3+∞
→()3
223
x f x x x =+-
32lim )(lim 22-+==∞→∞→x x x x x f k x x =1，则23
2lim )(lim 23
-=--+=-=∞→∞→x x x x x x f b x x ，所以斜渐近
线方程为2-=x y .
9.极限0tan 2lim
3x x
x
→的值是______。
9.【答案】2
3
。【解析】根据洛必达法则，200tan 22sec 22lim lim 333x x x x x →→==。
10.函数f (x )=e 2,0
,0x x k x ⎧+≠⎨=⎩
在x =0处连续，则k =______。
10.【答案】3.【解析】根据连续的定义，0e 23k +==。 11.()10
lim 12x
x x →-= ______。
11.【答案】2
e -。解析：()
()()22
11
1
2220
00lim 12lim 12lim 12x x x
x x x x x x e -----→→→⎧⎫⎧⎫-=+-=+-=⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭
。
12.n = ______。
12.【答案】2。解析：放缩法，
1 (2)
+=++<++==
2n =，同理，放小之后也是2。 13.当0→x 时，若α=________，则 2
x α与1cos -x 是等价无穷小。
13.【答案】1
2
-。解析：2000221lim
1,lim lim 1,cos 1sin cos 2x x x x x x x x αααα→→→====----。 14.设)(0x f '存在，)(0x f =0，则x
x x f x x -→0)
(lim
=________。
14.【答案】'
0()f x -。解析：00''00
()()
lim lim ()1x x x x f x f x f x x x →→==---
三、不定项选择题
1．当x →0时，下列可与x 进行等价无穷小替换的有（ ）
A.sinx
B.arctanx
C.cosx
D.ln(1+x)
1.【答案】ABD.
四、判断题
1.当0→x 时，）（x x cos 1sin -是3
x 的等价无穷小。 1.【答案】×.解析：
3220000sin (1cos )sin (1cos )sin 1cos lim
lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---⎡⎤
=⋅=⋅⎢⎥⎣⎦
因为21sin ,1cos 2x x x
x -，所以30sin (1cos )11lim 122
x x x x →-=⨯=。
2.极限2
10
21lim e x x
x =-→）（。
2.【答案】×.解析：2
1
1
2200
lim 12lim 12x
x
x x x x e ---→→⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦
（）（）. 3.已知x
ax x x -++→16
lim 21=5，则a 的值为－7。
3.【答案】√.解析：因为x
ax x x -++→16lim 21，则可设2
6(1)()x ax x b x ++=--，所以15b -=，
所以6b =，则(1)7a b =-+=-.
五、解答题
1.求极限： 1.【答案】
31
13lim(
)11
x x x →---
解析： 2.计算
2.【答案】。解析：
3.求极限。
3.【答案】12
.解析：2
22'2043000sin 2sin()(sin )2sin(),lim lim 4x x x x tdt x x tdt x x x x →→==⎰⎰， 22002cos()cos()1lim lim 422
x x x x x x →→===。 4.设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x kx =+++=,若f(x)与g(x)在x →0是等价无穷小求a,b,k 的值？
4.【答案】1
11,,23
a b k =-=-=。解析：
30cos 3sin 1(1)lim 1,26,23x a bx x bx x x a k k →-
--+=-==。 5.用δε-证明()
2106lim 22=+-→x x x ()()()()()()
()()23221112112132lim lim lim 1111112lim 1.
1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-⎛⎫-== ⎪---++-++⎝⎭+==++3lim ()1x x x x →+∞++2e 2ln(1)2132lim ()lim (1)lim 11x x x x x x x x e e x x ++→+∞→+∞→+∞+=+==++().
f ξξ=4002sin lim x tdt x x ⎰→
5.【答案】证明过程如下。解析：证明：2261026824x x x x x x -+-=-+=--，对任意正数，0,ε>=min(,1),2.3x ε
σσ-<取则当时由于4=22x x ---223x ≤-+<,所以
243,3
x x εε--<⋅=则()22lim 6102x x x →-+=。 6.设曲线y=f （x ）=x n 在点（1，1）处的切线交x 轴于（x n ，0），求∞
→n lim f （x n ） 6.【答案】1e
。解析： ()1()'(),'(1).1(1).11111
,lim lim lim 1lim 1n n n n n n n n n f x nx k f n y n x n n x f x n n n n e ---→∞→∞→∞→∞===∴-=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7.求极限)1(1lim 0
---→x x x e x x e 7.【答案】12。解析：根据洛必达法000111(1)122lim lim lim x x x x x x x x x x x e x e e x e xe e xe e
→→→---===-+-+。
一、选择题 1.若0 () lim 1sin x x x φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。 A.sin ||x B.ln(1)x - C. 1 1.【答案】D 。 2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0() lim 1tan sin x f x x x →=-则'''f (0)=（ ） A.5 B.3 C.1 D.0 2. 【 答 案 】 B. 解 析 由 洛 必达 法 则 可 得 300 02() '() ''() lim lim lim 1 tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x x x -→→→==-+-42200''()''() lim lim 16cos sin 2cos cos 21 x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3x B.3 4 x C.3 2 x D.x 3.【答案】A.解析 .1 2 2 33 31233 2000311(1)1133lim lim (1)3313 x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n n x x x π→∞=+的间断点有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故 20.5sin 12lim 1(2(0.5))2n x π →-- =- +?-， 20.5sin 12lim 1(20.5)2n x π →= +?，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x f x a e =-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）
第二章 数列极限 习题 §1数列极限概念 1、设n a =n n )1(1-+，n=1，2，…，a=0。 （1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ： 1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001； （2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明： （1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2 3 12322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !； （4）∞ →n lim sin n π=0；（5）∞→n lim n a n =0（a >0）。 3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）∞ →n lim n 1；（2）∞ →n lim n 3； （3）∞ →n lim 31n ；（4）∞→n lim n 3 1 ； （5）∞ →n lim n 2 1；（6）∞ →n lim n 10； （7）∞→n lim n 2 1。 4、证明：若∞ →n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞ →n lim k n a += a 。 5、试用定义1'证明： （1）数列{ n 1 }不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。 6、证明定理2.1，并应用它证明数列{n n )1(1-+}的极限是1。 7、证明：若∞ →n lim n a = a ，则∞ →n lim |n a |= |a|。当且仅当a 为何值时反之也成立？ 8、按ε—N 定义证明： （1）∞ →n lim )1(n n -+=0； （2）∞ →n lim 3 321n n ++++ =0；
大学数学分析题题库题目一：极限与连续性 1. 计算下列极限： (a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$ (b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ (c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ 2. 判断函数在给定点或区间内的连续性： (a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？ (b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？ (c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？ 题目二：微分学基础 1. 计算下列函数的导数： (a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ (b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$ (c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$ 2. 判断函数在给定点处的可导性： (a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？
(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？ 题目三：积分与面积 1. 计算下列定积分： (a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$ (b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$ (c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$ 2. 计算两个曲线之间的面积： (a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积； (b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。 题目四：级数与收敛性 1. 判断下列级数的敛散性： (a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ (b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ (c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ 2. 判断函数项级数的一致收敛性： (a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0, \pi]$上是否一致收敛？
数学分析—极限练习题及详细答案
一、选择题 1.若0 () lim 1sin x x x φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。 A.sin ||x B.ln(1)x - C. 1 1.【答案】D 。 2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0() lim 1tan sin x f x x x →=-则'''f (0)=（ ） A.5 B.3 C.1 D.0 2.【 答 案 】 B. 解析由洛必达法则可得 300 02() '() ''() lim lim lim 1 tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x x x -→→→==-+-42200''()''() lim lim 16cos sin 2cos cos 21 x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3x B.3 4 x C.3 2 x D.x 3.【答案】A.解析 .1 2 2 33 31233 200311(1)1133lim lim (1)3313 x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n n x x x π→∞=+的间断点有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故 20.5sin 12lim 1(2(0.5))2n x π →-- =-+?-， 20.5sin 12lim 1(20.5)2n x π →= +?，故，有两个跳跃间断点，选C 。
数学分析练习题 数学分析练习题 数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微分、积 分等概念和性质。通过学习数学分析，我们可以更好地理解和应用数学知识。 而练习题则是巩固和应用所学知识的重要方式。在这篇文章中，我们将探讨一 些数学分析的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。 一、极限练习题 1. 计算极限：lim(x→0) (sinx/x)。这是一个经典的极限问题，可以通过泰勒级数 展开或利用极限的定义来求解。通过这个练习题，我们可以加深对极限的理解，并熟悉不同的求解方法。 2. 证明极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。这是一个重要的极限关系，它揭示了自然对数e与指数函数的联系。通过证明这个极限，我们可以深入理解e的定义 和性质。 二、连续性练习题 1. 设函数f(x) = x^2，证明f(x)在区间[0,1]上是连续的。通过证明函数的连续性，我们可以理解连续函数的性质和重要定理，如介值定理和零点定理。 2. 设函数f(x) = |x|，证明f(x)在整个实数轴上是连续的。这是一个稍微复杂一些 的例子，通过证明绝对值函数的连续性，我们可以进一步理解不同类型函数的 连续性。 三、微分练习题 1. 求函数f(x) = x^3的导数。通过求解导数，我们可以熟悉微分的定义和基本 运算法则，并掌握求解各种函数的导数的方法。
2. 求函数f(x) = e^x的高阶导数。通过求解高阶导数，我们可以进一步理解指数函数的性质，并学习应用泰勒级数展开来求解复杂函数的导数。 四、积分练习题 1. 计算定积分：∫(0,1) x^2 dx。通过计算定积分，我们可以熟悉积分的定义和基本运算法则，并理解定积分的几何意义。 2. 计算不定积分：∫(x^2+2x) dx。通过计算不定积分，我们可以掌握积分的基本运算法则，并学习应用不定积分解决实际问题。 通过以上练习题的学习和解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，提高数学分析的应用能力。同时，我们还可以通过与他人的讨论和交流，进一步拓宽思路，发现更多有趣的数学问题和解法。 总结起来，数学分析练习题是巩固和应用数学分析知识的重要方式。通过练习题的解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，并提高解决实际问题的能力。希望读者通过这些练习题的学习，能够更好地掌握数学分析的知识和方法，为日后的学习和应用打下坚实的基础。
第三章函数极限 1． 函数极限概念 1． 按定义证明下列极限： （1）65lim 6x x x →+∞+=；（2）2 2lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）0 0lim cos cos x x x x →=. 证明（1）任意给定0ε>，取5 M ε = ，则当x M >时有 6555 6x x x M ε+-=<=.按函数极限定义有65 lim 6x x x →+∞+=. （2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--. 若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3 ε δ=，则当 02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22 lim(610)2x x x →-+=. (3)由于22254111 x x x --=--. 若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ??=???，则当x M >时有22 22544 111 1x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-. (4) 0==若此时限制021x <-<， ==<=0ε>， 取2 min{1, }4 εδ=，当02x δ<-<022 ε ε<≤?=， 故由定义得2 lim 0x - →=. （5）因为sin ,x x x R ≤∈，则 00000 00cos cos 2sin sin 2sin sin 222222 x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤?=-.
第二章 数列极限 习题 § 1 数列极限观点 1、 a n = 1 ( 1)n ， n=1， 2，⋯， a=0。 n （ 1） 以下ε分 求出极限制 中相 的 N ： 1=， 2=， 3=； （ 2） 1 ， 2 ， 3 可找到相 的 N ， 能否 了然 a n 于 0 怎 做才 ； （ 3） 定的ε能否只好找到一个N 2、按ε— N 定 明： 2 3 ；（ 3） lim n! n ； （ 1） lim n =1；（2） lim 3n 2n n n 1 n 2n 1 2 n n （ 4） lim sin n =0；（ 5） lim n n =0（ a>0）。 n n a 3、依据例 2，例 4 和例 5 的 果求出以下极限，并指出哪些是无 小数列： （ 1） lim 1 ；（ 2） lim n 3 ；（ 3） lim 13 ；（4） lim 1 n ； n n n n n n 3 （ 5） lim 1 n ；（ 6） lim n 10 ；（ 7） lim n 1 。 n 2 n n 2 4、 明：若 lim a n = a ， 任一正整数 k ，有 lim a n k = a 。 n n 5、 用定 1 明： （ 1）数列 { 1 }不以 1 极限；（ 2）数列 { n ( 1) n } 散。 n 6、 明定理，并 用它 明数列 ( 1) n } 的极限是 1。 { 1 n 7、 明：若 lim a n = a ， lim | a n |= |a| 。当且 当 a 何 反之也建立 n n 8、按ε— N 定 明： （ 1） lim ( n 1 n ) =0 ； n （ 2） lim 1 2 3 3 n =0； n n
2023高中数学数学分析复习题集附答案 2023高中数学数学分析复习题集附答案 一、函数与极限 1. 某物体在时刻t的位移函数为s(t) = 2t^2 - 3t + 1，请计算物体在t = 2时的位移与速度。 解答： 代入t = 2，得到s(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3，因此物体在t = 2时的位移为3。 速度函数v(t)是位移函数的导数，即v(t) = s'(t) = 4t - 3。代入t = 2，得到v(2) = 4(2) - 3 = 5，因此物体在t = 2时的速度为5。 2. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6，求f(x)的极值。 解答： f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。令f'(x) = 0，解得x = 1和x = -5/3。 将x = 1和x = -5/3代入f(x)中，得到f(1) = 2和f(-5/3) = -64/27。 因此，f(x)的极小值为-64/27，在x = -5/3处取得。 二、数列和级数 1. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = (an + 3)/2。求数列的通项公式。 解答：
观察数列的前几项，可以猜想数列的通项公式为an = 2 - 2^n。 下面使用数学归纳法证明猜想： （1）当n = 1时，an = 2 - 2^1 = 0；符合题意。 （2）假设当n = k时，an = 2 - 2^k成立，即ak = 2 - 2^k。 （3）当n = k + 1时，an+1 = (an + 3)/2 = (2 - 2^k + 3)/2 = (5 - 2^k)/2 = 2 - 2^k-1。 根据数学归纳法，an = 2 - 2^n成立，是数列的通项公式。 2. 求级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的和。 解答： 根据数学定理，级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的和为π^2/6。 三、导数与微分 1. 求函数f(x) = x^3 - 2x在x = 1处的导数值与二阶导数值。 解答： f'(x) = 3x^2 - 2。代入x = 1，得到f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1。 二阶导数f''(x) = 6x。代入x = 1，得到f''(1) = 6(1) = 6。 因此，函数f(x)在x = 1处的导数值为1，二阶导数值为6。 2. 已知函数f(x) = 2e^x，求f'(x)和f''(x)。 解答：
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案02 第二章数列极限 习题 §1数列极限概念 1、设n a =n n )1(1-+，n=1，2，…，a=0。 （1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ：1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001； （2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对；（3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明： （1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2 3 12322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !； （4）∞ →n lim sin n π=0；（5）∞→n lim n a n =0（a >0）。 3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）∞ →n lim n 1；（2）∞ →n lim n 3； （3）∞
→n lim 31n ；（4）∞→n lim n 3 1 ；（5）∞ →n lim n 2 1；（6）∞ →n lim n 10； （7）∞→n lim n 2 1。 4、证明：若∞ →n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞ →n lim k n a += a 。 5、试用定义1'证明：（1）数列{ n 1 }不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。 6、证明定理2.1，并应用它证明数列{n n )1(1-+}的极限是1。 7、证明：若∞ →n lim n a = a ，则∞ →n lim |n a |= |a|。当且仅当a 为何值时反之也成立？ 8、按ε—N 定义证明：（1）∞ →n lim )1(n n -+=0； （2）∞ →n lim
第二章 数列极限 P.27 习题 2．按N -ε定义证明： （1）1 1lim =+∞→n n n 证明 因为 n n n n 11111 <+=-+，所以0>∀ε，取ε1= N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故1 1lim =+∞→n n n （2） 23 123lim 22=-+∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n 3 2525)1(232)12(232231232 22222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 3231232 2. 所以 23123lim 22=-+∞→n n n n （3）0!lim =∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n n n n 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==- ，于是0>∀ε，取ε1 = N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n 10!. 所以0!lim =∞→n n n n （4） sin lim =∞ →n n π 证明 因为 n n n π π π ≤ =-s in 0s in ，于是0>∀ε，取 επ = N ，N n >∀，必有 ε π π <≤ -n n 0s in . 所以 sin lim =∞ →n n π （5）)1(0lim >=∞→a a n n n 证明 因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是 2 22)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+ +=+= ，从而 2 2)1(2 2)1(0h n h n n n a n a n n n -= -≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀， 有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n
求极限练习题 求极限练习题 数学是一门需要不断练习和思考的学科，而求极限练习题则是数学中的一大难题。极限是数学分析的基础，也是许多高级数学领域的重要概念。在学习极限时，掌握求极限的方法和技巧是至关重要的。本文将介绍一些常见的求极限练习题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。 一、数列极限 数列极限是极限理论中的基础概念，也是最容易理解和掌握的一类极限。数列极限的求解方法主要有几种：直接法、夹逼法、单调有界法等。下面我们通过一些例题来具体讲解这些方法。 例题1：求数列极限lim(n→∞) (1/n) 解析：这是一个非常简单的数列极限问题。根据极限的定义，当n趋向于无穷大时，1/n的值会趋近于0。因此，该数列的极限为0。 例题2：求数列极限lim(n→∞) (n^2 + 3n)/(2n^2 - n) 解析：这是一个较为复杂的数列极限问题。我们可以通过除以n的最高次幂来简化问题。将分子和分母都除以n^2，得到(n^2/n^2 + 3n/n^2)/(2n^2/n^2 - n/n^2)。化简后得到(1 + 3/n)/(2 - 1/n)。当n趋向于无穷大时，1/n的值趋近于0，因此该数列的极限为1/2。 二、函数极限 函数极限是极限理论中的另一个重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。函数极限的求解方法主要有几种：代入法、夹逼法、洛必达法等。下面我们通过一些例题来具体讲解这些方法。
例题3：求函数极限lim(x→0) (sin(x)/x) 解析：这是一个经典的函数极限问题。我们可以尝试直接代入0，但会得到一个不确定的结果。因此，我们可以利用泰勒级数展开来求解。根据泰勒级数展开，sin(x)可以近似表示为x-x^3/3!+x^5/5!-...。将sin(x)/x展开为级数形式，得到1-x^2/3!+x^4/5!-...。当x趋向于0时，x的幂次越高，其值越接近于0。因此，该函数的极限为1。 例题4：求函数极限lim(x→∞) (e^x/x^2) 解析：这是一个较为复杂的函数极限问题。我们可以利用洛必达法来求解。洛必达法的基本思想是求函数的导数，然后再求导数的极限。对于该题目，我们对分子和分母同时求导，得到e^x/2x。当x趋向于无穷大时，分子e^x的值也趋向于无穷大，而分母2x的值趋向于无穷大。因此，该函数的极限为无穷大。 三、级数极限 级数极限是极限理论中的一类重要问题，它描述了数列的无穷和。级数极限的求解方法主要有几种：比较法、积分法、根值法等。下面我们通过一些例题来具体讲解这些方法。 例题5：求级数极限lim(n→∞) (∑(k=1 to n) 1/k) 解析：这是一个著名的调和级数问题。我们可以利用积分法来求解。将该级数转化为积分形式，得到∫(1 to n) 1/x dx。对该积分进行求解，得到ln(n)。当n 趋向于无穷大时，ln(n)也趋向于无穷大。因此，该级数的极限为无穷大。 通过以上例题的讲解，我们可以看到求极限练习题需要掌握一定的数学知识和求解方法。在实际学习中，我们还可以通过练习更多的极限题目来提高自己的求解能力。希望读者能够通过不断练习和思考，更好地理解和掌握求极限的方
数列极限习题及答案 数列极限习题及答案 数列是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。数列的极限是数 学分析中的基本概念之一，它描述了数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。在这篇文章中，我们将讨论一些关于数列极限的习题，并给出相应的答案。 1. 习题一：考虑数列{an}，其中an = 1/n。求该数列的极限。 解答：要求该数列的极限，我们需要计算当n趋向于无穷大时，数列的值趋向 于的值。对于这个数列，当n趋向于无穷大时，an的值趋向于0。因此，该数 列的极限为0。 2. 习题二：考虑数列{bn}，其中bn = (-1)^n/n。求该数列的极限。 解答：对于这个数列，当n为奇数时，bn = -1/n；当n为偶数时，bn = 1/n。 当n趋向于无穷大时，奇数项和偶数项的绝对值都趋向于无穷大。但是，由于 数列中的负号交替出现，所以数列的极限不存在。 3. 习题三：考虑数列{cn}，其中cn = (n+1)/n。求该数列的极限。 解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，cn的值趋向于1。因此，该数列 的极限为1。 4. 习题四：考虑数列{dn}，其中dn = 2^n/n!。求该数列的极限。 解答：要求该数列的极限，可以尝试计算数列的前几项并观察规律。当n取1时，d1 = 2/1 = 2；当n取2时，d2 = 4/2 = 2；当n取3时，d3 = 8/6 = 4/3；当n取4时，d4 = 16/24 = 2/3。观察可以发现，当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于0。因此，该数列的极限为0。 5. 习题五：考虑数列{en}，其中en = (1+1/n)^n。求该数列的极限。
第二节 二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2 x 2+y 2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0) lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ； （7）(,)(0,0) lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1 y ； （3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ； （5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ； （7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有lim x a f(x,y)= (y) 则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ； （2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1）(x,y)(,)lim x 2+y 2 x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,) lim (x 2+y 2)e -(x+y)； （3） (x,y) ( ,) lim (1+1 xy )xsiny ； （4） (x,y) ( ,0) lim 211+ x x y x . 8、试作一函数f(x,y)使当x + ,y + 时， （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.
习 题 1-1 1．计算下列极限 （1）lim x a x a a x x a →--, 0;a > 解：原式lim[ ]x a a a x a a a x a x a x a →--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1 ln a a a a a a --⋅=(ln 1)a a a - （2）sin sin lim sin() x a x a x a →--； 解：原式sin sin lim x a x a x a →-=-(sin )'cos x a x a === （3 ）2 lim 2), 0;n n a →∞-> 解：原式2 n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]p n n n →∞+-，0;p > 解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n n x =→∞ +-'===11 p x px p -== （5）10 10 0(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x →+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1 lim lim tan sin x x x x x x →→+---=-- =990010(1)|10(1)|20t t t t ==+++= （6） 1x →，,m n 为正整数； 解：原式1 1lim 1x x →=- 11 11 ()' ()' m x n x x x ===n m = 2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()() lim h f x h f x f x h h →+-+-. 解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()() lim 2h f x h f x f x f x h h →''''+-+--= 000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011 ()()()22 f x f x f x ''''''=+=