一次函数与等腰三角形
平面直角坐标系中等腰三角形存在性问题的解题技巧
1、找点的方法——作图法：画一条垂直平分线与两个圆
2、求坐标的方法：
（1）距离公式法：
（2）垂直平分线法：
【例题精讲】
例1．一次函数分别交x 轴、 y轴于A ，B 两点，在轴上取一点C ，使△ABC 为等腰三角形，则这样的点最多有几个（）
A.5
B.4
C.3
D.2
例2、如图，一次函数的图象轴轴分别交于，点在轴上，要使是以
AB 为腰的等腰三角形，那么点的坐标是．
例3、如图，已知直线与坐标轴相交、两点，动从原出发，以每秒1 个单位长
度的速度沿轴正方向运动，当点的运动时间是秒时，是等腰三角形．
例 4、已知正比例函数 y ＝kx 经过点 A ，点 A 在第四象限，过点 A 作 AH ⊥x 轴，垂足为点 H ，点 A 的横坐标为 3，且△AOH 的面积为 3．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）在 x 轴上能否找到一点 M ，使△AOM 是等腰三角形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【跟踪训练】
1、如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y=-2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A ，点 B 。
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
1
（2）若点 P 在 x 轴上，且 S △BOP = 2 S △AOB 求点 P 的坐标。
（3）在 y 轴是否存在点 M ，使三角形 MAB 是等腰三角形，若存在。请求出点 M 坐标，若不存在，请说 明理由。
2、如图，直线l1：分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点，点C 为x 轴上任意一点，直线l2：
经过点C，且与直线l1 交于点D，与y 轴交于点E，连结AE．
(1)当点C 的坐标为时，①求直线l2 的函数表达式；②求证：AE 平；
(2)问：是否存在点C，使是以CE 为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
3、已知，如图直线l1 的解析式为y=x+1，直的解析式；这两个图象交于y 轴上一点C ，直线与x轴的交点B（2，0）．
（1）求a、b 的值；
（2）动点P 从点B 出发沿x 轴以每秒1 个单位长的速度向左移动，设移动时间为t 秒，当△PAC 为等腰三角形时，直接写出t 的值．
4、如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是直角三角形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，AC 分∠BAO 交x轴于点C，且A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0）.
（1）求AB 的解析式
（2）求点C 坐标
（3）在直线AC 上是否存在点M，使BCM 为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，在直角坐标系中，直线与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B.
（1）直接写出A 点的坐标；
（2）当x 时，y≤4；
（3）过B 点作直线BP 与x 轴相交于P，若OP=2OA 时，求ΔABP 的面积；
(4) 在y 轴上是否存在E 点，使得ΔABE 为等腰三角形,若存在，直接写出满足条件的E 点坐标.
6、若直线y =mx + 8 和y =nx + 3 都经过x 轴上一点B，与y 轴分别交于A 、C．
（1）写出A、C 两点的坐标，A，C；
（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB 和CB 的解析式；
（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y 轴于E，若△ABE 为等腰三角形，写点E 的坐标（只写结果）．
7、综合与探究：
如图，直线与 x 轴， y轴分别交于B ，C 两点，其中OB=1.
(1)求h 的值；
(2)若点 x,y是直线上的一个动点，当点A 仅在第一象限内运动时，试写出△AOB
的面积S与x的函数关系式；
(3)探索：
①在(2)条件下，当点A 运动到什么位置时，△AOB的面积是1 ；
②在①成立的情况下，在x 轴上是否存在一点P ，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所
有P点的坐标；若不存在，请说明理由.
8、如图，直线( ) 轴于，轴于.
(1)求点的坐标(用含的代数式表示)
(2)若点是直线上的任意一点，且点与点距离的最小值为4，求该直线表达式；
(3)在(2)的基础上，若点在第一象限，且为等腰直角三角形，求点的坐标.
一次函数与直角三角形
平面直角坐标系中等腰三角形存在性问题的解题技巧
1、找点的方法——作图法：画两条垂线与一个圆
2、求坐标的方法：
（1）勾股定理的逆定理：
（2）k1·k2=-1：
1、如图，直线y=2x+4 与坐标轴交于A，B 两点，P 为直线x=1 上一动点，连接AP，BP．当△ABP 是以点A，B 为直角顶点的直角三角形时，点P 的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
2、如图，直线交y轴于点A，且经过点B（4,1）．若P是y轴上的一动点，当△ABP是以点A，B 为直角顶点的直角三角形时，点P 的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
3、如图，将△ABC放在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，2），P 是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x 轴的直线，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR 是等腰直角三角形，则点R 的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题 一、知识要点填空： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 二、练习题 1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C， 则则∠1+∠2等于__________. 2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示 等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（） A. B. C. D. 3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E， EF∥AC，下列结论一定成立的是（） A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点， 则AP的长不可能的是（） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线 于F， 若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．1
八年级下册函数习题 一．选择题（共15小题） 1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ） A．1个… B． 2个C．3个D．4个2．下列图象中，不能表示函数关系的是（） 】 A ． B ．C．D． 、 3．下列关系中，y不是x函数的是（） A． y=﹣B ． y= C．y=x2| D． |y|=x 4．下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．} y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 5．如图中的每次个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案中花盆的总数是S，按此规律推断，S与n的函数关系式是（） [ A．S=n2B．S=4n C．S=4n﹣4{ D． S=4n+4 6．当x=0时，函数y=2x2+1的值是（） A．1B．0！ C． 3D．﹣1 7．函数y=的自变量x的取值范围是（） A．x≥﹣2` B． x≥﹣2且x≠﹣1C．x≠﹣1D．x＞﹣1 8．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（） |
A．B．~C．D． 9．小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的关系的大致图象是（）—A．B．C ．D． > A．}B ．C．D． 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B=30°．动点P从点B出发，沿B﹣C﹣D的路线向点D运动．设△ABP的面积为y（B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0），点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图象大致为（） ] D ． 12．下列函数中，是正比例函数的是（） A．y=﹣8x B ． y=5x2+6D．y=﹣﹣1 y=$ C． 13．函数y=（2﹣a）x+b﹣1是正比例函数的条件是（） b=1C．a≠2且b=1D．a，b可取任意实数 A．a≠2^ B． 14．当k＞0时，正比例函数y=kx的图象大致是（）
八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题 （一）知识结构 （二）学习目标 1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 （k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数． 2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题． 4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． 5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （三）重点难点 1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． 2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识 （一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）
一次函数 一.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 三、函数中自变量取值范围的求法： （1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。 （3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。 （4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。 （5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 六、函数有三种表示形式： （1）列表法（2）图像法（3）解析式法 七、正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 八、正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 九、求函数解析式的方法: 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。 1.一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0． 2.求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与x 轴交点的横坐标 3.一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．4.解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“形”的角度看，求直线y= ax+b在x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 十、一次函数与正比例函数的图象与性质 一次函数 概念如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像一条直线 性质k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
27题精选1（2011-11-27） 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式； （2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 （3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 （1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 x y x y 第 2题图① 第2题图② 第2题图③
3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式； 的外部作一条直线3l ，过点 B 作BE ⊥3l 于E,过点 C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证： BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 4、如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、b 满足. （1）求直线AB 的解析式； （2）若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； （3）过A 点的直线 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直 线交AP 于点M ，试证明 的值为定值．
直角三角形 01各个击破命题点1 直角三角形的性质中点，试说明△DEF是等腰三角 形．AB两边上的高，D为BCAC【例1】如图，在△ABC中，BF，CE分别是，【思路点拨】 1＝DFBC. 和△BFC是直角三角形，故可利用直角三角形斜边中线的性质得DE＝为∵DBC中点，又△BEC2【解答】 【方法归纳】由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关 系． 1．(北京中考)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（） A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km 2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.如果DE＝1，求BC的 长．
命题点2 直角三角形的判定 【例2】如图，已知AB∥CD，PA，PC分别平分∠BAC和∠ACD.试判断△APC的形状，并说明理由． 【思路点拨】由AB∥CD可得∠BAC＋∠ACD＝180°.又由PA，PC两条平分线，可证明∠1＋∠2＝90°，从而得到△APC的形状． 【解答】 由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．【方法归纳】 3∶3∶6，则这个三角形是________________．．一个三角形的三个角的角度之比是3 1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠4 3 勾股定理及逆定理命题点 °，求∠ADC的度数．1，∠A＝90AD＝2，BC＝3，CD＝ABCD【例3】如图，四边形，AB＝则∠ADB为等腰直角三角形，而由题意可知，BD的长，△ABD【思路点拨】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出是直角三角形，即可求出答案．＝45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD 【解答】
一次函数与等腰三角形存在性培优专题 1．已知一次函数1 y x =-+的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点P在x轴上，并且使以点A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 2．已知一次函数 4 4 3 y x =+的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上， 若ABC △为等腰三角形，则点C的坐标为______________________________________．3．如图，直线OB是一次函数2 y x =-的图象，点A的坐标为(02) ，，在直线OB上找点C，使ACO △为等腰三角形，则点C的坐标是______________________________________． 4．一次函数1 y x =+的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，且使得ABC △是等腰三角形，符合题意的点C坐标为______________________________________． 5．如果一次函数 3 6 4 y x =-+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上， 并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为______________________________________．
6．如图所示，一次函数4 =-+与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点 y x （不包含A、B两个端点），C是线段OB上一点，45 △是等腰三角形， OPC ∠=?，若OPC 试求点P的坐标？ 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt ABC △的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，4 OB=． OA=，3 （1）求点C的坐标； （2）求经过点B，C的一次函数的解析式； （3）在x轴上是否存在点P，使PCB △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
一、常量与变量 杭信一中何逸冬 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。 实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。（注意“π”是常量） 二、自变量与函数 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定 ．．．．的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。 判断两个变量是否有函数关系就是“看对于自变量的每一个确定的值，函数值是否有惟一确定的值和它对应。” 三、函数值 如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。 四、表示函数的方法 方法（一）解析式法。 方法（二）列表法 方法（三）图像法 五、自变量的取值范围 在一个变化过程中，自变量允许取值的区域，叫自变量的取值范围。 六、自变量取值范围的求法 （一）对于解析式 1、解析式是整式。自变量取一切实数。 2、自变量在分母。取使分母不等于0的实数。 3、自变量在根号内 （1）在错误!未找到引用源。内。自变量取一切实数。 （2）在错误!未找到引用源。内。取使根号内的值为非负数的实数。 （二）对于实际问题 自变量的取值要符合实际意义。 在一个函数解析式中，同时有几种代数式时，函数的自变量的取值范围应是各种代数式中自变量的取值范围的公共部分 例：求函数错误!未找到引用源。中自变量x的取值范围。
解：要使错误!未找到引用源。有意义， 必须错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 即，错误!未找到引用源。。 所以错误!未找到引用源。中自变量x的取值范围是。错误!未找到引用源。 说明：求使函数有意义的自变量的值，就是求函数自变量的取值范围。 七、函数图象的画法步骤 （一）列表。 （二）描点。以对应的x、y作为点（x，y），把每个点描在平面直角坐标系中。 （三）连线。把描出的点按照自变量由小到大的顺序，用平滑的线 ．．．．连结起来。 八、正比例函数 1、定义：形如错误!未找到引用源。（k是常数，错误!未找到引用源。）的函数叫做正比例函数。 2 、图象：是经过（0,0）与（1，k）的直线。 3、性质： （1）错误!未找到引用源。 （2）错误!未找到引用源。 九、一次函数 （）定义： 形如错误!未找到引用源。b错误!未找到引用源。 的函数叫做一次函数。 因为当b=0时，y=kx，所以“正比例函数是特殊的一次函数”。
第十九章一次函数 一.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 三、函数中自变量取值范围的求法： （1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。 （3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。 （4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。 （5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 六、函数有三种表示形式： （1）列表法（2）图像法（3）解析式法 七、正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 八、正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 九、求函数解析式的方法: 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。 1.一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0． 2.求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与x 轴交点 的横坐标 3.一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 4.解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“形”的角度看，求直线y= ax+b在x 轴
一次函数与三角形综合题培优试题 1.如图,在直角坐标系中,直线l⊥x轴交负半轴于点A(a,0),点C在直线l上,过点C的另一 直线交y轴于点B(0,b),且a,b满足0 - + a -b )1 ( 22= (1)求AOB ?的面积 (2)求证:AB平分∠COB; (3)在y轴正半轴上有一动点M,CB的延长线上有一动点N,在运动的过程中,恰使∠AMB= ∠ANB,当M,N的位置发生变化时,MB-NB的值是否发生变化,如果不变,求其值,若变化,说明理由.
2、
3、如图①所示,直线y=x+1交x轴于点A,交y轴于点C,OB=3OAM在直线AC上,AC=CM, (1),求直线BM的解析式. (2)如图①所示,点N在MB的延长线上,BN=AC,连CN交x轴于点P,求点P的坐标; (3)如图②所示,连OM,在直线BM上是否存点K,使得∠MOK=45°,若存在,求点K的坐标,若不存在,说明理由. 图①图②
4、直线1l :y ＝mx ＋4m 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点. (1)当OA=OB 时，试确定直线1l 的解析式； （2）直线2l :y ＝-2mx ＋4m 过B 点交x 轴于C 点， 直线y=t （t ＞4m ）分别交直线1l 、直线2l 、y 轴 正半轴于M 、D 、N ，画出图形，求 DN DM 的值； (2) 如图分别以OB 、AB 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，问当m 变化时，现给出两个结论： ①BP 的长度不变；② OB BP 的值不变， 其中有且只有一个结论是正确的，请你证明正确的结论 并求出其的长度.
19.1.1数量与函数 一、教学目标： 1、了解函数的概念 2、会求函数自变量的取值范围 学习重点： 概括并理解函数概念中的单值对应关系 二、教学过程 【复习导入】：上一节课，我们学习了常量和变量，什么是变量，什么是常量？生：变量：数值发生变化的量 常量：数值始终不变的量 问题：购买一些作业本，单价为0.5元/本，总价y元随作业本数x变化，指出其中的常量与变量，并用含有x的式子表示y 生：常量是0.5 变量是：X 和 y 式子表示为：Y=0.5x 【合作探究】 问题1、下面各题的变化过程中 （1）、每个问题中各有几个变量？ （2）、同一个问题中的变量之间有什么联系？ 1、汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h 解:存在两个变量，表示两个变量之间的关系式 S = 60 t S 随着 t 的变化而变化，s 是怎样随着 t 的变化而变化呢，能用数值加以说明吗？ 师生活动 小结： 当 _____确定一个值时，_____就随之确定一个值。
2、每张电影票的售价为10元，如果第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310 张票,三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元，y的值随着x的值的变化而变化吗？ （2）y=10x 当 x 取定一个值，y 有唯一确定的值与之对应 3、你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？s的值随r的值的变化而变化吗？ （3）S =πr 2 当 r 取定一个值时，s 有唯一确定值与之对应 4、用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ （4）y = 5－x 当 x 取定一个值时，y 有唯一确定的值与之对应 师生活动： 归纳：1 每个变化的过程中都存在着（）变量 2 两个变量互相联系，当其中一个变量确定一个值时，另一个变量也（）。 问题2（1）下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？ （2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数 可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？ 师生活动：引导学生说出（1）中时间与生物电流的对应关系，（2）中年份与人口数之间的对应关系，体会变量之间的的单值对应关系。 【教师精讲】 函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数． 如果当x =a 时，对应的y =b， 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值 （注：一一对应，即一个自变量x的值，只能对应一个函数y值。） 【分组讨论】 上面四个问题中哪些是自变量,哪些是自变量的函数？ 【探究与讨论】 下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的函数？ 1.y＝ 2x
1.2.1 勾股定理的推导及应用 教学目标 知识与技能：1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。 2、在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理 能力。 过程与方法：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探究活动中，学会与人合作，并在与他人的交流中获取探究结 果。 情感、态度与价值观： 1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。 2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作 交流意识和探索精神。 教学重点：经历探索及验证勾股定理的过程。 教学难点：用拼图的方法证明勾股定理。 教学过程： 1、课前探究知识储备 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告。 《勾股定理证明方法探究报告》 2、设置悬念引出课题 提问：为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？ 为什么把这个图案作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会徽？ 引出课题《勾股定理》 3、画图实践大胆猜想 沿着先人的足迹，开始勾股定理的探索之旅。
活动一：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。 （1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现什么？ 地面 图18.1-1 （2）你能找出图18.1-1中正方形A ，B ，C 面积之间的关系吗？ （3）图中由正方形A ，B ，C 所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系? 由等腰直角三角形中的发现，进一步提问：是否其余的直角三角形也有这个性质呢？学生们展开活动二：在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边在三角形外作正方形（四人小组每组成员所画图形相同，派小组代表前边投影展示）。 a.可以怎样求以斜边为边的正方形面积？ b.三个正方形的面积有何关系？ c.直角三角形的三边长有何关系？ d.请大胆提出你的猜想。 学生在网格纸上按要求画图，然后回答给出的问题。进一步追问： 是否任意直角三角形的三边都满足此关系？由学生归纳，得出命题：如果直角三角形的 两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么2 22c b a =+。设问：这是个真命题吗？ 活动三：现有四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，请同学们动手拼一拼。 a.请用尽可能多的方法拼成一个正方形； b.请从你拼出的图形中验证：2 22c b a =+。 4、动手拼图定理证明 继续追问：你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把你探究报告中了解的方法与大家一起分享） 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
八年级下册函数习题 一． 选择题（共15小题） 1．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（ ） ． C D ． 花盆的总数是S ，按此规律推断，S 与n 的函数关系式是（ ） 7．函数y= 的自变量x 的取值范围是（ ） 瓶子的形状是下列的（ ）
9．小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家． C D ． 动一周，则点P 的纵坐标y 与P 所走过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） ． C D ． 的面积为y （B 、P 两点重合时，△ABP 的面积可以看做0），点P 运动的路程为x ，则y 与x 之间函数关系的图象大致为（ ） ． C D ． ． C D ． 16．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， _________ 随 _________ 变化而变化，其中自变量是 _________ ，因变量是 _________ ．
17．下列：①y=x2；②y=2x+1；③y2=2x（x≥0）；④y=（x≥0），具有函数关系（自变量为x）的是_________．18．按图示的运算程序，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y，写出y与x之间的函数关系式：y= _________． 19．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出苹果的数量x与售价y之间的关系如下表，写出x表示y的关 20．函数中，自变量x的取值范围是_________． 21．函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 22．在函数中，自变量x的取值范围是_________． 23．函数y=+中自变量x的取值范围是_________． 24．函数，当x=3时，y=_________． 25．若函数y=（2﹣m）x|m﹣1|是正比例函数，则常数m的值是_________． 26．若函数是正比例函数，则常数m的值是_________． 27．若函数y=（k﹣1）x|k|是正比例函数，则k=_________． 三．解答题（共3小题） 28．一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到了小球滚动的距离S（m）与时间t（s）的数 （2）写出用t表示s的关系． （3）求第6秒时，小球滚动的距离为多少m？ （4）小球滚动200m用了多长时间？ 29．为了迎接深圳第26届大运会，小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： （1）小明骑自行车离家的最远距离是_________km； （2）小明骑自行车行驶过程中，最快的车速是_________km/h，最慢的车速是_________km/h； （3）途中小明共休息了_________次，共休息了_________小时； （4）小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是_________km/h．
攀枝花市育才学社.培训学校 7.1.3战队培优专项（选用题） 八年级数学 第18章 函数及其图象 综合能力测试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、填空题（每题3分，共30分） 1．在函数 中，自变量x 的取值范围是_______． 2．点P （3，2）关于x 轴对称点是_______，关于y 轴对称点坐标是______，?关于原点对称点的坐标是________． 3．若正比例函数y=x 与一次函数y=-x+k 的图象交点在第三象限，则k?的取值范围是_______． 4．正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y= k x 的图象上一个交点是（-2，1），?那么它们的另一个交点是 _______． 5．直线y=x+2向右平移3个单位，再向下平移2?个单位所得到的直线解析式是_______． 6．直线y=3x-3与两坐标围成的三角形的面积是_______． 7．若反比例函数y= k x 经过（-1，2），则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第____象限． 8．如下左图所示，已知点P 是反比例函数y= k x 的图象在第二象限内的一点，过P 点分别作x 轴，y 轴的 垂线，垂足为M ，N ，若矩形OMPN 的面积为5，则k=______． 9．用火柴棒按如上右图的方式搭成一行三角形，搭一个三角形需3支火柴棒，?搭3个三角形需7支火柴 棒，照这样的规律搭下去，搭n 个三角形需要S 支火柴棒，则S 关于n 的函数关系式是_______． 10．已知一次函数y=ax+b （a ，b 为常数），x 与y 的部分对应值如下表： 那么方程ax+b=0的解是_______；不等式ax+b>0的解集是_______． 二、选择题（每题3分，共30分） 11．已知下列各点的坐标：M （-3，4），N （3，-2），P （1，-5），Q （2，-1），其中在直线y=?-x+1的图象 上的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．已知函数y=kx+b 的图象不经过第三象限，那么k 和b 的值满足的条件是（ ） A ．k>0，b ≥0 B ．k<0，b ≥0 C ．k<0，b ≤0 D ．k>0，b ≤0 13．已知反比例函数y= k x （k≠0），当x 1 一次函数与等腰三角形的存在性问题 一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件 的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0）， 在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的 坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标 为． 三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是 否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 直角三角形单元测试题班级：C167 姓名：分数： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=（） A.66° B.36° C.56° D.46° 2.△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.以下四组数中，不是勾股数的是（） A.3，4，5 B.5，12，13 C.4，5，6 D.8，15，17 4.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（） A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 5.三角形中，到三边距离相等的点是（） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点 6.等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为（） A.12 B.7 C.5 D.6 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线， AD=10，则点D到AB的距离是（） A.8 B.5 C.6 D.4 8.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6 cm，BC＝8 cm， 将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于() A. 25 4cm B. 22 3cm C. 7 4cm D. 5 3cm 9.如图，有两棵树，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行( )． A.8米 B.12米 C.13米 D.14米 10.如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC，则图中全等的三角形对数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每空3分，共30分） 11.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4 cm，则AB＝______cm。 12.如图，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AB=2BC,如果CD=2, 则AC= 。 13.若一个直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为________。 14.直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为。 15.如图，将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α= 。 16.直角三角形的两直角边分别为6和8，则斜边上的高为。 17.如图，一棵大树在离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4米， 这棵大树原来的高度为__________米。 18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，b=3，则a= 。 19．等边三角形的边长为4，则它的面积是。 20．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，使PP1=1；再过P1作P1P2⊥OP1，使P1P2=1； 又过P2作P2P3⊥OP2，使P2P3=1；…依此法继续作下去，得OP2015= ． 图4 4米 3米 D C A A B C D E 第7题 第8题 第9题 第10题 第12题 第15题 第17题 第20题 渝北区龙山中学八年级数学学科教案设计：审核：姓名：徐朝友自评：互评：教师评： （1）了解函数的概论；（2）能结合具体实例概括函数的概念同学们，通过前面的学生，我们体会到世界万物皆变，在运动变化的过程中往往问题1下面变化过程中的变量之间有什么联系？ 问题2 能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗？ 练习4 下列各图像哪些描述了y是x的函数？ 练习5 P是数轴上的一个动点，它所表示的实数为m,它到原点的距离记为 s。 （1）s是m的函数吗？为什么？ 函数的定义教学反思 本堂课教学内容是函数的定义，对于初学函数的学生而言，理解函数的定义非常抽象，难度也比较大。为此，我设计了学生熟悉的行程问题，分析时间与路程变化情况，引导学生说出：当时间每确定一个值时，路程有且只有一个确定的值与之对应。接着引导学生独立仿照例题的方法，分析“电影票售票张 数确定一个值时，收入有且只有一个值与之对应”，以及“水圈半径与面积的对应关系”。在学生初步感知函数对应关系后，让学生总结归纳以上三种变化过程的相似之处。接着通过一个表格分析，一个时时气温图，进一步明确变化过程中的两个变量之间的对应关系，在讨论的基础上总结出函数的定义。通过学生勾、读、议、背等方法，巩固函数的内涵。最后，通过识图像、读表格、识数量关系等多种形式，让学生强化函数的定义，突破难点，完成教学目标。 教学中，较好地完成了教学任务，学生比较准确地把握了函数的定义。具体有以下几点值得自己发扬： 1.教学例题设计贴近学生认知实际；例题和练习题选题面广：有行程问题分析、工程问题、利润问题、面积问题、统计问题等；有利于学生从辨别数量关系这一非本质属性中掌握函数与自变量之间的对应关系这一本质属性。 2.从形式上看，从解析式这一学生熟悉的函数表达方式入手，在观察分析中引入表格法、图像法，使函数的定义得到深化。 3.教学方法上看：有集体分析，独立分析，互助讨论，类比归纳，实现学生自主内化的目的，更利于学生掌握函数定义的内涵。 教学中也存在一些不足： 1.自己对时间把控不是很准确，主要出现在学生独立分析环节。 2.由于对教学内容还不够十分熟练，教学中差点将函数值的概念遗漏了，还好发现及时，立即进行弥补。 3.本人教学基本功还有待加强，尤其是普通话和三笔字。 4.教学形式的设计上还不够有激趣，学生学习起来有些单调。 初中数学同步典型例题分析变量与函数专题 题1.下列：①2y x =；②21y x =+；③22(0)y x x =≥；④0)y x =≥，具有函数关系（自变量为x ）的是 ． 题2.求下列函数中自变量x 的取值范围： ⑴32-=x y ； ⑵1432+-=x x y ；⑶11+= x y ； ⑷2-=x y ； ⑸3+=x x y ； ⑹12-+=x x y ；⑺5-=x x y ； ⑻x x y -+=21. 题3.我市出租车价格是这样规定的：不超过2．5千米，付车费5元，超过的部分按每千米 1．3元收费．已知某人乘坐出租车行驶了x （x ＞2．5）千米，付车费y 元，请写出出租车行驶的路程x （千米）与所付车费y （元）之间的关系式． 题4.如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ） 题5.在圆的周长公式2C r =π中，下列说法错误的是（ ） A ．C r π，，是变量，2是常量 B ． C r ，是变量，2π是常量 C ．r 是自变量，C 是r 的函数 D ．将2C r =π写成2C r = π，则可看作C 是自变量，r 是C 的函数 题6.在函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥- B ．1x >-且12x ≠ C ．1x ≥-且12 x ≠ D ．错误！链接无效。 题7.为了增强居民的节约用水的意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5吨的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5吨的部分，按每吨2.6元收费。设某用户月用水量x 吨，自来水公司的应收水费为y 元。 （1）试写出y （元）与x （吨）之间的函数关系式； （2）该户今年5月份的用水量为8吨，自来水公司应收水费多少元？ 题8.某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校。小明走路的速度V （米/分钟）是时间t （分钟）(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题
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