动态分析
导体棒与导轨问题
1、一根导体棒在导轨上滑动（单导体问题）
类
型
“电—动—电”型“动—电—动”型
示
意
图
棒ab长为L ，质量为m，电阻为R，
导轨光滑，电阻不计。棒ab长为L ，质量为m，电阻为R，
导轨光滑，电阻不计。
分析开关闭合后，棒ab受安培力
F=BLE/R，此时，a=BLE/mR,棒
ab的速度增加—
感应电动势BLv增加—安培力
F=BIL减小—加速度a减小，当
安培力F=0（a=0）时，v最大
棒ab释放后下滑，此时
a=gsinα，棒ab的速度v增加
——感应电动势E=BLv增加——
感应电流增加——安培力F增加
——加速度a减小，当安培力
F=mgsinα时，v最大。
2、两根导体棒在导轨上滑动（双导体问题）N
M b
a
P
Q
度做匀变速直线运动。则PQ先变加速，之后两杆匀
加速运动。
一、“动—电—动”型
1．（2007山东济南）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab.导轨地一端连接电阻R，其他电阻均不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，金属棒ab在一水平恒力F作用下由静止起向右运动．则（）A．随着ab运动速度的增大，其加速度也增大
B．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能
C．当ab做匀速运动时，外力F做功的功率等于电路中的电功率
D．无论ab做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能
2、如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行
的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有
垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B，一根质量为
m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m，则（）
A．如果B增大，v m将变大B．如果α变大，v m将变大
C ．如果R 变大，v m 将变大
D ．如果m 变小，v m 将变大 3．如图所示，一光滑平行金属轨道平面与水平面成θ角，两导轨上端用一电阻R 相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上。质量为m 的金属杆ab ，以
初速度v 0从轨道底端向上滑行，滑行到某一高度h 后又返回到底端。若运动过程中，金属杆保持与导轨垂直且接触良好，并不计金属杆ab 的电阻及空气阻力，则（ ）
A ．上滑过程中安培力的冲量比下滑过程大
B ．上滑过程通过电阻R 的电量比下滑过程多
C ．上滑过程通过电阻R 产生的热量比下滑过程多
D ．上滑过程的时间比下滑过程长
4.如图12-1-11所示，光滑的“∏”型金属导体框竖直放置，质量为m 的金属棒MN 与框架接触良好。磁感应强度分别为B 1、B 2的有界匀强磁场方向相反，但均垂直于框架平面，分别处在abcd 和cdef 区域。现从
图示位置由静止释放金属棒MN ，当金属棒进入磁场B 1区域后，恰好作匀速运动。以下说法中正确的有（ ）
A ．若
B 2=B 1，金属棒进入B 2区域后将加速下滑； B ．若B 2=B 1，金属棒进入B 2区域后仍将保持匀速下滑；
C ．若B 2
D ．若B 2>B 1，金属棒进入B 2区域后可能先减速后匀速下滑。
h
a
b
R
v 0
5．如图所示，一足够长的“n”形导体框架，宽度为L ，其所在平面与水平面垂直，电阻可以忽略不计．设匀强磁场与导体框架的平面垂直，磁感应强度为B ．有一根导体棒ab 跨放在框架上，由静止释放导体棒沿框架竖直滑下，且始终保持水平，它与框架间摩擦力为f ，如图所示，导体棒质量为m ，有效电阻R ，则ab 下滑的最大速度以及此时消耗的电功率等于：（）
A. 2
2)(L B R f mg - 222)(L B R f mg - B. 22L B mgR
2222L B R g m C. 2
2)(L B R f mg + 222)(L B R f mg + D. 22L
B fR
222L B R f 6、 如图甲所示，光滑、且足够长的平行金属导轨MN 、PQ 固定在同一水平面上，两导轨间距离为
L ＝1m ，定值电阻R 1＝3Ω，R 2＝
1.5Ω，导轨上放一质量为m ＝1kg 的金属杆，金属杆的电阻r ＝1Ω，
导轨的电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B ＝0.8T 的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面竖直向下，现用一拉力F 沿水平方向拉金属杆，使金属杆由静止开始运动。图乙所示为通过电阻
R 1中电流的平方随时间变化的I 12—t 图线，求：
（1）5s 末金属杆的动能。
· · · · · · · ·
· · · · · · · · b
（2）5s末安培力的功率。
（3）5s内拉力F做的功。
二、“电—动—电”型
7、如图所示，两根间距为d的平行光滑金属导轨间接有电源E，导轨平面与水平面间的夹角θ=30°。金属杆ab垂直导轨放置，导轨与金属杆接触良好。整个装置处于磁感应
强度为B的匀强磁场中。当磁场方向垂直导轨平面
向上时，金属杆ab刚好处于静止状态。若将磁场方
向改为竖直向上，要使金属杆仍保持静止状态，可以采取的措施是（）
A．减小磁感应强度B
B．调节滑动变阻器使电流减小
C．减小导轨平面与水平面间的夹角θ
D．将电源正负极对凋使电流方向改变
8．如图所示，通电导体棒AC静止于水平导轨上，并和导轨垂直，棒的质量为m，有效长度为L，通过的电流为I。
整个装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，
磁场方向和导轨平面的夹角为 。试求：
⑴ AC棒受到的摩擦力的大小和方向
辅导23：电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧 电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下： 类型一：单杆+电阻+导轨模型类 【初建模型】 【例题1】(2017·模拟)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求： (1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 【思路点拨】： 【答案】：(1)g sin θ，方向沿导轨平面向下；2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下；(2)12 mgx sin θ －m 3g 2R 2sin 2θ B 4L 4 【解析】：(1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BLv 回路中的感应电流I ＝ E R ＋R 杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v 2R ＝ma 当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝ 2mgR sin θ B 2L 2 ，方向沿导轨平面向下。 (2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋1 2 mv m 2
动态分析 导体棒与导轨问题1、一根导体棒在导轨上滑动（单导体问题） 棒ab长为L，质量为m,电阻为R, 棒ab 长为L，质量为m，电阻为R， 导轨光滑，电阻不计。导轨光滑，电阻不计。 开关闭合后，棒ab受安培力F=BLE/R，此时，a=BLE/mR,棒ab的速度增加一感应电动势BLv增加一安培力F=BIL减小一加速度a减小，当安培力F=0（a=0）时，v最大棒ab释放后下滑，此时a=gsin a 棒ab的速度v增加一一感应电动势E=BLv增加 ――感应电流增加一一安培力F增加一一加速度a减小，当安培力F=mgsin a时，v 最大。 2、两根导体棒在导轨上滑动（双导体问题） 初速度不为零, 不受其他水平外力作用 N Q N t / Q 1 尸V0 / 示M / /M M / P P 意 图质量=m i=m2 电阻=门=「2 质量=m i=m2 电阻=r i=r2 长度=L i=L2 长度=L i=L2 分杆MN做边减速运动，杆PQ做变稳疋时，两杆的加速度为零，两杆的速度 析加速运动，稳定时，两杆的加速度之比为i: 2 为零，以相等的速度匀速运动。 初速度为零，受其他水平外力的作用 \ 1;1 * 1N 电一动一电”型动一电一动”型
动一电一动”型 1 . （2007山东济南）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为 m 的 金属棒ab.导轨地一端连接电阻 R ，其他电阻均不计，磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直 I 齐 科匕科 于导轨平面向下，金属棒 ab 在一水平恒力F 作用下由静止起向右运动.贝则（卑*弓焉宦T A .随着ab 运动速度的增大，其加速度也增大 B .外力F 对ab 做的功等于电路中产生的电能 C .当ab 做匀速运动时，外力 F 做功的功率等于电路中的电功率 D ?无论ab 做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能 2、如图所示，有两根和水平方向成 角的光滑平行的金属轨道，上端 接有可变电阻 R ,下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场， 磁感强 度为B , —根质量为 m 的金属杆从轨道上由静止滑下?经过足够长的时间 后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度 V m ,则（） A .如果B 增大，v m 将变大 B .如果 变大，V m 将变大 C .如果R 变大，v m 将变大 D .如果m 变小，v m 将变大 3. 如图所示，一光滑平行金属轨道平面与 水平面成 角，两导轨上端用一电阻 R 相连，该装置处于匀强磁场中， 磁场方向垂直轨道平面向上。 质量为m 的金属杆ab ,以初 速度V 0从轨道底端向上滑行，滑行到某一高度 h 后又返回 到底端。若运动过程中，金属杆保持与导轨垂直且接触良 好，并不计 质量=m i =m 2 电阻=r i =r 2 长度=L I =L 2 摩擦力f i =f 2, 电阻=r i =r 2 质量=m i =m 2 长度=L I =L 2 开始时，两杆做变加速运动；稳定时, 两杆以相同的加速度做匀变速直线运 动。 稳定时，若FW 2,则PQ 先变加速后匀 速运动；若F>2f ,则PQ 先变加速，之 后两杆匀加速运动。 F M P * Q r Q F P
电磁感应中的杆导轨类问题大模型解题技巧集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
辅导23：电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧 电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下： 类型一：单杆+电阻+导轨模型类 【初建模型】 【例题1】(2017·淮安模拟)如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。 整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平 面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆 cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导 轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求： (1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 【思路点拨】： 【答案】：(1)g sinθ，方向沿导轨平面向下；，方向沿导轨平面向下；(2)mgx sinθ－ 【解析】：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv 回路中的感应电流I＝ 杆所受的安培力F＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sinθ－＝ma 当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝g sinθ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a＝0时，速度最大，最大速度v m＝，方向沿导轨平面向下。 (2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sinθ＝Q总＋mv m 2 又Q杆＝Q总，所以Q杆＝mgx sinθ－。 【内化模型】 单杆+电阻+导轨四种题型剖析 题型一(v0≠0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0)题型四(v0＝0) 说明杆cd以一定初速 度v0在光滑水平 轨道上滑动，质 量为m，电阻不 计，两导轨间距 为L 轨道水平光滑， 杆cd质量为m， 电阻不计，两导 轨间距为L，拉 力F恒定 倾斜轨道光滑，倾 角为α，杆cd质量 为m，两导轨间距为 L 竖直轨道光滑， 杆cd质量为m， 两导轨间距为L
电磁感应中导体棒类问题归类剖析 电磁感应中的导轨上的导体棒问题是历年高考的热点。其频考的原因，是因为该类问题是力学和电学的综合问题，通过它可以考查考生综合运用知识的能力。解滑轨上导体棒的运动问题，首先要挖掘出导体棒的稳定条件及它最后能达到的稳定状态，然后才能利用相关知识和稳定条件列方程求解。下文是常见导轨上的导体棒问题的分类及结合典型例题的剖析。想必你阅过全文，你会对滑轨上的导体棒运动问题，有一个全面的细致的了解，能迅速分析出稳定状态，挖掘出稳定条件，能准确的判断求解所运用的方法。 一、滑轨上只有一个导体棒的问题 滑轨上只有一个导体棒的问题，分两类情况：一种是含电源闭合电路的导体棒问题，另一种是闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题。 （一）含电源闭合电路的导体棒问题 例1 如图1所示，水平放置的光滑导轨MN、PQ上放有长为L、电阻为R、 质量为m的金属棒ab，导轨左端接有内阻不计、电动势为E的电源组成回路， 整个装置放在竖直向上的匀强磁场B中，导轨电阻不计且足够长，并与电键S 串联。当闭合电键后，求金属棒可达到的最大速度。 图1 解析闭合电键后，金属棒在安培力的作用下向右运动。当金属棒的速度为 v时，产生的感应电动势，它与电源电动势为反接，从而导致电路中电流减小，安培力减小，金属棒的加速度减小，即金属棒做的是一个加速度越来越小的加速运动。但当加速度为零时，导体棒的速度达到最大值，金属棒产生的电动势与电源电动势大小相等，回路中电流为零，此后导体棒将以这个最大的速度做匀速运动。 金属板速度最大时，有 解得
点评本题的稳定状态是金属棒最后的匀速运动；稳定条件是金属棒的加速度为零（安培力为零，棒产生的感应电动势与电源电动势大小相等） （二）闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题 1. 导体棒在外力作用下从静止运动问题 例2（全国高考题）如图2，光滑导体棒bc固定在竖直放置的足够长的平行金属导轨上，构成框架abcd，其中bc棒电阻为R，其余电阻不计。一质量为m 且不计电阻的导体棒ef水平放置在框架上，且始终保持良好接触，能无摩擦地滑动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直框面。若用恒力F向上拉ef，则当ef匀速上升时，速度多大？ 图2 解析本题有两种解法。方法一：力的观点。当棒向上运动时，棒ef受力如图3所示。当ef棒向上运动的速度变大时，ef棒产生的感应电动势变大，感应 =BIL变大，因拉力F和重力mg都电流I=E/R变大，它受到的向下的安培力F 安 不变，故加速度变小。因此，棒ef做加速度越来越小的变加速运动。当a=0时（稳定条件），棒达到最大速度，此后棒做匀速运动（达到稳定状态）。当棒匀速运动时（设速度为），由物体的平衡条件有 图3
电磁感应中的导轨问题 一、单棒问题：基本模型 阻尼式 电动式 发电式 二、含容式单棒问题：基本模型 放电式 无外力充电式 有外力充电式 三、无外力双棒问题：基本模型 无外力等距式 无外力不等距式 四、有外力双棒问题:基本模型 有外力等距式 有外力不等距式 ·阻尼式单棒： 1．电路特点：导体棒相当于电源。 2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。 3．加速度特点：加速度随速度减小而减小。 4．运动特点：a 减小的减速运动 5．最终状态：静止 6．三个规律 (1)能量关系： (2)动量关系： (3)瞬时加速度： 7．变化：(1)有摩擦(2)磁场方向不沿竖直方向 2 22 B B l v F B Il R r == +2 2 () B F B l v a m m R r = = +2 0102 m v Q -=0m v q B l =R r Q R Q r =00B Il t m v -??=-22 ()B F B l v a m m R r ==+1
·发电式单棒 1．电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v 时，电动势E ＝Blv 2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大 3．加速度特点：加速度随速度增大而减小 4．运动特点：a 减小的加速运动 5．最终特征：匀速运动 6．两个极值： (1) v=0时,有最大加速度： (2) a=0时,有最大速度： 7．稳定后的能量转化规律： 8．起动过程中的三个规律 (1)动量关系： m F t B L q m g t m v μ--=- (2)能量关系： 2 12 E m F s Q m g S m v μ=++ (3)瞬时加速度： B F F m g a m μ--= 9．几种变化 (1) 电路变化（并联式）(2)磁场方向变化 (3)拉力变化（若匀加速拉杆则F 大小恒定吗？） (4) 导轨面变化（竖直或倾斜）加沿斜面恒力、通过定滑轮挂一重物、加一开关 ·电容放电式： 1．电路特点：电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动。 2 电动势，导致电流减小，直至电流为零，此时UC=Blv 3．运动特点：a 渐小的加速运动，最终做匀速运动。 4．最终特征：匀速运动，但此时电容器带电量不为零。 5．最大速度vm μ μ m F m g a m μ-=μ μ 2 2 -+= ()() m F m g R r v B l μ2 () m m m B L v F v m g v R r μ=++
电磁感应中的杆+导轨问题 “杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是各种考试的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景富于变化，是我们学习中的重点和难点。导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；轨道可能光滑，也可能粗糙；杆可能有电阻也可能没有电阻；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，多种情景组合复杂，题目形式多变。 下面是几种最基本的模型及分析，有兴趣（无兴趣可以无视）的同学可以学习、体会、研究。 需要注意的是：模型中的结论是基于表中所述的基本模型而言，不一定有普遍性，物理情景有变化，结论可能不同，但分析的方法是相同的、有普遍性的。 1．单杆水平式 物理模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，棒ab长为L，质量为m， 初速度为零，拉力恒为F，水平导轨光滑，除电阻R外，其他电 阻不计 动态分析设运动过程中某时测得的速度为v，由牛顿第二定律知棒ab的加速度为a＝ F m－= B2L2v mR，a、v同向，随速度的增加，棒的加速度a 减小，当a＝0时，v最大，电流I＝ BLv m R不再变化 收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化 物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨间距为L，导体棒质量为m，电阻为R，导轨光滑，电阻不计 动态分析棒ab刚释放时a＝g sin α，棒ab的速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ E R↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F ＝mg sin α时，a＝0，速度达到最大v m＝ mgR sin α B2L2 收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化 3、有初速度的单杆 物理模型杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻
电磁感应中“杆+导轨”模型问题 例1、相距L=的足够长金属导轨竖直放置，质量m1=1kg 的金属棒ab 和质量m2=的金属棒cd ，均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。ab 棒光滑，cd 棒与导轨间动摩擦因数μ=，两棒总电阻为Ω，导轨电阻不计。ab 棒在方向竖直向上、大小按图2所示规律变化的外力F 作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd 棒也由静止释放。（g=10m/s2） （1）求ab 棒加速度的大小和磁感应强度B 的大小； （2）已知在2s 内外力F 做了的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热； （3）求出cd 棒达到最大速度所需的时间t0，并在图3中定性画出cd 棒所受摩擦力fcd 随时间变化的图线。 解： （1）， 所 以 ， （2分） 由图2的截距可知， ，， （2分） 由图2的斜率可知， ，， （2 分） （2）
， （2分） ， （2分） （3） ，，所以有， ，，（2分） 2分） （ 例2、如图所示，两条光滑的金属导轨相距L =1m，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内。在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=。ab和cd是质量均为m=、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，cd置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好。从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd棒受到F＝（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态。不计导轨的电阻。（sin37°=）（1）求流过cd棒的电流强度Icd随时间t变化的函数关系； （2）求ab棒在水平导轨上运动的速度vab随时间t变化的函数关系； （3）求从t=0时刻起，内通过ab棒的电荷量q； （4）若t=0时刻起，内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳热Qcd。
电磁感应中的“双杆问题” 电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考察的热点。 下面对“双杆”类问题进行分类例析 1.“双杆”向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。 [例5] 两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦。 （1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。 （2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。 解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：E1=E2=Bdv 由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为： 因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。 由以上各式并代入数据得N （2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为，代入数据得Q=1.28× 10-2J。 2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。 [例6] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少。 （2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？ 解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流。ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动。在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速。两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动。 （1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有根据能量守恒，整个过程中产生
导轨电路中的电容问题 1．两相互平行且足够长的水平金属导轨MN 、PQ 放在竖直平面内，相距0.4m ，左端接有平行板电容器，板间距离为0.2m ，右端接滑动变阻器R 。水平匀强磁场磁感应强度为10T ，垂直于导轨所在平面，整个装置均处于上述匀强磁场中，导体棒CD 与金属导轨垂直且接触良好，棒的电阻为1Ω，其他电阻及摩擦不计。现在用与金属导轨平行，大小为2N 的恒力F 使棒从静止开始运动。已知R 的最大阻值为2Ω，g=10m/s 2-。则： ⑴ 滑动变阻器阻值取不同值时，导体棒处于稳定状态时拉力的功率不一样，求导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率。 ⑵当滑动触头在滑动变阻器中点且导体棒处于 稳定状态时，一个带电小球从平行板电容器左侧，以某一速度沿两板的正中间且平行于两极板射入后，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头位于最下端且导体棒处于稳定状态时，该带电小球以同样的方式和速度射入，小球在两极板间恰好做匀速圆周运动，则小球的速度为多大。 | 解：（1）当棒达到匀速运动时，棒受到的安培力F 1与外力F 相平衡，即 F=F 1=BIL ① （1分） 此时棒产生的电动势E=BL v ，则电路中的电流。 I ＝ E R ＋r ＝ BL v R ＋r ② （1分） 由①②式得此时棒的速度 V ＝F(R ＋r) B 2L 2 ③ （1分） 拉力功率 P ＝FV ＝F 2 (R ＋r) B 2L 2 ④ （1分） 由④式知回路的总电阻越大时，拉力功率越大， 当R=2Ω时，拉力功率最大，P m =(W) （1分） (2)当触头滑到中点即R=1Ω时，由③式知棒匀速运动的速度 ~ v 1＝F(R ＋r) B 2L 2 ＝(m/s) （1分） 导体棒产生的感应电动势 E 1=BL v 1=10××=1(V) （1分） 电容器两极板间电压 U 1＝E 1R R ＋r ＝(V) （1分） 由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电,此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v 0,由平衡条件知： F+f=G 即 q U 1 d ＋q v 0B=mg ⑤ （2分） 当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度 R M N 【 D F
电磁感应中的双动式导轨问题 一、等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外，下同） 例1两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。导轨上面横放着两根导体棒和，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为，电阻皆为，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒静止，棒有指向棒的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？ （2）当棒的速度变为初速度的时，棒的加速度是多少？ 解析棒向棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产生感应电流。棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要棒的速度大 于棒的速度，回路总有感应电流，棒继续减速，棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。 （1）从开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒的总动量守恒，有，根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热。 （2）设棒的速度变为时，棒的速度为，则由动量守恒可知得，此时棒所受的安培力。 由牛顿第二定律可得：棒的加速度。 二、不等间距水平导轨，无水平外力作用 例2如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于
竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：(1)、棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。 解析下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。 (1)自由下滑，机械能守恒：① 由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为：② 在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有： 所以③ 、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得： ④ ⑤ 联立以上各式解得：， (2)根据系统的总能量守恒可得： 三、等间距水平导轨，受水平外力作用
应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨＋杆”模型问题 1．模型概述 “导轨＋杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“导轨＋杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，情景复杂，形式多变． 2．常见模型 类型“电—动—电”型“动—电—动”型 示意图 已知量 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨 光滑水平，电阻不计 棒ab长L，质量m，电阻R；导轨 光滑，电阻不计 过程分析 S闭合，棒ab受安培力F＝ BLE R， 此时加速度a＝ BLE mR，棒ab速度v ↑→感应电动势E′＝BLv↑→电 流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度 a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v 最大，最后匀速运动 棒ab释放后下滑，此时加速度a＝ gsin α，棒ab速度v↑→感应电动 势E＝BLv↑→电流I＝ E R↑→安培 力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培 力F＝mgsin α时，a＝0，v最大， 最后匀速运动 能 量 转 化 通过安培力做功，把电能转化为动 能 克服安培力做功，把重力势能转化 为内能 运动 形式 变加速运动变加速运动 最终 状态 匀速运动，vm＝ E′ BL 匀速运动 vm＝ mgRsin α B2L2 一、单棒问题 1、发电式 （1）电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv （2）安培力特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大 （3）加速度特点：加速度随速度增大而减小 （4）运动特点：加速度减小的加速运动 （5）最终状态：匀速直线运动 （6）两个极值 F
电磁感应中的双导轨问题 等间距导轨 一、无外力F作用 1.如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，它们与两金属导轨组成闭合回路．已知两根导体棒的质量均为m，导体棒ab在导轨之间的电阻为2R，导体棒cd在导轨之间的电阻为R，导轨光滑且电阻可忽略不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时，导体棒cd静止，导体棒ab具有水平向右的初速度v0，此后的运动过程中，两导体始终与金属导轨垂直且接触良好．求： （1）闭合回路中电流的最大值； （2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热； （3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率及其加速度大小。 【分析】当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；随着右边棒速度增加，必然有安培力的产生，右边棒收到的安培力向左做减速运动，左边棒受到的安培 力向右做加速运动，随着速度减少，两棒的加速度也在减少，当二 者速度一样时候，回路的电动势为零，没有电流也就没有安培力， 两个棒稳定运动， 解：（1）当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大， 最大电动势为E m＝BLv0 由闭合电路欧姆定律得：
最大电流为： （2）运动过程中，两导体棒沿水平方向不受外力，动量守恒 设共同速度为v，则：mv0＝2mv 解得： 整个过程中两导体棒组成系统损失的动能全部转化为焦耳热，根据能量守恒定律得： （3）设ab棒的速度变为时，cd棒的速度为v'，则由动量守恒可得： 解得 注意：由于两个棒都在切割产生感应电动势，方向相冲，所以产生的感应电动势要相减。此时回路中的电动势为 此时回路中的电流为 导体棒的发热功率为： 此时ab棒所受的安培力为 由牛顿第二定律可得，ab棒的加速度为： 答：（1）闭合回路中电流的最大值为； （2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热为； （3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率为，其加速
动态分析 导体棒与导轨问题 1、一根导体棒在导轨上滑动（单导体问题） 类 型 “电—动—电”型“动—电—动”型 示 意 图 棒ab长为L ，质量为m，电阻为R， 导轨光滑，电阻不计。棒ab长为L ，质量为m，电阻为R， 导轨光滑，电阻不计。 分析开关闭合后，棒ab受安培力 F=BLE/R，此时，a=BLE/mR,棒 ab的速度增加— 感应电动势BLv增加—安培力 F=BIL减小—加速度a减小，当 安培力F=0（a=0）时，v最大 棒ab释放后下滑，此时 a=gsinα，棒ab的速度v增加 ——感应电动势E=BLv增加—— 感应电流增加——安培力F增加 ——加速度a减小，当安培力 F=mgsinα时，v最大。 2、两根导体棒在导轨上滑动（双导体问题）N M b a P Q
度做匀变速直线运动。则PQ先变加速，之后两杆匀 加速运动。 一、“动—电—动”型 1．（2007山东济南）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab.导轨地一端连接电阻R，其他电阻均不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，金属棒ab在一水平恒力F作用下由静止起向右运动．则（）A．随着ab运动速度的增大，其加速度也增大 B．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能 C．当ab做匀速运动时，外力F做功的功率等于电路中的电功率 D．无论ab做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能 2、如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行 的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有 垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B，一根质量为 m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m，则（） A．如果B增大，v m将变大B．如果α变大，v m将变大