综合案例 人口增长模型
据人口学家们预测，到2033年 ，世界人口将突破100亿，每年增加近1亿人，以后还会迅猛增长。人们开始考虑，我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长。让我们建立数学模型来预测人口的增长。
我们关心任意时刻的人口总数N （t ）,即t 时刻人口中生命个体的总数，而忽略他们的年龄和性别。影响总人口数的最显著的因素是个体的出生、死亡、以及进出我们所研究区域的个体数。为了简化问题，我们忽略迁入与迁出的人口，仅考虑时间段?t 内人口数的变化情况。很明显，出生和死亡人数的变化将依赖于以下因素：
（1） 时间间隔?t 的长短；
（2） 时间间隔开始时的人口总数。 做最简单的假设是正比关系，即
时间间隔?t 内的出生人数= bn(t)?t 时间间隔?t 内的死亡人数=dn(t)?t
这里b 和d 分别是出生率和死亡率。我们得到一个初始模型为
N(t+?t)-N(t)=(b -d)N (t) ?t （2.35）
现在可根据时间区间?t 的两种情况进一步研究模型. 一种是确定一个有限的时间单位,比如?t=1年,令
N k = N(k)=N (k ?t), k=1,2,3,… 这样方程(2.35)便是一个关于序列N K ,k=1,2,3, …的差分方程: N k+1= (b -d+1)N k k=1,2,3,…
我们可以根据上一年的人口数推算出第二年的人口数以及逐年的人口数。
另一种是考虑很短的时间区间?t 内的人口变化。由于一个广阔区域的人口数量很大，可认为人口数Ｎ(t)是一个连续变量，因为当Ｎ(t)很大时，对应的曲线具有很小的跃变可视为平滑的，这样的处理即简化了模型又不会引起严重误差。
先将式（2.35）改写为
t
t N t t N t N ?-?+)()()(1=b -d
令?t →0,则有
d b dt
dN N -=1 （2.36）
等式左端的表达式可以理解为“相对增长率”，对其作不同的假设可以建立不同的数学模型。
如果假设人口净增长率b 和净死亡率d 均为常数，从而净相对增长率r=b -d 也是一个常数。记t=0时的人口数N 0=N （0），得此方程的解为
N （t ）= N 0e rt , t ≥0
假若净增长率r>0，人口的预测值将以?r 为公比按几何级数无限增长。
英国神父Malthus 在分析了一百多年人口统计资料的基础上，建立了以上模型。人们发现十九世纪以前欧洲某些地区人口情况与Malthus 模型比较相符，但此后发展情况则相差很大。仔细分析原因是模型假设过于简单，我们可以进一步考虑其他因素的影响。比如，只有在一个较短的时期内，才可以把人口净增长率
近似地看着一个常数，随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影响，即可以将r 看着人口数的函数，记为r(N)。方程（2.36）被改为
??
?
??==0)0()()]([N N t N t N r dt dN （2.37）
求得解为
?=t
dt
t N r e N t N 0)]([0)(
上式中的r[N(t)]是未知函数，我们无法确定N(t)。这里遇到的情形很有趣，放宽了假设是为了得到更一般的结果，然而却什么结果都得不到了。 我们换一种思考方式，将净增长率r 看成人口数N 的线性函数，设r(N)=a+cN,并设r(0)=r ，且对某一个数值K 有r(K)=0。即有
??
?
??==+=0)()0()(K r r r cN a N r
求解得 r(N)=r(1-K N
)
代入式（2.）中，有
?
??=-=0)0()()1(N N t N r K N
dt dN 图2.10 此方程的解为
N(t)=rt
N K rt rt
e K
e N K Ke N --+-+=)1(1)
1(0
00 , t ≥0
这也是Logistic 模型，解曲线如图2.10所示（亦称Logistic 曲线），我们分析上结果，有
（1） 若r<0,随着t +∞→,则有N(t)→0;
（2） 若r>0时,对N 0的任意正值，当t +∞→时均有N(t)→K; （3） 若r=0时N(t)=N 0 。 类似实例五的分析，不难看出，当N=
K 时，dt dN
取最大值，此时人口增长速度
最大。Logistic 模型指出，人口增长有一个稳定的平衡值K ，这比Malthus 模型更符合实际，这就是Logistic 模型广泛用于生物数量预测中的原因。
下表给出本世纪初用Malthus 模型和Logistic 模型计算所得的美国人口预测数。自1790年始，每十年统计一次，取K=197273000，r=0.03134,以百万人为单位。
表2.8
你仔细分析上表中的数据,可以充分体味到数学建模的魅力.
思考题：
(1) 请将此实例中的人口模型与实例中的新产品销售模型进行类比,它们在
建模方法和模型描述方面有什么异同处?
(2) 此例中对人口问题中变量为连续的情形进行了较详细的讨论,请你进一
步就离散变量的情形进行讨论.
(3) 一个区域内时刻t的总人数N (t) 实际上应该是一个随机变量，你可否尝试着建立一个数学模型来描述人口增长情况。
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
元胞自动机NaSch模型及其MATLAB代码 作业要求 根据前面的介绍，对NaSch模型编程并进行数值模拟： ●模型参数取值：Lroad=1000，p=0.3，Vmax=5。 ●边界条件：周期性边界。 ●数据统计：扔掉前50000个时间步，对后50000个时间步进行统计,需给出的 结果。 ●基本图（流量-密度关系）：需整个密度范围内的。 ●时空图（横坐标为空间，纵坐标为时间，密度和文献中时空图保持一致, 画 500个时间步即可）。 ●指出NaSch模型的创新之处，找出NaSch模型的不足，并给出自己的改进思 路。 ●流量计算方法： 密度＝车辆数/路长； 流量flux=density×V_ave。 在道路的某处设置虚拟探测计算统计时间T内通过的车辆数N； 流量flux=N/T。 ●在计算过程中可都使用无量纲的变量。 1、NaSch模型的介绍 作为对184号规则的推广，Nagel和Schreckberg在1992年提出了一个模拟车辆交通的元胞自动机模型，即NaSch模型（也有人称它为NaSch模型）。 ●时间、空间和车辆速度都被整数离散化。
● 道路被划分为等距离的离散的格子，即元胞。 ● 每个元胞或者是空的，或者被一辆车所占据。 ● 车辆的速度可以在（0～Vmax ）之间取值。 2、NaSch 模型运行规则 在时刻t 到时刻t+1的过程中按照下面的规则进行更新： （1）加速：),1min(max v v v n n +→ 规则（1）反映了司机倾向于以尽可能大的速度行驶的特点。 （2）减速：),min(n n n d v v → 规则(2)确保车辆不会与前车发生碰撞。 （3）随机慢化： 以随机概率p 进行慢化，令：)0, 1-min(n n v v → 规则(3)引入随机慢化来体现驾驶员的行为差异，这样既可以反映随机加速行为， 又可以反映减速过程中的过度反应行为。这一规则也是堵塞自发产生的至关重要因素。 （4）位置更新：n n n v x v +→ ，车辆按照更新后的速度向前运动。 其中n v ，n x 分别表示第n 辆车位置和速度；l （l ≥1）为车辆长度； 11--=+n n n x x d 表示n 车和前车n+1之间空的元胞数；p 表示随机慢化概率；max v 为最大速度。 3、NaSch 模型实例 根据题目要求，模型参数取值：L=1000，p=0.3，Vmax=5，用matlab 软件进行编程，扔掉前11000个时间步，统计了之后500个时间步数据，得到如下基本图和时空图。 3.1程序简介 初始化：在路段上，随机分配200个车辆，且随机速度为1-5之间。 图3.1.1是程序的运行图，图3.1.2中，白色表示有车，黑色是元胞。
MATLAB数字图像处理 1 概述 BW=dither(I)灰度转成二值图； X=dither(RGB,map)RGB转成灰度图，用户需要提供一个Colormap； [X,map]=gray2ind(I,n)灰度到索引； [X,map]=gray2ind(BW,n)二值图到索引，map可由gray(n)产生。灰度图n默认64，二值图默认2； X=graylice(I,n)灰度图到索引图，门限1/n,2/n,…,(n-1)/n，X=graylice(I,v)给定门限向量v； BW=im2bw(I,level)灰度图I到二值图； BW=im2bw(X,map,level)索引图X到二值图；level是阈值门限，超过像素为1，其余置0，level在[0,1]之间。 BW=im2bw(RGB,level)RGB到二值图； I=ind2gray(X,map)索引图到灰度图； RGB=ind2rgb(X,map)索引图到RGB； I=rgb2gray(RGB)RGB到灰度图。 2 图像运算 2.1 图像的读写 MATLAB支持的图像格式有bmp,gif,ico,jpg,png,cur，pcx,xwd和tif。 读取（imread）： [1] A=imread(filename,fmt) [2] [X,map]=imread(filename,fmt) [3] […]=imread(filename) [4] […]=imread(URL,…) 说明：filename是图像文件名，如果不在搜索路径下应是图像的全路径，fmt是图像文件扩展名字符串。前者可读入二值图、灰度图、彩图(主要是RGB)；第二个读入索引图，map 为索引图对应的Colormap,即其相关联的颜色映射表，若不是索引图则map为空。URL表示引自Internet URL中的图像。 写入（imwrite）： [1] R=imwrite(A,filename,fmt); [2] R=imwrite(X,map,filename,fmt); [3] R=imwrite(…,filename); [4] R=imwrite(…,Param1,V al1,Param2,Val2) 说明：针对第四个，该语句用于指定HDF,JPEG,PBM,PGM,PNG,PPM,TIFF等类型输出文件的不同参数。例如HDF的Quality,Compression,WriteMode;JPEG的BitDepth，Comment:Empty or not，Mode:lossy or lossless，Quality等。 2.2 图像的显示 方法1：使用Image Viewer(图像浏览器)，即运用imview函数。 同时显示多帧图像的所有帧，可用到montage函数。
1.绘制云图 Ex=18 En=2 He=0.2 hold on for i=1:1000 Enn=randn(1)*He+En; x(i)=randn(1)*Enn+Ex; y(i)=exp(-(x(i)-Ex)^2/(2*Enn^2)); plot(x(i),y(i),'*') end Ex=48.7 En=9.1 He=0.39 hold on for i=1:1000 Enn=randn(1)*He+En; x(i)=randn(1)*Enn+Ex; y(i)=exp(-(x(i)-Ex)^2/(2*Enn^2)); plot(x(i),y(i),'*')
end 2.求期望、熵及超熵 X1=[51.93 52.51 54.70 43.14 43.85 44.48 44.61 52.08]; Y1=[0.91169241573 0.921875 0.96032303371 0.75737359551 0.76983848315 0.7808988764 0.78318117978 0.9143258427]; m=8; Ex=mean(X1) En1=zeros(1,m); for i=1:m En1(1,i)=abs(X1(1,i)-Ex)/sqrt(-2*log(Y1(1,i))); end En=mean(En1); He=0; for i=1:m He=He+(En1(1,i)-En)^2; end En=mean(En1) He=sqrt(He/(m-1)) 3.平顶山so2环境: X1=[0.013 0.04 0.054 0.065 0.07 0.067 0.058 0.055 0.045]; Y1=[0.175675676 0.540540541 0.72972973 0.878378378
4.1 美国人口增长问题研究 4.1.1 问题重述 认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。 4.1.2 符号规定与基本假设 1. 符号规定 1.r表示人口增长率 x t表示人口数量 2.() x表示人口容量 3. m 2. 基本假设 1)假设人口增长符合生长规律； 2)不考虑战争等非射幸因素； 3)不考虑突发事故所引起的人口数量变化；
4.1.3 模型分析与建立 考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间t 的延续可微函数()x t 。记初始时刻()0t =的人口为0x 。假设单位时间人口增长率为常数r ，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为： ()0,0dx rx x x dt == (1.1) 易得： ()0n x t x e = (1.2) 若0r >，人口将按指数规律无限增长。 根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。对式(1.1)中的参数 0,r x 进行估计主要有以下两种方法。 方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对 (1.2)式取对数可得： 0,ln ,ln y rt a y x a x =+== (1.3) 由本题所给表格，通过MATLAB 软件可计算得出，0.2020/10r =年，0 6.0496 x =。 方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r 的估计；0x 直接取原始数据。 数值微分的中点公式如下：假设函数()x t 在分点01,,,n t t t (等间距t ?)的离 散值为01,, ,n x x x ，那么函数在各个分点的导数近似值为 ()11 ,1,2,,12k k k x x x t k n t +--'= =-? (1.4) ()()0122103443,22n n n n x x x x x x x t x t t t ---+--+''==?? (1.5) 根据式(1.5)可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率() () k k k x t r x t '= ，为0.2052年/10年，令人口数量初值0 3.9x =，即可预测算出人口数量。
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
MATＬAＢ数字图像处理 1 概述 ＢW=ｄitheｒ(I)灰度转成二值图； Ｘ=ｄitｈer（RＧB,ｍap)RＧB转成灰度图，用户需要提供一个Cｏlorｍap; ［X，maｐ]＝grａy2inｄ(Ｉ,n)灰度到索引; [X,mａp]=grａy２ｉnd（BＷ,n)二值图到索引，ｍap可由grａｙ(n）产生。灰度图n 默认64，二值图默认２; X=grａylｉce（I,n）灰度图到索引图，门限１/n,2/ｎ,…,(n-1）／n,X=graｙlｉｃe(I，ｖ)给定门限向量v； BW=im２bw(I,levｅl)灰度图I到二值图； BW=im2bw(Ｘ,map,levｅl)索引图X到二值图；ｌevel是阈值门限，超过像素为1,其余置0,lｅvｅl在[0,1]之间。 ＢW=im2ｂｗ(RGＢ,leｖｅl)ＲＧＢ到二值图; I=iｎd2gray（Ｘ,mａp)索引图到灰度图; RＧＢ=ind2rｇb(Ｘ,maｐ）索引图到ＲGB; I＝ｒgb２gray(RGB)RGB到灰度图。 2 图像运算 2.１图像的读写 MATLAＢ支持的图像格式有bｍp，gif,ico,jｐｇ，png，cur，ｐcx,xwd和tｉf。 读取(imread): [1］Ａ=imreaｄ(fｉlenaｍe,fmt) ［2] [Ｘ,ｍaｐ］=imrｅad（ｆiｌｅｎame,fｍt） ［3] ［…]＝iｍｒead（ｆiｌｅnamｅ) ［4] […]=imread(UＲL,…) 说明:filenａme是图像文件名,如果不在搜索路径下应是图像的全路径,fmｔ是图像文件扩展名字符串。前者可读入二值图、灰度图、彩图(主要是RGＢ);第二个读入索引图，map 为索引图对应的Ｃolormap,即其相关联的颜色映射表，若不是索引图则ｍap为空。URＬ表示引自Ｉntｅrnet ＵRL中的图像。 写入(iｍｗrite): [1] R=imwrite(A,fileｎaｍe，fｍｔ)； [2] Ｒ=imwriｔe(X,map,fiｌename,ｆmt); [３] R＝ｉｍwritｅ(…,filenaｍｅ); [4] R=iｍｗrite(…，Param1,Val1,Pａraｍ2,Vａl2) 说明:针对第四个,该语句用于指定ＨDF,JPEＧ,PBＭ,PGM,PNG,PPM,ＴIＦＦ等类型输出文件的不同参数。例如ＨDF的Qualｉtｙ,Compreｓｓioｎ,ＷｒｉｔeMode;JPEＧ的BiｔＤｅpｔh，Cｏmｍent：Ｅmｐtｙor not，Mode:ｌossy oｒｌossless，Quality等。 ２．2 图像的显示 方法1：使用Imaｇe Viｅwer(图像浏览器），即运用imｖiｅw函数。
模型((P C2R)的MATLAB程序 clear X=[]; %用户输入多指标输入矩阵X Y=[]; %用户输入多指标输出矩阵Y n=size(X',1); m=size(X,1); s=size(Y,1); A=[-X' Y']; b=zeros(n, 1); LB=zeros(m+s,1); UB=[]; for i=1:n; f= [zeros(1,m) -Y(:,i)']; Aeq=[X(:,i)' zeros(1,s)]; beq=1; w(:,i)=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); %解线性规划，得DMU;的最佳权向量w; E(i, i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i); %求出DMU i的相对效率值E ii end w %输出最佳权向量 E %输出相对效率值E ii Omega=w(1:m,:) %输出投入权向量。 mu=w(m+1:m+s,:) %输出产出权向量。 模型(D C2R)的MATLAB程序 clear X=[]; %用户输入多指标输入矩阵X Y=[]; %用户输入多指标输出矩阵Y n=size(X',1); m=size(X,1); s=size(Y,1); epsilon=10^-10; %定义非阿基米德无穷小 =10-10 f=[zeros(1,n) -epsilon*ones(1,m+s) 1]; %目标函数的系数矩阵： 的系数为0,s-,s+的系数为- e, 的系数为1； A=zeros(1,n+m+s+1); b=0; %<=约束； LB=zeros(n+m+s+1,1); UB=[]; %变量约束； LB(n+m+s+1)= -Inf; %-Inf表示下限为负无穷大。 for i=1:n; Aeq=[X eye(m) zeros(m,s) -X(:,i) Y zeros(s,m) -eye(s) zeros(s,1)]; beq=[zeros(m, 1 ) Y(:,i)]; w(:,i)=LINPROG (f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); %解线性规划，得DMU的最佳权向量w; end w %输出最佳权向量 lambda=w(1:n,:) %输出 s_minus=w(n+1:n+m,:) %输出s- s_plus=w(n+m+1:n+m+s,:) %输出s+ theta=w(n+m+s+1,:) %输出
人口增长预测 数学实验 指导教师：何仁斌 城市建设与环境工程学院环境工程1班 姓名：郑惋月 学号：20096545
人口增长预测 摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。 模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。我们要验证该模型是否适用。取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。 模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。 最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。 关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
实验一用MATLAB处理系统数学模型 一、实验原理 表述线性定常系统的数学模型主要有微分方程、传递函数、动态结构图等.求拉氏变换可用函数laplace(ft,t,s）,求拉式反变换可用函数illaplace(Fs,s,t);有关多项式计算的函数主要有roots(p),ploy(r),conv(p,q),ployval(n,s);求解微分方程可采用指令 s=dslove(‘a_1’,’a_2’,’···,’a_n’);建立传递函数时，将传递函数的分子、分母多项式的系数写成两个向量，然后用tf()函数来给出，还可以建立零、极点形式的传递函数，采用的函数为zpk(z,p,k);可用函数sys=series(sys1,sys2)来实现串联，用 sys=parallel(sys1,sys2)来实现并联，可用函数sys=feedback(sys1,sys2,sign)来实现系统的反馈连接，其中sign用来定义反馈形式，如果为正反馈，则sign=+1，如果为负反馈，则sign=-1。 二、实验目的 通过MATLAB软件对微分方程、传递函数和动态结构图等进行处理，观察并分析实验结果。 三、实验环境 MATLAB2012b 四、实验步骤 1、拉氏变换 syms s t; ft=t^2+2*t+2; st=laplace(ft,t,s) 2、拉式反变换 syms s t; Fs=(s+6)/(s^2+4*s+3)/(s+2); ft=ilaplace(Fs,s,t) 3、多项式求根 p=[1 3 0 4]; r=roots(p) p=poly(r) 4、多项式相乘 p=[ 3 2 1 ];q=[ 1 4];
数字图像去噪典型算法及matlab实现 希望得到大家的指点和帮助 图像去噪是数字图像处理中的重要环节和步骤。去噪效果的好坏直接影响 到后续的图像处理工作如图像分割、边缘检测等。图像信号在产生、传输过程中都可能会受到噪声的污染，一般数字图像系统中的常见噪声主要有：高斯噪声（主要由阻性元器件内部产生）、椒盐噪声（主要是图像切割引起的黑图像上的白点噪声或光电转换过程中产生的泊松噪声）等； 目前比较经典的图像去噪算法主要有以下三种： 均值滤波算法：也称线性滤波，主要思想为邻域平均法，即用几个像素灰度 的平均值来代替每个像素的灰度。有效抑制加性噪声，但容易引起图像模糊， 可以对其进行改进，主要避开对景物边缘的平滑处理。 中值滤波：基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性平滑滤波信号处理技术。中值滤波的特点即是首先确定一个以某个像素为中心点的邻域，一般为方形邻域，也可以为圆形、十字形等等，然后将邻域中各像素的灰度值排序，取其中间值作为中心像素灰度的新值，这里领域被称为窗口，当窗口移动时，利用中值滤波可以对图像进行平滑处理。其算法简单，时间复杂度低，但其对点、线和尖顶多的图像不宜采用中值滤波。很容易自适应化。 Wiener维纳滤波：使原始图像和其恢复图像之间的均方误差最小的复原方法，是一种自适应滤波器，根据局部方差来调整滤波器效果。对于去除高斯噪声效果明显。 实验一：均值滤波对高斯噪声的效果 l=imread（'C:\Documents and 桌面\1.gif'）;% 读取图像
J=imnoise(l,'gaussian',0,0.005);% 加入均值为0 ,方差为 0.005 的高斯噪声subplot(2,3,1);imshow(l); title(' 原始图像'); subplot(2,3,2); imshow(J); ti tle('加入高斯噪声之后的图像’)； %采用MATLAB 中的函数filter2 对受噪声干扰的图像进行均值滤波 K1=filter2(fspecial('average',3),J)/255; % 模板尺寸为3 K2=filter2(fspecial('average',5),J)/255;% 模板尺寸为5 K3=filter2(fspecial('average',7),J)/255; % 模板尺寸为7 K4= filter2(fspecial('average',9),J)/255; % 模板尺寸为9 subplot(2,3,3);imshow(K1); ti tle(' 改进后的图像1'); subplot(2,3,4); imshow(K2); title(' 改进后的图像2'); subplot(2,3,5);imshow(K3); title(' 改进后的图像3'); subplot(2,3,6);imshow(K4); title(' 改进后的图像4');
云模型简介及个人理解m a t l a b程序 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
随着不确定性研究的深入，越来越多的科学家相信，不确定性是这个世界的魅力所在，只有不确定性本身才是确定的。在众多的不确定性中，和是最基本的。针对和在处理不确定性方面的不足，1995年我国工程院院士教授在概率论和模糊数学的基础上提出了云的概念，并研究了模糊性和随机性及两者之间的关联性。自李德毅院士等人提出云模型至今，云模型已成功的应用到、、、智能控制、等众多领域. 设是一个普通集合。 , 称为论域。关于论域中的模糊集合，是指对于任意元素都存在一个有稳定倾向的随机数，叫做对的隶属度。如果论域中的元素是简单有序的，则可以看作是基础变量，隶属度在上的分布叫做隶属云；如果论域中的元素不是简单有序的，而根据某个法则，可将映射到另一个有序的论域上，中的一个且只有一个和对应，则为基础变量，隶属度在上的分布叫做隶属云[1] 。 数字特征
云模型表示自然语言中的基元——语言值，用云的数字特征——期望Ex，熵En和超熵He表示语言值的数学性质 [3] 。 期望 Ex：云滴在论域空间分布的期望，是最能够代表定性概念的点，是这个概念量化的最典型样本。 熵 En：“熵”这一概念最初是作为描述热力学的一个状态参量，此后又被引入统计物理学、信息论、复杂系统等，用以度量不确定的程度。在云模型中，熵代表定性概念的可度量粒度，熵越大，通常概念越宏观，也是定性概念不确定性的度量，由概念的随机性和模糊性共同决定。一方面, En是定性概念随机性的度量，反映了能够代表这个定性概念的云滴的离散程度；另一方面，又是定性概念亦此亦彼性的度量，反映了在论域空间可被概念接受的云滴的取值范围。用同一个数字特征来反映随机性和模糊性，也必然反映他们之间的关联性。 超熵 He：熵的不确定性度量，即熵的熵，由熵的随机性和模糊性共同决定。反映了每个数值隶属这个语言值程度的凝聚性，即云滴的凝聚程度。超熵越大，云的离散程度越大，隶属度的随机性也随之增大，云的厚度也越大。
世界人口增长带来的16种影响 (2001-9-17) 持续增长的世界人口也许是当今最为严重的问题，文章从16个方面论述了其对人类前景产生的影响。 在本世纪后半页世界人口增长翻了一番，从1950年的25亿升到1988年59亿，这个史无先例的人口巨浪及其不断上升的消费，正把人类的索取推向超出地球的自然极限。 根据联合国的预测，到2050年世界人口将达77-112亿，我们采用联合国94亿人口的中间预测值（据《世界人口展望》1996年修订版），叙述这种“最可能”结果对未来生态系统和各国政府带来的压力，并说明摆脱这种发展趋势的急迫。 为了清晰阐明未来人口增长怎样影响人类前途，我们从16个方面进行分析其对粮食和农业的影响。 1.粮食生产 从1950年到1984年，世界粮食产量的增幅远远超过了人口的增长速度，但此后粮食产量的增长一直落后于人口的增长速度。根据美国农业部的统计，人均粮食产量下降了7％（每年下降0.5％）。1984年以来世界粮食产量增长减缓，其原因是缺少新垦土地和减少了灌溉和用肥的投入增长量，所以土地回报率下降。 既然农业已无尚待开发的耕地供开垦，那么未来粮食产量的增长几乎完全要靠提高现存土地的生产率来实现。令人遗憾的是这正变得越来越困难。在人均耕地面积日益减少，人均灌溉量下降和作物产量随过量用化肥而减少时，世界农业正面临着扭转这种日渐下滑局面的挑战。 2.耕地 从本世纪中叶以来，产粮面积——通常作为耕地的代名词——增加了19％，而世界人口却增长了132％。人口增长使耕地退化、产量减少，乃至挪作他用。随着人均粮食面积的缩减，越来越多的国家承受着失去粮食自给自足能力的危险。 世界上人口增长最快4个国家的情况十分明显他说明这种发展趋向。在1960-1998年问，巴基斯但、尼日利亚、埃塞俄比亚和伊朗等国人均耕地面积减少了40～50％，预计到205O 年将进而减至60-70％——这只是假定农耕地不再减少条件下的一项保守估计。其结果会使上述4国人口总数在10亿以上，而人均耕地面积仅仅在300-600平方米——小于1950年人均耕地面积的1/4。 3.淡水 不断扩延的缺水或许是当代世界最被看轻的资源问题。但凡是人口还在增长的地区，人均淡水供给量都在减少。 河流干枯和地下水位下降，被视作水资源紧缺的证据，如尼罗河、黄河和科罗拉多河几乎无水人海。目前，包括主要产粮区的世界各大洲地下水位正在下降，美国南部的大平原、中国华北平原和印度的大部分地区，地下蓄水层正日益枯竭。 国际水资源管理研究所预测，到2050年有些国家共约10亿人口生活将面临绝对缺水的状况。这些国家必将减少农业用水，以满足居民和工业的用水需求，中国和印度被认为是世界两个灌溉农业大国，将要大量减少灌溉供水。 4.海洋捕捞 1950年以来：人类对海味的摄入量增长了5倍，使大部分渔业资源的捕捞量已达到或超出其可承受的极限。海洋生物学家认为全球各海洋水域不能承受大大高于9300万吨的年捕捞量。 人类在二十世纪行将结束时，对渔业的过度捕捞已成惯例而不例外。在全球15个主要海洋渔业区中，就有11个渔场捕捞量下降。大西洋鳕——长期来一直为西欧人的主要食品——其捕捞从l968年的最高数量减少了70％。自1970年以来，西大西洋的金枪鱼贮量下降了80％。 随着目前海洋渔业资源日渐枯竭，未来对海味需求的增加只能靠渔业养殖来满足。而当世界转向以水产养殖满足其需求时，鱼类便开始与家畜家禽争夺饲料，如谷类、大豆粉和鱼粉等。 腹有诗书气自华
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
用m a t l a b实现碰撞模型程序代码 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
c l c; clear; fill([6,7,7,6],[5,5,0,0],[0,0.5,0]);%右边竖条的填充 holdon;%保持当前图形及轴系的所有特性 fill([2,6,6,2],[3,3,0,0],[0,0.5,0]);%左边竖条的填充 holdon;%保持当前图形及轴系的所有特性 t1=0:pi/60:pi; plot(4-2*sin(t1-pi/2),5-2*cos(t1-pi/2));%绘制中间的凹弧图形gridon;%添加网格线 axis([0,9,0,9]);%定义坐标轴的比例% axis('off');%关闭所有轴标注，标记，背景 fill([1,2,2,1],[5,5,0,0],[0,0.5,0]);%中间长方形的填充 holdon;%保持当前图形及轴系的所有特性 title('碰撞');%定义图题 x0=6; y0=5; head1=line(x0,y0,'color','r','linestyle','.','erasemode','xor','marke rsize',30); head2=line(x0,y0,'color','r','linestyle','.','erasemode','xor','marke rsize',50);%设置小球颜色,大小,线条的擦拭方式 t=0;%设置小球的初始值 dt=0.001;%设置运动周期 t1=0;%设置大球的初始值 dt1=0.001; while1%条件表达式 t=t+dt; x1=9-1*t; y1=5; x3=6; y3=5; ift>0 x2=6; y2=5;%设置小球的运动轨迹 end ift>2.8 t=t+dt; a=sin(t-3); x1=6.1; y1=5.1; x3=4-2*sin(1.5*a); y3=5-2*cos(1.5*a);%设置大球的运动轨迹 end
2016年数学建模论文 第一套 论文题目：人口增长模型的确定 组别：第35组 姓名：耿晨闫思娜王强 提交日期：2016年7月4日
题目：美国人口增长预测模型 摘要 本文根据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据，建立了指数增长模型，即Malthus模型，并通过1790-1890年的数据验证了它的准确性。但是，随着时间的推移，拟合函数与统计数据误差逐渐增大，所以，又建立了阻滞增长模型，即Logistic 模型，这个模型的拟合函数与统计数据误差较小，并用该模型对美国未来几年的人口做出了预测。总体来说，阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：指数增长模型，阻滞增长模型，人口预测
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1：人口记录表 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 影响人口增长的因素很多，其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。出生率受到婴儿死亡率、对避孕的态度及措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因素的影响；死亡率则受到卫生设施与公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等因素的影响。此外，影响人口在一个地区增长的因素还有迁入和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等。在这些因素中，有些是常态的或者有规律的，这些因素对人口的增长是恒定的；而有些因素是随机的，对人口的增长是没有规律的。因此，当大范围、长时期研究人口增长问题时，对人口增长产生影响的随机因素就不在考虑了。 建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化，并与实际的数据进行对比，看误差的大小。在此基础上利用改进的模型对美国人口同时期数量进行预测，并进行总结分析。 三、问题假设 人口指数增长模型中采用以下基本假设： （1）单位时间的人口总量增长与当时的人口呈正比，比例常数为k； （2）假设t时刻的人口为N(t)，因为人口数一般是很大的，所以将N(t)近似地视为连续，可微的函数。记初始时刻（t=0）的人口数为N0。新生人口数百分率为a，死亡的百分率为b，那么,经过Δt时间后，人口数量为N（t+Δt）就是原来人口数量加上Δt时间内新生人口数减去死亡人口数。 四、变量说明