2021年陕西省渭南市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题,得分率低,需要引起重视。从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数,圆,多边形,相似,锐角三角形等。预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1.如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,3),且OB=OC=3AO.直线y=x+1与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E.设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为t.
(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标;
(2)如图1,当t为何值时,S△P AD=1
2S△DAB;
(3)如图2,过点P作PF∥x轴,交直线AD于点F,PG⊥AD于点G,GH⊥x轴于点H.
①求△PFG的周长的最大值;
②当PF=12GH时,求t的值.
2.如图1,在平面直角坐标系中,已知△ABC,∠ABC=90°,∠ACB=30°,顶点A在第二象限,B,C两点在x轴的负半轴上(点C在点B的右侧),BC=2,△ACD与△ABC 关于AC所在的直线对称.
(1)当OC=2时,求点D的坐标;
(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OC的长;
(3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向左平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,
过点D1的反比例函数y=k
x(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P,问:在平移过程中,
是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图,已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0)经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为 ()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若O C O B =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长. 【002】如图16,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB-BC-CP 于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围) (3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成 为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由;
2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或 抛物线的对称轴上),若ABP ?为等腰三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为底时(即PA PB =):点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ; 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式; 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为腰时,分两类讨论: ①以A ∠为顶角时(即AP AB =):点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时(即BP BA =):点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或 抛物线的对称轴上),若ABP ?为直角三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为斜边时(即PA PB ⊥):点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用圆的一般方程列出M e 的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为直角边时,分两类讨论: ①以A ∠为直角时(即AP AB ⊥): ②以B ∠为直角时(即BP BA ⊥): 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出PA (或PB )的斜率 k ;进而求出PA (或PB )的解析式; 将PA (或PB )的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点: 一、 两点之间距离公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程: 点()y ,x P 在⊙M 上,⊙M 中的圆心M 为()b ,a ,半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22,得到方程☆:()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上,即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式: 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则直线PQ 的斜率: 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型:一、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为平行四边形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为边时 (2)AB 为对角线时 二、已知AB ,抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对 称轴上),若四边形ABPQ 为距形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边互相垂直 (2)对角线相等 三、已知AB ,抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对 称轴上),若四边形ABPQ 为菱形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边相等 (2)对角线互相垂直
陕西中考数学历年压轴题 1、(15)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD//BC,CD⊥BC, ∠ABC=60°,AD=8,BC=12. (1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为__________; (2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长 的最小值; (3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值 最小?若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由。
2、(14)问题探究 (1)如图①,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,如果BC 边上存在点P,使△APD 为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰△APD ,并求出此时BP 的长; (2)如图②,在△ABC 中,∠ABC=60°,BC=12,AD 是BC 边上的高,E,F 分别为边AB 、AC 的中点,当AD=6时,BC 边上存在一点Q ,使∠EQF=90°。求此时BQ 的长; 问题解决 (3)有一山庄,它的平面为③的五边形ABCDE ,山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置,用来监视边AB ,现只要使∠AMB 大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳。已知∠A=∠E=∠D=90°。AB=270m 。AE=400m ,ED=285m,CD=340m,问在线段CD 上是否存在点M ,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM 的长;若不存在,请说明理由。 ┓ ② ③ C A A B C F E D C A A B E D A
3、(13)问题探究 (1) 请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2) 如图②,M 是正方形ABCD 内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直 线必须过点M ),使它们将正方形ABCD 的面积四等分,并说明理由. 问题解决 (3)如图③,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB+CD=BC ,点P 是AD 的中点.如果AB=a ,CD=b ,且b >a ,那么在边BC 上是否存在一点Q ,使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在,求出BQ 的长;若不存在,说明理由. M D B C A P D B C A (第25题图) ① ② ③
2020中考数学压轴题100题精选 (附答案解析) 【001 】如图,已知抛物线2(1)y a x =-+(a ≠0)经过点 (2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结 BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.
【002】如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B 时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t 秒(t>0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S 与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C 成 为直角梯形?若能,求t (4)当DE经过点C 时,请直接 图16 【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想:
全国各地中考数学解答题压轴题解析2
2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析(2) 1.(湖南长沙10分)如图,在平面直角坐标系中,已知 点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边, 在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时, 记Q得位置为B。 (1)求点B的坐标; (2)求证:当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值; (3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。 【答案】解:(1)过点B作BC⊥y轴于点C, ∵A(0,2),△AOB为等边三角形, ∴AB=OB=2,∠BAO=60°, ∴BC=3,OC=AC=1。即B( 3 1,)。 (2)不失一般性,当点P在x轴上运动(P不与O重合)时, ∵∠PAQ==∠OAB=60°,∴∠PAO=∠QAB, 在△APO和△AQB中,∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB,∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。 ∴当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°。 (3)由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上, ∴AO与BQ不平行。
①当点P 在x 轴负半轴上时,点Q 在点B 的下方, 此时,若AB∥OQ ,四边形AOQB 即是梯形, 当AB∥OQ 时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2,可求得BQ=3。 由(2)可知,△APO≌△AQB ,∴OP=BQ=3, ∴此时P 的坐标为(3 0-, )。 ②当点P 在x 轴正半轴上时,点Q 在点B 的上方, 此时,若AQ∥OB ,四边形AOQB 即是梯形, 当AQ∥OB 时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2,可求得BQ=23, 由(2)可知,△APO≌△AQB ,∴OP=BQ=23, ∴此时P 的坐标为(23 0, )。 综上所述,P 的坐标为(3 0-, )或(23 0,)。 【考点】等边三角形的性质,坐标与图形性质;全等三角形的判定和性质,勾股定理,梯形的判定。 【分析】(1)根据题意作辅助线过点B 作BC⊥y 轴于点C ,根据等边三角形的性质即可求出点B 的坐标。 (2)根据∠PAQ═∠OAB=60°,可知∠PAO=∠QAB ,得出△APO≌△AQB 总成立,得出当点P 在x 轴上运动(P 不与Q 重合)时,∠ABQ 为定值90°。 (3)根据点P 在x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论,再根据全等三角形的性质即可得出结果。 2.(湖南永州10分)探究问题:
2010年中考数学压轴题10题精选 【1】如图,点P 是双曲线11( 00)k y k x x = <<,上一动点,过点P 作x 轴、y 轴的垂线,分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,交双曲线y = x k 2 (0<k 2<|k 1|)于E 、F 两点. (1)图1中,四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示); (2)图2中,设P 点坐标为(-4,3). ①判断EF 与AB 的位置关系,并证明你的结论; ②记2PEF OEF S S S ??=-,S 2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。 【2】一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m -2,0),B (m +2,0)两点,记抛物线顶点为C ,且AC ⊥BC . (1)若m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若m 为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点,问是否存在实数m ,使得△BCD 为等腰三角形?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 【3】如图,在梯形ABCD 中,24AD BC AD BC ==∥,,,点M 是AD 的中点,MBC △是等边三角形. (1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形; (2)动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且60MPQ =?∠保持不变.设PC x MQ y ==,, 求y 与x 的函数关系式; (3)在(2)中:①当动点P 、Q 运动到何处时,以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点 B D A C O x y